2018年秋高中数学课时分层作业3排列与排列数公式新人教A版选修2_3

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（三）排列与排列数公式层级一学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2,3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1,2，3，4，5中选2个数组成集合解析：选A 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B、C、D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A．6 B．4C．8 D．10解析:选B 列树形图如下:丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．若A错误!＝132,则n等于( ）A．11 B．12C．13 D．14解析：选B 因为A2n＝132，所以n(n－1）＝132，n2－n－132＝0，所以n＝12或n＝－11(舍去）．4．已知A错误!－A错误!＝10，则n的值为（)A．4 B．5C．6 D．7解析：选B 因为A错误!－A错误!＝10,则（n＋1)n－n（n－1）＝10,整理得2n＝10，即n ＝5.5．从1,3，5,7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是（）A．9 B．10C．18 D．20解析：选C lg a－lg b＝lg错误!,从1,3,5,7，9中任取两个数分别记为a,b,共有A错误!＝20种，其中lg错误!＝lg错误!，lg错误!＝lg错误!，故其可得到18种结果．6．计算：错误!＝__________。

解析：因为A错误!＝7×6×A错误!，A错误!＝6×A错误!，所以原式＝错误!＝36.答案：367．从a，b，c，d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列．解析:画出树形图如下：可知共12个．答案：128．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．解析:将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来．分三类完成：第1类，挂1面旗表示信号，有A错误!种不同方法;第2类，挂2面旗表示信号，有A错误!种不同方法;第3类，挂3面旗表示信号,有A错误!种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A错误!＋A错误!＋A错误!＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．答案：159．（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本,共有多少种不同的送法？（2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学,每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A错误!＝7×6×5＝210种不同的送法．(2）从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理,共有不同的送法7×7×7＝343种．10．（1）解关于x的方程：错误!＝89；(2）解不等式:A错误!>6A错误!.解：（1）法一：∵A错误!＝x(x－1）(x－2)（x－3)（x－4)·(x－5）（x－6)＝（x－5）(x －6）·A错误!，∴错误!＝89。

排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题课时分层作业(三) 排列与排列数公式(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b 中的底数与真数．A ．①④B ．①②C ．④D ．①③④A [根据排列的概念知①④是排列问题．]2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )【导学号：95032030】A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个 C [符合题意的商有A 24＝4×3＝12.]3．计算A 67－A 56A 45＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．36 D [A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.] 4．给出下列4个等式：①n ！＝n ＋！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！n －m ！；④A m －1n －1＝n －！m －n ！， 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C.]5．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋…＋A 20182018，则S 的个位数字是( )【导学号：95032031】A．0 B．3C．5 D．8B[∵A55＝120，∴n≥5时A n n的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33.故S个位数字为3.]二、填空题6．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．3[因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A14＝4，A24＝12，A34＝A44＝24，即集合P中有3个元素．]7．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.【导学号：95032032】15 6 [15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.]8．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)1 680[将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A48＝8×7×6×5＝1 680(种)．]三、解答题9．判断下列问题是否是排列问题．(1)从2,3,5,7,9中任取两数作为对数的底数与真数，可得多少个不同的对数值？(2)空间有10个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这10个点共可组成多少个不同的四面体？(3)某班有10名三好学生，5名学困生，班委会决定选5名三好学生对5名学困生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？(4)若从10名三好学生中选出5名和5名学困生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？[解](1)对数的底数与真数不同，所得的结果不同，是排列问题．(2)四面体与四个顶点的顺序无关，不是排列问题．(3)选出的5名三好学生与5名学困生进行一帮一活动与顺序有关，是排列问题．(4)选出的5名三好学生与5名学困生组成一个学习小组与顺序无关，不是排列问题．10．解方程：A42x＋1＝140A3x.【导学号：95032033】[解] 根据排列数的定义，x 应满足，解得x ≥3，x ∈N *. 根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)．因为x ≥3，于是得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝234(舍去)． 所以原方程的解为x ＝3.[能力提升练]一、选择题1．满足不等式A 7n A 5n>12的n 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8B [由排列数公式得n ！n －！n －！n ！>12，则(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2(舍去)．又n ∈N *，所以n 的最小值为10.]2．若n ∈N *且n ＜20，则(27－n )(28－n )…(34－n )＝( )A ．A 827－nB ．A 27－n 34－nC ．A 734－nD ．A 834－n D [由排列数公式定义知，上式＝A 834－n ，故选D.]二、填空题3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)1 560 [A 240＝40×39＝1 560.]4．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条.【导学号：95032034】30 [易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线条数为A 26＝30.]三、解答题5．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．[解] (1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.令f ′(x )＞0，得x ＞3＋33或x ＜3－33， 所以函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )＜0，得3－33＜x ＜3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。

