第04章-机器人动力学

图4－8 第个连杆的旋转速度和重心的平移速度
刚体的运动能量，是由该刚体的平移构成的运 动能量，与该刚体的旋转而构成的运动能量之和 表示的。因此，图4－8中表示的连杆的运动能量， 可以用下式表示：
（4－19） mi 为质量， vci为在 式中，K i 为连杆的运动能量， 基准坐标系上表示的重心的平移速度向量，I i 为在 i 为在基准 基准坐标系上表示的连杆的转动惯量， 坐标系上表示的转动速度向量。
下面看一个例子来理解一下实际上如何使用虚 功原理。如图4－1所示，已知作用在杠杆一端的 力FA ，试用虚功原理求作用于另一端的力 FB 。假 设杠杆长度 L A ，LB 已知。
图4－1 杠杆及作用在它两端上的力
按照虚功原理，杠杆两端受力所作的虚功应
该是
FAx A FBx B 0
（4 － 1 ）
案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷
和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都
需要以机器人动力学模型为基础。
第二节 机器人的静力学 机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运 动时作用在手臂上的力和力矩问题，特别 是当手端与外界环境有接触力时，各关节 力矩与接触力的关系。
( FA LA FB LB ) 0
FA LA FB LB 0
因此得到
LA FB FA LA
（4－4）
当力 FA 向下取正值时， FB 则为负值，由于 FB 的正方向定义为向上，所以这时表明 FB 的方向是 向下的，即此时 FB 和 FA 的方向都朝下。
二、机器人静力学关系式的推导
则由式（4－10）可以得到驱动力如下
L2 A J FA L2
T
L1 f x L2 f x 0 0 L2 f x
L1 0 L1 f y f 0 y 0
将式（4－12）、（4－13）代入式（4－11）， 得到 2 m r N （4－14） 2 I m r 如 ，则式（4－14）就改写为 （4－15） 上式是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方 程式。与式（4－11）比较 I 相当于平移运动时 的质量，在旋转运动中称为惯性矩。
N I
1 1 T T K i mi vcivci i I ii 2 2
因为机器人的全部运动能量 K ，由各连杆的 运动能量的总和表示，所以得到 （4－20） 式中， n 为机器人的关节总数。其次我们来考 虑把作为机器人各关节速度的函数。这里 vci 与 i 分别表示如下：
i 1
K Ki
I dI r dV （4－18）
2
四、运动学、静力学、动力学的关系
如图4－5所示，在机器人的手爪接触环境时， 手爪力 的驱动力 的关系起重要作用，在静 F 止状态下处理这种关系称为静力学（statics）。
图4－5 手爪力的关节驱动力
在考虑控制时，就要考虑在机器人的动作中， 关节驱动力 会产生怎样的关节位置 、关节速 度 、关节加速度 ，处理这种关系称为动力 学（dynamics）。 对于动力学来说，除了与连杆长度 Li 有关之外， mi 还与各连杆的质量 ，绕质量中心的惯性矩 ， I Ci 连杆的质量中心与关节轴的距离 有关。如图 4 LCi －6所示。
L2 B J FB L2
T
从求解的结果看到，在这里驱动力的大小为 手爪力的大小和手爪力到作用线距离的乘积。
三、惯性矩的确定 动力学不仅与驱动力有关，还与绕质心的惯性 矩有关。下面以一质点的运动为例，了解惯性矩 的物理意义。 如图4－4所示，若将力 F 作用到质量为 m 的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量， 则可以表示为：
利用前面的虚功原理来推导机器人的静力学关系式。 如图4－2所示的机械手，要产生图（a）所示的虚位 移，推导出图（b）所示各力之间的关系式。这一推导方 法本身也适用于一般的情况。
图4－2 机械手的虚位移和施加的力
假设 ： T m1 手爪的虚位移为 r r1 ,, rm , R 关节的虚位移为 1 ,, n T , R n1 T m1 手爪力为 F f1 ,, f m , R T n1 关节驱动力为 1 ,, n , R 如果施加在机械手上的力作为手爪力的 反力（ F 用来表示）时，机械手的虚功可 表示为： T T （4－5） W (F ) r
图4－3 求生成手爪力或的驱动力
由关节角给出如下姿态
L1 sin 1 L2 sin(1 2 ) L2 sin(1 2 ) L2 J L1 cos1 L2 cos(1 2 ) L2 cos(1 2 ) L1 L2 0
1 n ( i )T ( i ) ( i )T (i ) T J L q T J A )（4－25） K (mi q JL q Ii J A q 2 i 1
令
( i )T ( i ) ( i )T (i ) H (mi J L JL JA Ii J A ) i 1 n
• 简单的讲： • 动力学正问题是——根据关节驱动力矩或力，计 算机器人的运动(关节位移、速度和加速度)； • 动力学逆问题是——已知轨迹对应的关节位移、 速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。 • 不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、 饱和等因素时，n 自由度机器人动力方程为n个二 阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力/力矩、 哥氏力/力矩、离心力/力矩及重力/力矩，是一个 耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力 学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日 (Lagrange)方法、牛顿一欧拉(Newton—Euler)、 高斯(Gauss)、凯恩(Kane)、旋量对偶数、罗伯 逊一魏登堡(Roberson—Wittenburg)等方法。
一、虚功原理 在介绍机器人静力学之前，首先要说明一下 静力学中所需要的虚功原理（principle of virtual work）。 约束力不作功的力学系统实现平衡的必要且 充分条件是对结构上允许的任意位移（虚位移） 施力所作功之和为零。这里所指的虚位移 （virtual displacement）是描述作为对象的系统 力学结构的位移，不同于随时间一起产生的实际 位移。为此用“虚”一词来表示。而约束力 （force of constraint）是使系统动作受到制约的 力。
图4－6 与动力学有关的各量
运动学、静力学和动力学中各变量的关系如 图4－7所示。图中用虚线表示的关系可通过实线 关系的组合表示，这些也可作为动力学的问题来 处理。
图4－7 运动学、静力学、动力学的关系
第三节 机器人动力学方程式
一、机器人的动能与位能 1．动能 为了导出多关节机器人的运动方程式，首先要 了解机器人的动能和位能。先看图4－8所表示的 第个连杆的运动能量。
为此，如果应用虚功原理，则得到
(F ) r 0
T T
（4－6）
这里，手爪的虚位移 r 和关节的虚位移 之 间的关系，用雅克比矩阵表示为
r J
（4－7）
把式（4－7）代入式（4－6），提出公因 数 ，可得到下式 （4－8） ( T F T J ) 0
(i ) (i ) (i ) JL JL J 1 Li 0 0
(i ) A


