生命表自修正算法

设起点 0 岁 lx 取为 100000，则 0 岁死亡人数 d0： d0= l0*q0＝100000×21.69‟=2169 那么 0 岁到 1 岁的人口平均存活人年数 Lx: L0＝(l0 +l1)/2= (l0-d0+l1)/2=l0-d0/2＝100000－2169/2＝98916（人 年） 所以 1 岁男性生存人数 l1： l1＝l0*(1-q0)＝l0－d0=100000－2169＝97831 如此依次推算所有年龄的国民生命表函数 lx ,dx ,Lx ③未来累计生存人年数 Tx 和平均期望寿命 Ex 的计算 根据②中计算，假设最后一个年龄如 99 岁以上计算出 l99＝9541，L99＝4771，98 岁人口 l98＝11683，L98＝10613， 那么活到 99 岁人口的未来累计生存人年数为 T99＝L99＝4771 99 岁人口平均预期寿命则等于 99 岁人口的未来累计生存人年数 Tx 除以 99 岁的生存人 数 lx，即 E99＝T99/l99=4771/9541=0.5 98 岁人口的未来累计生存人年数应为 98 岁到 99 岁的生存人年数加上 99 岁人口的未来 累计生存人年数，即 T98＝T99＋L98＝4771＋10613＝15384 同样得出 98 岁人口平均预期寿命为： E98＝T98/l98=15394/11683=1.317( 年) 这样逐岁往前推算可得出各个年龄的未来累计生存人年数和期望寿命。 （2）计算分年龄中心死亡率来计算，在编制简略生命 表时通常采用这种方法来近似计算。在进行小区域人口预测时，往往需要编制简略生命表。 一般在人口普查中县区人口统计数据年龄分组划分为 0 岁、1－4 岁、5－9 岁„。通常如果 区域人口规模过小， 可能因为每一年龄组的死亡人数为 0 的情况， 使其计算的死亡概率变成 0。因此还需视情况相应增长观察期间。 前面曾提到，死亡概率 qx 是计算生命表其他函数指标的基础。因此首先是计算年龄别 人口的死亡概率 qx。由于 0 岁人口的死亡概率比 1 岁以上要高，其计算方法是不同的。0 岁 人口的死亡概率一般使用婴儿死亡率， 即平均每 1000 名出生婴儿中未到 1 岁的死亡人数。 1 岁以上人口的死亡概率的计算， 要用年龄别人口数和死亡数或死亡率。 在可以假定死亡是均 匀发生的情况下，年龄别人口的死亡概率 qx 和人口数 Pz、死亡数 Dz 具有如下关系： qx=
1 0 1 0 1
＝1－15277/3841382.5 ＝0.996， 用 SR 赋给 SR 重复以上计算便得出该年 0 岁人口存活率为 0.97831，即 0 岁死亡率： q0＝1－0.97831＝0.02169＝21.69‟ 依此方法便可根据人口普查资料中的各年龄人口数和死亡人口计算出各个年龄的死亡 率。 ②生存人数 lx、死亡人数 dx 和平均存活人年数 Lx 的计算
注意到死亡均匀假设与 lx 从 0 到ω 是线性的假设不同，它仅在每一年年龄上假设是 线性的，因此是 lx 的比较精确的描述。 6、x 岁的人群未来累计生存人年数 Tx 累计生存人年数 Tx 表示存活到确切年龄 x 的人群 lx 未来讲存活的总人年数，这个量是计 算期望寿命的基础。其计算公式为：

Tx lxt dt
综合以上已知条件， 则有：Px,t=Px-1,t-1*SRx-1 进而导出：Px-1,t-1=Px,t/SRx-1 由此公式我们可以估算出 Px-1,t-1 的值。 另有：P†x-1,t=(Px-1,t-1+Px-1,t)/2
由此我们可以推算出 SRx 的新值，即： SR x-1=1-Dx-1,t-1/P†x-1,t 再用新求出的 SR x-1 代替原来的 SR x-1,反复利用以上公式进行迭代计算，直到 SR x-1 和 SR x-1 差值小于 10 ，就得到各年龄组存活概率真值。 通过以上迭代计算，我们得出了以普查资料为依据的各年龄组的存活概率，以此，我们 可以通过以上介绍的生命表计算模型，分别计算出生命表其他部分的指标完成制作生命表。 这里要注意的一点是， 由于我们把最后一个年龄组设置为开区间， 因此最后一个年龄组的死 亡概率必为 1，即其生存概率必为 0。 将以上求各年龄组存活概率 SRx 的计算过程画成框图如下:
t 1

