1高中数学北师大必修1课件：34 换底公式

1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数

∴log182＝1－a.∵18b＝5，∴log185＝b， log1845 log189＋log185 a＋b ∴log3645＝ ＝ ＝ . log1836 1＋log182 2－a
换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算，要 注意换底公式的正用、逆用及变形使用．注意：在使用换底 公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以 10或e为底的常用对数或自然对数．
4．2
换底公式
预习课本 P83～85，思考并完成以下问题
1．换底公式的内容是什么？
2．如何证明换底公式？
[新知初探]
对数换底公式： logbN＝
logaN (a，b＞0，a，b≠1，N＞0)． logab
[ 点睛 ]
换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为
同底的对数，再运用运算性质进行运算．
[小试身手]
对数的实际应用
[典例] 光线璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块 玻璃板以后的强度值为y. (1)试写出y关于x的函数关系式； 1 (2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的 以 2 下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] lg 27 lg 32 (1)log1627log8132＝ × lg 16 lg 81
lg 33 lg 25 3lg 3 5lg 2 15 ＝ × ＝ × ＝ . lg 24 lg 34 4lg 2 4lg 3 16
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)
[活学活用] 求下列对数的值：
1 (1)log28；(2)log9 ；(3)ln e；(4)lg 1. 9 求下列对数的值： 1 (1)log28；(2)log9 ；(3)ln e；(4)lg 1. 9

自
课
主 导
一般，推导、证明、应用对数的换底公式，培养学生分析、
时 作
学
业
综合解决问题的能力．教学中要充分发挥课本这些材料的作
课
堂 互
用．
动
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修1
教
学
思
教
想
法
方
分 析
●教学建议
法 技
巧
教 学
本课主要学习对数换底公式，它在以后的学习中有着非 当
方
堂
案 设
常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
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教
学
思
教
想
法 分
【解】 由 0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得 e－λ＝ 0.90，
析
方 法 技
教
又 0.50μ0＝μ0(e－λ)t，
巧
学
当
方 案 设
则12＝( 0.90)t，两边取常用对数，得 lg12＝2t lg 0.90，
当 堂 双 基
计
课 前 自 主
＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189
达 标
课 时
导
学 课
＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋ －ba.
堂
互
动
探
究
作 业
教 师 备 课 资 源
菜单
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教
学
思
教
想
法
方

数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
[解析] 由题意可得 10 000＝2 000ln(1＋Mm)，
即 ln(1＋Mm)＝5.
所以Mm＝e5－1，即Mm≈148.4－1＝147.4.
数
故当燃料质量约是火箭质量的 147.4 倍时，火箭的最大速度可达到 10km/s.
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第三章 指数函数和对数函数
1．下列等式不成立的是( D )
A．log34＝llnn43
B．log34＝llgg43
C．log34＝log143
D．log34＝lloogg1143
数 学
[解析] 结合换底公式的特征可知选项 D 不正确，因为底数必须满足大于 0
『规律总结』 1.用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用 换底公式来解决．
2．在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是 以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的 合理选取．
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·Leabharlann 第三章 指数函数和对数函数
A．y∈(0,1)
B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3)
D．y∈(3,4)
[解析] 原式＝llgg56·llgg76·llgg87·llgg98·llgg190＝llgg150＝lg510∈(1,2)．
4．已知 log23＝a，log37＝b，则 log27＝____a_b___.(用 a，b 表示)
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第三章 指数函数和对数函数

log363 1y＝log1436＝log13636＝log364，
log364
∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.
解法 2：对等式 3x＝4y＝36 各边都取以 6 为底的对数，得 log63x＝log64y＝log636，
即 xlog63＝ylog64＝2， ∴2x＝log63，1y＝log62， ∴2x＋1y＝log63＋log62＝log66＝1，即2x＋1y＝1.
8%)2，…，经过x年后，总产值为a(1＋8%)x＝2a.
∴1.08x＝2.取常用对数，得 lg1.08x＝lg2.
则 x＝lgl1g.208＝00..30031304≈9(年)．
答：约经过 9 年后的国民生产总值是 2014 年的 2 倍． • [规律总结] 求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是
[答案] [解析]
2
3 原式＝llgg98·llgg23＝23llgg32·llgg23＝23.
5．logab·log3a＝4，则 b＝________.
[答案] 81
[解析] 由换底公式可得
原式＝llggba·llgga3＝log3b＝4，
∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
利用换底公式求值、化简
计算：(1)log1618； (2)(log43＋log83)·llgg23. [思路分析] (1)16 和18都可表示为 2 的幂的形式，因此可 换成以 2 为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可 利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
• 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一 底数进行计算；
• 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通 分、求值．