（4－23） （4-24）
J
J

(i ) A1
J 0 0
(i ) Ai

在式（4－23）和式（4－24）中，包含着0分量， i 这是因为第 个连杆的运动与其以后的关节运动 是无关的。
现在将式（4－21）和式（4－22）代进式（4 －19）和式（4－20），机器人的运动能量公式可 以写成
由于这一公式对任意的 都成立，因此得到 下式成立
F J 0
T T
（4－9）
进一步整理，把式中第二项移到等式右边，并 取两边的转置，则可得到下面的机械手静力学关 系式
JTF
（4－10）
上式表示了机械手在静止状态为产生手爪力 F 的驱动力 。
为了加深理解，下面分别求解图4－3所示的2 自由度机械手在图示位置时，生成手爪力 FA f x 0T 或 FB 0 f y T 的驱动力 A 或 B 。图示 为 1 0(rad) ， 2 / 2(rad) 时的姿态。
n
(i ) vci J L q
(i ) i J A q
（4－21） （4－22）
(i ) J 式中， L 是与
i 第个连杆重心位置的平移速度
(i ) 相关的雅可比矩阵，J A 是与 i 第个连杆转动速度 相关的雅可比矩阵。为了区别于与指尖速度相关 的雅可比矩阵，在上面标明了注角（i）。
正动力学问题。即机器人各执行器的驱动力或 力矩为已知，求解机器人关节变量在关节变量空间 的轨迹或末端执行器在笛卡尔空间的轨迹，这称为 机器人动力学方程的正面求解，简称为正动力学问 题。 逆动力学问题。即机器人在关节变量空间的轨迹 已确定，或末端执行器在笛卡尔空间的轨迹已确定 （轨迹已被规划），求解机器人各执行器的驱动力 或力矩，这称为机器人动力学方程的反面求解，简 称为逆动力学问题。
（4－26）
则机器人的运动能量公式（4－25）写为 1 T （4－27） Hq质量连续分布的物体，求解其惯性矩， 可以将其分割成假想的微小物体，然后再把每个 微小物体的惯性矩加在一起。这时，微小物体的 质量 dm及其微小体积 dV 的关系，可用密度 表 示为 （4－16） dm dV 所以，微小物体的惯性矩 dI ，依据式 ， 可以写成 I m r2 2 2 dI dmr r dV （4－17） 因此，整个物体的惯性矩通过积分求得如下：
F m x
（4－11）