九年级数学上册 第一章 一元二次方程(第1讲-第14讲)讲义 (新版)苏科版

一元二次方程的解法1、直接开方法：对于形如x ²=k(k ≥0)的方程，我们可以根据平方根的意义，其中x 表示k 的平方根，即x=±k ，所以对于一元二次方程x ²=k 有两个根，它们分别记为k x =1，k x -2=注意：这里有时候要将等号两边看作整体，常见形式：①ax ²=k ②(ax+h)²=k ③（ax+b)²=（cx+d)²例题解析：4x ²-1=0 (x+1)²=2解：412=x 解；将(x+1)看作一个整体21±=x ()21±=+x121-=x 1-2-2=x(3x+2)²=(x-2)²解：将(3x+2)和（x-2）分别看作一个整体 ()()223-±=+x x21-=x 02=x2、配方法：首先要将一个一元二次方程变形为(x+h)²=k,当k ≥0时，然后就可以直接用开平方法求出方程的解。

步骤：①移项：把常数项移到等号的右边；②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数； ③配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； ④用直接开平方法求出变形后的方程；注意：配方法用到一个公式：完全平方公式逆运算：a ²±2ab+b ²=（a ±b ）² 配方法最关键的就是第二个步骤，一定要加上一次项系数一半的平方。

（这里可以不用考虑一次系数前面的正负号）例题分析：x ²+8x+ 4² =(x+ 4 )² x ²-62x+ ()223 =(x- ²加上一次项系数的一半的平方，不需要考虑正负号。

02522=+-x x 解：移项： 2522-=-x x二次项系数化为1：1252-=-x x加上一次项系数一半的平方：2224514525⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x配方：169)45(2=-x解得：4345±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x21=x 212=x3、公式法：一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根是由方程的各项系数决定的，它的实数根是：240)x b ac =-≥ 步骤：① 要将已知方程化为一般表达式，且注意二次项系数不为0；② 计算出△=b ²-4ac 的值，注意各项系数包括符号； ③ 若△=b ²-4ac ≥0，直接带入公式求解；注意：看清楚是指一元二次方程还是指一元一次方程，或只是说方程（两种情况都要考虑）。

苏科版九年级数学说课稿：第1讲一元二次方程一. 教材分析苏科版九年级数学第1讲的内容是一元二次方程。

一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是初中数学的高频考点。

本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。

但他们对一元二次方程的认识还较为模糊，解一元二次方程的方法也不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾旧知识，为新知识的学习做好铺垫。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，学生能够提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的定义、解法及其应用。

2.教学难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和解的判断。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合课堂练习、小组讨论等教学活动。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的定义，了解一元二次方程的特点。

3.课堂讲解：教师讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。

4.案例分析：分析实际问题，引导学生运用一元二次方程解决问题。

5.小组讨论：学生分组讨论，总结一元二次方程的解法及其应用。

6.课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

7.总结拓展：教师引导学生总结本节课所学内容，布置课后作业。

七. 说板书设计板书设计如下：一元二次方程1.因式分解法八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

