第8讲一元二次方程(含答案点拨)

第8讲 一元二次方程求根公式及解法综合知识框架一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础．8.1 一元二次方程求根公式1. 公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b aca -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b aca -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2. 求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3. 用公式法解一元二次方程一般步骤①一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．【例1】 用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【例2】 用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【例3】 当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？【例4】 用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【例5】 用公式法解方程：21)30x x ++-．【例6】 用公式法解关于x 的方程：20x px q ++=．【例7】 用公式法解关于x 的方程：222240x mx n m --+=．【例8】 观察求根公式x =，求出12x x +的值，并用得到的结果求解：设a 、b 是方程220130x x +-=的两个实数根，求22a a b ++的值．8.2 一元二次方程解法综合一元二次方程解法总结①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解即：222222440()0()2424b b ac b b acax bx c a x x a a a a--++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【例9】 用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【例10】 用因式分解法解下列方程：（1）212193x x +=-；（2）2225(21)9(3)0x x +-+=．【例11】 用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=；（2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【例12】 用配方法解下列方程：（1）2252x x -=；（2）211.30.604x x ++=．【例13】 用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【例14】 用配方法解下列关于x 的方程： （1）230x x t +-=； （2）220ax x ++=（0a ≠）．【例15】 用公式法解下列方程： （1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【例16】 用公式法解下列方程：（120x -=； （2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【例17】 用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=；（2）2100.1a x a -=．【例18】 用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=；（6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【例19】 用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【例20】 如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b *=+试解方程：2(2)210x x *+*=．【例21】 已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【例22】 如果x 满足2710x x -+=，求1x x-的值．【例23】 用因式分解法和公式法2种方法解关于x 的方程：2222222()2()()0p q x p q x p q -+++-=，（其中p 、q 为常数，且00p q p q +≠-≠，）．【例24】 已知22()(2)8x y x y -+-=，求2x y -的值．【例25】 阅读材料，回答问题材料：为解方程4260x x --=，可将方程变形为222()60x x --=，然后设2x y =，则222()x y =，原方程化为260y y --=①解得12y =-、23y =当2y =-时，22x =-无意义，舍去；当3y =时，23x =，x =∴原方程的解为1x =2x =问题：（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用 法达到了降次的目的，将关于x 的一元高次方程转化为关于y 的一元二次方程．（2）解方程：①222()4()120x x x x ----=；②422(1)9x x -+=．【例26】 已知a 是实数，方程230x x a -+=的一个解的相反数是方程230x x a +-=的一个解，求方程230x x a -+=的解．【例27】 对任意实数k ，方程2(1)3()40k x k m x kn +-++=，总有一根为1，求m 、n 的值，并解此方程．【例28】 关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数，求整数m 的值．8.3 课堂检测1. 用配方法解关于x 的方程20x bx c ++=时，方程可变形为（）（A ）22()24b b x +=；（B ）224()24b b cx -+=；（C ）224()24b b cx +-=；（D ）224()24b b cx --=．2. 用适当方法解下列方程：（1）2(1)25x -=；（2）26153x x +=；（3）2(4)5(4)x x +=+； （4）242011x x +=；（5）22(23)(1)04x x +--=；（6）4(210x x +=．3. 当x 为何值时，274x x ++的值与23(32)x x -的值相等？4. 二次方程(1)(2)(2)(3)(3)(1)0a x x b x x c x x ++++++++=有根0与1，求::a b c 的值．5. 已知k 是方程210x x --=的一个根，求代数式3220162k k -+的值．6. 解关于x 的方程：22222()4m n x mnx m n --=-（0mn ≠）．7. 解下列方程：（1）42163290x x --=； （2）(1)(2)(3)(4)120x x x x ++++=．8. 已知关于x 的方程：22112()1x x x x +++=，求11x x++的值．8.4 课后作业1. 按照要求解下列关于x 的一元二次方程：（1）2650x x +-=（用配方法）； （2）26153x x +=（用配方法）；（3）2734y y =+（用公式法）； （4）20-=（用公式法）．2. 已知2514x x =-，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．3. 用适当方法解下列关于x 的方程：（1）23)12-=；（2）225180x x +-=；（3）(2)(5)2x x --=-；（4）2(25)(1)(25)0x x x x +--+=；（5）221(0.5)0.25(2)039x x ---=； （6）2(21)10x -+=；（7）2(1)1)10x x -+--=；（8）(1)(21)x x a x a -=--．4. 若1x =是一元二次方程22(56)(21)50m m x m x -+++-=的一个根，求m 的值．5. 解关于x 的方程：222()0 (0,0)abx a b x ab a b -++=≠≠．6. 已知202(21)22x x x x ++=--，求x 的值．。

第八讲 一元二次方程综合（一）典型例题例1 已知关于x 的方程22(1)(1)20k x k x -++-=。

（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根。

（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项。

例2 已知关于x 的方程230x x m +-=与230x m x -+=有一个相同的实数根，求m 的值。

例3 设α是方程2310x x -+=的一个根，则求232123αααα---的值。

例4 若方程20x px q ++=的两根之差与方程20()x qx p p q ++=≠的两根之差相等，求p 、q 之间的关系。

例5 已知α、β是关于x 的方程2(2)10x m x +-+=的两根，求2(1)(1m m ααβ++++2)β的值。

练习题1．已知α、β满足2270αα+-=，2270()ββαβ+-=≠求2234αββ++的值。

2．已知2,2a b >>试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由。

3．已知1x ，2x 是关于x的方程260x x k -+=的两个实数根，且221212115x x x x ⋅--=；（1）求k 的值。

（2）求22128x x ++的值。

4．已知1x ，2x 是一元二次方程20(0,0)a x b x c a c ++=≠≠的两个实数根，且12(0,0)x m m n x n=≠≠（1）试用m 和n 表示2bac；（2）是否存在实数m 和n ，满足12x m x n=，使265bac=成立？若存在，求出m 和n的值；若不存在，请说明理由。

5．已知a,b,c 为△ABC 的三边，且方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--= 有两相等实根，试判定△ABC 的形状。

