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经典蒙特卡罗算法入门

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蒙特卡罗算法

蒙特卡罗算法

蒙特卡罗算法蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。

这就是蒙特卡罗方法的基本思想。

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。

它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程、实现从已知概率分布抽样、建立各种估计量。

蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。

其特点如下：·直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。

·采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。

·不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。

·MC程序结构清晰简单。

·MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。

蒙特卡洛的应用之一就是他在围棋上的应用。

选择蒙特卡罗算法的原因之一是围棋中应用极小极大算法（Minimax Algorithm）来计算2步或3步之后的着法产生的计算量就非常巨大（在9x9的棋盘上计算4步着法就需要做81^4（大于4百万）次盘面估值）。

有一句非常形象的话来形象围棋（19x19）的计算复杂度：远大于宇宙中所有原子的个数。

实际上围棋（19x19）的计算下限的 10^(10^48)，上限是10^(10^171)。

物理问题的计算机模拟方法(2)—蒙特卡罗方法

物理问题的计算机模拟方法(2)—蒙特卡罗方法

第三章 随机性模拟方法—蒙特卡罗方法（MC ）§ 3.1 预备知识例：一个粒子在一个二维正方格点上跳跃运动随机行走：每一时间步上，粒子可选择跳到四个最近邻格点上的任何一个，而记不得自己来自何方；自回避行走：粒子记得自己来自什么地方，而回避同它自己的路径交叉。

随机行走的每一步的结果就是系统的一个状态，从一个状态到另一个状态的跃迁只依赖于出发的状态，这些状态形成一个序列，这就是一个马尔可夫链。

状态序列：x 0, x 1, …, x n , …已给出状态x 0, x 1, …, x n+1 的确定值，x n 出现的概率叫做条件概率 ()01,x x x -n n P 马尔可夫链的定义：如果序列x 0, x 1, …, x n , …对任何n 都有 ()()101,--=n n n n P P x x x x x 则此序列为一个马尔可夫链（或过程）。

§ 3.2 布朗动力学（BD ） 1．郎之万方程 v t R dtdvmβ-=)( 方程右边第一项为随机力，对粒子起加热作用；第二项为摩擦力，避免粒子过热。

将方程变形为：dt mvt R dt m v dv )(+-=β 于是，解可写为：])0()(11[)0( )0()(0)()(10⎰+≈⎰=---tt mt md v R m tm d ev R m ev eev t v tττββτττβ⎰+≈---t m t t md Re m ev 0)()(1)0( ττβτβ当随机力R(t)服从高斯分布时，上述方程的解描述的即为布朗运动，于是，布朗运动问题就化为在一些补充条件下求解郎之万方程，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=>=<>=<=+><--)( 2)()(2)0()(,0)()(222/2/12高斯分布R R B e R R P t T k R t R t R m t R m v dt dv πδββ 注：)()()(t t q t R t R '->='<δ 表示随机力R 在t 和t ’时刻没有关联, q 为噪声强度。

蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法

感谢观看！
蒙特卡罗方法的基础知识
1. 连续型分布 2. 离散型分布 3. 概率密度分布
a) 均匀密度分布函数 b) 正态分布 c) 指数分布
蒙特卡罗方法的基础知识
蒙特卡罗方法的基础知识
随机数和随机
02
抽样
随机数和随机抽样
用蒙特卡罗方法在计算机上模拟一个随机过程，就是要产 生满足这个随机过程概率分布的随机变量。最简单和最基础的 随机变量就是[0,1]区间上均匀分布的随机变量，这些随机变 量的抽样值成为随机数。所以以后谈到随机数，如果不加特别 说明，就是指[0,1]区间上均匀分布的随机数。其他分布的随 机变量的抽样值可借助均匀分布的随机数得到。
蒙特卡罗方法的计算过程就是用统计方法模拟实际的物理过程，它主 要是在计算机上产生已知分布的随机变量样本，以代替昂贵的甚至难以实 现的实验。蒙特卡罗方法又被看作是用计算机来完成物理实验的一种方法。
随机数和随机抽样
蒙特卡罗方法可以求解的另一类问题就是确定性问题。在 求解确定性问题时，首先要建立一个有关这个确定性问题的概 率统计模型，是所求的解就是这个模型的概率分布或数学期望； 然后对这个模型做随机抽样；最后用其算数平均值作为求解的 近似值。
因此，用蒙特卡罗方法求解问题时，首先要建立一个随机模型，然后 要构造一系列的随机变量用以摸你这个的基础知识
随机变量及其分布函数 在一定条件下发生的事件分为必然事件（必然发生）、不可能事件
（恒不发生）和随机事件（可能发生也可能不发生）。事件发生的可能性 大小用概率p表示。必然事件发生的概率为1，不可能事件的概率为0；随机 事件发生的概率为0≤p≤1.由于测量的随机误差和物理现象本身的随机性， 一次测量得到的某个值是随机的。因此，实验观测的物理量实随机变量， 被研究的物理问题是一个随机事件。通常，描写随机事件A发生的概率用 p(A)表示，显然，0≤ p(A) ≤ 1。经常碰到的随机变量有两类：一类是离散型 随机变量，这种随机变量只能取有限个数值，能够一一列举出来：另一类 是连续型随机变量，这种随机变量的可能值是连续的分布在某个区间。

