2021-2022学年四川省泸县第五中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．2 B ．2i C ．2- D ．2i -【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出z ，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为(12)5z i +=，所以55(12)12(12)(12)i z i i i -==++-5(12)125i i -==-， 所以复数z 的虚部为2-. 故选：C2．命题“2,10x R x x ∀∈++≥”的否定是 A ．2,210x R x x ∀∈++< B ．2,210x R x x ∀∉++< C ．2,210x R x x ∃∉++< D ．2,210x R x x ∃∈++<【答案】D【详解】试题分析：由命题的否定可知选D 【解析】命题的否定3．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 【答案】D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ．4．函数3()f x x x =+在点1x =处的切线方程为（ ） A ．420x y -+= B ．420x y --= C ．420x y ++= D ．420x y +-=【答案】B【分析】首先求出函数()f x 在点1x =处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．．【详解】∵()231f x x ='+，∴切线斜率()14k f ='=， 又∵()12f =，∴切点为()1,2， ∴切线方程为()241y x -=-， 即420x y --=． 故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．y =B ．y x =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>即c a =.又c a ==2212b a =，b a =.则其渐近线方程为y x =，故选B. 6．已知a 、R b ∈，则使得a b >成立的一个充分不必要条件为（ ） A ．22a b > B ．a b π>+ C ．a b π>- D ．a b x x >【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合特殊值法、不等式的基本性质判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，取2a =-，1b =，则22a b >，但a b >不成立，A 不合乎要求； 对于B 选项，a b b π>+>，则a b a b π>+⇒>，但a b a b π>⇒>+/，如取2a =，1b =，B 满足要求；对于C 选项，取2a =，3b =，则a b π>-成立，但a b >不成立，C 不合乎要求； 对于D 选项，若01x <<，由a b x x >可得a b <，D 不合乎要求. 故选：B.7．函数()321132f x x x =+的单调递增区间是（ ）A ．()(),1,0,∞∞--+B ．()(),10,∞∞--⋃+C ．()1,0-D ．()(),0,1,-∞+∞【答案】A【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】由()()32211(1)0032f x x x f x x x x x x '=+⇒=+=+>⇒>，或1x <-，故选：A8．如图给出的是计算111124620++++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（ ）A ．10i >B ．10i <C ．20iD ．20i ≤【答案】D【分析】根据循环程序的功能进行判断即可.【详解】因为该循环结构是先判断后执行，所要计算的式子中最后一项的分母是20， 所以最后一次循环时22i =，这时需要退出循环，因此判断语句为20i ≤， 故选：D9．已知积分()101kx dx k +=⎰，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】A【分析】先求出被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理即可得出答案． 【详解】因为()101kx dx k +=⎰，所以21102kx x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以12k ＋1＝k ， 所以k ＝2. 故选：A10．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,8)B ．[2,8]C ．(,2][8,)-∞⋃+∞D ．[2,8)【答案】A【分析】求导得()22x a f x x -'=，等价于()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，解不等式组()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩即得解.【详解】解：()222a x af x x x x='-=-，令()22g x x a =-，由于函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数，则()22g x x a =-在区间()1,2的函数值有正有负，而二次函数()22g x x a =-开口向上，对称轴为y 轴，所以()22g x x a =-在区间()1,2上递增，所以()()120280g a g a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，解得28a <<.所以实数a 的取值范围是()2,8. 故选：A .11．已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（ ）A B C D ．【答案】C【分析】根据圆的对称性，结合圆的切线性质、两点间距离公式、勾股定理进行求解即可.【详解】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上， 所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C12．定义域为R 的可导函数y=f(x)的导函数为'()y f x =，且满足()()0f x f x '+<，则下列关系正确的是A ．2(1)(0)(1)f f f e e<<- B ．2(0)(1)(1)f f f e e-<< C ．2(0)(1)(1)f f f e e -<< D ．2(0)(1)(1)f f f e e -<< 【答案】C【分析】根据题意构造函数并求导()()()',0x g x e f x g x =<，可得到函数的单调性，通过赋值得到结果.【详解】构造函数()()()()()'',0x x x g x e f x g x e f x e f x ==+<，故函数()g x 是单调递减的函数，故得到()()()()()()1101101g g g f f ef e->>⇔->> 化简得到2(0)(1)(1)f f f e e -<< 故答案为C.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于比较大小的题目，可以直接代入函数表达方式中，直接比较大小，如果函数表达式比较复杂或者没有函数表达式，则可以研究函数的单调性或者零点进而得到结果. 二、填空题13．已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为_______ 【答案】23-【详解】两直线平行则斜率相等，所以23m-=，解得23m =-14．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a 等于___【答案】214【分析】首先求出x ，y 的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可． 【详解】：14x =（1+2+3+4）＝2.5，14y =（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是ˆy=-0.7x +a ，可得3.5＝﹣1.75+a ， 故a ＝214． 故答案为214【点睛】本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题15．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字74.若在个､十､百､千位档中随机选择一档拨一颗下．珠，再从四个档中随机选择两个不同档位各拨一颗上．珠，则所表示的数字小于400的概率为__________【答案】180.125 【分析】先求出在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同挡位各拨一颗上珠，共1244C C n ==24种，再分两种情况讨论利用古典概型的概率公式得解.【详解】解：由题意，在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个不同挡位各拨一颗上珠，共1244C C n ==24种，①当在个、十位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同挡位各拨一颗上珠时，得到的数字小于400，有1222C C =2个；②当在百位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机从个、十位两个不同挡位各拨一颗上珠时，得到的数字小于400，有22C =1个．所以所拨数字小于400的概率为P 211248+==． 故答案为：18．16．已知函数2ln ()2,()e x x af xg x x x=+=-，若()()f x g x ≤在(0,)+∞恒成立，实数a 的取值范围为____.