第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=； （2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=； （2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（ ）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。

第8讲 一元二次方程的概念及其解法【学习目标】一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法，公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础．【基础知识】一、一元二次方程的概念1.整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．2.一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程． 二、一元二次方程一般式任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项． 三、一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根． 四、直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如()()20x h k k +=≥的形式求解．【考点剖析】考点一：一元二次方程的概念例1．下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）2239x y +=；（2）；（3）；（4）242=0x -； （5）2322x x -=；（6）20,ax b +=（,a b 为已知数）；（7）23+222x y y +=．例2．判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1） （,,a b c 为有理数）； （2） ()2123513m m m x x ++-+=．例3．m 为何值时，关于x 的方程2(2)(3)4m m x m x m --+=是一元二次方程．例4．当m 取何值时，方程是一元二次方程．例5．关于x 的方程()2212(1)220k x k x k -+-++=．（1） 当k 取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当k 取何值时，方程为一元一次方程？例6．已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．考点二：一元二次方程一般式例1．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．师生总结1、 一元二次方程的二次项系数为什么不能为0？2、 怎样判断一个方程为一元二次方程？3、 方程2210m m n ++-=是一元二次方程吗？（1） 2632x x =+； （2） ()2134x x x -=-；（3） ()2322y y +=+； （4）22(32)0x a x a b b --+-=．例2．若一元二次方程的常数项为零，则m 的值为_________．例3．已知关于x 方程235x mx m x -+-=的各项系数与常数项之和为2，求m 的值．考点三：一元二次方程的解例1．判断2、5、-4是不是一元二次方程28x x x +=-的根．例2．判断方程后面括号里的数是否为方程的根．（1）21223(2)2x x -=-，，；（2）)2(23)333x =，．师生总结1、一元二次方程的一般式是什么？2、一元二次方程中的各项如何认识？例3．已知关于x 的一元二次方程()2110a x x a -++-=有一个根为0，求a 的值．例4．已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，有一个根为1-，求a c +的值．例5．已知关于x 的一元二次方程()22222340m x m x m +++-=有一个根为0，求22413m m -+的值．例6．若在一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是．例7．已知方程2310ax bx --=和2250ax bx +-=有共同的解1-，求a 与b 的值．师生总结1、如何判断一个一元二次方程有一个根为0，有一个根为1，有一个根为1-？师生总结1、什么是一元二次方程的根？2、如何判断一个数是否为一元二次方程的根？考点四：直接开平方法例8．解关于x的方程：290x-=．例9．解关于x的方程：2x-=．51250例10．解关于x的方程：2x-=．96250例11．解关于x)2x-=22592例1．解关于x 的方程：()21342x +=．例2．解关于x 的方程：()2422360x --=．例3．解关于x 的方程：．例4．解关于x 的方程：()223x a -=．例5．解关于x 的2220x kx --=．【过关检测】一、单选题1．（2019·上海市青浦区华新中学八年级月考）下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）师生总结1、直接开平方法适用于那种形式的一元二次方程求解？对于一般的一元二次方程我们能不能直接应用开平方法求①13x 2=1；②（x ﹣2）2=5；③14（x+3）2=3；④x 2=x+3；⑤3x 2﹣3=x 2+1；⑥y 2﹣2y ﹣3=0 A ．1B ．2C ．3D ．42．（2019·上海市西南模范中学八年级期中）方程的根为（ ） A ．1214x x ==B ．1212x x ==C ．10x =，212x =D ．112x =-，20x =3.（黄浦2017期中3）关于x 的方程22()20m m x mx -++=是一元二次方程的条件是（ ） A. 0m ≠ B. 1m ≠ C. 01m m ≠≠或 D. 01m m ≠≠且4.（金山2018期末2）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） （A ）12=ax ； （B ）012=+x ； （C ）112=x； （D ）2)2)(1(x x x =-+． 5.（闸北2018期中4）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．xy +x=yB ．x 2=﹣1C ．ax 2+bx=0D ．（x ﹣5）x=x 2﹣2x ﹣16.（普陀2018期中4）下列关于x 的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 230x = B. 22+21(21)x x x x -=- C. 20ax bx c ++= D. 212x=7.（浦东四署2018期中3）下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 221x y += B. C. 13x x+= D. 456x x += 二、填空题8．（2018·上海市青云中学八年级期中）方程的根是__________________. 9．（2020·上海八年级期中）方程22(1)2020x -=的根是__________．10．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程的实数根为 ____________． 11.（黄浦2017期中14）方程2(1)9x -=的根是 . 12.（松江2018期末3）方程2(1)1x -=的根为 .13.（金山2018期中10）当m 时，关于x 的方程2232mx x x mx -=-+是一元二次方程. 14.（黄浦2017期中13）把方程2(1)3(5)4x x x -=+-化为一元二次方程的一般形式是 . 15.（嘉定2017期中15）下列方程中，220;4;230x x y ax x ==++-=（其中a 是常数）；21(23)2(1);(3)32x x x x x x -=-+=. 一定是一元二次方程的有 （填编号） 三、解答题16．（2020·上海市甘泉外国语中学八年级期中）解方程：()213123x -=．17．（2020·松江区九亭第二中学八年级月考）解方程：18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）()23120x +-=19（闸北2018期中21）解方程：（2x ﹣3）2﹣25=0．。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值． 【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥3．（•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24二、填空题7．（•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．（•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。