第1章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法课程标准课标解读1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识点01 一元二次方程的解法——直接开方法1．直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是目标导航知识精讲.【微点拨】用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【即学即练1】1．一元二次方程x2﹣2x＋5＝0的根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】C【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵∵＝（−2）2−4×5＝−16＜0，∵方程无实数根．故选：C．知识点02 一元二次方程的解法——配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.【微点拨】（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．【即学即练2】2．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B ．点P 是ABC 三条内角平分线的交点 C ．点P 是ABC 三条高的交点D ．点P 是ABC 三条中线的交点【答案】D 【分析】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则222PA PB PC ++=()22820032333x y ⎛⎫-+-+⎪⎝⎭，可得P(2，83)时，222PA PB PC ++最小，进而即可得到答案． 【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图， 则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，设P(x ，y)，则222PA PB PC ++=()()22222268x y x y x y ++-+++-=22331216100x y x y +--+=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， ∵当x=2，y=83时，即：P(2，83)时，222PA PB PC ++最小， ∵由待定系数法可知：AB 边上中线所在直线表达式为：883y x =-+，AC 边上中线所在直线表达式为：243y x =-+，又∵P(2，83)满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式，∵点P 是ABC 三条中线的交点， 故选D ．2222()a ab b a b ±+=±知识点03 公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.【微点拨】（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根. 【即学即练3】3．如图，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点(2,1)A ，过A 作AB y ⊥轴于点B ，连OA ，直线CD OA ⊥，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点B 关于直线CD 的对称点B '恰好落在该反比例函数图像上，则D 点纵坐标为（ ）AB ．52C ．73D【答案】A 【分析】设点B 关于直线CD 的对称点2,B a a ⎛⎫' ⎪⎝⎭，易得'//BB OA 求出a 的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数()0ky x x=>的图象经过点(2,1)A ， ∵2k =，∵直线OA 的解析式为12y x =， 20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22bx a =-240b ac ∆=-<∵CD OA ⊥，∵设直线CD 的解析式为2y x b =-+， 则()0,D b ，设点B 关于直线CD 的对称点2,B a a ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 则()22221b a b a ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭∵， 且'//BB OA ，即2112aa -=，解得1a =， 代入∵可得b =， 故选：A ．知识点04 因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【微点拨】（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【即学即练4】4．分式方程228124x x +=--的解为（ ） A ．4x =- B ．2x =C ．2x =或4x =-D ．4x =【答案】A 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：228124x x +=--， 去分母得：2（x ＋2）＋x2−4＝8， 解得：x ＝2或x ＝−4，检验：当x ＝2时，（x ＋2）（x−2）＝0， 当x ＝−4时，（x ＋2）（x−2）≠0， ∵x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝−4． 故选：A ．考法01 配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【典例1】用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（ ）能力拓展A ．2(3)4x +=-B ．2(3)4x -=-C ．2(3)4x +=D ．2(3)4x -=【答案】D 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解：2650x x -+=22223353x x -⨯+=-+()234x -=故选：D ．