蒙特卡罗算法

蒙特卡罗算法
(1) 生成(0,1)上均匀分布的随机数U。
(2)计 算 XF-1(U ),则 X为 来 自 F(x) 分 布 的 随 机 数 .
29
例 1 ：设 X ~ U ( a , b ) ， 则 其 分 布 函 数 为
0
F
(x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1 ( y ) a (b a ) y ， 0 y 1
2
于是有：
pP(Xl
sin)
2lsin 2dxd2l
2பைடு நூலகம்
0 0 a
a
2l ap
若我们独立重复地作 n 次投针试验，记 n ( A) 为 A 发生的次数。 fn ( A) 为 A
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
2.线 性 同 余 器 可 以 达 到 的 最 长 周 期 为 m1， 我 们 可 以 通 过 适 当 的 选 择 m和 a， 使 无 论 选 取 怎 样 的 初 值 x0 都 可 以 达 到 最 大 周 期 (一 般 选 取 m为 质 数 )
20
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
可简单取3个随机数构成一个随机点，即
(1,2,3)(,4,5,6),.......
相应地，
1 bf(x)dx1n
baa
ni1
f(xi)
(d c ) 1 b ( a )c da bf(x ,y )d x d y1 ni n 1f(x i,y i)
一般地，
A f( x ) d ( mo e A ) a f (a so u v fo f r en e v r ra a e p n g ro id e A n io n

马尔可夫链蒙特卡罗方法

马尔可夫链蒙特卡罗方法

马尔可夫链蒙特卡罗方法1. 简介马尔可夫链蒙特卡罗方法（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种基于马尔可夫链的随机模拟方法，用于解决概率统计中的问题。

它通过从一个马尔可夫链中采样来估计目标分布的性质，是一种重要的数值计算工具。

在许多实际问题中，我们希望从某个复杂的分布中采样，但由于该分布不易直接抽样，或者其概率密度函数无法明确表达，因此需要借助MCMC方法来进行近似采样。

MCMC方法基于马尔可夫链的性质，通过在状态空间中进行随机游走，并根据转移概率进行状态转移，最终收敛到目标分布。

这种随机游走能够在整个状态空间内探索，并通过长时间运行而收敛到平稳分布。

2. 马尔可夫链马尔可夫链是一种离散时间随机过程，在给定当前状态下，未来状态只依赖于当前状态而不依赖于过去状态。

换句话说，它满足无后效性。

马尔可夫链由状态空间和转移概率组成。

状态空间是所有可能的状态的集合，转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。

马尔可夫链可以用矩阵形式表示，称为转移矩阵。

转移矩阵的元素表示从一个状态到另一个状态的概率。

3. 蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是一种基于随机采样的数值计算方法，通过大量重复实验来估计目标分布或计算某个数学期望。

蒙特卡罗方法基于大数定律，当样本数量足够大时，样本均值将收敛于真实值。

它不需要对目标分布进行任何假设，适用于各种问题。

蒙特卡罗方法在统计学、物理学、金融学等领域有广泛应用。

它可以用于求解高维积分、模拟随机过程、优化问题等。

4. 马尔可夫链蒙特卡罗方法马尔可夫链蒙特卡罗方法结合了马尔可夫链和蒙特卡罗方法的优点，用于从复杂分布中进行采样和估计。

马尔可夫链蒙特卡罗方法的基本思想是构建一个满足某个平稳分布的马尔可夫链，通过从该马尔可夫链中采样来近似得到目标分布。

具体步骤如下：1.选择一个初始状态。

2.根据转移概率进行状态转移，得到下一个状态。

3.重复上述步骤，直到达到一定的采样次数或满足收敛条件。

计算物理蒙特卡罗方法基础

计算物理蒙特卡罗方法基础
相交的概率
Lcos
p s
cos
0
AB
cos
的平均值 1
cosd
2
0
M N
假如在N次投针中，有M次和平行线相交。当N充分大时， 相交的频数 M/N就近似为细针与平行线相交的概率。
2N
M
2021/3/11
9
经过n次投针后得到π值的精度
针与平行线相交的概率 p 2
针与平行线相交的次数应满足二项式分布
2-1 蒙特卡罗方法的基础知识
What is a Monte Carlo method ?
the Comte de Buffon needle experiment, AD 1777
SSS L
2021/3/11
1
蒙特卡洛方法的起源
Stanislaw Ulam (1909-1984)
2021/3/11
2021/3/11
4
一 基本思想
直接蒙特卡洛模拟法： 对求解问题本身就具有概率和统计性的情况。
如：中子在介质中的传播，核衰变过程等， 思想是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算
机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。 该方法也就是通常所说的“计算机实验”。
间接蒙特卡洛方法： 蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模
g0 g(r)f(r)dr
用概率语言来说， g(r) 是随机变量， <g>的数学期望，即
gE g (r) 7 * 0 . 1 8 * 0 . 1 9N次试验所得成绩的算术平均值作为数 学期望<g>的估计值（积分近似值）。
2021/3/11
7
但是：其分布是可以了解的，假设我们研究某一连续性的 变量，由随机变量的分布我可以得到它取某值的概率：

