高三九月月考—数学文

双流中学2021届高三数学9月月考试题 文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日第一卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕{}2|2A x x =<，那么R C A =〔 〕A. {}|22x x -≤B. {|2x x ≤-或者}2xC. {}|22x xD. {|2x x -或者x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A ，即可求出其补集.【详解】因为{}{22A x x x x =<=<<，所以{R C A x x =≤x ≥.应选D【点睛】此题主要考察集合补集运算，考察运算求解才能，熟记概念即可，属于根底题型.(1i)2i z +=，那么z =〔 〕A. 1i --B. 1+i -C. 1i -D. 1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法那么求解即可.【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．应选D ． 【点睛】此题考察复数的商的运算，浸透了数学运算素养．采取运算法那么法，利用方程思想解题．,a b 为非零向量，那么“//a b 〞是“,a b 方向一样〞的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的一共线的充要条件，即可作出断定，得到答案．【详解】因为,a b 为非零向量，所以//a b 时，,a b 方向一样或者相反， 因此“//a b 〞是“,a b 方向一样〞的必要而不充分条件. 应选B ．【点睛】此题主要考察了充要条件和必要条件的判断，以及向量一共线的充要条件，属根底题.其中解答中熟记利用向量一共线的充要条件是解答的关键，着重考察了推理与判断才能．()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为〔 〕A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法那么，可得f〔x〕=ln x+x-3在〔0，+∞〕上是增函数，再通过计算f〔1〕、f〔2〕、f〔3〕的值，发现f〔2〕•f〔3〕＜0，即可得到零点所在区间．【详解】解：∵f〔x〕=ln x+x-3在〔0，+∞〕上是增函数f〔1〕=-2＜0，f〔2〕=ln2-1＜0，f〔3〕=ln3＞0∴f〔2〕•f〔3〕＜0，根据零点存在性定理，可得函数f〔x〕=ln x+x-3的零点所在区间为〔2，3〕应选：C．【点睛】此题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考察了根本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于根底题．5.4cos25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么cos2α=〔〕A. 725B.725- C.2425D.2425-【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得sinα的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合诱导公式可得：4 sin cos25παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭，那么2247 cos212sin12525αα⎛⎫=-=-⨯=-⎪⎝⎭.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察诱导公式、二倍角公式的应用，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.()ln f x x x =的图象可能是〔 〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】函数的定义域{}|0x x ≠关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：()()ln ln f x x x x x f x -=-⨯-=-=-， 那么函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当0x >时，()ln f x x x =，那么()1'ln ln 1f x x x x x=+⨯=+， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，即函数()f x 在区间()0,∞+内先单调递减，再单调递增，据此可排除B 选项， 此题选择A 选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．a ，b 满足2a ||=，1b ||=，且2b a +||=，那么向量a 与b 的夹角的余弦值为〔 〕B.3【答案】D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===此题正确选项：D【点睛】此题考察向量夹角的求解问题，关键是可以通过平方运算求得向量的数量积.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法.如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入n ，x 的值分别为3，2，那么输出v 的值是A. 9B. 18C. 20D. 35【答案】B 【解析】试题分析：因为输入的2,3x n ==,故1,2v i ==,满足进展循环的条件,4,1v i ==,满足进展循环的条件,9,0v i ==,满足进展循环的条件,18,1v i ==-,不满足进展循环的条件,故输出v 的值是18,应选B.考点：1、程序框图；2、循环构造.sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔 〕A. 3x π=B. 6x π=C. 12x π=D.12x π=-【答案】C试题分析：将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位得到sin 2sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令232122k x k x πππππ+=+∴=+，当0k =时得对称轴为12x π=考点：三角函数性质()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，那么实数k 的取值范围是〔 〕A. (],2-∞-B. (],1-∞-C. [)2,+∞D.[)1,+∞【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．应选：D ． 考点：利用导数研究函数的单调性.2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，假设12PF Q π∠=，那么C 的离心率e 为〔 〕21221D.22+【解析】 【分析】由题意得到关于a ,c 的齐次式，然后求解双曲线的离心率即可.【详解】由双曲线的通径公式可得22b PF a=，由12PFQ π∠=结合双曲线的对称性可知1PFQ △是等腰直角三角形， 由直角三角形的性质有：212PF F F =，即：22b c a =，据此有：222c a ac -=，2210e e --=，解得：1e =±双曲线中1e >，故C 的离心率e 1. 此题选择C 选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．()()1122x xf x x R -⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出五个命题其中真命题是〔 〕①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 在R 上具有单调性；③函数()1f x -的图象关于y 轴对称；④函数()f x 的最大值是0.A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④【答案】D【分析】①根据奇函数的定义进展判断； ②根据函数单调性的性质进展判断； ③根据偶函数的定义进展判断； ④根据函数单调性和最值关系进展判断．【详解】解：①1111()()2222x x x xf x f x --⎡⎤-=-=--=-⎢⎥⎣⎦（）（）（）（） 那么函数()f x 是奇函数，那么函数()f x 的图象关于原点对称；故①正确，②111()2222x x xx f x -=-=-（）（）（）为减函数，故函数()f x 在R 上具有单调性；故②正确，③1111(1)22x x f x ----=-（）（），那么设1111()(1)22x x g x f x ---=-=-（）（）那么11111111()2222x x x x g x -----+-+-=-=-（）（）（）（）那么()()g x g x -≠，那么()g x 不是偶函数，那么函数(1)f x -的图象关于y 轴不对称；故③错误，④函数11()22xxf x -=-（）（）为偶函数，且当0x ≥时为减函数， 故当0x =时，函数获得最大值，最大值为011(0)11022f -=-=-=（）（），故④正确， 故正确的选项是①②④， 应选：D ．【点睛】此题主要考察命题的真假判断，涉及函数奇偶性的判断和应用，以及函数最值和单调性的关系，综合性较强，有一定的难度．第二卷二、填空题：〔每一小题5分，一共20分〕()()22log f x x a =+，假设()31f =，那么a =________．【答案】-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考察的是有关某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于根底题目.x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，那么2z x y =+的最大值为__________．【答案】8 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后确定目的函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的可行域如下图，结合目的函数的几何意义可得目的函数在点()4,2B 处获得最大值， 其最大值为：max 4228z =+⨯=.【点睛】求线性目的函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.15.等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，3S =74，6S =634，那么8a =_____．【答案】32 【解析】由题意可得1q ≠，所以3136167(1)1463(1)14a S q q a S q q ⎧=-=⎪-⎪⎨⎪=-=⎪-⎩两式相除得63319,8,2,1q q q q -===-代入得751811,()223244a a ==⨯==，填32。