专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。

2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X 1= X 2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数 2、移项：把 项移到方程的 边3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX 2 +bx +c =0(a ±0) 满足b 2－4ac ≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A .B =0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】三、一元二次方程根的判别式关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示 ①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根 ③当 时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】方程有两个实数跟，则一、 一元二次方程根与系数的关系：关于X 的一元二次方程aX 2 +bx +c =0(a ±0)有两个根分别为X 1X 2则X 1+X 2 = X 2 =二、 一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型1、 增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa （1+X ）2=b2、 利润问题：总利润= X 或利润 —3、 几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等） 例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx +c =0 C ．（x －1）（x +2）=1 D ．3x 2－2xy －5y 2=0 思路分析：一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：A 、原方程为分式方程；故本选项错误；B 、当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C 、由原方程，得x 2+x －3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D 、方程3x 2－2xy －5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误． 故选C ．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，则a= ．解：∵一元二次方程（a+1）x2－ax+a2－1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2－1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2 （2012•安徽）解方程：x2－2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2－2x=2x+1，∴x2－4x=1，∴x2－4x+4=1+4，（x－2）2=5，∴x－2=±5，∴x1=2+5，x2=2－5．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3 （2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定思路分析：将已知的方程x2－10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．解：x2－10x+21=0，因式分解得：（x－3）（x－7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2－10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a－b之值为何？（）A．－57 B．63 C．179 D．181解：x2－2x－3599=0，移项得：x2－2x=3599，x2－2x+1=3599+1，即（x－1）2=3600，x－1=60，x－1=－60，解得：x=61，x=－59，∵一元二次方程式x2－2x－3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=－59，∴2a－b=2×61－（－59）=181，故选D．3．（2012•南充）方程x（x－2）+x－2=0的解是（）A．2 B．－2，1 C．－1 D．2，－1答案：D考点三：根的判别式的运用例3 （2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－21k x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1－4k＞0，∴－12≤k＜12且k≠0．故选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2－4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例4 （2012•绵阳）已知关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路分析：（1）根据关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．解：（1）证明：∵△=（m+2）2－4（2m－1）=（m－2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2－（m+2）x+（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12－1×（m+2）+（2m－1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1+3+210=4+210．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1答案：A．4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=－3时，求方程的根．解：（1）∵当m=3时，△=b2－4ac=22－4×3=－8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=－3时，原方程变为x2+2x－3=0，∵（x－1）（x+3）=0，∴x－1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=－3．考点四：一元二次方程的应用例5 （2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x－120=0，解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x－120=0，解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．5．解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1－x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）．∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k－2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2B．k≥43且k≠2C．k＞34且k≠2D．k≥34且k≠2解：∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k+1）2－4（k－2）2＞0，∴（2k+1－2k+4）（2k+1+2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞34，故k＞34且k≠2．故选C．3．（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．144解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：x（x+16）=192，解得：x1=8，x2=－24，（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故选：D．5．（2012•日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠2B．k≥且k≠2C．k＞且k≠2D．k≥且k≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义。

第8讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。

（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；（3）x （3x －2）－6x 2-2＝0； （4）x 2＋(3＋1)x ＝0；（5）x （x ＋8）＝-16； （6）（x ＋2）（x －5）＝1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)例2. m 取什么值时，关于x 的方程x 2-2x ＋m －2＝0（1）有两个相等的实数根？ （2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1) x 2－6x ＋1＝0； (2)2x 2－x ＝6；(3)4x 2－3x －1＝x －2； (4)3x(x －3) ＝2(x －1) (x ＋1).（5）x 2+16x-13=0 （6）（x ＋1）2＝2（x ＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥215．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）．A ．0B ．1C ．-1D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=32-±B ．y=32±C ．y=32±D ．y=32-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．已知关于x 的一元二次方程0322=--k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为___ __．10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．12．关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +k=0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为 ．13．已知关于x 的一元二次方程()0212x 22=-+++k x k 的两根为1x 和2x ，且()()02211=--x x x ，则k 的值是 ________。

一元二次方程及参考答案 袁小龙一、填空题1、已知方程x mx 2230+-=的一个根是72-，则方程的另一根是______，m ＝______。

2、当m=______时，关于x 的方程24112022x m x m ++-+=()有两个相等的实数根。

3、当k 为______时，关于x 的方程kx k x k 2120--+=()有实根。

4、m 取______时，方程x m x x 22310--++=()()有两个不相等的实数根。

5、一元二次方程px qx r p 200++=≠()的两个根为0和-1，则q p＝______。

6、设x 1、x 2是方程ax bx c a 200++=≠()的两个根，则1112x x b c++＝______。

7、如果x 1、x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根，那么x 12+x 22=______。

8、已知一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1、x 2，则(x 1-x 2)2=______。

9、若x 1和x 2分别是方程x 2-2mx+m 2-n 2=0的两个根，则x x 12-＝______。

10、设θ为锐角，且x 2+3x+2sin θ=0的两根之差为5，则θ＝______。

11、已知关于x 的方程2x 2-2tx+t=0的两个实数根x 1、x 2满足(x 1-1)(x 2-1)=2，则t t 211--＝______。

12、方程x x 224230-+-=的解是______。

13、二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。

14、若关于x 的方程810702x m x m --+-=()的两根互为相反数，则m ＝______。

15、某钢铁厂的钢产量，今年第一季度平均每月增长率为20%，若3月份钢产量为7200吨，则1月份的钢产量为______吨。

16、已知 x y =-=522 x y ==-62511 是方程x a r b 22221-=的两个解，则正数a 、b 的值分别为______。

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（ ）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案． 解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解； 配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

