下载文档原格式
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
）。
特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。
咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。
它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。
但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。
首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。
比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。
这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。
然后呢，咱得学会“以静制动”。
别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。
比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。
嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。
还有啊，要多画画图。
有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。
看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。
而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。
再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。
把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。
这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。
咱还得有点“大胆假设”的精神。
碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。
就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。
总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。
就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。
只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。
所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。
四边形知识点总结6．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒ABCD 是等腰梯形 7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 注：被中位线分成的三角形的周长是原三角形的1/2 被中位线分成的三角形的面积是原三角形的1/48．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 注：梯形的面积等于中位线乘高.第二部分、常用的辅助线技巧1.平行四边形与特殊的平行四边形常见的辅助线：①.平行四边形:（1）连对角线或平移对角线 （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 ②.菱形：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.注意：当菱形有一个内角为60°或有一条高垂直平分底边时连接对角线即可得到等边三角形。
③．矩形：计算题型（翻折问题），一般通过作辅助线（垂线等）构造直角三角形借助勾股定理解题 证明题型（探究问题），一般连接对角线借助对角线相等来解决问题注意：当矩形的对角线与一边（或另一条对角线）的夹角为60°时，其对角线与边长围成的三角形是等边三角形。
④．正方形：连接对角线 2．梯形中常见的辅助线：①．延长两腰交于一点（使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
）②．平移一腰（使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
）③．作高（使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
）④.平移一条对角线(得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和，S 梯形ABCD =S DBE ）⑤.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
（可得△ADE ≌△FCE ，所以使S 梯形ABCD =S △ABF .）。
平行四边形的知识点整理（一）引言概述：平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
了解这些知识点有助于我们在几何学中更好地理解和运用。
本文将对平行四边形的知识进行整理和总结，以帮助读者更好地掌握相关内容。
正文：一、平行四边形的定义和特点：1. 平行四边形的定义2. 平行四边形的性质和特点3. 平行四边形的内角和外角性质4. 平行四边形的对角线性质5. 平行四边形的边长和内角关系二、平行四边形的分类：1. 平行四边形的分类方法2. 等边平行四边形的性质和特点3. 矩形和正方形的性质和特点4. 菱形的性质和特点5. 平行四边形的其他特殊分类三、平行四边形的面积和周长计算：1. 平行四边形的面积计算方法2. 平行四边形的周长计算方法3. 面积和周长的相关性质和公式4. 平行四边形的面积和周长实例计算5. 平行四边形的面积和周长在实际问题中的应用四、平行四边形的相关定理和推论：1. 平行四边形的对称性定理2. 平行四边形的角平分线与边平分线定理3. 对角线互相平分的平行四边形定理4. 平行四边形的中位线定理5. 平行四边形的相关推论和应用五、平行四边形的解题方法和技巧：1. 解直角平行四边形的问题的方法和步骤2. 解面积和周长问题的技巧和注意事项3. 解平行四边形的性质问题的思路和方法4. 运用平行四边形求证和构造题的解题技巧5. 平行四边形相关问题的典型例题和解答总结：平行四边形是几何学中的重要内容，了解平行四边形的定义、性质和特点，掌握其分类、面积和周长计算方法，熟悉其相关定理和推论，并具备解题技巧和应用能力，对我们的几何学学习和问题解决能力都有很大的帮助。
通过学习本文所总结的平行四边形的知识点，相信读者会在几何学中取得更好的成绩，对未来的学习和发展起到积极的促进作用。