2021年高三9月月考试题数学文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．请将答案填在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|（x＋3）（x－1）＜0}，N＝{x|x≤－3}，则C R（M∪N）＝（）A．{x|x≤1} B．{x|x≥1}C．{x|x＜1} D．{x|x＞1}2．函数的反函数是（）A．B．C．D．3．条件甲“a＞1”是条件乙“a＞a”成立的（）A．既不充分也不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件4．下列选项错误的是（）A．命题“若，则．”的逆否命题为“若，则．”B．“”是“”的充分不必要条件C．命题：存在,使得，则：任意,都有D．若且为假命题，则、均为假命题5．函数与在同一直角坐标系中的图象是（）6．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．357．已知等差数列中，公差为1，前7项的和，则的值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．设a∈R，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．设，，，则（）A．B．C．D．10．设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（）A．B．C．D．11．若方程有三个相异实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上．答在试卷上的答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数是奇函数，则_________．14．对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是_________．15．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0．9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为（用数字作答）．16．关于函数（R）的如下结论：①是奇函数；②函数的值域为（－2,2）；③若，则一定有；④函数在R上有三个零点．其中正确结论的序号有．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）记函数的定义域为A，的定义域为B．（1）求集合A；（2）若，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为,且对任意正整数,都有是与的等差中项．（1）求证:数列为等比数列；（2）求数列的前项和．19．（本小题满分12分）函数在闭区间的最大值记为．（1）试写出的函数表达式；（2）若，求出的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数=（a＞1）．（1）求的定义域、值域，并判断的单调性；（2）解不等式＞．21．（本小题满分12分）已知函数，曲线在处的切线为l：．（1）若时，函数有极值，求函数的解析式；（2）若函数，求的单调递增区间（其中）．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）设，求函数在上的最大值和最小值；（2）设在区间中至少有一个极值点，求的取值范围．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．14．15．0．9477 16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）A= ……………………5分（2），由得B=因为，所以即……………………10分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：是与的等差中项，①于是②①-②得，即，当时，．所以是以2为首项，2为公比的等比数列．…………………6分（2）．……………………12分19． （本小题满分12分）解：（1）．①当，即时，； ②当，即时，； ③当时，即时，； ④当时，．综上： …………………6分 （2）当，解得或， 又，取交得； 当，解得或， 又，取交得．综上：的取值范围是或． ……………………12分 20． （本小题满分12分）解：（1）为使函数有意义,需满足a －a x ＞0,即a x ＜a ,又a ＞1,∴x ＜1． 故函数定义域为（－∞,1） ．又由＜=1∴f （x ）＜1．即函数的值域为（－∞,1） ． 设x 1＜x 2＜1,则f （x 1）－f （x 2）=－=＞=0,即f （x 1）＞f （x 2） ． ∴f （x ）为减函数． …………………6分 （2）设y =,则a y =a －a x , ∴a x =a －a y ,∴x =． ∴f （x ）=的反函数为=． 由＞f （x ）,得,∴ 解得－1＜x ＜1．故所求不等式的解为－1＜x ＜1． ……………………12分 21． （本小题满分12分）解：（1）由f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′（x ）＝3x 2＋2ax ＋b ．当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0． ① 当x ＝23时，y ＝f （x ）有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0． ② 由①、②解得a ＝2，b ＝－4． 由于l 上的切点的横坐标为x ＝1， ∴f （1）＝4． ∴1＋a ＋b ＋c ＝4． ∴c ＝5．则f （x ）＝x 3＋2x 2－4x ＋5． …………………6分（2）由（1）得，， ．则)23)((23)(22'a x a x a ax x x h -+=-+=． ①当时，恒成立，在R 上单调递增； ②当时，令，解得或， 的单调递增区间是和； ③当时，令，解得或的单调递增区间是和． ……………………12分 22．（本小题满分12分）解：（1）当时令f ′（x ）＝0，得x ＝或x ＝． 1∴f （x ）在[0，5]上的最大值为16，最小值为．（2），而在区间中至少有一个极值点将等价于方程在其判别式（即或）的条件下在区间有解． ∴由，令，因为在上单调递增， ∴，则，此时满足，故的取值范围是．34977 88A1 袡ji21135 528F 劏39804 9B7C 魼I25685 6455 摕40250 9D3A 鴺39080 98A8 風25600 6400 搀1+335339 8A0B 訋。