自学资料一、一元二次方程的解法（直接开平方法）第1页共13页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【知识探索】1．一般地，对于方程，（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：，；（2）当时，方程有两个相等的实数根：；（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实根．【错题精练】例1．解一元二次方程的步骤是：（1）把原方程变形为__________ （2）根据平方根意义，①当，且a，c异号时，方程的解是__________ ．②当，时，原方程的解是，当，且a，c同号时，原方程__________【答案】||无解例2．一元二次方程(x−1)2=2的解是（）A. x1=−1−√2，x2=−1＋√2；B. x1~＝1−√2，x2=1+√2；C. x1~=3，x2~=−1；D. x1=1，x2~=−3．【答案】B例3．已知，则的值为__________【答案】【举一反三】1．关于x的方程能用直接开平方法求解的条件是__________第2页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】m为任意实数2．若实数a，b满足(a2+b2−3)2=25，则a2+b2的值为（）A. 8；B. 8或－2；C. －2；D. 28．【答案】A3．的根是__________【答案】4．用直接开平方法解方程，方程的根为__________【答案】二、一元二次方程的解法（配方法）【知识探索】1．配方法解方程（）的一般步骤是：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为（、是已知数）的形式；（2）通过方程两边同时加“一次项系数一半的平方”，将的左边配成一个关于的完全平方公式，方程化为；（3）①当时，再利用开平方法解方程；②当时，原方程无实数根．【说明】（1）对于一般的一元二次方程，都可以用配方法来解；第3页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（2）由方程（），把移到等式右边，在两边同时除以，得．【错题精练】例1．已知x2−2(n+1)x+4n是一个关于x的完全平方式，则常数n= ．【答案】1例2．用配方法解下列方程：【答案】|例3．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）A. （x﹣n+5）2=1B. （x+n）2=1C. （x﹣n+5）2=11D. （x+n）2=11【解答】解：∵x2﹣8x+m=0，∴x2﹣8x=﹣m，∴x2﹣8x+16=﹣m+16，∴（x﹣4）2=﹣m+16，依题意有n=4，﹣m+16=6，∴n=4，m=10，∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，∴x2+8x+16=﹣5+16，∴（x+4）2=11，即（x+n）2=11．故选：D．【答案】D【举一反三】x2−x−5=0，化成(x+m)2=n的形式得（）1．把方程13第4页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训A. (x−32)2=294；B. (x−32)2=272；C. (x−32)2=514；D. (x−32)2=694．【答案】D．2．关于x的一元二次方程x2−mx−2=0的一个根为﹣1，则m的值为．【答案】1．3．已知可变为的形式，则__________【答案】44．用配方法解下列方程：【解答】略【答案】|5．用适当的数填空__________ =__________【解答】略第5页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训【答案】|三、一元二次方程的解法（因式分解法）【知识探索】1．通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【错题精练】例1．已知2x(x+1)=x+1，则x＝．【答案】−1或12例2．已知实数(x2−x)2−4(x2−x)−12=0，则代数式x2−x+1的值为．【答案】7或-1．例3．直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程的两个实数根，该三角形的面积为__________ .【解答】【答案】【举一反三】1．解方程：第6页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】【答案】2．已知实数x满足（x2−x）2−3（x2−x）−4=0，则代数式x2−x的值为．【答案】43．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是__________ .【解答】【答案】4．解下列方程（1）x2−2x=0；（2）3x(x−1)=2−2x．【解答】（1）解：x(x−2)=0，x1=0，x2=2；（2）解：3x(x−1)+2(x−1)=0，(x−1)(3x+2)=0，．x1=1，x2=−23【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x1=1，x2=−2．3第7页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训四、一元二次方程的解法（公式法）【知识探索】1．当△0时，方程（）的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式．【说明】求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程（）的结果．【错题精练】（b2−4c>0），则x2+bx+c的值为．例1．已知x=−b+√b2−4c2【答案】0例2．若实数a、b满足，则=__________ .【解答】【答案】例3．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．第8页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】（1）解：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，∴△ABC为等腰三角形；（2）解：根据题意得△=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，∴△ABC为直角三角形；（3）解：∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c，∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．【答案】（1）△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；（3）x1=0，x2=−1．【举一反三】1．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）．A. 0B. 1C. -1D. ±1【答案】C2．若方程的一个根为，则另一根为__________ .【解答】【答案】第9页共13页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训3．徐涛同学用配方法推导关于x的一元二次方程的求根公式时，对于的情况，他是这样做的：小明的解法从第__________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是__________ .【答案】四|平方根的定义1．用适当方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）第10页共13页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【解答】【答案】；；；2．方程化为的形式是__________ 。