【答案】(],1-∞【分析】构造不等式构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】由()()f x g x ≤2ln 2e x x ax x⇒+≤-，因为,()0x ∈+∞， 所以由2222ln 2e ln 2e ln(e )e x x x x x ax x x a x x a x x+≤-⇒+≤-⇒≤-， 令2e x x t =，当,()0x ∈+∞时，令222()e ()e 2e 0x x x g x x g x x '=⇒=+>， 所以函数()g x 是增函数，所以有()(0)00g x g t >=⇒>， 所以ln t t a ≤-在(0,)t ∈+∞上恒成立，ln ln t t a a t t ≤-⇒≤-，令()ln h t t t =-，即11()1t h t t t-'=-=，当1t >时，()0,()h t h t '>单调递增，当01t <<时，()0,()h t h t '<单调递减，所以min ()(1)1h t h ==， 所以要想ln t t a ≤-在(0,)t ∈+∞上恒成立，只需1a ≤， 故答案为：(],1-∞【点睛】关键点睛：构造函数利用导数的性质是解题的关键. 三、解答题17．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ-=．（1）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；（2）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点A ，B ，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求||||PM PN ．【答案】（1）曲线C ：22(1)(2)9x y -++= ；直线1l 的直角坐标方程30x y --=；（2）8.【分析】（1）直接利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+即可化曲线C 与直线1l 的极坐标方程为直角坐标方程；（2）直线2l 的参数方程1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），将其代入曲线C 的普通方程，利用根与系数的关系可得M 的参数为122(cos sin )2t t αα+=-，设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=求得34cos sin t αα=-．则||||PM PN 可求．【详解】解：（1）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+，即22(1)(2)9x y -++=，1:(cos sin )3l ρθθ-=，即1:cos sin 3l ρθρθ-=，所以直角坐标方程为：30x y --=；（2）直线2l 的参数方程1cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=， 设A ，B 两点的参数分别为1t ，2t ，则124(cos sin )t t αα+=-．M 为AB 的中点，故点M 的参数为122(cos sin )2t t αα+=-， 设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=，整理得34cos sin t αα=-．∴1234||||2cos sin 82cos sin t t PM PN t αααα+==-=-． 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型.18．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目．选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分．假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率．【答案】（1）90分；（2）76，77，78；（3）25．【分析】（1）小明原式分所在分值区间，结合频率直方图计算出该分值区间的人数占比，结合已知赋分规则，即可确定小明历史成绩的最后得分.（2）由赋分规则计算出赋分为90分、80分的人数，结合茎叶图及小明原始分大概分值，即可知小明的原始成绩的可能值.（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，列举出五科中任选两科的所有可能组合，应用古典概型求概率的方法即可求概率.【详解】（1）∵此次考试历史成绩落在(]80,90，(]90,100内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的历史成绩为82分，大于80分，处于前15%， ∴小明历史成绩的最后得分为90分．（2）40名学生中，地理赋分为90分有4015%6⨯=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分有4035%14⨯=人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；∵小明的地理成绩最后得分为80分，且原始成绩为70多分， ∴小明的原始成绩的可能值为76，77，78．（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A 、a 、b 、c 、d ，∴小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共10种，而其中包括地理的有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d 共4种，∴小明选考科目包括地理的概率为：42105P ==． 19．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值. 【答案】(1)1,12a b ==-；(2)-4.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b ='+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0{(2)16f f c ==-'即120{8216a b a b c c +=++=- ，化简得120{48a b a b +=+=-解得1{12a b ==- （2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x ='-令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数． 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '==0，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（1）根据函数()f x =x 3-3ax 2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a ，b 的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．20．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．） 57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆˆˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑，， 相关系数()()niix x y y r --=∑．【答案】（1） 3.229.8y x =-+；（2）相关系数为0.97-，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【解析】（1）结合已知数据和参考公式求出a 、ˆb这两个系数，即可得回归方程； （2）根据相关系数的公式求出r 的值，再结合r 的正负性与r 的大小进行判断即可． 【详解】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆ17 3.2429.8a y bx=-=+⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程为 3.229.8y x =-+；（2）()()0.97niix x y y r --==≈-∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【点睛】本题考查线性回归方程的求法、相关系数的计算与性质，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8． （1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程. 【详解】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，此时248MN p ==≠，不满足，舍去； 当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则216160k ∆=+>，且212224k x x k ++=由抛物线定义得122222122444||||||(1)(1)22x k k MN MF NF x x x k k ++=+=+++=++=+= 即22448k k+=，解得1k =± 因此l 的方程为1y x =-或1y x =-+.（2）由（1）取1,k =直线l 的方程为1y x =-，所以线段MN 的中点坐标为(3，2)， 所以MN 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，该圆的圆心到直线l 的距离为d，则d ===因为该圆与准线1x =-相切，所以()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩， 解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩, 当圆心为(3,2)时，半径为4，当圆心为(11,6)-时，半径为12， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【点睛】关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键. 22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+， 又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。