注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
分析(2)：换成常用对数 注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还 要能逆用换底公 ． 例4 己知log189=a，10b=5，求log3645的值，(用a、 b表示．) 分析：因为己知对数与幂的底数都是18，所以，先 将需求值的对数化为与己知对数同底后再求解．
∴log182=1-a． ∵18b=5， ∴log185=b．
(三)学生练习 1．不查表求值： ①(lg5)2+lg2· lg50；
③(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258) 2．已知log1227=a，试用a表示log616 (四)小结 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基 本思想方法，它在求值或恒等变形中作了重要作用， 在解题过程中应注意：
1．19
换底公式
一、素质教育目标 (一)知识教育点 对数的换底公式及推导． (二)能力训练点 1．理解对数换底公式的意义． 2．掌握换底公式的推导方法． 3．学会换底公式在计算、恒等变形中的应用． 4．提高应用化归思想的意识． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：换底公式． 2．教学疑、难点：公式的推导及运用．
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．

积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaRM)PnlologgaPna NMl1oga
M
log
a
M
一、对数的换底公式:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成

大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级
M.其计算公式为.
其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标 准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
典例精讲：题型三：运用对数知识解决实际问题
(1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地 震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震 级（精确到0.1）； (2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅 是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
【例2】计算： (1);(2)； (3)(4)
[思路分析]运用对数运算性质求值时，当底数相同，则直接利用对数运 算性质求解，若底数不同，则借助对数运算性质和换底公式，化式子 为同底的形式，同时尽可能使真数只有一种或少数几种(通常为2,3,5等 ).
典例精讲：题型二：运用对数的运算性质求值
③logab＝
⑥logab· logbc· logca=1
再见
=lg=lg
lg10.
课堂练习
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为(
A．a－2B．5a－2
)
C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1
答案： A
归纳小结
1.对数的运算法则及换底公式： 则：
(4)
(c>0,且c≠1;b>0)
归纳小结
2.对数运算时几个常见恒等式： ①lg2+lg5=1； ④b＝ ②bnlogab； ⑤logab· logba=1
由对数定义得到：logaM=m，logamn，
∴logalogaM.

3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
7
-7-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
-5-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
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反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
-6-
4.2 换底公式
4.2
换底公式
-1-
4.2 换底公式
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1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2

2．(1)已知 log142＝a，试用 a 表示 log 27. (2)若 log23＝a，log52＝b，试用 a，b 表示 log245.
[解] (1)法一：因为 log142＝a，所以 log214＝1a. 所以 1＋log27＝1a. 所以 log27＝1a－1. 由对数换底公式，
得 log27＝lloogg 2227＝log2 27.
换底公式
学习目标
核心素养
1. 能 推 导 出 对 数 的 换 底 公 1.通过对数换底公式的推导，提升逻
式．(重点)
辑推理素养．
2．会用对数换底公式进行化简 2．通过用对数换底公式进行化简求
与求值．(难点、易混点)
值，培养数学运算素养.
自主预习 探新知
换底公式 阅读教材有关内容，完成下列问题．
)
A.12
B．2
3 C.2
D．92
B [lloogg4493＝log39＝2log33＝2.]
2．若 log32＝a，则 log123 可以用 a 表示为________．
1 2a＋1
[log123＝lloogg33132＝2log312＋1＝2a1＋1]
3．已知 log34·log48·log8m＝2，则 m＝________.
[解]
原式＝llgg
34＋llgg
3lg 8lg
23＋llgg
29＝
2llgg32＋3llgg32llgg 23＋2llgg23
＝56llgg
3 3lg 2·2lg
23＝54.
用已知对数表示其他对数
【例 2】 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. [解] 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a， 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818.