数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。

靖远一中2021届高三9月月考试卷高三文科数学考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，那么()f x 在区间()1,3上的最小值是〔 〕A ．83B ．116C ．113 D ．532．()21i =1i z-+〔i 为虚数单位〕，那么复数z =〔 〕 A ．1i -- B ．1i - C ．1i -+ D ．1i +3．如表是我国某城在2021年1月份至10月份个月最低温与最高温〔C ︒〕的数据一览表．月份12345678910制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日级 姓名 准考证号 考场号 座位号最高温599 1117 24 27 30 31 21 最低温 12- 3- 12-71719232510该城的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，那么以下结论错误的选项是〔 〕A ．最低温与最高位为正相关B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差〔最高温减最低温〕的最大值出如今1月D ．1月至4月的月温差〔最高温减最低温〕相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，假设11a =，那么4s =〔 〕 A ．7B ．8C ．15D ．165．函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()210f x x x=+>，那么()1f -=〔 〕 A ．2- B ．0 C ．1D ．26．执行如下图的程序框图，假如输入的0.01t =，那么输出的n =〔 〕 A ．5B ．6C ．7D ．87．集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，那么()R C P Q =〔 〕A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]8．()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3π，那么⋅=a b 〔 〕 A ．2B ．3C ．4D ．59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小间隔 与其到直线1x =-的间隔 相等，那么P 点的轨迹方程是〔 〕A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10．某四面体的三视图如下图，那么该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是〔 〕 A ．2B ．4C ．25+D ．425+11．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，那么FM FN ⋅=〔 〕 A ．5B ．6C ．7D ．812．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 中点，点F 是11B C 中点，假设正方体1111ABCD A B C D -的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且3GH =，假设点Q 是棱1BB 上一个动点，那么1AQ D Q +的最小值为〔 〕 A ．6B ．310C ．622+D ．612+第二卷二、填空题：〔本大题一一共4题，每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13．设x ，y 满足约束条件1400x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，那么3z x y =-的取值范围为__________．14．某有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，那么他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列{}n a 中，113a =，()113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13n n b a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，12n n S b b b =+++，那么13n n n P S ++=__________．16．平面直角坐标内定点()1,0A -，()1,0B ，()4,0M ，()0,4N 和动点()11,P x y ，()22,Q x y ，假设1AP BP ⋅=，1122OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中O 为坐标原点，那么QP 的最小值是__________．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．〔12分〕在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=． 〔1〕证明：sin sin sin A B C =；〔2〕假设22265b c a bc +-=，求tan B ．18．〔12分〕如图，在平行四边形ABCM中，3AB AC==，90ACM∠=︒，以AC为折痕将ACM△折起，使点M到达点D的位置，且AB DA⊥．〔1〕证明：平面ACD⊥平面ABC；〔2〕Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且23BP DQ DA==，求三棱锥Q ABP-的体积．19．〔12分〕某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据〔单位：3m 〕和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)001，．[)0102．，． [)0203．，． [)0304．，． [)0405．，． [)0506．，． [)0607．，． 频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)001，．[)0102．，． [)0203．，． [)0304．，． [)0405．，． [)0506．，． 频数1 5 13 10 16 5〔1〕在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： 〔2〕估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；〔3〕估计该家庭使用节水龙头后，一年能节多少水？〔一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．〕20．〔12分〕中心在原点O ，左、右焦点分别为1F ，2F 焦距为A ，B 是椭圆上两点．〔1〕假设直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；〔2〕动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，求动点P 的轨迹方程．21．〔12分〕函数()21exax x f x +-=． 〔1〕求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； 〔2〕证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．22．〔10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x ty at=⎧⎨=⎩〔t为参数〕，曲线1C的方程为()4sin12ρρθ-=，定点()6,0A，点P是曲线1C上的动点，Q为AP的中点．〔1〕求点Q的轨迹2C的直角坐标方程；〔2〕直线l与曲线2C相交于B，C两点，假设BC≥a的取值范围．23．〔10分〕【选修4-5：不等式选讲】 函数()2f x x a x =++-．〔1〕当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；〔2〕假设()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．高三文科数学答 案一、选择题． 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】C二、填空题． 13．【答案】[]2,4- 14．【答案】1415．【答案】316．三、解答题．17．【答案】〔1〕见解析；〔2〕4． 【解析】〔1〕根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，那么sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sinsin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． 〔2〕由，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==．所以4sin 5A ==．由〔1〕，sin sin sin cos cos sin AB A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．【答案】〔1〕见解析；〔2〕1．【解析】〔1〕由可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥．又BA AD ⊥，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．〔2〕由可得，3DC CM AB ===，DA =23BP DQ DA ==，所以BP =QE AC ⊥，垂足为E ，那么13QE DC ∥．由及〔1〕可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =．因此，三棱锥Q ABP -的体积为1111322sin451332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．19．【答案】〔1〕见解析；〔2〕0.48；〔3〕()347.45m ． 【解析】〔1〕如以下图〔2〕根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为 0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48． 〔3〕该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节水()()30.480.3536547.45m -⨯=．20．【答案】〔1〕2234x y +=；〔2〕(2233033x y x +=≠．【解析】〔1〕设椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，由2222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆方程为2213x y +=．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得()()222136310k x kmx m +++-=．∴122613km x x k -+=+，()21223113m x x k-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()()22222316101313m km k km m k k --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，即224330m k --=． ∵AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r =，那么222314m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB方程为x =满足上述方程．综上，所求圆的方程为2234x y +=． 〔2〕设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩又直线OA ，OB 的斜率积为13-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=． ∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，222213xy +=联立得121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，2x =x =±同理OB斜率不存在时，x =±，∴P点的轨迹方程为(22330x y x +=≠． 21．【答案】〔1〕210x y --=；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕()()2212exax a x f x +-'-+=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．〔2〕当1a ≥时，()()21e 1e e x x f x x x +-+≥+-+．令()211e x g x x x +≥+-+，那么()121e x g x x +≥++'．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()()10g x g ≥-=．因此()e 0f x +≥．22．【答案】〔1〕()()22314x y -+-=；〔2〕30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】〔1〕由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ． 由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22314x y -+-=． 〔2〕直线l 的普通方程为y ax =，解得304a ≤≤， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．【答案】〔1〕][(),43,-∞-+∞；〔2〕[]2,0-． 【解析】〔1〕当3a =时，()213532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥，解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥， 所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞．〔2〕()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021年高三9月月考数学文试题 Word 版含答案一、选择题（将唯一正确答案序号填在题后括号内）（本题共10道小题，每小题5分，共50分1. 已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2. 设，，，则（ ）． ． ． ．3. 设定义在R 上的函数是最小正周期为2π的偶函数，是的导函数．当x ∈[0,π] 时，0＜＜1； 当x ∈（0，π） 且时 ，＞0 ．则函数在[-2π，2π] 上的零点个数为（ ）A ．2B ．4C ．5D ． 84. 已知函数，动直线与的图象分别交于点P 、Q ，则|PQ|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[0，]C ．[0，2]D ．[1，]5. 已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4a b a b πααα=-=-且，则等于（ ）A.3B.-3C.D. 6. 上的奇函数满足，当时，，则（ ）A. B. C. D. 7. 函数的一个零点所在的区间为（ ） A ．（0,1） B ．（1,2） C ．（2,3） D ．（3,4）8..已知,点在内, ,若,则( )A. B. C. D. 9. 已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）. 对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”. 现有定义在上的如下函数：①， ②， ③， ④，则为“保比差数列函数”的所有序号为 …（ ） A ． ①②． B ． ③④． C ． ①②④． D ． ②③④ ．10. 设函数()(sin cos ),02012,xf x e x x x π=-≤≤若则函数f （x ）的各极大值之和为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题（将正确答案填在横线上）（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11. 下列5个判断：①若在上增函数，则；②函数只有两个零点；③函数的值域是；④函数的最小值是1；⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称。