课时跟踪检测（三） 排列与排列数公式层级一 学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( ) A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B ．从40人中选5人组成篮球队 C ．从100人中选2人抽样调查 D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B 列树形图如下： 丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：选D 因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20． 4．计算：A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选DA 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36．5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( ) A ．6种 B ．30种 C ．360种D ．A 56种解析：选D 问题为6选5的排列即为A 56． 6．计算：5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348． 答案：3487．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个． 答案：128．由1,4,5，x 四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x ＝________．解析：当x ≠0时，有A 44＝24个四位数， 每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x ， 即24(1＋4＋5＋x )＝288． 解得x ＝2，当x ＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x ＝0不合题意，∴x ＝2． 答案：29．写出下列问题的所有排列． (1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长． 解：(1)四名同学站成一排，共有A 44＝24个不同的排列，它们是： 甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙； 乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲； 丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲； 丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A 25＝20种选法，形成的排列是： 12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5xA 5x ＝89；(2)解不等式：A x 9>6A x －29．解析：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89．∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90． 故x ＝－4(舍去)，x ＝15．法二：由A 7x －A 5xA 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！．∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！，∴(x －5)(x －6)＝90．解得x ＝－4(舍去)，x ＝15． (2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，∴2≤x ≤9，x ∈N *．化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0， 即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13． 又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *．故x ＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．12D ．24解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12．2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A ．n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D ∵A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A mn ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D ．3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．24解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C(n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确． 5．满足不等式A 7nA 5n>12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2．又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10． 答案：106．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．解析：画出树形图，如下：由树形图可知，共有11种不同的试种方案． 答案：117．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14．所以原有车站14个，现有车站16个．8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广． (1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080．(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2．令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 －∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33．。

课时作业(三)1．4×5×6×…(n－1)·n等于( )A．A4n B．A n－1nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.2．m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )A．A20m B．A21mC．A20m＋20D．A21m＋20答案 D解析m＋20最大，共21个数相乘．3．5A35＋4A24等于( )A．107 B．323C．320 D．348答案 D解析原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.4．A2n＋1与A3n的大小关系是( )A．A2n＋1>A3n B．A2n＋1<A3nC．A2n＋1＝A3n D．大小关系不确定答案 D解析A3n－A2n＋1＝n(n－1)·(n－2)－(n＋1)n＝n(n2－4n＋1)＝n[(n－2)2－3]．∵n≥3，∴n＝3时，n[(n－2)2－3]<0.即A3n<A2n＋1.n≥4时，n[(n－2)2－3]>0，即A3n>A2n＋1，因而选D.5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )A．6种B．30种C．360种D．A56种答案 D解析问题为6选5的排列即为A56.6．公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有( )A ．15种B ．24种C ．360种D ．480种答案 C7．把15人分成前、中、后三排，每排五人，则共有不同的排法种数为( ) A.A 1515A 33B ．A 515·A 510·A 55·A 33 C ．A 1515 D ．A 515·A 510答案 C 解析⎭⎪⎬⎪⎫前中后―→前中后，本质为一排！ 8．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )A ．A 88 B ．A 48 C ．A 44A 44 D ．2A 44答案 C9．用数字1,2,3,4,5这五个数字分别作为一个对数的底数和真数，可得到不同的对数值( )A ．20个B ．12个C ．13个D ．25个答案 C解析 真数不为1时，有A 24个，真数为1时，有1个．10．从单词“windows”中选3个不同的字母排成一排，含有“n ”的不同排列的个数为( )A ．21B ．60C ．126D ．210答案 B解析 A 36－A 35＝60或3×A 25＝60.11．某一条铁路线有30个车站、其中大站有5个，如果快车只停靠大站、慢车每站都停，试问铁路局要为这条线路准备________种车票．答案 890解析 分两类：A 25＋A 230＝20＋30×29＝890.12．化简：1n ！－1n ＋1！＋1n －1！＝________.答案n 2＋2nn ＋1！13．解下列方程或不等式： (1)A 42x ＋1＝140A 3x ； (2)A x 9>6A x －29.解析 (1)根据原方程，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)． ∵x ≥3，两边同除以4x (x －1)， 得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)， 即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝543(因x 为整数，应舍去)．∴原方程的解为x ＝3. (2)解原不等式即9！9－x ！>6·9！9－x ＋2！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，即(11－x )(10－x )>6，x 2－21x ＋104>0， (x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13. 但2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}． 14.将6名腰鼓队员排成一个三角形阵，如右图，有多少种不同的排法？ 答案 720种解析 本题实质上相当于6人站成一排，故共有A 66＝6！＝720种不同站法．15．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析 由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即 (n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14.所以原有车站14个，现有车站16个．►重点班选做题16．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数是( ) A．8 B．5C．3 D．0答案 C解析A n n(n≥5)的个位数恒为0.17．下列等式中不正确的是( )A．n！＝n＋1！n＋1B．A m n＝n A m－1n－1C．A m n＝n！n－m！D．A m－1n－1＝n－1！m－n！答案 D解析由排列数公式，得A m－1n－1＝n－1！n－m！，选D.18．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.答案 2解析(1＋4＋5＋x)·A44＝288，解得x＝2.。