考法02 根据根的判别式判断一元二次方程根的情况1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.【典例2】关于x 的一元二次方程()2210x m x m +-+=的两个实数根互为倒数，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．0【答案】B 【分析】根据根与系数的关系可得21m =，解得1m =±．将1m =±代入原方程，利用根的判别式验证方程是否有解，由此即可确定m 的值． 【详解】解：设方程的两根为x1和x2． ∵22121x x m m ==，又∵121x x =， ∵21m =． ∵1m =±．当m=1时，原方程为210x +=．判别式224041140b ac =-=-⨯⨯=-<△． 此时原方程没有实数根；当m=-1时，原方程为2210x x +-=．判别式()224241180b ac =-=-⨯⨯-=>△．此时原方程有两个不相等的实数根． ∵符合条件的m=-1． 故选：B题组A 基础过关练1．方程256x x -=的根是（ ） A ．1278x x ==， B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项． 【详解】解：∵256x x -=， ∵2560x x --=， ∵()()780x x +-=， ∵x+7=0，x -8=0， ∵x1=-7，x2=8． 故选：C ．分层提分2．方程x 2＝2x 的解是（ ） A．x ＝2 B ．x C ．x ＝0D ．x ＝2或x ＝0【答案】D 【分析】利用解一元二次方程的因式分解法，即可求解 【详解】 解：x2＝2x ， 移项得：x2﹣2x ＝0， 分解因式得：x （x ﹣2）＝0， 可得x ＝0或x ﹣2＝0， 解得：x1＝0，x2＝2． 故选：D ．3．关于x 的一元二次方程210x x -+=，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】C 【分析】根据根的判别式即可得出答案． 【详解】 解：1,1,1a b c ==-=()224141130b ac ∴∆=-=--⨯⨯=-<∴原方程没有实数根，故选C ．4．将一元二次方程221x x -=配方，其正确的结果是（ ） A ．()212x += B ．()225x -=C ．()211x -=D ．()212x -=【答案】D 【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：221x x -=，配方得：22111x x -+=+，即()212x -=．故选：D ．5．用配方法解方程x 2﹣10x ﹣1＝0时，变形正确的是（ ）A ．（x ﹣5）2＝24B ．（x ﹣5）2＝26C ．（x +5）2＝24D ．（x +5）2＝26 【答案】B【分析】先移项、再配方即可解答【详解】解：21010x x --=，2101x x -=+，21025125x x -+=++，2(5)26x -=．故选B ．6．若关于x 的方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为（） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式2(6)410c ∆=--⨯⨯=，解出c 即可．【详解】根据题意得：2(6)410c ∆=--⨯⨯=，解得：9c =．故选：D ．7．一元二次方程()22x x x -=-的解是（ ）A ．1x =B ．11x =，22x =C．132x +=，232x = D ．11x =-，22x =【答案】B【分析】解出该一元二次方程即可．【详解】∵(2)2x x x -=-，∵(2)(2)0x x x ---=，∵(1)(2)0x x --=，∵1212x x ==，． 故选：B ．题组B 能力提升练1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“∵”如下：m ∵n ＝22()()m m n m n n m n m n ⎧++≥⎨++<⎩，，，若x ∵（﹣2）＝10，则实数x 等于（ ）A ．3B ．﹣4C ．8D ．3或8【答案】A【分析】分2x ≥-和2x <-两种情况，分别可得一个关于x 的方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当2x ≥-时，则2210x x +-=，即2120x x +-=，解得3x =或42x =-<-（舍去）；（2）当2x <-时，则2(2)210x -+-=，即210x +=，解得82x =>-（舍去）；综上，3x =故选：A．2．小明把分式方程24xx x=-去分母后得到整式方程2280x x--=，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（）A．小明的说法完全正确B．整式方程正确，但分式方程有2个解C．整式方程不正确，分式方程无解D．整式方程不正确，分式方程只有1个解【答案】C【分析】解分式方程24xx x=-去分母后得到整式方程2280x x-+=，由于432280=-=-<，得到方程2280x x-+=无实数根，于是得到结论．【详解】解：∵分式方程24xx x=-去分母后得到整式方程2280x x-+=，432280=-=-<，∵方程2280x x-+=无实数根，∵方程24xx x=-无解，故整式方程不正确，分式方程无解，故选：C．3．已知关于x的一元二次方程2210x x m-+-=有两个不相等的实数根，若m为非负整数，且该方程的根都是整数，则m的值为（）A．1B．0C．0或1D．2m<【答案】A【分析】根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则∵＞0，然后列出不等式计算即可，根据m 为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，∵∵=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，∵m＜2；∵m 为非负整数，∵m=0或1，当m=0时，x2-2x -1=0，∵∵=(-2)2-4×1×(-1)=8，∵1x ==± 此时方程的根不是整数，∵m=0舍去；当m=1时，x2-2x=0，∵1202x x ==，，此时方程的根都是整数，∵m=1，故选：A ．