其中正确命题的序号是 。

12. 已知各项均为正数的数列满足且则数列的通项公式为 ．13. 给出一列三个命题：①函数为奇函数的充要条件是；②若函数的值域是R ，则；③若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称．其中正确的命题序号是 ． 14. 已知，，若，或，则m 的取值范围是_________。

2021-2022年高三9月月考数学文试题含答案一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填填写在答题卷上)1.设集合,，则等于（）A． B． C． D．2. 已知，则“是的等比中项”为“是的等差中项”的 ( )A．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3．已知复数是虚数单位，则复数的虚部是 ( )A． B． C． D．4. 函数的定义域为（）A. B.C. D.5. 右面的程序框图输出S的值为（）A．2 B.6 C．14 D.306.函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）7.某同学根据自己的样本数据研究变量之间的关系，求得，对的线性回归方程为.请你根据已知数据估计当时的值为（）A.1.5B.1.6C.1.7D.1.88.函数与在同一直角坐标系下的图像大致是( ）9．对于任意，则满足不等式的概率为（）A. B. C. D. 开始否是输出结10．定义在上的函数为偶函数且关于对称，当时，，则=+⋅⋅⋅+++)9()2()1()0(f f f f （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3第Ⅱ卷（主观题 共100 分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分,把答案写在相应位置上）11.对数函数2014)2013(log 2++=x y 的恒过定点为 。