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
圆与四边形题解题技巧
解题技巧可以根据具体的圆与四边形题目而有所不同。
以下是一些常见类型的圆与四边形题目及相应的解题技巧：
1. 圆的面积和周长：对于给定半径或直径的圆，计算其面积和周长时，需要熟记相关公式。
圆的面积公式为A = πr²（或A = πd²/4），周长公式为C = 2πr（或C = πd）。
2. 外接四边形问题：当一个四边形的四个顶点恰好位于一个圆的圆周上时，该四边形称为外接四边形。
解决这类问题时，可以利用外接四边形的特点，如对角线互相垂直、对角线互相平分等。
还可以应用勾股定理和半周长公式来求解。
3. 内切四边形问题：当一个四边形的每条边都切到一个圆的圆周上时，该四边形称为内切四边形。
对于内切四边形，可以利用圆的切线性质和角的性质来解决问题。
例如，内切四边形的相邻两个内角的和等于180度。
4. 面积比较问题：如果给出了一个圆和一个四边形的面积，可以通过比较它们的大小来求解。
圆和四边形的面积比较时，可以利用相关公式进行计算，然后比较它们的数值大小。
5. 位置关系问题：有时需要判断一个四边形是否能够包含一个圆，或者一个圆是否能够包含一个四边形。
对于这类问题，通常需要考虑到圆与四边形的半径、直径、对角线等参数，并结合形状特点进行分析。
总而言之，解决圆与四边形的题目需要对圆的基本性质和四边形的性质有一定的理解，并且熟练掌握相关的公式和技巧。
在解题过程中，关注图形的特殊性质，善于利用几何知识和运用逻辑推理思维是解决这类问题的关键。
不断练习和思考，加深对圆与四边形的理解，可以提高解题的效率和准确性。
平行四边形的性质与推导平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，它具有独特的性质与推导过程。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及相关推导过程。
一、平行四边形的性质：1. 对边和对角线性质：平行四边形的对边相等，并且对角线互相平分，即相交于对角线的两点分割对角线成相等的部分。
2. 内角性质：平行四边形的内角相邻补角相等，即相邻两个内角之和等于180度。
3. 对边角性质：平行四边形对边之间的对边角相等，即对边角的度数相等。
4. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即两组对边之间的边是平行的。
二、平行四边形的推导：1. 推导1：平行四边形的定义考虑四边形ABCD，如果AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
2. 推导2：平行四边形内角和证明平行四边形的内角和为360度。
根据平行四边形的定义，得知∠ADC+∠DAB=180度，同时∠DAB+∠ABC=180度。
将两式相加，得到∠ADC+∠DAB+∠DAB+∠ABC=360度，即平行四边形的内角和为360度。
3. 推导3：平行四边形的对边平行证明平行四边形的对边是平行的。
已知平行四边形ABCD，根据定义得知AB∥CD且AD∥BC。
假设AB与CD不平行，那么考虑三角形ABD和三角形BCD，根据平行线的性质，∠BAD=∠DCB，又因为∠ABD=∠BCD，根据AA准则可得，两个三角形相似。
但是这与ABCD是平行四边形相矛盾，所以假设不成立，即AB与CD平行。
同理可证，AD与BC也是平行的。
三、结论综上所述，平行四边形具有对边和对角线相等、内角和为360度、对边角相等和对边平行的性质。
这些性质为解决平行四边形的相关问题提供了便利。
在几何学的学习中，对平行四边形的性质和推导有着重要的意义。
结尾陈述：通过对平行四边形的性质与推导的探讨，我们深入了解了这个特殊四边形的基本特征与相关定理。
熟练掌握平行四边形的性质和推导过程，可以有效解决各类几何问题，提升数学学习的能力和解题的技巧。
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与特殊平行四边形的点存在性问题，主要考查了学生能否将特殊平行四边形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。
二、复习预习相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2.性质定理：(1)相似三角形的对应角相等；(2)相似三角形的对应边成比例；(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；(4)相似三角形的周长比等于相似比；(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．1. 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形（1）是平行四边形；（2）四个角是直角．2. 矩形的性质性质1 矩形的四个角都是直角；性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。
四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明．1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 （2007·河北）如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______．2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A =120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 (2006·河北)如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为( )A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和43．求周长例5 (2006·日照)如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF= 45°，且2，求ABCD的周长．AE+AF=24．求第三边的取值范围例6 (2006·双柏)如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是( )A．10<m<12 B．2<m<22 C．l<m<ll D．5<m<65．综合计算题例7 如图,ABCD的周长为210 ，BC的长为35，AE⊥BC于E，AF⊥DC，垂足为36DC延长线上的点F，AE=3．求：(1)∠D的度数；(2)AF的长．6．探索题例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠AD C的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB<AC，点D在AC上，且有CD=AB，E、F分别是AD和BC的中点，连结EF并延长与BA的延长线相交于点G，求证：AE=AG．例10 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N．求证：∠OMN=∠ONM.例11 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。