《蒙特卡罗方法》课件

《蒙特卡罗方法》课件
蒙特卡罗方法的优缺点
REPORTING
优点
高效性
蒙特卡罗方法在处理大规模、复杂问 题时，相对于解析方法，具有更高的 计算效率。
适用性强
该方法适用于各种类型的问题，无论 是数学、物理还是工程领域。
灵活性高
蒙特卡罗方法允许使用各种随机抽样 技术，可以根据问题的特性灵活调整 。
易于实现
蒙特卡罗方法的算法相对简单，容易 编程实现。
估计精度
统计估计的精度与样本数量和估计方法的选 择有关。
误差分析
误差来源
蒙特卡罗方法的误差主要来源于概率模型的近似和随机抽样的不 确定性。
误差控制
通过增加样本数量、改进概率模型等方法来减小误差。
误差评估
通过方差、置信区间等统计方法对误差进行评估和检验。
PART 03
蒙特卡罗方法的实现步骤
REPORTING
《蒙特卡罗方法》 PPT课件
REPORTING
• 蒙特卡罗方法简介 • 蒙特卡罗方法的原理 • 蒙特卡罗方法的实现步骤 • 蒙特卡罗方法的应用实例 • 蒙特卡罗方法的优缺点 • 蒙特卡罗方法的未来发展与展望
目录
PART 01
蒙特卡罗方法简介
REPORTING
定义与特点
定义
蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的 数值计算方法，通过随机抽样和统计 模拟来求解数学、物理、工程等领域 的问题。
代。
PART 04
蒙特卡罗方法的应用实例
REPORTING
金融衍生品定价
总结词
蒙特卡罗方法在金融衍生品定价中应用广泛 ，通过模拟标的资产价格变化，计算衍生品 价格和风险。
详细描述
蒙特卡罗方法通过随机抽样和概率统计，模 拟标的资产（如股票、外汇或商品等）的价 格变化，从而计算出衍生品（如期权、期货 或掉期等）的预期收益或风险。这种方法能 够处理复杂的衍生品定价问题，并给出较为 精确的估计。

第6章蒙特卡罗方法基础

第6章蒙特卡罗方法基础

二、乘加同余方法
产生伪随机数的乘加同余方法是由 Rothenberg 于 1960 年提出来的。它的一般形式为，
对于任一初始值 x1 ，伪随机数序列由下面的递推公式确定：
xi+1 = axi + c (modM )
ξ i +1
=
xi+1 M
其中 a 为乘子， c 为常数， x0 称为初始值或种子， M 称为模，均为非负整数。
{ ( ) ( ) ( )} λ(M ) =
λ
P a0 0
,λ
P a1 1
,", λ
P ar r
3-4
统计计算
第六章 蒙特卡罗方法基础
同济大学应用数学系
的最小公倍数。其中，
λ
(
P a0 0
)
=
⎧ ⎪ ⎨
1, a0 = 20−2 , a0 > 2
λ ( Pi ai
)
=
P ai −1 i
统计计算
第六章 蒙特卡罗方法基础
同济大学应用数学系
第六章 蒙特卡罗方法基础
蒙特卡罗方法是一种以概率统计理论和方法为基础的数值计算方法，它以是否适合于计 算机上使用为重要标志。蒙特卡罗是世界闻名的赌城，蒙特卡罗方法借用这一城市的名称， 是为了表明该方法的基本特点。蒙特卡罗方法也称统计试验方法或计算机随机模拟方法，这 些名称同样表明了该方法的基本特点。
三、蒙特卡罗方法的费用
根据上述误差公式，若问题所要求的误差为 ε ，置信水平为 1 − α ，x 是正态分布的分
位点，则应有
即子样容量必须满足
x⋅σ ≤ ε N
N
≥
⎜⎛ ⎝
x ⋅σ ε
⎟⎞2 ⎠