12. 已知，且，则 。

13.已知为钝角，且，则 。

14.已知函数，则15. 已知函数, 若, 则实数的取值范围 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.（本题满分13分）设函数x x x x x f cos )cos(3cos sin )(π+-=17、（本题满分13分）在中，内角对边分别是，已知向量1),2sin 2,2(cos ),2sin ,2cos 2(-=⋅-==→→→→n m A A n A A m . (1)求的值；(2)若，求的值.18.（本题满分13分)某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50人身材均介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……，第八组，并按此分组绘制如下图所示的频率分布直方图，其中，第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人。

2021年高三数学9月月考试题文（含解析）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励.第1卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M={1,2,3}，N={x|），则=( )A．{3} B．{2,3} C．{1,3} D．{1,2,3}【知识点】解不等式；集合运算. E1 A1【答案解析】A 解析：N={x|x>2}，所以={3}，故选A.【思路点拨】解出集合N中的不等式，从而求得.【题文】2．已知等比数列{}满足：．等，则=( )A． B． C．± D．±【知识点】等比数列的性质. D3【答案解析】B 解析：，所以，所以cos=，故选B.【思路点拨】由等比数列的性质得，所以cos=.【题文】3．已知，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】诱导公式；二倍角公式. C2 C6【答案解析】D 解析：由得，所以，故选D.【思路点拨】由诱导公式得，再由二倍角公式得.【题文】4．已知命题，命题,则( )A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题【知识点】基本逻辑连结词及量词. A3【答案解析】C 解析：因为命题p是真命题，命题q是假命题，所以命题是真命题，所以命题是真命题，故选C.【思路点拨】先判断题干中各命题的真假，再确定正确选项.【题文】5．若x>0, y>0且，则的最小值为( )A．3 B． C．2 D．3+【知识点】基本不等式求最值. E6【答案解析】D 解析：因为，所以x=-2y+1,即x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立，故选D.【思路点拨】由已知条件得到x+2y=1，又x>0, y>0，所以=（x+2y）（）=3+，当且仅当时等号成立.【题文】6．函数的大致图象是( )【知识点】导数的应用. B12【答案解析】B 解析：因为函数的定义域，所以得，经检验在上递增，在上递减，且最大值，故选B.【思路点拨】利用导数确定函数的单调性和最大值，从而求得正确选项.【题文】7．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点( ) A． B． C． D．【知识点】奇函数定义；函数零点的意义. B4 B9【答案解析】C 解析：因为是函数的一个零点，所以，把，代入个选项得，选项C中，成立，故选C.【思路点拨】由已知得，把，代入个选项得，选项C正确.【题文】8．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知，，则cosA=( ) A． B． C． D．【知识点】解三角形. C8【答案解析】A 解析：由已知得，代入得，故选A.【思路点拨】根据已知条件可得a,b关于c的表达式，将其代入得所求结果.【题文】9．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最大值是( )A．6 B．0 C．2 D．【知识点】线性规划. E5【答案解析】A 解析：画出可行域，由可行域面积为4得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6，故选A.【思路点拨】画出可行域，根据已知得a=2，平移目标函数为0的直线y=2x，得使目标函数取得最大值的最优解是点（2，-2），所以的最大值是6.【题文】10．在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则 cos A = ( ) A．0 B． C． D．【知识点】向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案解析】D 解析：AC=b, ,则AB=2b,根据题意得：= ,同理,因为，所以,整理得,即,所以，故选D.【思路点拨】把已知中涉及到的线段所对应的向量，都用向量表示，再用，得向量间的等量关系，从而求得cos A的值.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小l15分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．【题文】11．已知，其中i为虚数单位，则=____________.【知识点】复数的运算. L4【答案解析】5 解析：由得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【思路点拨】利用复数乘法变形已知等式，得，所以a=2,b=3,所以a+b=5.【题文】12．已知等差数列{}的前n项和为，若，则=____________.【知识点】等差数列的性质及前n项和公式. D2【答案解析】36 解析：由已知得，所以.【思路点拨】利用等差数列的性质及前n项和公式求解.【题文】13.已知为单位向量，,则____________.【知识点】向量的坐标运算. F2【答案解析】23 解析：设，因为为单位向量，所以①，又,所以②，由①②得3x+4y=23,所以3x+4y=23.【思路点拨】设，利用已知得到关于x,y的方程组求得x,y的值，或x,y的关系，代入关于x,y的表达式即可.【题文】14．设m，n，p∈R，且，，则p的最大值和最小值的差为__ __．【知识点】直线与圆有公共点的条件. H4【答案解析】解析：把m,n看成变量p看成字母常数，则方程有解的条件是，把直线代入圆消去n整理得：,由判别式得，解得，所以p的最大值和最小值的差为.【思路点拨】把m,n看成变量p看成字母常数，利用直线与圆有公共点的条件得p的最大值与最小值，从而求得p的最大值和最小值的差.【题文】15．函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤>-=,1)21(2,2sin2),1(log)(2015xxxxxxfxπ，若a,b,c,d是互不相等的实数，且，则a+b+c+d的取值范围为___ .