解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题：(1)n a x A +=，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．内容分析知识结构知识精讲模块一：传播问题一元二次方程应用（二）【例1】 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛? 【难度】★ 【答案】6【解析】设参加比赛有x 个球队，依题意可得方程为()1152x x −=，整理得2300x x −−=，解得：16x =，25x =−（舍），即参加比赛的共有6个球队．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．【例2】 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会? 【难度】★★ 【答案】10【解析】设参加展会共有x 家公司，依题意可得方程为()1452x x −=，整理得：2900x x −−=，解得：110x =，29x =−（舍），即参加展会共有10家公司．【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题可视作单循环赛制．【例3】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? 【难度】★★ 【答案】19【解析】设每轮分裂中可分裂出x 个有益菌，一轮培植后共有()601x +个有益菌，二轮培植 后共有()2601x +个有益菌，依题意可得：()260124000x +=，整理得：()21400x +=，解得：119x =，221x =−（舍），即每轮可分裂出19个有益菌．【总结】二次方程解应用题中的传播问题．例题解析【例4】 我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家? 【难度】★★ 【答案】10【解析】设每人发展x 名下家，依题意可得21111x x ++=， 整理得：21100x x +−=，解得：110x =，211x =−（舍）即每人要求发展10名下家．【总结】二次方程解应用题中的传播问题， 注意二次发展过程中头目不参与发展下家．1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．【例5】 小明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．（利息税为20%，只需要列式子） 【难度】★★【答案】()()1000120%1000500160%120%530x x ⋅−+−⋅+⋅−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．【解析】设第一次存款年利率为x ，则第二次存款年利率为60%x ，第一年本金为1000元，模块二：利率、利润问题知识精讲例题解析则第二年本金为()1000120%1000500x⋅−+−⎡⎤⎣⎦元，依题意可得相应的方程即为()()1000120%1000500160%120%530x x⋅−+−⋅+⋅−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．【总结】利息问题，关键点是考虑清楚本金和相应的年利率．【例6】某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45元，并且商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．（1）每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为4900？（2）若已知按标价的八五折销售该工艺品8件与标价降低35元销售工艺品12件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元?【难度】★★【答案】（1）10；（2）255【解析】（1）设每件工艺品应降价x元，总利润=单个利润×销量，依题意可列相应方程即为()()4510044900x x−+=，解得：1210x x==，即每件工艺品应降价10元；（2）设每件工艺品进价为y元，依题意可得()()885%45124535y y⨯+−=⨯−⎡⎤⎣⎦，解得：255y=，即得每件工艺品进价为155元．【总结】考查利润问题各个量之间的关系．【例7】某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案．稍后见到某旅行社的广告：基价1000元/人，若单位组织超过25人，每增加1人可将人均定价降低20元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社．旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，准备了2.7万元的支票前去结账，却被告知金额不止2.7万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于700元为限．双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的30%的责任．（1）这家单位还应补缴多少金额?（2）对这一场消费纠纷，你有什么想法?【难度】★★★【答案】（1）1350；（2）略．【解析】（1）设这家单位有x 人，依题意可得()1000202527000x x −−=⎡⎤⎣⎦，解得：130x =， 2=45x ，由题意知()10002025700x −−<，由此可得40x >，取2=45x ，即该单位共有 45人，根据调解方案公司应补缴金额为()457002700030%1350⨯−⨯=元；（2）答案不唯一，如：签订合同一定要仔细阅读每一项条款、作为单位不能做虚假宣传， 实事求是，履行告知义务等．【总结】找准问题的关键点在于总人数的求取．【例8】 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）60；（2）200元；（3）不对．【解析】（1）每吨售价240元时，月销量为()45260240107.560t +−÷⨯=；（2）设每吨售价为x 元，依题意可得：()260457.5100900010x x −⎛⎫+⨯−= ⎪⎝⎭，由此可整理得 2420440000x x −+=，解得：1200x =，2220x =，销售遵循“薄利多销”，可知取1200x = 时，销量更大，即每吨材料售价应为200元；（3）由（2）可知月利润()()212603457.51002109075104x W x x −⎛⎫=+⨯−=−−+ ⎪⎝⎭，210x =时 有最大月利润，月销售额()222603457.516019200104x W x x −⎛⎫=+⨯=−−+ ⎪⎝⎭，160x =时 有最大月销售额，两种情况下售价不同，可知小静的说法不对．【总结】考查利润问题，注意区分开来销售总额和总利润之间的联系和差别，根据题意写出相应函数解析式即可进行判断求解．1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．【例9】 如图，如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m ． （1） 养鸡场的面积能达到1502m 吗？ （2） 养鸡场的面积能达到1802m 吗？如果能， 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3） 若墙长为m m ，另三边用竹篱笆围成， 题中的墙长度a m 对题目的解起着怎样的作用？ 【难度】★★【答案】（1）能；（2）不能；（3）略．【解析】（1）设养鸡场宽为xm ，依题意则有()352150x x −=，解得：17.5x =，210x =， 根据墙长，可知35218x −≤，得8.5x ≥，取210x =，即养鸡场面积能达到1502m ； （2）设养鸡场宽为xm ，依题意得()352180x x −=，整理即为22351800x x −+=，方程 235421802150∆=−⨯⨯=−<，方程无解，即养鸡场面积不能达到1802m ； （3）方程有两解的前提下，需判定两解是否符合题意，此时必有352x a −≤，352ax −≥， 判定木栏长度是否能符合题意．【总结】考查方程与实际问题的结合应用，注意题目包含的限制条件．模块三：面积问题知识精讲例题解析【例10】 有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米 【难度】★★【答案】鸡场长为15m ，宽为10m ．【解析】设鸡场宽为xm ，则鸡场长为()3322x m −+⎡⎤⎣⎦，依题意有()3322150x x −+=⎡⎤⎣⎦，解得：17.5x =，210x =，根据墙长，可知35218x −≤，得8.5x ≥，取210x =，即鸡场长为15m ，宽为10m ． 【总结】考查方程与实际问题的结合应用，注意题目包含的限制条件．【例11】 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm ）? 【难度】★★【答案】上下边衬宽度约为1.8cm ，左右边衬宽度约为1.4cm【解析】封面正中央是一个与整个封面长宽比例相同，即为27:219:7=，可设上下边衬宽度为9xcm ，则左右边衬宽度为7xcm ，依题意可得：()()127182114127214x x ⎛⎫−−=−⨯⨯ ⎪⎝⎭，整理得：()227234x −=，解得：1x，2x =，由27180x −>，可得32x <，取2x ，由此可得上下边衬宽度为9 1.8x cm =≈，左右边衬宽度为7 1.4x cm =≈．【总结】考查二次方程的面积问题，注意边衬与原矩形边长成等比例．