蒙特卡罗法

蒙特卡罗法

蒙特卡罗法第3章蒙特卡罗法3.1蒙特卡罗法的基本原理3.1.1蒙特卡罗法的基本过程3.1.2蒙特卡罗法的基本问题1. 蒙特卡罗法的收敛性2计算机辅助绘图基础（第4版）2. 蒙特卡罗法的误差3. 蒙特卡罗法的费用3.1.3蒙特卡罗法的特点1. 收敛速度与问题维数无关2. 受问题条件限制的影响不大3. 不必进行离散化处理4. 蒙特卡罗法是一种直接解决问题的方法5. 误差容易确定计算机辅助绘图基础（第4版） 36. 蒙特卡罗法的缺点3.1.4蒙特卡罗法待研究的若干问题1. 随机数2. 已知分布的随机抽样3. 非归一问题的随机抽样4. 蒙特卡罗法的基本技巧5. 蒙特卡罗法的并行化计算方法3.1.5随机变量的基本规律1. 随机变量2. 数学期望值3. 方差4. 特征函数5. 中心极限定理4计算机辅助绘图基础（第4版）6. 分布函数的基本性质7. 随机变量序列的收敛性图3.1几种收敛的关系3.1.6大数定律及中心极限定理的一般形式1. 大数定律2. 中心极限定理3.1.7 4个常见的中心极限定理1. 勒维·林德伯格（Lévy Lindeberg）中心极限定理计算机辅助绘图基础（第4版） 52. 棣莫弗·拉普拉斯（De Moivre Laplace）中心极限定理3. 李雅普诺夫（Ляпунов）中心极限定理4. 林德伯格（Lindeberg）中心极限定理3.1.8几种常见的概率模型和分布1. 贝努利概型——二项分布2. 泊松（Poisson）分布3. 均匀分布6计算机辅助绘图基础（第4版）4. 正态分布5. 指数分布6. Gamma分布7. Beta分布8. t分布9. z分布10. χ2分布11. 指数分布12. 反余弦分布13. 多项分布计算机辅助绘图基础（第4版）7 14. 非中心Gamma分布15. 非中心t分布3.1.9蒙特卡罗法简单应用举例图3.2 Buffon投针试验示意图图3.3投针试验中针与线相交概率8计算机辅助绘图基础（第4版）图3.4随机投点求积分值3.2伪随机数3.2.1简单子样3.2.2随机数与伪随机数计算机辅助绘图基础（第4版）9 3.2.3产生伪随机数的几种方法1. 平方取中法2. 加同余法3. 乘同余法4. 乘加同余法5. 移位寄存器方法——Tausworthe方法10计算机辅助绘图基础（第4版）6. 斐波那奇（Fibonacci）方法7. 混合方法8. 复杂组合法3.2.4伪随机数的检验1. 均匀性检验2. 伪随机数的独立性3. 统计检验3.3随机变量的抽样3.3.1直接抽样方法计算机辅助绘图基础（第4版）111. 离散型随机变量的抽样方法2. 连续型随机变量的抽样方法3. 举例3.3.2舍选抽样方法1. 舍选抽样的一般形式2. 简单分布舍选函数——第一类舍选法12计算机辅助绘图基础（第4版）3. 乘分布的舍选抽样方法——第二类舍选方法3.3.3复合抽样方法1. 复合抽样的一般形式2. 加分布的复合抽样图3.5均匀带电球壳3. 复合舍选抽样方法计算机辅助绘图基础（第4版）13 3.3.4近似抽样方法1. 近似分布函数密度图3.6阶梯近似图3.7线性近似2. 反函数近似3. 渐近分布3.3.5变换抽样方法1. 变换抽样方法14计算机辅助绘图基础（第4版）2. 随机变量的和、差、积、商分布3. 随机变量的最大与最小4. 二维变换抽样方法3.3.6若干重要分布的抽样1. β分布2. Г分布3. Cauchy分布4. χ2分布5. t分布计算机辅助绘图基础（第4版）156. 散射方位角余弦分布3.4蒙特卡罗法在确定性问题中的应用3.4.1用蒙特卡罗法求解线性代数方程3.4.2矩阵求逆3.4.3求解线性积分方程3.4.4蒙特卡罗法用于积分运算1. 单元积分，随机投点法图3.8积分I=∫10g(x)dx的值等于g（x）曲线下面积16计算机辅助绘图基础（第4版）2. 平均值法3. 计算多重积分的随机投点法4. 计算多重积分的平均值法计算机辅助绘图基础（第4版）17 3.5蒙特卡罗法在随机问题中的应用3.5.1布朗运动1. 随机游动逼近2. 随机中点移动3.5.2随机游动问题18计算机辅助绘图基础（第4版）3.6分形的数学基础3.6.1自相似性和分形计算机辅助绘图基础（第4版）19 3.6.2分形的数学基础1. 分形维数图3.9三次Koch曲线2. δ覆盖3. 豪斯道夫测度。

蒙特卡罗方法与MCNP程序入门

蒙特卡罗方法与MCNP程序入门

蒙特卡罗方法与MCNP程序入门蒙特卡罗方法与MCNP程序入门目录目录第1章蒙特卡罗方法简介 (1)§1.1蒙特卡罗方法的基本原理 (1)§1.2 蒙特卡罗方法的解题手续和特点 (6)§1.3 用蒙特卡罗方法模拟粒子输运 (7)第2章MCNP程序入门 (9)§2.1 MCNP简介 (9)§2.2 MCNP程序的组成及特点 (11)§2.3 MCNP4C程序安装、运行与源程序编译 (13)§2.4 MCNP输入文件 (16)第3章MCNP程序中的几何构建 (23)§3.1 基础知识 (23)§3.2 几何描述卡 (26)§3.3 有效地构建几何 (30)第4章MCNP程序的数理基础 (33)§4.1 物理 (33)§4.2 记数 (41)§4.3 减小方差技巧 (47)第5章MCNP程序中的数据卡 (56)§5.1 问题类型卡 (56)§5.2 栅元参数和曲面参数卡 (56)§5.3 源的描述 (65)§5.4 记数方式的指定 (74)§5.5 材料的指定 (88)§5.6 能量和热处理方式的指定 (90)§5.7 问题截断条件 (93)§5.8 外围卡 (95)§5.9 MCNP输入文件综述 (97)第6章经验 (102)§6.1 一般应用步骤 (102)§6.2 需注意的问题 (102)第7章应用实例 (104)§7.1 医学物理中的应用 (104)§7.2 反应堆物理计算中的应用 (129)附录 (157)连续能量中子截面库ENDL851数据目录 (157)中子热截面库BMCC1数据目录 (158)离散中子截面库D91数据目录 (159)光子截面库MCPLIB1数据目录 (160)特殊材料S(α,β)热截面库TMCC1数据目录 (162)参考文献 (164)第1章蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法，又称随机抽样方法，是一种与一般数值计算方法有本质区别的计算方法，属于试验数学的一个分支，起源于早期的用几率近似概率的数学思想，它利用随机数进行统计试验，以求得的统计特征值(如均值、概率等) 作为待解问题的数值解。