【知识点】分段函数. B1【答案解析】(4，xx) 解析：设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得：当m趋向于0时，a、b都趋向于0，c、d都趋向于2，a+b+c+d趋向于0+0+2+2=4；当m趋向于1时，a趋向于-1，b、c都趋向于1，而d趋向于xx，a+b+c+d趋向于-1+1+1+xx=xx，所以a+b+c+d的取值范围为(4，xx).【思路点拨】作函数的图像，设=m，a<b<c<d，由函数的图像可知，平移直线y=m可得结论. 三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（13分）等差数列{}满足：，，其中为数列{}前n项和．(I)求数列{}通项公式；(II)若，且，，成等比数列，求k值．【知识点】等差数列；等比数列. D2 D3【答案解析】（Ⅰ）n；（Ⅱ）4. 解析：（Ⅰ）由条件，；（Ⅱ），∵22329(21)4 k k ka a S k k k k k=⋅⇒=⋅+⇒=．【思路点拨】（Ⅰ）把等差数列的通项公式、前n项和公式，代入已知等式得关于的方程组，求得，进而求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式、前n项和公式，求得，，，代入得关于k的方程解出k值.【题文】17．（13分）某中学高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次预赛他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？(II)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．【知识点】茎叶图；一组数据的数字特征；古典概型；I2 K2【答案解析】(Ⅰ)x=5，y=6，，，应选甲班参加；(Ⅱ) .解析：(Ⅰ)甲班的平均分为1748284(80)908355xx x+++++==⇒=，易知．；又乙班的平均分为，∴；∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．(Ⅱ) 分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为，从这人中抽取人的选法有：，共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为.【思路点拨】(Ⅰ)根据平均数、中位数、方差的计算公式求得各值，通过比较平均数、方差得选派参加比赛的班；(Ⅱ) 分及以上甲班有人，乙班有人，用列举法写出，从这人中抽取人的选法共种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为. 【题文】18．（13分）已知函数(I)当a=2时，求曲线在点A(1，f（1）)处的切线方程；(II)讨论函数f(x)的单调性与极值．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.解析：（Ⅰ）时，，，∴，又，故切线方程为：即.（Ⅱ）函数的定义域为，令①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求得曲线在点A处切线的斜率，从而写出切线方程；（Ⅱ）先确定函数的定义域，再求函数的导函数，由导函数大于0得，所以，①当时，在上单调递增，无极值；②当时，在上单调递减，在上单调递增，，无极大值.【题文】19．（12分）设函数)0(41coscos)6sin()(2>-+⋅-=ϖϖϖπϖxxxxf图像上的一个最高点为A，其相邻的一个最低点为B，且|AB|=．(I)求的值；(II)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+c=2，，求的值域．【知识点】函数的图像与性质；解三角形. C4 C8【答案解析】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 解析：(Ⅰ) ，由条件得，.(Ⅱ)由余弦定理：bcbccbAbccba343)(cos22222-=-+=-+=又，故，又，故由，，所以的值域为.【思路点拨】(Ⅰ)由二倍角公式、两角和与差的三角函数得，再由相邻最高点与最低点间距离为得周期T=2，从而求得的值；(Ⅱ)由已知条件及余弦定理得，又，故，又，故，由，，所以的值域为：.【题文】20.（12分）已知数列{}的前n 项和为，且满足．(I)证明：数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；(II)数列{}满足，其前n 项和为，试求满足的最小正整数n ．【知识点】数列综合问题. D5【答案解析】（Ⅰ）证明数列为等比数列.略, ；（Ⅱ）8.解析：（Ⅰ）当时，；当时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即（），且，故为等比数列（）.（Ⅱ）设 ………………① 23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… …………② ①②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴， ∴，21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数【思路点拨】（Ⅰ）利用公式将已知递推公式转化为关于的递推公式，从而证得数列为等比数列，由此进一步求得；（Ⅱ）由条件求得，从而求得数列的前n 项和，所以21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数.【题文】21.（12分）对于函数与常数a ，b ，若恒成立，则称（a ，b ）为函数的一个“P 数对”：设函数的定义域为，且f(1)=3．(I)若（a ，b ）是的一个“P 数对”，且，，求常数a ，b 的值；(Ⅱ)若(1，1)是的一个“P 数对”，求；(Ⅲ)若()是的一个“P 数对”，且当时，，求k 的值及在区间上的最大值与最小值．【知识点】函数综合问题. B14【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．解析：（Ⅰ）由题意知，即，解得：（Ⅱ）由题意知恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列故，又，故．（Ⅲ）当时，，令，可得，解得，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．【思路点拨】（Ⅰ）根据“P数对”的定义及已知得，关于a,b的方程组，求得a,b值；（Ⅱ）因为(1，1)是的一个“P数对”，所以恒成立，令，可得，∴是公差为1的等差数列，因为，故.（Ⅲ）因为当时，，又f(1)=3，所以，所以，时，，故在上的值域是．又是的一个“数对”，故恒成立，当时，，…，故为奇数时，在上的取值范围是；当为偶数时，在上的取值范围是．所以当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为；当为偶数时，在上的最大值为，最小值为． 22768 58F0 声J21875 5573 啳29828 7484 璄i 34377 8649 虉j 34293 85F5 藵25978 657A 敺20705 50E1 僡 +。