四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明.1•求角的度数例1 如图，二ABCD中.AD=2AB,点E、A、B F在一条直线上，且EA= AB= BF,求/ DOC 的度数.A B K例2 （2007河北）如图，若q ABCD与q EBCF关于BC所在直线对称， / ABE=90 ,则Z F= _____ .A D2.求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB= 6, BC= 8, Z A =120°, Z B= 60° Z BCD= Z 150° 求AD的长.例4 （2006河北）如图，在•一DABCD中，AD= 5, AB=3, AE平分Z BAD交BC边于点E,则线段BE、EC 的长度分别为（）A. 2 和3B. 3 和2C. 4 和1D. 1 和43.求周长例5 （2006 日照）如图，在=ABCD中, AE丄BC于E,AF丄CD于F, Z EAF= 45°，且AE+AF=2 .2 ,求•一ABCD的周长.4.求第三边的取值范围例6 （2006双柏）如图，在•一ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC=12, BD=10,例7 如图，•一ABCD的周长为10.3 6.2 ,BC 的长为5.、3 , AE 丄BC 于E , AF 丄DC,垂足为DC 延长线上的点 F , AE=3.求：⑴/ D 的度数；（2）AF 的长.6 .探索题例8 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，/ BCD 的平分线CF 交边AB 于点F , / ADC 的平 分线DG 交边AB 于点G ,且DG 与CF 交于点E.请你在已知条件的基础上再添加一个条件， 使得△ EFG 为等腰直角三角形，并说明理由.二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半. 这是三角形的一条很重要的性质， 它包含了位置与数量两种关系.在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线， 运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而 迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解.例9 如图，在△ ABC 中，AB<AC,点D 在AC 上，且有 CD=AB, E 、F 分别是 AD 和BC 的中 点，连结EF 并延长与BA 的延长线相交于点 G ,求证：AE=AG.例10 如图，在四边形 ABCD 中，AC BD 相交于点 O,且AC=BD E 、F 分别是AD 、BC 的 中点，EF 分别交AC 、BD 于M 、N .求证：/ OMN=Z ONM.例11 如图，△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交 AC 于点F ,B . 2<m<22 D . 5<m<65 •综合计算题求证：AF 1 AC3例12 如图，△ ABC的中线AD、BE相交于点G,求证：S ABG s四边形CEGD三、巧算与矩形有关的面积题解答这类问题可考虑用未知数表示某些线段，构造方程来求解.例13 如图，矩形ABCD的面积为S, E是AB的四等分点，F是BC的三等分点，G是CD 的中点，贝U △ EFG的面积为______________________ .例14 如图，矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，且s ABE s ADF ~3 S矩形ABCD ,3四、折叠问题近几年一些省市的中考题中出现了很多有关矩形纸片折叠的问题•由于这类问题的实践性强，需要同学们通过动手操作去发现解决问题的方法. 其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形利用勾股定理来求解.以下面例题加以说明.例15 矩形纸片ABCD中.AD=4 cm, AB=10 cm，按如图所示的方式折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF,贝U DE= ________ cm.例16 将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知/ CED'=60°则/ AED的大小例17如图，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是多少五、路在何方我们知道如果直线m// n, A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点（如图），容易根据平行线之间的距离处处相等及同底等高的两个三角形面积相等的知识，得到两对面积相等的三角形，即△ ABC和厶ABP面积相等；△ CPA和厶CPB面积相等，还有一对面积相等的三角形，你知道吗我们进一步看：如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到任何位置，总有△ ABP与厶ABC的面积相等，理由：因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上怎么移动，总有△ ABP与厶ABC的同底等高，因此，它们的面积总相等.C一一尸珊B例18 如左图，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如右图所示形状，但承包土地与开始荒地的分界小路（图中折线CDE还保留着, 为了便于通行，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，请你用有关数学知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）•（1）写出设计方案，并在图中画出相应的图形;（2）说明方案设计理由.六、聚焦阅读理解题阅读综合理解题主要考查同学们对新事物”新知识”的接受和理解能力，也考查同学们运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力•解决这类综合问题的关键是合理运用所学知识来理解题目，从而做到正确解题。