4．关于x 的一元二次方程2100x x m -+=的两个实数根分别是1x ，2x ，且以1x ，2x ，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m 的值为（ ）A ．24B ．25C ．24或25D ．无法确定【答案】C【分析】分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确定m 的值．【详解】解：∵当6为底边时，则12x x =，∵10040m ∆=-=，∵25m =，∵方程为210250x x -+=，解得：125x x ==，∵556+>，∵5，5，6能构成等腰三角形；∵当6为腰时，则设16x =，∵36600m -+=，∵24m =，∵方程为210240x x -+=，∵16x =，24x =，∵646+>，∵4，6，6能构成等腰三角形；综上所述：24m =或25．故选：C ．5．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()0b b >以及常数()01k k ≤≤确定实际销售价格为()c a k b a =+-，这里的k 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得b a c a c a b c--=--，据此可得，最佳乐观系数k 的值等于____．【分析】 由b a c a c a b c --=--，得：22()()()()c a b a b a c a -=----，再根据()c a k b a =+-，可得c a k b a -=-，在列方程，解方程可得答案．【详解】 解：由b a c a c a b c--=--，得：2()()()c a b a b c -=-- 即：22()()[()()]()()()c a b a b a c a b a b a c a -=----=---- ∵210c a c a b a b a--⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭ ∵()c a k b a =+- ∵c a k b a-=- ∵210k k +-=解得：112k =，212k = ∵01k ≤≤∵21 2k=不合题意∵k=6．在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，点N在AD边上，点M为BC中点，连接DE、MN、BN，若DE＝MN，cos∵AED，则BN的长为_____．【答案】5【分析】取AD的中点G，连接MG，分点N在点G的左边和右边两种情形，运用勾股定理，三角函数，一元二次方程的知识求解即可．【详解】解：根据题意可分两种情况画图：∵如图1，取AD的中点G，连接MG，∵AG＝DG＝12AD＝2，∵点M为正方形ABCD的边BC中点，∵MG∵AD，MG＝AB＝AD，∵∵MGN＝∵A＝90°，在Rt∵ADE和Rt∵GMN中，DE MN AD GM =⎧⎨=⎩， ∵Rt∵ADE∵Rt∵GMN （HL ），∵∵GNM ＝∵AED ，∵cos∵GMN ＝cos∵AED GN MN=，∵设GN x ，MN ＝17x ，∵222GN GM MN +=，∵221716289x x +=，∵x ＝17，x ＝－17（舍去）， ∵GN ＝1，∵AN ＝1，∵BN；∵如图2，取AD 的中点G ，同理可得Rt∵ADE∵Rt∵GMN （HL ），∵∵GNM ＝∵AED ，∵cos∵GMN ＝cos∵AED ＝GN MN ，∵设GN x ，MN ＝17x ，∵222GN GM MN+=，∵221716289x x+=，∵x，x（舍去），∵GN＝1，∵AN＝3，∵BN5，故答案为：5．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y＝kx（k＞0）的图象上有两点A，B（点A在B上方），直线AB的解析式为y＝k'x+18．在第一象限内有一点C（8，12），∵ACB＝90°，若∵ABC和∵ABO的面积相等．则k的值为_____．【答案】845或52813．【分析】分当点C和O在AB的两侧和同侧两种情形分别求解即可．【详解】解：分两种情形讨论：（1）当点C和O在AB的两侧时，如图1中，过点C作CE∵AB于E，连接OC交AB于F．设直线AB 交y轴于点M，交x轴于点N，取AB的中点G，连接CG．过O作OD∵AB于点D．∵S∵ABC＝12•AB•CE，S∵ABO＝12•AB•OD，且∵ABC和∵ABO的面积相等，∵CE＝OD∵∵FEC ＝∵FDO ＝90°，∵EFC ＝∵DFO ，∵∵EFC∵∵DFO （AAS ），∵CF ＝OF ，∵O （0，0），C （8，12），∵F （4，6），∵直线AB 的解析式为y ＝k′x+18，∵k′＝﹣3，∵直线AB 的解析式为y ＝﹣3x+18，∵M （0，18），N （6，0），∵G 是AB 的中点，∵GA ＝GB ，∵AM ＝BN ，（这个一般结论的证明如下：构造如图所示的图形，四边形PQOH 是矩形，∵PQ∵OM ，∵a m b n=， ∵PH∵ON ，∵m c l d=， 如图，∵=,c s k a s k d k b k --=，（其中S 是矩形PQOH 的面积），∵a cb d=，即m mn l=，∵n=l，即AM=BN）∵GM＝GN，∵G（3，9），∵∵ACB＝90°，GA＝GC，∵CG＝AG，设A（m，﹣3m+18），则有（m﹣3）2+（﹣3m+18﹣9）2＝（8﹣3）2+（12﹣9）2，解得m＝3，当m＝33m+18＝3（），∵k＝（3×3（）＝845．（2）当点C和点O在AB的同侧时，如图2中，由题意可得OC∵AB，∵C（8，12），直线AB：y＝k′x＝18，∵直线AB的解析式为y＝32x+18，∵M（0，18），N（﹣12，0），∵GA＝GB，AM＝BN，∵GM＝GN，∵G（﹣6，9），∵∵ACB＝90°，GA＝GB，设A （m ，32m+18），则有（m+6）2+（32m+18﹣9）2＝（8+6）2+（12﹣9）2，解得m ＝﹣6，∵k ＝（﹣×32（52813，∵k 的值为845或52813． 故答案为为845或52813．题组C 培优拔尖练1．方程340x x -=的解是（ ）A ．