t
lx t dt
x=0,1„„ω -1
(7.25)
在死亡均匀分布（UDD）假设下，即我们假设 lx 曲线从 x 到 x+1 间是条直线 那么，Lx 的计算公式可以写为：
Lx=(lx+lx+1)/2 又根据公式(7.23)得： Lx=(lx-dx+lx)/2=lx-dx/2 (7.26)
Ex Tx / lx ，
0
x=0,1,„„ω -1
(7.30)
（三）国民生命表的编制方法 生命表可以依实际同时出生的一批人资料编制， 这种生命表称为实际同批人生命表。 编 制这种生命表需要纵向跟踪一批人从出生道死亡的全部过程，实际中很难取得完整的资料， 而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。因此，除特殊研究 目的外， 实际中一般不采用实际同批人方法编制生命表， 而是通常采用假设同批人方法编制， 即把某一时期各个年龄的死亡水平当作同时出生的一批人在一生中经历各个年龄时的死亡 水平看待。 这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。 时期生命表可以描述某 一时期处于不同年龄人群的死亡水平， 反映了假定一批人按某一时期各年龄死亡水平度过一 生时的生命过程。 1、国民生命表的编制过程 编制生命表一般可分两步。 首先根据原始资料按统计的方法确定各年龄的死亡率 qx;第二 步，要选定适当的基数，用来表明所编制的生命表的最低年龄和观察人数，一般起编年龄为
0 岁，人数 l0 以 10 万为标准，这样根据 l0 和 qx 计算出生命表各栏目的函数，过程如下(设 最后一个年龄区间起点为 99 岁)： （1）生存人数 lx、死亡人数 dx 和平均存活人年数 Lx d0= l0 q0 L0=l0-d0/2, l1=l0-d0 d1= l1 q1 „„ d99= l99 q99 L1=l1-d1/2, l2=l1-d1 „„ L99=l99-d99/2, l99=l99-d99
生命表函数及计算 通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、 死亡概率等相关数据。 以 下介绍生命表中揭示的那些栏目所代表的函数。 1、年龄区间[x,x+1] [x,x+1]表示 x 到 x+1 岁的年龄区间，除最后一个年龄区间（如：89 以上）为开区间以 外，其余每一个区间都有两个确定的年龄值来定义。通常，最后一个年龄区间的起点为 ω ， 半开区间[ω ,+∞]。 2、生存人数 lx 设正好活到某一确切年龄 x 岁的生存人数以 lx 表示生命表的基础是生存人数，它表示 在一封闭区域一定数量的人口集团随着时间的推移因死亡而逐渐减少的人口生存状态。 生存 人数 lx 表示正好活到某一确切整数年龄 x 岁的人数。 在人的生命表中，作为起点的出生人数 l0 称为生命表的基数，研究中可以任意取值， 但为方便，一般设为 100 000 人。 3、死亡人数 dx dx 为年龄区间[x,x+1]内死去的人口数。dx 是生命表上年龄区间[x,x+1]内的死亡数， 不同于实际人口死亡数。 根据定义可知 lx+1=lx-dx 4、死亡概率 qx qx 表示存活到确切年龄 x 岁的人在到达 x+1 岁前死亡的概率。以 x 至 x+1 的死亡人数 dz 占 x 岁存活人数 lx 的比例表示。 qx＝dz/lx ， x=0,1,„„ω (7.24) x=0,1,„„ω (7.23)
（2） 未来累计生存人年数 Tx 和平均期望寿命 Ex T99=L99 E99=T99/l99 T98=L98 „„ T0=L0 2、死亡率函数的确定 这是编制生命表最关键的一步，也是最繁琐的一步，同时，由于统计误差等诸多因素会 导致最初得到的死亡率与实际生命表状态不相符。因此，在编制过程中都会作适当的修正， 即所谓的生命表的修匀(Graduation) ，这里主要介绍计算最初死亡率的两种算法。 （1）自修正叠代法 国际知名数理人口学家、著名系统工程专家蒋正华教授在 20 世纪 80 年代中期提出的 自修正迭代算法，简称 JPOP-1 算法，为中国乃至世界各国人口生命表研制奠定了坚实的科 学基础。 这种算法可以直接利用某次人口普查的数据制作出完全生命表， 以下主要介绍这种 算法。 首先再次引出与死亡概率 qx 相对应的一个概念——存活概率 px 或 SRx，为区别与以下 的实际人口数，在该算法中采用后者。容易得出 qx=1-SRx 的关系式，因此，我们就可以通过 求各年龄组的存活概率来求得死亡概率， 并以此为基础求出生命表其他指标。 问题的关键就 转化为求存活概率 SRx。以下介绍的正是求取存活概率 SRx 的迭代算法，首先对算法中的符 号作以下说明： ① 各年龄组的存活概率为 SRx(x=0,1„„ω -1)，并任取（0，1）之间的值。 ② Px-1,t-1 表示 t-1 年 x-1 岁人口的数量。 ③ P†x,t 表示 t 年 x 岁人口的平均数量。 E98=T98/l98 „„ E0=T0/l0
qx 这一指标是计算生命表的基础， 在已知 qx 后， 就可以依生命表基数 l0 由公式(7.1)和(7.2) 计算出各年龄的存活人数 lx 和死亡人数 dz。 lx+1=(1-qx)*lx , 5、生存人年数 Lx dz+1= qx*lx
x 岁的人平均生存人年数 Lx 是指年龄区间[x,x+1]的所有人在该区间内的存活年数， 即活到确切年龄 x 岁的人群 lz 在到达 x+1 岁前平均存活的人年数。人年是表示人均存活 的符合单位，一人年表示一个人存活了一年。 把生存人数 lx 看作是在区间[t,t+1]内连续 变化的函数，以此为基础的生存人年数 Lx 的计算公式为： Lx=
Dx mx 1 1 Px Dx 1 m x 2 2
(7.9)