蒙特卡罗方法PPT课件

蒙特卡罗方法PPT课件
第14页/共83页
5.2 随机数和伪随机数
• 5.2.2 伪随机数
• 伪随机数是用数学方法产生的随机数，在给定初值下，由以下的递推公式
• 确定
(n=1，2，…)n。1 T (n )
(5.9)
• 由此产生的随机数n1并不相互独立，可通过适当地选取递推公式来近似满足
独立性要求；另一方面，在电子计算机表示中在(0，1)之间的随机数是有
第25页/共83页
5.3.2 重要抽样
• 把任意陡的被积函数变换成非常平滑的函数且调整积分区间的想法是至要 抽样法的基本思想。换句话．由简单抽样法扩展为重要抽样法，其一个最 主要的改进应当是使用了权重被积函数。这就是说，所使用的伪随机数是 从非均勾分布中选取的。这种操作方法允许我们把精力集中于在空间区域 对函数值的计算与评价，使其对积给出恰当的贡献。引入权重函数g(x)， 则对积分J得估算可以写成：
第4页/共83页
• 针相对于平行线的位置可以用一个随机向量表示 A [0, d )
[0, )
• 随机向量平均分布在区间[0,d)×[0,).
• 其概率密度函数为1/d.
•
针
与
平
行
线p
相
交
0
的0lsin概 d1率d为Ad
2l
d
(5.1)
第5页/共83页
5.1 基本思想和一般过程
• 5.1.2 马尔科夫(Markov)过程
•
初 或
始 转
概
率
p
(
x
0
)=
1
。
因
此
将
这
些
条
件
概率称之
为单步 (5.3)
跃

数学建模十大经典算法之蒙特卡罗方法讲义课件

数学建模十大经典算法之蒙特卡罗方法讲义课件

f(X)是X的分布密度函数。则
lim P N
N
X N E( X ) x
1 x et2 / 2dt
2 x
当N充分大时，有如下的近似式
P
XN
E(X )
N
2 et2 / 2dt 1 2 0
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
这表明，不等式
XN
E(X )
N
近似地以概率
1－α成立，且误差收敛速度的阶为 O(N 1/ 2 )。
5) 误差容易确定。
6) 程序结构简单，易于实现。
1) 能够比较逼真地描述具有随机性质 的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物 理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用 蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本 身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
1901 3408
3.1415929
例2. 射击问题（打靶游戏）
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)
表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的 弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。 该运动员的射击成绩为
g 0 g(r) f (r)dr
用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期
为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。
➢ 基本思想
由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某 个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或 者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的 方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
➢ 作业

蒙特卡罗算法

蒙特卡罗算法

蒙特卡罗模拟方法模拟的概念•模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。

•模拟的基本思想是建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点．通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息模拟的方法1、物理模拟：对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。

例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。

•物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。

而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。

模拟的方法2、数学模拟在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。

现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。

计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。

在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。

这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。

蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法．此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的统计分析，求得所研究系统的某些参数．蒙特卡罗方法的基本思想•蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。

它是以概率统计理论为基础的一种方法。

•当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时。

通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。

这就是蒙特卡罗方法的基本思想。

①建立概率统计模型②收集模型中风险变量的数据 ， 确定风险因数的分布函数③根据风险分析的精度要求，确定模拟次数⑥样本值⑦统计分析，估计均值，标准差NN N ⑤根据随机数在各风险变量的概率分布中随机抽样，代入第一步中建立的数学模型N 个④建立对随机变量的抽样方法，产生随机数。

蒙特卡罗方法的思想框图蒙特卡罗方法的框图实例d ca bL ap A +++=212某投资项目每年所得盈利额A 由投资额P 、劳动生产率L 、和原料及能源价格Q 三个因素。

蒙特卡洛方法及应用

蒙特卡洛方法及应用

蒙特卡洛方法及应用蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值计算方法，它在各种科学和工程领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍蒙特卡洛方法的基本原理、算法和在各个领域中的应用，以帮助读者更好地理解和应用这种方法。

蒙特卡洛方法是一种基于概率的统计方法，它通过随机采样来模拟复杂系统的行为。

这种方法最早起源于20世纪中叶，当时科学家们在使用计算机进行数值计算时遇到了很多困难，而蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案。

蒙特卡洛方法的基本原理是，通过随机采样来模拟系统的行为，并通过对采样结果进行统计分析来得到系统的近似结果。

这种方法的关键在于，采样越充分，结果越接近真实值。

蒙特卡洛方法的算法主要包括以下步骤：1、定义系统的概率模型；2、使用随机数生成器进行随机采样；3、对采样结果进行统计分析，得到系统的近似结果。

蒙特卡洛方法在各个领域中都有着广泛的应用。

例如，在金融领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟股票价格的变化，从而帮助投资者进行风险评估和投资策略的制定。

在物理领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟物质的性质和行为，例如固体的密度、液体的表面张力等。

在工程领域中，蒙特卡洛方法被用来进行结构分析和优化设计等。

总之，蒙特卡洛方法是一种非常有用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来得到系统的近似结果。

这种方法在各个领域中都有着广泛的应用，并为很多实际问题的解决提供了一种有效的解决方案。

随着金融市场的不断发展，期权作为一种重要的金融衍生品，其定价问题越来越受到。

而蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法作为两种广泛应用的定价方法，具有各自的特点和优势。

本文将对这两种方法在期权定价中的应用进行比较研究，旨在为实际操作提供理论支持和指导。

一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数学方法，其基本原理是通过重复抽样模拟金融市场的各种可能情况，从而得到期权的预期收益。