2或0B ．±2或0C ．2D ．－2或0【答案】B【分析】首先提公因式，再根据平方差公式分解因式，即可得出结论．【详解】解：∵340x x -=，∵()()220x x x +-=，∵0x =或2x =或2x =-，故选：B ．2．若实数a （a ≠0）满足a ﹣b ＝3，a +b +1＜0，则方程ax 2+bx +1＝0根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有两个实数根【答案】B【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．【详解】解：在方程ax2+bx+1＝0中，∵=b2﹣4a ，∵a ＝3+b ，代入a+b+1＜0和b2﹣4a 得，b ＜﹣2，b2﹣4（3+b ）= b2﹣4b ﹣12= (b+2)(b ﹣6)∵b+2＜0， b -6＜0，∵(b+2)(b -6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B ．3．等腰三角形的一边长是4，方程2610x x m -++=的两个根是三角形的两边长，则m 为（ ） A ．7B ．8C ．4D ．7或8【答案】D【分析】两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：∵一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，∵两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解．【详解】∵一边为腰一边为底，当4为底时，有 246410m -⨯++=，解得7m =，此时2680x x -+=解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去；同理，当4为腰时，解得另一根为2，三角形三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系故m=7∵方程两根都为腰，此时=0∆即()()26410m ∆=--+=，解得m=8综上所述，m=7或8故选D ．4．要使关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根，且使关于x 的分式方程2244x a x x++=--的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】B【分析】根据一元二次方程根的情况得到0a ≠且()224?10a ∆=--≥解得：1a ≥-且0a ≠，再把分式方程化简求值得：6x a =-+，因为解为非负数，60a -+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠，所以16a -≤≤且0,2a a ≠≠，即可得出满足题意的整数解．【详解】解：关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个实数根则2024(1)0a a ≠⎧⎨∆=--⎩1a ∴≥-且0a ≠关于x 的分式方程2244x a x x++=-- 去分母得：(2)2(4)x a x -+=-解得：6x a =-+分式方程的解为非负数60a ∴-+≥且64a -+≠即6a ≤且2a ≠16a ∴-≤≤且0,2a a ≠≠∴满足题意的整数a 的值为1,1,3,4,5,6-故答案为：B ．5．关于x 的方程k 2x 2＋(2k -1)x+1 =0有实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．当k=12时，方程的两根互为相反数B ．当k=0时，方程的根是x=-1C ．若方程有实数根，则k≠0且k≤14 D ．若方程有实数根，则k≤14【答案】D【分析】 先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据k 的取值范围解答即可．【详解】解：若k≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∵∵=（2k -1）2-4k2=-4k+1≥0，∵k≠0且k≤14，即A 错误；若k=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B 错误，C 错误．故选：D ．6．若反比例函数1y x=-的图像上有两个不同的点关于x 轴的对称点都在一次函数y x b =-+的图像上，则b 的取值范围是（ ） A ．2b >B ．2bC ．22b -<<D ．2b >或2b <- 【答案】D【分析】设反比例函数上有一点A(m ，1m -)，则关于x 轴对称点B(m ，1m)，代入一次函数可得关于m 的一元二次方程，利用判别式来确定b 的取值范围．【详解】设反比例函数上有一点A(m ，1m -)，则关于x 轴对称点B(m ，1m) ∵点B 在一次函数上，代入得：1m b m =-+ 化简得：210m bm -+=∵有两个不同的点关于x 轴的对称点都在一次函数上∵关于m 的一元二次方程210m bm -+=有两个不同的解∵∵=()24b --＞0解得：2b >或2b <-故选：D7．从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的方程2(12)210a x x ---=有实数解，且使关于x 的分式方程1133x ax x +=--有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 值之和是（ ）．A ．﹣3B ．12-C ．32-D ．2【答案】B【分析】根据一元二次方程的判别式求出符合条件的a 的值，再根据分式方程求出符合条件的a 的值，由此确定符合条件的共同的a 值，即可计算得到答案.【详解】∵关于x 的方程2(12)210a x x ---=有实数解， ∵∆≥0，即4+4（1-2a ）≥0，∵a≤1，故符合一元二次方程有实数解的a 值是：-3，-1，12，1； 1133xax x +=--， 去分母得：ax -1=x -3， 解得21x a =--， ∵关于x 的分式方程1133x ax x +=--有整数解， ∵a=-1或12， ∵这5个数中所有满足条件的a 值之和是-1+12=-12， 故选：B.。