2021年高三9月月考数学文试题 含答案(II)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1．已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2．设集合A ，B 是两个集合，①，，；②，，； ③，，.则上述对应法则中，能构成A 到B 的映射的个数为（ ）A. B. C. D.3．若a>0,b>0,且函数224)(23---=bx ax x x f 在x=1处有极值，则ab 的最大值（） A.2 B.3 C.6 D.9 4．设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数 在上递减，那么甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．函数的单调增区间为（ ）A. B. C. 和 D. 和6．已知命题：；命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.7．函数为定义在上的偶函数, 且满足, 当时,则（ ） A. B. C. D. 8．函数的图像大致为（ ）9．已知函数是定义在实数集R 上的奇函数，且当（其中是的导函数），设1122log 4log 4,22,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.B. C. D.10．已知函数的图象与直线交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴 交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知函数的零点，其中常数满足，，则的值为（ ）A. B. C. D.12．设定义域为的函数，|1|251,0()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于的方程有7个不同的实数解，则的值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若函数，则的反函数 .14．设函数的定义域和值域都是，则 .15．若不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 16．设函数给出下列四个命题： ①当时，是奇函数；②当时，方程只有一个实数根； ③的图像关于点对称； ④方程至多有两个实数根. 其中正确的命题有 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1)0()(23±=≠++=x a cx bx ax x f 在处取得极值，且.（Ⅰ）求常数的值； （Ⅱ）求的极值.18．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，且单调递增，满足(4)1,()()()f f xy f x f y ==+. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求的取值范围.19．（本小题满分12分）如图所示，曲线段是函数的图象，轴于A ，曲线段上一点处的切线PQ 交轴于P ，交线段AB 于Q ，（Ⅰ）试用表示出的面积； （Ⅱ）求函数的单调递减区间.20．（本小题满分12分） 已知函数.(Ⅰ)求函数的解析式；(II)若方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）关于的方程在区间上有两个不同的实数根,求实数的取值范围；22．（本小题满分12分）已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．（Ⅰ）确定与的关系；（Ⅱ）若，试讨论函数的单调性；（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（）证明：．答案（文科）二、填空题：13、 14、115、 16、①②③三、解答题17、解：(1)由已知有即：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+-=++1023023c b a c b a c b a '(1)013'(1)0,0,22(1)1f f a b c f -=⎧⎪=⇒===-⎨⎪=-⎩(2)由（Ⅰ）知， )1)(1(232323)(2+-=-='x x x x f 当x <－1时，或x >1时，0)(,11,0)(<'<<->'x f x x f 时当),1()1,()(+∞--∞∴和在x f 内分别为增函数；在（－1，1）内是减函数.因此，当x =－1时，函数f(x)取得极大值f(－1)=1；当x =1时，函数f(x)取得极小值f(1)=－118、解： （1）令（2）()(3)((3))1(4)f x f x f x x f +-=-<=所以，03034(3)4x x x x x >⎧⎪->⇒<≤⎨⎪-≤⎩所以， 的取值范围为19、【解】：⑴设点M(t ，t 2)，又f ＇(x)=2x ，∴过点M 的切线PQ 的斜率k=2t ∴切线PQ 的方程为：y=2tx －t 2所以，P()，Q(6,12t －t 2)∴g (t )＝S △QAP ＝(12t －t 2)=(0<t <6)由于g ＇(t)=,令g ＇(t)<0，则4<t<12，考虑到0<t <6,∴4<t <6，∴函数g(t)的单调递减区间是(4,6)，因此m 的最小值为420、（1）设，则 所以，（2）原问题22(2)240,(0,2)x x a ⇔+-⋅+=在有两个不等实根令22,()(1,4)x m h m m m ==∈+(2-a)m+4,(1)067(4)02142h a h a ∆>⎧⎪>⎪⎪⇒<<⎨>⎪-⎪<<⎪⎩21、解:(1) 时,取得极值, 故解得经检验符合题意. （2）由知由,得 ()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则在区间上恰有两个不同的实数根等价于在区间上恰有两个不同的实数根. ()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++ 当时,,于是在上单调递增; 当时,,于是在上单调递减.依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩, 解得,22、解：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得：∴（2）由（1）得22(21)1 '()ax a xg xx-++=∵函数的定义域为∴当时，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增，综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．（3）依题意得，证，即证因，即证令（），即证（）令（）则∴在（1，+）上单调递增，∴=0，即（）综①②得（），即．。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

师范大学附中2021届高三数学9月月考试题 文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕{A x y ==，集合 {}ln cosB x y x ==，那么A B =〔 〕A. 2,2()42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B. 2,2()42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭C. 2,2()4k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D. 2,2()4k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B 再求交集即可 【详解】由题5sin cos 022,44x xkx kk Z ，故522,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ cos 02222x kx k，故2222B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭， A B =2,2()42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭应选：B【点睛】此题考察集合的交集运算，纯熟求解三角不等式是关键，是根底题2.a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于〔 〕A. 7B. 10C. 13D. 4【答案】A 【解析】此题主要考察的是向量的求模公式。