该方法具有以下优点：1、可以处理复杂的金融市场情况，包括非线性、随机性和不确定性的问题。

蒙特卡罗算法（或蒙特卡洛方法）-MonteCarlomethod

蒙特卡罗算法（或蒙特卡洛方法）-MonteCarlomethod

蒙特卡罗算法（或蒙特卡洛⽅法）-MonteCarlomethod是以概率统计理论为指导的⼀类⾮常重要的数值计算⽅法。

是指使⽤（或更常见的）来解决很多计算问题的⽅法。

以和的理论、⽅法为基础的⼀种，将所求解的问题同⼀定的相联系，⽤电⼦计算机实现或，以获得问题的，故⼜称或。

蒙特卡洛⽅法的基本思想当所求解问题是某种出现的，或者是某个的时，通过某种“实验”的⽅法，以这种事件出现的估计这⼀随机事件的，或者得到这个的某些，并将其作为问题的解。

有⼀个例⼦可以使你⽐较直观地了解蒙特卡洛⽅法：假设我们要计算⼀个不规则图形的⾯积，那么图形的不规则程度和分析性计算（⽐如，积分）的复杂程度是成正⽐的。

蒙特卡洛⽅法是怎么计算的呢？假想你有⼀袋⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，这个⾖⼦的数⽬就是图形的⾯积。

当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。

在这⾥我们要假定⾖⼦都在⼀个平⾯上，相互之间没有重叠。

蒙特卡洛⽅法的⼯作过程在解决实际问题的时候应⽤蒙特卡洛⽅法主要有两部分⼯作：1. ⽤蒙特卡洛⽅法模拟某⼀过程时，需要产⽣各种的。

2. ⽤统计⽅法把模型的估计出来，从⽽得到实际问题的数值解。

蒙特卡洛⽅法分⼦模拟计算的步骤使⽤蒙特卡洛⽅法进⾏分⼦模拟计算是按照以下步骤进⾏的：1. 使⽤产⽣⼀个随机的分⼦。

2. 对此分⼦构型的其中粒⼦坐标做⽆规则的改变，产⽣⼀个新的分⼦构型。

3. 计算新的分⼦构型的能量。

4. ⽐较新的分⼦构型于改变前的分⼦构型的能量变化，判断是否接受该构型。

若新的分⼦构型能量低于原分⼦构型的能量，则接受新的构型，使⽤这个构型重复再做下⼀次。

若新的分⼦构型能量⾼于原分⼦构型的能量，则计算玻尔兹曼因⼦，并产⽣⼀个随机数。

若这个随机数⼤于所计算出的，则放弃这个构型，重新计算。

若这个随机数⼩于所计算出的玻尔兹曼因⼦，则接受这个构型，使⽤这个构型重复再做下⼀次迭代。

5. 如此进⾏迭代计算，直⾄最后搜索出低于所给能量条件的分⼦构型结束。

蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法

其中 >0为常数，则称X服从参数为 的指数 分布。 •指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达间隔、质量与可靠性 中电子元件的寿命通常服从指数分布。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为 10(分钟)的指数分布(指数分布的均值为10)
指两个顾客到达商店的平均间隔时间 是10分钟.即平均10分钟到达1个顾客. 顾客到 达的间隔时间可用exprnd(10)模拟。
2．产生mm*nn阶离散均匀分布的随机数 矩阵： R = unidrnd(N) R = unidrnd(N,mm,nn)
3.产生 m n 阶均值为 ， 标准差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，标准差的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以 认为该对象服从正态分布。
4．产生 m n 阶期望值为的指数分布的随机数矩阵： exprnd (,m, n )
•若连续型随机变量X的概率密度函数为
1 x / e f ( x ) 0 x0 x0
proguji = 0.5557
复杂概率模拟 例6 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排 （含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破 坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装 并经常变换射击地点． 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的 指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示 正确时，有1/3的概率能毁伤敌人一门火炮，有 1/6的概率能全部消灭敌人． 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施 的1次打击结果显现出来，利用频率稳定性，确定 有效射击(毁伤一门炮或全部消灭)的概率.

（完整版）蒙特卡洛算法详讲

（完整版）蒙特卡洛算法详讲

（完整版）蒙特卡洛算法详讲Monte Carlo 法§8.1 概述Monte Carlo 法不同于前⾯⼏章所介绍的确定性数值⽅法，它是⽤来解决数学和物理问题的⾮确定性的（概率统计的或随机的）数值⽅法。

Monte Carlo ⽅法（MCM ），也称为统计试验⽅法，是理论物理学两⼤主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（⽤于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。

它是⽤⼀系列随机数来近似解决问题的⼀种⽅法，是通过寻找⼀个概率统计的相似体并⽤实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的⼀种⼿段。

运⽤该近似⽅法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，⽽不是经典数值计算结果。

普遍认为我们当前所应⽤的MC 技术，其发展约可追溯⾄1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。

MCM 的发展归功于核武器早期⼯作期间Los Alamos （美国国家实验室中⼦散射研究中⼼）的⼀批科学家。

Los Alamos ⼩组的基础⼯作刺激了⼀次巨⼤的学科⽂化的迸发，并⿎励了MCM 在各种问题中的应⽤[2]-[4]。

“Monte Carlo ”的名称取⾃于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐⽽闻名的⼀座城市。