一元二次方程第一讲：一元二次方程的定义 教学目标：认识一元二次方程、理解并掌握一元二次方程的定义、能够辨析一元二次方程的一般形式、对于二次项系数的讨论要时刻谨记。

教学重点：清晰的理解和掌握一元二次方程各个组成部分的内在含义和联系，对于常见考点和易错点有更加深刻的认识。

导学相关：1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

3、常见考点一元二次方程的基本定义【例】下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2130x x+=； B ．2310x y -+=； C ．()()232x x x --=； D ．()()31313x x -+=；4、举一反三1. 方程()()5-122-32x x x =+的一般形式是 ． 2.关于x 的方程ax 2−3x +2=0是一元二次方程，则a 满足的条件是（ ）A.a >0B.a ≠0C.a =1D.a ≥03.若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=________．5、课堂作业1x 2＋5＝0的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2．关于x 的一元二次方程(x －4)(x ＋2)＝0的一般形式是 ．3．关于x 的方程(m －1)x 2－mx ＋5＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是 ．4．方程5x 2＝6x －8化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ．5．根据题意，列出方程(不必求解)：(1)一个数平方的2倍与3的差是5，设这个数是x，则可以列出方程为；(2)操场上环形跑道的中间是一块长方形草坪，测得草坪的长比宽多45m，面积是3400m2，设草坪的宽为xm，则可列出方程为；(3)一个小组若干人，新年互送贺年卡，已知全组共送贺卡156张，设这个小组共有x人，则可列出方程为；(4)学校中心大草坪上准备建两个面积相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半，已知草坪是长80米、宽60米的长方形，设花坛的半径是x米，则可列出方程为．6．下列方程中，是一元二次方程的是( )A．x2－4＝0 B．x＝1xC．x2＋3x－2y＝0 D．x2＋2＝(x－1)(x＋2)7．将方程＋1)x＝x－2)x化简整理后写成一般形式，其中a、b、c分别是( )A l B1C3D、l8．方程(m＋2) x︱m︱＋3 m x＋1＝0是关于x的一元二次方程，则( ) A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±29．把下列方程整理成一元二次方程的一般形式，分别指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项．(1)(x＋5)(x－3)＝x；(2)2x(x＋3)＝0；(3)(x－7)(x＋7)＝1；(4)x(x－3)＝5x－1．10．根据题意，列出方程(不必求解)：(1)有一个面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少?(2)渠道的横断面是等腰梯形，上口宽比渠深多2米，渠底宽比渠深多0．4米，已知横断面积为100平方米，上口宽为多少?11．以－2、3、0三个数同时作为一个一元二次方程的系数和常数项，请尽可能多地写出满足条件的不同的一元二次方程．12．根据题意，列出方程(不必求解)：同一平面内若干条直线最多形成210个交点，则共有多少条直线?13．小东认为，关于x的方程(m2＋m－2)·x m＋1＋3x＝6不可能是一元二次方程，你认为小东的话有无道理?为什么?课堂练习答案10 5 2．x2－2x－8＝0 3．m≠l 4．5、－6、85．(1)2x2－3＝5 (2)x(x＋45)＝3400(3)x(x－1)＝156 (4)2πx2＝12(80×60－2πx2)6．A 7．C 8．B 9．(1) x2＋x－15＝0 1、1、－15(2) 2x2＋6x＝0 2、6、0 (3) x2－50＝0 1、0、－50(4) x2－8x＋l＝0 1、－8、l 10．(1)54 (2) 10011．答案不惟一－2x2＋3x＝0或－2x2＋3＝0或3x2－2x＝0或3x2－2＝012．设共有n条直线，则12n(n－1)＝21013．有道理，由m＋1＝2得m＝1，即m2＋m－2＝0，故这个方程不可能是一元二次方程．。