由条件可知==，所以应选A 。

sin()cos()()22y x x ϕϕϕπ=++<的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个奇函数的图象，那么ϕ的值是( )A. -34πB. -4π C.4π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合奇函数g 〔0〕=0求解φ的取值． 【详解】y ＝sin 〔x 2ϕ+〕cos 〔x 2ϕ+〕()122sin x ϕ=+， 沿x 轴向左平移8π个单位，得g 〔x 〕1224sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由g 〔0〕0=，得4π+φk π=，即φ4k ππ=-+，k ∈Z ．当k ＝0时，φ4π=-； ∴φ的取值是4π-．应选：B ．【点睛】此题主要考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象变换规律，考察正弦函数的性质，属于根底题．4.1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln2b =，，那么〔 〕 A. a bc >>B. c a b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】由1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈〔0，1〕，b ＝ln12=-ln 2＜0，103221c =>=，即可得出大小关系． 【详解】1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈〔0，1〕，b ＝ln12=-ln 2＜0，103221c =>= ∴b ＜a ＜c ． 应选：B ．【点睛】此题考察了指数与对数运算性质及其指数对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．sin 0f x x在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω的取值范围是( )A. 0≤ω≤23B. 0≤ω≤32C.23≤ω≤3 D.32≤ω≤3 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数f 〔x 〕＝sin ωx 〔ω＞0〕在区间32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，建立不等式，即可求ω取值范围． 【详解】令22k ππ+≤ωx 322k ππ≤+〔k ∈Z 〕，那么22k ππωω+≤x 322k ππωω≤+ ∵函数f 〔x 〕＝sin ωx 〔ω＞0〕在区间32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，∴223k πππωω+≤且3222k πππωω+≥ 当0k =满足题意，∴332ω≤≤ 应选：D ．【点睛】此题考察正弦函数的单调性，考察解不等式，考察学生的计算才能，属于根底题．R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[]3,2--上是增函数，假设,αβ是锐角三角形的两个内角，那么〔 〕 A. (cos )(cos )f f αβ> B. (sin )(sin )f f αβ< C. (sin )(cos )f f αβ> D. (sin )(cos )f f αβ<【答案】D 【解析】 【分析】根据f 〔x +2〕＝f 〔x 〕，得函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f 〔x 〕在[﹣1，0]上为减函数，由f 〔x 〕为偶函数，得f 〔x 〕在[0，1]上为单调增函数．再根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案． 【详解】由题意：可知f 〔x +2〕＝f 〔x 〕， ∴f 〔x 〕是周期为2的函数， ∵f 〔x 〕在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f 〔x 〕在[﹣1，0]上为减函数，又∵f 〔x 〕为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反， ∴f 〔x 〕在[0，1]上为单调增函数． ∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β2π＜∴π﹣α﹣β2π＜，即2ππαβ+＞＞，∴2π＞α2＞π-β＞0， ∴sin α＞sin 〔2πβ-〕＝cos β；∵f 〔x 〕在[0，1]上为单调增函数． 所以f 〔sin α〕＞f 〔cos β〕， 应选：D ．【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．7.四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象(局部)如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ④①②③B. ①④②③C. ③④②①D.①④③② 【答案】B 【解析】 【分析】先分析四个函数奇偶性，再讨论函数对应区间上函数值正负，即可进展判断选择. 【详解】①sin y x x =为偶函数，所以对应第一个图； ②cos y x x =为奇函数，且3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时函数值为负，所以对应第三个图； ③cos y x x =为奇函数，且0x >时函数值恒非负，所以对应第四个图； ④2x y x =⋅为非奇非偶函数，所以对应第二个图.【点睛】此题考察函数奇偶性以及函数数值，考察根本分析与判断求解才能，属基此题.()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为〔 〕A.3πB.4π C.6π D.12π【答案】C 【解析】 【分析】结合图象由最值可求A ，由f 〔0〕＝2sin φ＝1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω11126ππ⨯+=2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解． 【详解】结合图象可知，A ＝2，f 〔x 〕＝2sin 〔ωx +φ〕， ∵f 〔0〕＝2sin φ＝1，∴sin φ12=， ∵|φ|2π＜，∴φ6π=，f 〔x 〕＝2sin 〔ωx 6π+〕，结合图象及五点作图法可知，ω11126ππ⨯+=2π， ∴ω＝2，f 〔x 〕＝2sin 〔2x 6π+〕，其对称轴x 162k ππ=+，k ∈Z ，∵f 〔a +x 〕﹣f 〔a ﹣x 〕＝0成立，∴f 〔a +x 〕＝f 〔a ﹣x 〕即f 〔x 〕的图象关于x ＝a 对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a 6π=应选：B ．【点睛】此题主要考察了由y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵敏应用．2,0()21,0x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，假设2(1)(1)f a f a -≥-+，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. [2,1]-B. [1,2]-C. (,2][1,)-∞-+∞D. (,1][2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由函数()2,021,0x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩的表达式即可判断()f x 在R 上递减，利用单调性可得：211a a -≤-+，解不等式即可。