是（）3 •对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形例19 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形这 边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图⑴所示,矩形ABEF 即为△ ABC 的 友好矩形”.显然，当△ ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只 有一个.(1)依照以上叙述，说明什么是一个三角形的友好平行四边形”；⑵如图⑵，若△ ABC 为直角三角形，且 / C=90°在图⑵中画出 △ ABC 的所有“友好矩 形”，并比较这些矩形面积的大小；⑶如图⑶，若厶ABC 是锐角三角形， 且BC>AC>AB 在图⑶中画出△ ABC 的所有 形”，指出其中周长最小的矩形并加以说明.七、"Face to Face 中点四边形顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形•这个中点四边形有许多重 要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下：1 •任意四边形的中点四边形是平行四边形已知：如图，四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC CD 、DA 的中点. 四边形EFGH 是平行四边形.!.■2 •对角线相等的四边形的中点四边形是菱形已知：如图，四边形 ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC CD DA 的中点, 求证：四边形 EFGH 是菱形.友好矩求证:AC=BD.图⑴图⑵ 图⑶f i已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G H分别是AB、BC CD DA 的中点，AC丄BD.求证：四边形EFGH是矩形.4 •对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的.两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形. 既是矩形又是菱形的图形就是正方形.中点四边形的这四个结论应结合以下特例灵活掌握：菱形的中点四边形为矩形，矩形的中点四边形为菱形，正方形的中点四边形为正方形.例20 顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连结所得四边形四边中点得到的图形是（）A.等腰梯形B.直角梯形C.菱形D.矩形例21 （2007牡丹江）如图，在等腰梯形ABCD中，AD// BC, AD=3, BC=5, AC、BD相交于0点，且/ BOC=60，顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形的周长是（）A. 24 C. 16八、“智力魔方”一一一七巧板七巧板是由正方形按如图所示的方法制作成的（沿实线剪开），其中有五块都是等腰直角三角形，一块正方形，一块平行四边形，七巧板是一种数学玩具，有很强的益智性与趣味性，深受人们的喜爱•在近几年的中考试题中，就出现了一些与七巧板有关的拼图和计算题，值得关注.例22 七巧板是我们祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法•如图（1），整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成.如图⑵，是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD的边长为12 cm，则梯形MNGH的周长是_______ cm .（结果保留根号）例23用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板 （如图（1））,将它拼成“小天鹅”图案 （如图（2）），其中阴影部分的面积为（ ） D .中考中常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目有利于同学们把“数” 与“形”联系起来思考，提高同学们综合运用知识的能力.例24 一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内， 0为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=5, OC=4.如图，将纸片沿 CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标.yc\a■% *E例25 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 A 、B 、D 的坐标分别是(O , O)、(5, O)和(2, 3).求：⑴顶点C 的坐标；⑵对角线AC BD 的交点E 的坐标.H4] 23 4 5 iB X例26 已知菱形ABCD 的边长为5, / BAD 是锐角，把它放在平面直角坐标系之中，并且使 AD 边在y 轴上，点A 在点D 的下方，这时点 C 的坐标为(4, 10).(1)求出顶点A 的坐标；(2)画出符合题意的图形.例27 一个正方形的两个顶点 O 和A 的坐标分别是(O , 0)和(4, O),请写出另外两个顶点的坐标.A .C 2B. £十、“天堑”变“通途”梯形是不同于平行四边形的一类特殊四边形，解决梯形问题的基本思路是通过添加辅助线，对梯形进行割补、拼接，使“天堑”变“通途”，从而转化为三角形、平行四边形问题，使看似不可能的问题得到解决，一般而言，梯形中常用的辅助线主要有以下几种.1.平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形和三角形，从而利用平行四边形的性质，将分散的条件集中到三角形中去，使问题顺利得解例 28 如图，梯形 ABCD 中 AD // BC, AD=2 cm , BC=7 cm, AB=4 cm ,求 CD 的取值范围.规律总结：通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到 一个三角形中去，从而为解题创造必要条件，这种方法很重要，需切实掌握.2 •延长两腰交于一点将梯形的两腰延长，使之交于一点，把梯形转化为大、小两个三角形，从而利用特殊 三角形的有关性质解决梯形问题.例29 如图，梯形 ABCD 中，AD / BC, / B=Z C,试说明梯形 ABCD 是等腰梯形.规律总结：延长两腰交于一点，可把梯形问题转化为三角形问题解决.3 .平移一条对角线从梯形一底的一个顶点向梯形外作对角线的平行线，与另一底的延长线相交，构成平 行四边形和特殊三角形（直角三角形、等腰三角形等）例30 （2007天津）在梯形ABCD 中，AD / BC,对角线 AC 丄BD,且AC=5 cm , BD=12 cm,则 梯形中位线的长等于（）4 •作高线从梯形一底的一个顶点（或两个顶点）向另一底作高线，将特殊梯形（等腰梯形、直角 梯形）转化成矩形和直角三角形.例31 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD// BC,Z C=45 , AD=3,梯形的高为 2,求梯形 ABCD 的面积.cmcmcm cm。