九年级 练数 学 习同步【例12】 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m ，宽20 m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为2∶1，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到0.1m ）? 【难度】★★【答案】横路宽为2.7m ，纵路宽为1.3m【解析】设纵路宽度为xcm ，则横路宽为2xcm ，依题意可得()()2302202230203x x −−⨯=⨯⨯，解得：110x =+210x =−由20220x −⨯>， 得5x <，取210x =−所以纵路宽为10 1.3x m =−≈，横路宽为220 2.7x m =−≈．【总结】二次方程解应用题中的面积问题，将四条路平移成一个长方形即可求解．【例13】 要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽度． 【难度】★★【答案】硬化路面宽度为10m ． 【解析】设硬化路面宽度为xm ，依题意可得：()()160340260404x x −−=⨯⨯，解得：110x =，230x =，由4020x −>，可得20x <，取110x =，即得硬化路面宽度为10m ．【总结】二次方程解应用题中的面积问题，将两块绿地平移成一个长方形即可求解．A BCD传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式【例14】 如图，矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，t 秒钟后．（1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由． 【难度】★★【答案】（1）26PBQ S t t ∆=−+；（2）2t =或4t =；（3）不存在． 【解析】（1）根据题意可得6BP t =−，2BQ t =，则有 ()21162622PBQS BP BQ t t t t ∆=⋅=−⋅=−+； （2）令268PBQ S t t ∆=−+=，解得：12t =，24t =； （3）令2610PBQ S t t ∆=−+=，方程无解．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．模块五：动态几何类问题知识精讲 例题解析A BCDP QA BCDPQABP【例15】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB边向点B 移动，点Q 从点B 开始以5cm /s 的速度沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ． 【难度】★★ 【答案】21545135222PQD S t t ∆=−+． 【解析】依题意可得：3AP t =，5BQ t =，则有93BP t =−， 155CQ t =−， 则有1145315222APD S AP AD t t ∆=⋅=⋅⨯=， ()21115459352222BPQ S BP BQ t t t t ∆=⋅=−⋅=−+， ()114513591552222CDQ S CD CQ t t ∆=⋅=⨯−=−+，则有21545135222PQD APD BPQ CDQABCD S S S S S t t ∆∆∆∆=−−−=−+矩形 【总结】考查几何类问题中的动点问题，本题采用割补法即可对相应面积进行求解．【例16】 等腰直角三角形ABC 中，AB =BC =8cm ，动点P 从A 点出发，沿AB 向B 移动，通过点P 引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于R 、Q ．当AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于162cm ? 【难度】★★ 【答案】4AP cm =．【解析】四边形PQCR 为平行四边形，易得ARP ∆、PQB ∆都为等腰直角三角形，则有CQ PR AP ==， 8BQ BP AP ==−，由此可得： ()288PQCRSCQ PB AP AP AP AP =⋅=−=−+，令2816PQCRSAP AP =−+=，可得：4AP cm =．【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．B C Q R【例17】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR＝cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ． 【难度】★★★【答案】t =或(8t =+ 等腰直角三角形时， 则有21=52S CQ =阴，得CQt =；面积减小过程中，阴影部分为等腰直角三角形时，则有21=52S BR =阴，得BR =(8t s =+．【总结】考查几何图形中的动点问题，注意面积的变化趋势和相应问题的多解性．【例18】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012h v t gt =−，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求：（1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地? 【难度】★★【答案】（1）1s 或5s 后；（2）6s ．【解析】（1）令201252h v t gt =−=，即213010252t t −⨯=，整理得：2650t t −+=，解得：11t =，25t =； （2）令20102h v t gt =−=，即21301002t t −⨯=，解得：10t =，26t =，即6s 爆竹落地． 【总结】运动问题转化为实际问题，根据题意转化为解方程即可．【例19】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加． 【难度】★★★ 【答案】45．【解析】设共有x 个选手参加比赛，则比赛总场次为()12x x −，每局总得分2分，则总得分为()1x x −分，两相邻数字相乘末尾只能是0，2，6，可知正确分数1980，()11980x x −=， 解得：145x =，244x =−（舍），即共有45个选手参加． 【总结】考查比赛问题，结合末尾数字分析准确分数是解题的关键．模块六：其他类问题例题解析【例20】 一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精? 【难度】★★★ 【答案】10．【解析】设第一次倒出了xL 纯酒精，依题意可得：()601601460602x x x −−−+=⨯， 整理得：21069600x x −+=，解得：110x =，296x =，由60x <，取110x =， 即第一次倒出了10L 纯酒精．【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．【习题1】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【难度】★ 【答案】8【解析】设参加比赛有x 个球队，依题意可得方程为()1742x x −=⨯，整理得2560x x −−=，解得：18x =，27x =−（舍），即应邀请8支球队参赛． 【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．【习题2】 用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由． 【难度】★ 【答案】不能．【解析】设折成矩形的长为xcm ，则其宽为202102xx −=−，依题意可得：()1030x x −=， 方程无解，即不能折出这样的矩形．【总结】本题主要考查一元二次方程在面积问题中的应用．随堂检测【习题3】 小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税） 【难度】★ 【答案】10%．【解析】设第一次存款年利率为x ，则第二次存款年利率为50%x ，第一年本金为100元，则第二年本金为()100150x +−⎡⎤⎣⎦元，依题意可得()()100150150%63x x +−+=⎡⎤⎣⎦，整理 即为250125130x x +−=，解得：1135x =−，2110x =，即第一次存款年利率为10%． 【总结】利息问题，关键点是考虑清楚本金和相应的年利率．【习题4】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少． 【难度】★★【答案】（1）450kg ，6750元；（2）210140040000y x x =−+−；（3）80．【解析】（1）销售单价55元时，相应销量为()500105550450kg −⨯−=，月销售利润为 ()45055406750⨯−=元；（2）总利润=单利×销量，得：()()240500105010140040000y x x x x =−−−=−+−⎡⎤⎣⎦； （3）令2101400400008000y x x =−+−=，整理得：214048000x x −+=，解得：160x =，280x =，月销售成本不超过10000，即有()40500105010000x −−≤⎡⎤⎣⎦，得75x ≥，取280x =，即销售单价应为80元．【总结】考查利润问题，总利润=单个利润×销量，根据题目条件确定相应的单个利润和销量即可．AB CD【习题5】 在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果四周金色纸边的面积是14002cm ，求金色纸边的宽． 【难度】★★ 【答案】5cm ．【解析】设金色纸边宽为xcm ，依题意可得：()()80250280501400x x ++=⨯+， 整理得：2653500x x +−=，解得：15x =，270x =−（舍），即金色纸边宽为5cm ． 【总结】面积问题，根据变化后的图像面积即可求解．