Monte Carlo ⽅法的应⽤有两种途径：仿真和取样。

仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的⽅法。

⼀个典型的例⼦就是对中⼦进⼊反应堆屏障的运动进⾏仿真，⽤随机游动来模仿中⼦的锯齿形路径。

取样是指通过研究少量的随机的⼦集来演绎⼤量元素的特性的⽅法。

例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进⾏估计。

这就是数值积分的Monte Carlo ⽅法。

MCM 已被成功地⽤于求解微分⽅程和积分⽅程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其⽤于计算多重积分。

任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要⼀种产⽣或获得随机数的⽅法。

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十二、Monte Carlo 形式与一般步骤 （一）积分形式
做 Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是：
X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是 x 的概率密 度。在计算欧式期权例子中，x 为期权到期日股票价格，由于我们计算期权价ห้องสมุดไป่ตู้的时候该期 权还没有到期，所以此时 x 是不确定的（是一随机变量），我们按照相应的理论，假设 x 的概率密度为ψ(x)、最高可能股价为 x1(可以是正无穷）、最低可能股价为 x0（可以是 0）， 另外，期权收益是到期日股票价格 x 和期权行权价格的函数，我们用 f(x)来表示期权收益。
PDF 函数本身不是概率，只有对 x 的某段区间中的 PDF 积分得到的数值才有概率的含 义。CDF 是概率的意思，点 x 上 CDF 的值表示该随机变量可能取值小于 x 的概率的大小。 如图是正态分布的 PDF 和 CDF
3．到达停止条件后退出 常用的停止条件有两种，一种是设定最多生成 N 个 x，数量达到后即退出，另一种是检 测计算结果与真实结果之间的误差，当这一误差小到某个范围之内时退出。 有趣的类比：积分表达式中的积分符合类比为上式中累加符号，dx 类比为 1/N（数 学知识告诉我们积分实质是极限意义下的累加；f(x)还是它自己，积分中的ψ(x)可类比 为依据ψ(x)生成随机数 4．误差分析 Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计 值的波动程度及区间估计。严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最 后用样本方差来替代理论方差。 在本课程中我们假定此方法收敛， 同时得到的结果服从正态 分布，因此可以直接用样本方差作区间估计。详细过程在例子中解释。
（二）离散型随机变量
离散型随机变量最重要的是分布律，即每个取值的概率是多少。例如掷骰子，我们认为 扔出任何一个点的概率都是 1/6。那么掷骰子得到的点数的分布律如下表： 骰子点数 1 2 3 4 5 6 概率 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
（三）连续性随机变量
连续型随机变量有两个重要的概念。概率密度函数 (PDF)和累积概率分布函数(CDF)， 具体定义见数学书籍。
在金融产品定价中， 我们接触到的大多数求基于某个随机变量的函数的期望值。 考虑一 个欧式期权， 假定我们已经知道在期权行权日的股票服从某种分布 （理论模型中一般是正态 分布），那么用期权收益在这种分布上做积分求期望即可。
（五）随机最优化
Monte Carlo 在随机最优化中的应用包括：模拟退火(Simulated Annealing)、进化策略 (Evolution strategy)等等。一个最简单的例子是，已知某函数，我们要求此函数的最大值，那 么我们可以不断地在该函数定义域上随机取点，然后用得到的最大的点作为此函数的最大 值。这个例子实质也是随机数值积分，它等价于求此函数的无穷阶范数（ -Norm）在定义 域上的积分。 由于在金融产品定价中， 这部分内容用的相对较不常见， 所以此课程就不介绍随机最优 化方法了。
十五、Monte Carlo 方法原理(选读)
Monte Carlo 方 法 计 算 的 结 果 收 敛 的 理 论 依 据 来 自 于 大 数 定 律 ， 且 结 果 渐 进 地 （Asymptotically）服从正态分布的理论依据是中心极限定理。 以上两个属性都是渐进性质，要进行很多次抽样，此属性才会比较好地显示出来，如果 Monte Carlo 计算结果的某些高阶距存在，即使抽样数量不太多，这些渐进属性也可以很快 地达到。 这些原理在理论上意义重大，但由于我们一般遇上的 Monte Carlo 问题都是收敛的、结 果也都是渐进正态分布，所以工作中使用时可以不加考虑。 详细推导见相关书籍。
这个步骤的理论意义很重要，但在实际应用中，它的重要性有所淡化，倘若你的老板不 太懂这些知识，你报告计算结果时可以只告诉他点估计即可。 注意， 前两大步骤还可以继续细分， 例如某些教科书上的五大步骤就是将此处的前两步 细分成四步。
十三、最简单的例子
举个例子:
计算从
函数从 0 到 2 的定积分值
。 =6.38905609893065 。
第二章：随机数的生成
讲课人：Xaero Chang | 课程主页: /notes/intro2mc 本章第一节会简要复习随机变量的一些概念，但学习本章最好要有一定的数学基 础。 第二节主要介绍如何生成一维概率分布的随机数， 第三节介绍如何生成高维分布的 随机数。最后略提及伪随机数问题的应对策略。
由前文可知， Monte Carlo 积分解决的问题形如 ， f(x)值只需由 x 值决定， 因此此处最重要的就是如何生成服从ψ(x)概率分布的随机数。可以说，正确生成随机数， Monte Carlo 方法就做完了一半。