高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业（含解析）新人教A版选修23知识点一排列的概念1.下列问题是排列问题吗？(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题．(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题．(3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题．知识点二排列的列举问题2.写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是： BADC ，BACD ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA 共14种.知识点三 排列数的计算3.A 67－A 56A 45＝( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．36答案 D解析 A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 4．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝________.答案 7 解析 原方程可化为n (n －1)＝7(n －4)(n －5)．解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝103舍去. 5．若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解 由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *，所以3n 2－17n ＋10＝0.解得n ＝5或n ＝23(舍去)． 所以n ＝5.6．求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n .证明 A m n －1＋m A m －1n －1＝n －1！n －1－m ！＋m ·n －1！n －m ！ ＝n －1！n －m ＋m n －m ！＝n ！n －m ！＝A m n .一、选择题1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；(2)10位同学去做春季运动会志愿者；(3)10位同学参加不同项目的运动会比赛；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案 B解析由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.2．20×19×18×…×9＝( )A．A1220 B．A1120 C．A1020 D．A920答案 A解析∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝A1220.3．已知A2n＝132，则n等于( )A．11 B．12 C．13 D．14答案 B解析A2n＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)．4．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋A20142014，则M的个位数字是( )A．3 B．8 C．0 D．5答案 A解析∵当n≥5时，A n n＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时A n n的个位数字为0，又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.5．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )A．20 B．16 C．10 D．6答案 B解析不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16种不同的选法．二、填空题6．A66－6A55＋5A44＝________.答案120解析原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．答案 252解析 三名主力队员排在第一、三、五位置有A 33种排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有A 27种排法，故共有A 33·A 27＝252种出场安排．8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题9．解下列各式中的n 值．(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2.解 (1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)，∴n 2－5n ＋6＝90， n 2－5n －84＝0即(n －12)(n ＋7)＝0，n ＝12或n ＝－7.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *，∴n ＝12.(2)∵A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2，∴n ！n －4！·(n －4)！＝42(n －2)！， ∴n (n －1)＝42， 即n 2－n －42＝0解得n ＝7或n ＝－6.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *.∴n ＝7.10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解 (1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A 35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A 26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 35·A 26＝1800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A 24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A 37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 24·A 37＝2520种．。

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课时作业 3 排列与排列数公式6．从a,b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是___________________________________________________________________________________________________________。

解析:画出树形图如下:可知共12个,它们分别是bac,bad，bae，bca,bcd,bce，bda，bdc，bde，bea，bec,bed.答案：12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce,bda，bdc，bde，bea，bec，bed7．5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为________．（用数字作答)解析:可分两步：第一步，某同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A错误!种方法;第二步，余下的四个同学全排列，有A错误!种不同的排法，根据分步乘法计数原理,所求的排法种数为A错误!A错误!＝96。

故填96。

答案：968．一次演出,因临时有变化,拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列,共有A错误!＝20种添加方法．答案:20三、解答题(每小题10分，共20分）9．判断下列问题是否是排列问题：(1）某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(3）会场有50个座位，要求选出3个座位安排3个客人就座,有多少种不同的方法?(4）某班有10名学生，假期约定每2人通电话一次，共需通电话多少次?解析:（1)是．选出的2人，担任正、副班长任意，与顺序有关,所以该问题是排列问题．(2)是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．（3)是．“入座"问题同“排队"一样，与顺序有关,故选3个座位安排3位客人是排列问题．(4）不是．通电话一次没有顺序,故不是排列问题．10．（1）从1,2,3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？（2)由1，2,3，4四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数?试全部列出．解析：（1）由题意作树形图，如图．故所有的两位数为12,13，14,21，23,24,31，32，34，41,42,43，共有12个．(2)直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：1234,1243,1324,1342，1423，1432，2134，2143，2314,2341，2413,2431,3124,3142，3214,3241，3412，3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321.共24个四位数．|能力提升|（20分钟,40分)11．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( ）A．8 B．12C．16 D．24解析：设车站数为n,则A错误!＝132，即n（n－1）＝132,解得n＝12(n＝－11舍去）．答案：B12．不等式A错误!－n〈7的解集为________．解析：由不等式A错误!－n<7，得（n－1)（n－2）－n<7,整理得n2－4n－5〈0，解得－1<n<5.又因为n－1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N＊，所以n＝3或n＝4,故不等式A错误!－n<7的解集为｛3，4}．答案:{3,4}13．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的三位数？解析：（1）三位数的每位上数字均为1，2，3，4,5，6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果，第二步,得十位数字，有5种不同结果，第三步,得个位数字,有4种不同结果,故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120（个）．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3，4，5，6六个数字中得一个,共有这样的三位数6×6×6＝216(个）．14．求满足n A3n>3A错误!且A错误!〈6A错误!的n的值．解析:两不等式可化为：错误!∵n－1>0，∴①式可化为n(n－2)〉3,即n2－2n－3〉0，∴n〉3或n<－1（舍去）．由②得：错误!<6·错误!.∴(8－n)（7－n）〈6，即：n2－15n＋50〈0，∴5〈n〈10。