【习题6】 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为31米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个2米门，求花圃的长和宽． 【难度】★★【答案】花圃长13m ，宽10m ．【解析】设花圃宽为xm ，则花圃长为3122332x x −+=−，得()332130x x −=，解得：1 6.5x =，210x =，由33215x −≤，得9x ≥，取210x =， 即花圃宽为10m ，长为13m ．【总结】面积问题，注意题目的隐含条件确定相应量的取值．【习题7】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设BC xm =，则有5425xAB −=， 根据题意，得：542725x x −⋅=，解得112x =，215x =，所以5425x−的值6m 或4.8m ． 当墙的长度大于15等于米时，6AB m =12BC m =或 4.8AB m =，15BC m =； 当墙的长度大于等于4.8米小于15米时， 4.8AB m =，15BC m =； 当墙的长度小于4.8米时，无解．【总结】本题考查一元二次方程在面积问题中的应用，由于本题没有告知墙的长度，因此要分类讨论．【习题8】 某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.62m ，上口宽比渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土483m ，需要多少天才能把这条渠道挖完． 【难度】★★【答案】（1）上口宽2.8m ，渠底宽1.2m ；（2）25天【解析】（1）设渠深为xm ，则道上口宽为()2x m +，渠底宽为()0.4x m +，依题意可得()20.4 1.62x x x +++=，解得：12x =−（舍），20.8x =， 即得渠道上口宽为0.82 2.8m +=，渠底宽为0.80.4 1.2m +=； （2）挖土天数为750 1.64825⨯÷=天．【总结】考查工程问题的简单应用，根据面积进行计算即可．【习题9】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量． 【难度】★★★ 【答案】21L ．【解析】依题意可得63632863x x x −−−=，整理得：()226342x −=，由630x −>， 可得：6342x −=，解得：21x =，即每次倒出药液量为21L ． 【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．【习题10】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大? 【难度】★★★ 【答案】乙ABCPQ【解析】设甲种贺年卡降价x 元，依题意可得：()0.35001001200.1x x ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭，整理得：21002030x x +−=，解得：10.1x =，20.3x =−（舍）； 设乙种贺年卡降价y 元，依题意可得：()0.75200401200.25y y ⎛⎫−+⋅= ⎪⎝⎭，整理得：216830y y +−=，解得：10.25y =，20.75y =−（舍）； 由此知甲贺卡降价0.1元，乙贺卡降价0.25元，故乙贺卡降价绝对量大． 【总结】总利润=单个利润×销量，根据题意列出方程即可求解．【习题11】 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由 【难度】★★★【答案】（1）BQ x =，82BP x =−；（2）83x =；（3）2x = 【解析】（1）根据题意可得2AP x =，BQ x =，勾股定理可得8AB ==，则有82BP x =−；（2）△PBQ 为等腰三角形，仅可能BP BQ =，即82x x −=， 解得：83x =；（3）20APQC S =，即20ABC BPQ S S ∆∆−=，由此可得：()1168822022x x ⨯⨯−−=，整理得：()220x −=，解得：122x x ==，此时2x =．【总结】考查几何图形中的动点问题，把相应的线段长度用含有字母的代数式表示出来再根据题意即可进行求解．【作业1】 从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________． 【难度】★ 【答案】264cm ．【解析】设原正方形边长为xcm ，依题意可得()248x x −=，解得：16x =−（舍），28x =， 由此可得正方形铁皮面积为22864cm =．【总结】考查几何图形面积问题，根据面积公式进行相应计算即可．【作业2】 有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的矩形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米． 【难度】★ 【答案】20，13．【解析】设鸡场宽为xm ，则长为()462x m −，依题意可得：()462260x x −=，解得：110x =，213x =，由46225x −≤，得10.5x ≥，取213x =， 即得鸡场宽为13m ，长为20m ．【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可，注意题目的隐含条件．【作业3】 在一块长12m ，宽8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为82m 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号） 【难度】★★ 【答案】()53m −．【解析】设这个宽度为xm ，依题意可得()()122828x x −−=，整理得：210220x x −+=，解得：153x =+，253x =−，由820x −>，得4x <，取253x =−， 即花坛四周宽度为()53m −．【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可．课后作业F E A BCD【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m ，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m ，完成大坝所用去的土方为45003m ，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF ：BF =1：2，迎水坡度1：1=DE ：AE10.049精确到0.1m ） 【难度】★★ 【答案】9.0m ．【解析】设水坝高度为hm ，则有AE h =， 2BF h =，则33AB h =+，依题意可得()13033345002h h ⨯++=，解得：11h −，21h =（舍），由此可得水坝高度为119.0h m ≈． 【总结】考查坡度的概念，根据面积即可进行计算．【作业5】 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌? 【难度】★★ 【答案】15．【解析】设每轮繁殖可繁殖x 个细菌，依题意可得()21256x +=，解得：115x =，217x =−（舍），即每轮可繁殖15个细菌．【总结】二次方程解应用题中的传播问题．【作业6】 从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数? 【难度】★★ 【答案】10L ．【解析】设每次倒出xL 纯酒精，依题意可得2020520x x x −−−=，整理得()220100x −=， 由200x −>，可得：2010x −=，解得：10x =，即每次倒出10L 溶液． 【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．【作业7】 为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口丢下去，7.26秒后听到它落地的声音，已知音速为330米每秒，石头从井口落下的距离s 与时间t 的关系式为212s gt =（g =10米每二次方秒），求这个矿井的深度． 【难度】★★ 【答案】217.8m ．【解析】设石头落到井底时间为ts ，则传播回来的时间为()7.26t −，根据井深可列方程得()21103307.262t t ⨯=−，解得：1 6.6t =，272.6t =−（舍）， 由此可得矿井深度为()3307.26 6.6217.8m ⨯−=． 【总结】考查对题目的分析，理解题意的前提下列方程解题．【作业8】 某同学在初二年级末，将500元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68，购买纪念品．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解） 【难度】★★【答案】方程()()50012401272.68x x +−+=⎡⎤⎣⎦，一般式212500190003170x x +−=．【解析】设半年期利率为x ，依题意可得()()50012401272.68x x +−+=⎡⎤⎣⎦， 整理成一般式即为212500190003170x x +−=． 【总结】考查利息问题，分析清楚相应的本金和利率即可．【作业9】 将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为9000元，售价应该定为多少? 【难度】★★ 【答案】70．【解析】设售价应定为x 元，依题意可得：()()4050010509000x x −−−=⎡⎤⎣⎦， 整理得：()2700x −=，解得：1270x x ==，即售价应定为70元．【总结】利润问题，总利润=单个利润×销量，根据题意表示出单个利润和销量即可．。