一、随机变量基本概念 （一）随机变量
现实世界中有很多可以用数字来衡量的事物， 站在当前时间点来看， 它们在未来时刻的 值是不确定的。例如，我们掷一骰子，在它停稳前，我们不可能知道掷出多少点（传说中的 赌王除外，哈哈）；例如某只股票在明天的股价，没有人能准确知晓第二天股票的价格（不 然他就发惨了！）。但是，我们却可以描述这些事物未来各种值的可能性。
如图， 数值积分的基本原理是在自变量 x 的区间上取多个离散的点， 用单个点的值来代 替该小段上函数 f(x)值。 常规的数值积分方法是在分段之后，将所有的柱子（粉红色方块）的面积全部加起来， 用这个面积来近似函数 f(x)（蓝色曲线）与 x 轴围成的面积。这样做当然是不精确的，但是 随着分段数量增加，误差将减小，近似面积将逐渐逼近真实的面积。 Monte Carlo 数值积分方法和上述类似。差别在于，Monte Carlo 方法中，我们不需要 将所有方柱的面积相加， 而只需要随机地抽取一些函数值， 将他们的面积累加后计算平均值 就够了。通过相关数学知识可以证明，随着抽取点增加，近似面积也将逼近真实面积。
十一、Monte Carlo 方法适用用途 （一）数值积分
计算一个定积分，如 ，如果我们能够得到 f(x)的原函数 F(x)，那么直接由表 达式: F(x1)-F(x0)可以得到该定积分的值。但是，很多情况下，由于 f(x)太复杂，我们无法 计算得到原函数 F(x)的显示解， 这时我们就只能用数值积分的办法。 如下是一个简单的数值 积分的例子。 数值积分简单示例
十四、Monte Carlo 方法的优点
对比前面常规数值积分和 Monte Carlo 数值积分代码， 同样数量的 N 值——也就意味这 几乎相同的计算量——常规数值积分结果的精确度要高于 Monte Carlo 数值积分的结果。那 么，我们为何还需要用 Monte Carlo 来算数值积分呢？ 答案的关键在于，常规数值积分的精度直接取决于每个维度上取点数量，维度增加了， 但是每个维度上要取的点却不能减少。在多重积分中，随着被积函数维度增加，需要计算的
数学方法： 我们已知 的原函数是 ， 那么定积分值就是： 计算这个数值可以在 Matlab 中输入代码： exp(2)-exp(0) 上面得到的值是此不定积分的真实值。
常规数值积分：在 区间内取 N 个点，计算各个点上的函数值，然后用函数值乘 以每个区间宽度，最后相加。Matlab 代码： N=100;x=linspace(0,2,N);sum(exp(x).*2/N) 试着调大 N 的值，你会发现，最后的结果将更接近真实值。 Monte Carlo 数值积分法：在 内随机取 N 个点，计算各个点上的函数值，最后 求这些函数值的平均值再乘以 2（为何要乘以 2 在后面小节详细讲）。看 Matlab 代码： N=100;x=unifrnd(0,2,N,1);mean(2*exp(x)) 同样的，通过增大 N，这种方法得到的结果也将越来越接近真实值。
函数值数量以指数速度递增。例如在一重积分
中，只要沿着 x 轴取 N 个点；
要达到相同大小的精确度，在 s 重积分 s 中，仍然需要在每个维度上取 N 个点，s 个纬度的坐标相组合，共需要计算 N 个坐标对应 的 f()函数值。取点越多，会占用计算机大量内存，也需要更长运算时间，最终导致这种计 算方法不可行！ Monte Carlo 方法却不同， 不管是积分有多少重， 取 N 个点计算的结果精确度都差不多。 因此，即使在一重积分的情形下，Monte Carlo 方法的效率比不过常规数值积分，但随着积 分维度增加，常规数值积分的速度呈指数下降，Monte Carlo 方法的效率却基本不变。经验 表明，当积分重数达到 4 重积分甚至更高时，Monte Carlo 方法将远远优于常规数值积分方 法。 现在回到金融产品定价，欧式期权理论定价公式只需要一重积分，此时 Monte Carlo 方 法的效果不明显，但是如果我们考虑一个亚式期权：期限为 1 年期，期权价格基于此 1 年内 每天某个时点时的价格，全年共 252 个交易日，这样此亚式期权理论定价公式是一个 252 252 重积分。常规的数值积分方法，需要取 N 个点，这个数有多大，你自己去计算一下就知道 了（注意：N 取值要远远大于 2），常规数值积分方法不可行，只能用 Monte Carlo。 综上，如果计算高维度多重积分，如路径依赖的 exotic options（奇异期权）等金融产品 定价，我们一般用的方法都是 Monte Carlo。
第一章：Monte Carlo 方法概述
一、Monte Carlo 历史渊源
Monte Carlo 方法的实质是通过大量随机试验，利用概率论解决问题的一种数值方法， 基本思想是基于概率和体积间的相似性。它和 Simulation 有细微区别。单独的 Simulation 只 是模拟一些随机的运动，其结果是不确定的；Monte Carlo 在计算的中间过程中出现的数是 随机的，但是它要解决的问题的结果却是确定的。 历史上有记载的 Monte Carlo 试验始于十八世纪末期 （约 1777 年） ， 当时布丰 （Buffon） 为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”。（后文会给出一个更加简单的计算圆周率的例 子）。虽然方法已经存在了 200 多年，此方法命名为 Monte Carlo 则是在二十世纪四十年， 美国原子弹计划的一个子项目需要使用 Monte Carlo 方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作 用。 出于保密缘故， 每个项目都要一个代号， 传闻命名代号时， 项目负责人之一 von Neumann 灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡洛作为该项目名称， 自此这种方法也就被命名为 Monte Carlo 方法广为流传。