第8讲 一元二次方程考纲要求命题趋势 1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法．3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题. 结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.知识梳理一、一元二次方程的概念1．只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________________．二、一元二次方程的解法1．解一元二次方程的基本思想是__________，主要方法有：直接开平方法、__________、公式法、__________.2．配方法：通过配方把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)变形为⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．3．公式法：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)当b 2－4ac ≥0时，x ＝____________.4．用因式分解法解方程的原理是：若a ·b ＝0，则a ＝0或__________．三、一元二次方程根的判别式1．一元二次方程根的判别式是__________．2．(1)b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(2)b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个__________实数根；(3)b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__________实数根．四、一元二次方程根与系数的关系1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________.五、实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找__________；(4)列方程；(5)__________；(6)检验；(7)写出答案．自主测试1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－43．某商品原价200元，连续两次降价a %后售价为148元，下列所列方程正确的是( )A ．200(1＋a %)2＝148B ．200(1－a %)2＝148C ．200(1－2a %)＝148D ．200(1－a 2%)＝1484．已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__________.5．解方程：x 2＋3＝3(x ＋1)．考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0解析：由一元二次方程的定义可知选项A 不是整式方程；选项B 中，二次项系数可能为0；选项D 中含有两个未知数．故选C.答案：C方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A ．－2B ．2C ．5D ．6考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程x 2－4x ＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x ＝4±122＝2± 3. 方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x 2＋3x ＋1＝0.考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4± 2D ．0或8解析：b 2－4ac ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，解得m 1＝0，m 2＝8.故选D.答案：D方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b 2－4ac ＝0，从而得到一个关于m 的方程，解方程求得m 的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况． 触类旁通3 已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋k ＝0(m ≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n 2－4mk 的判断正确的是( )A ．n 2－4mk ＜0B ．n 2－4mk ＝0C ．n 2－4mk ＞0D ．n 2－4mk ≥0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)，即2(k －1)＝－(k 2－1)．解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.综合①②可知k ＝－3. 解法二：依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0. ∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－3考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x )2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5. 答：2011年的年产量为12.5万辆．方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x 的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？1．(2012河北)用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x －2)2＝3C ．(x －2)2＝5D ．(x ＋2)2＝52．(2012江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．14D ．－143．(2012湖南株洲)已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为( )A ．b ＝－1，c ＝2B ．b ＝1，c ＝－2C ．b ＝1，c ＝2D ．b ＝－1，c ＝－24．(2012四川成都)一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A．100(1＋x)＝121 B．100(1－x)＝121C．100(1＋x)2＝121 D．100(1－x)2＝1215．(2012贵州铜仁)一元二次方程x2－2x－3＝0的解为__________．6．(2012浙江绍兴)把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．1．关于x的方程(m2－2)x2＋(m＋2)x＝0是一元二次方程的条件是()A．m≠2 B．m≠±2C．m≠ 2 D．m≠± 22．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a＜2 B．a＞2C．a＜2且a≠1 D．a＜－24．关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则()A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜05．若x＝2是关于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一个根，则a的值为__________．6．孔明同学在解一元二次方程x2－3x＋c＝0时，正确解得x1＝1，x2＝2，则c的值为__________．7．已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根为a，b，则1a＋1b的值是__________．8．解方程：x(x－2)＋x－2＝0.9．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．参考答案导学必备知识自主测试1．B 因为根的判别式b 2－4ac ＝4＋4＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．2．C 把x ＝2代入方程，得c ＝4.3．B 降价a %一次售价为200(1－a %)元，降价a %两次售价为200(1－a %)(1－a %)元，即200(1－a %)2元．4．32 因为a ＝2，b ＝－3，所以x 1＋x 2＝－b a ＝32. 5．解：原方程可化为x 2－3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.探究考点方法触类旁通1．B 把3代入原方程得c ＝6，解原方程得另一个根是2.触类旁通2．解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝9－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－3±52. ∴x 1＝－3＋52，x 2＝－3－52. 触类旁通3．D 因为方程有两个实数根，即有两个相等的或两个不相等的实数根，所以判别式n 2－4mk ≥0.触类旁通4．B 因为a ＝1，c ＝3，所以x 1x 2＝c a＝3. 触类旁通5．解：(1)2x 50－x(2)由题意，得(50－x )(30＋2x )＝2 100，化简，得x 2－35x ＋300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，则x ＝15不合题意，舍去．∴x ＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．品鉴经典考题1．A 原方程变为x 2＋4x ＋4－4＋1＝0，所以(x ＋2)2＝3. 2．B 因为方程有两个相等的实数根，则22－4(－a )＝0，所以a ＝－1.3．D b ＝x 1＋x 2＝1－2＝－1，c ＝x 1x 2＝－2.4．C 因为每次提价的百分率都是x ，则两次提价后价格是原价的(1＋x )2，所以列方程为100(1＋x )2＝121.5．3或－1 解方程：x 2－2x ＋1＝4，∴(x －1)2＝4，x －1＝±2，∴x 1＝3，x 2＝－1.6．解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm ，则(40－2x )2＝484，即40－2x ＝±22，解得x 1＝31(不合题意，舍去)，x 2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为y ＝4(40－2x )x ，即y ＝－8x 2＋160x ＝－8(x －10)2＋800，∴当x ＝10时，y 最大＝800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm 2.(2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm ，从而有2(40－2x )(20－x )＋2x (20－x )＋2x (40－2x )＝550，解得x 1＝－35(不合题意，舍去)，x 2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm ，宽为10 cm ，高为5 cm.研习预测试题1．D 由题意知，m 2－2≠0，得m ≠±2.2．C 因为x 2－2x －5＝x 2－2x ＋1－6＝0，所以(x －1)2＝6.3．C 因为原方程有两个不相等的实数根，所以判别式(－2)2－4(a －1)＞0，且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.4．A 因为方程两根为负，所以两根之和为负，即－p ＜0，所以p ＞0；两根之积为正，即q ＞0.5．±7 因为把x ＝2代入原方程得a 2＝7，所以a ＝±7.6．2 因为a ＝1，c a ＝x 1x 2＝2，所以c ＝2. 7．－65因为a ＋b ＝6，ab ＝－5， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6－5＝－65. 8．解：提取公因式，得(x －2)(x ＋1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1.9．解：(1)设平均每次下调的百分率为x .由题意，得5(1－x )2＝3.2.解方程，得x 1＝0.2，x 2＝1.8.因为降价的百分率不可能大于1，所以x 2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x 1＝0.2＝20%.答：平均每次下调的百分率是20%.(2)小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5 000＝14 400(元)，方案二所需费用为3.2×5 000－200×5＝15 000(元)．∵14 400＜15 000，∴小华选择方案一购买更优惠．。