高中数学：1.4逻辑联结词“且,或,非” 教案 (北师大选修1-1)

1．4 逻辑联结词“且”“或”“非”
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。

3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。

4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两
种解释: “不可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或 . 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。

5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保
险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路。

第一章常用逻辑用语第4.1节逻辑联结词“且”第4.2节逻辑联结词“或”第4.3节逻辑联结词“非”教学过程：学生探究过程：1、引入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的数学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。

在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

为叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。

（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）2、思考、分析问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。

学生很容易看到，在第（1）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题，在第（2）组命题中，命题③是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题，。

问题2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子？例如：命题p：菱形的对角线相等且菱形的对角线互相平分。

命题q：三条边对应成比例的两个三角形相似或两个角相等的两个三角形相似。

3、归纳定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。

一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。

一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p读作“非p”或“p的否定”。

命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或”字与下面两个命题中的“且”字与“或”字的含义相同吗？（1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。

§4 逻辑联结词“且”“或”“非”教学目标：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解复合命题的结构.教学重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。

教学难点：对“或”的含义的理解；教学手段：多媒体知识点用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”.当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p 且q”就是假命题.用逻辑联结词构造新命题例1(1)命题“1不是素数且不是合数”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题.(2)命题“5≥3”中使用的逻辑联结词是________，所以此命题是________形式命题.(3)命题p“方程x2＋5＝0没有实数根”，则﹁p为________.名师指津1.本例主要训练学生对逻辑联结词“或”“且”“非”的应用，加深对逻辑联结词的理解.所以在解题过程中，不但要注意从结构上组成“p或q”与“p且q”形式的复合命题，同时还应从字面上对语句的表达加以适当地调整.2.命题的否定与命题的否命题的区别：含逻辑联结词的命题的真假判断例2.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题的真假.(1)p：3＞3，q：3＝3；(2)p：A⊆A，q：A∩A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有交点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根.名师指津1.含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：(1)确定它的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假.2.“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假判断可分别对应概括为三句话：“p且q中有假则假”、“p或q中有真则真”“p与﹁p真假相反”.逻辑联结词的应用例3.已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.名师指津1.正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键.由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p，q至少一真.2.充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集.练习1.命题“若a＞b且b＞c，则a＞c”的否定是( )A.若a＞b且b＞c，则a≤c B .若a＞b且b＞c，则a＜cC.若a≤b或b≤c，则a≤cD.若a≤b或b≤c，则a＜c练习2.分别用“p且q”“p或q”“非p”填空：(1)命题“15能被3与5整除”是________形式；(2)命题“16的平方根不是－4”是________形式；(3)命题“李强要么是学习委员，要么是体育委员”是________形式.。

用联系的思想学习逻辑联结词逻辑联结词“或、且、非”与集合的关系有着密切的关系，联系集合中的“并、交、补”集的概念对学习逻辑联结词很有帮助。

一、“或”与“并集”集合}A∈B∈=或中的“或”，它是指“AA|x{Bxxx∈”其中至少x∈”、“B一个是成立的：即Ax∈，且x∈，且Bx∈；也可以Ax∉，且Bx∉；也可以Ax∈．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不B同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”．由“或”联结两个命题p和q构成的复合命题“p或q”，在“p真q假”、“p假q真”、“p真q真”时，都真．例1 判断下列例题的真假（1）04≥4≥（2）5解：（1）命题“04≥”是由命题0=qp用“或”联结后构成的新命题，4:>,04:即qp∨是真命题；p∨。

因为命题q是真命题，所以q（2）命题“44≥”是由命题5p用“或”联结后构成的新命题，即4:>=q4:,5p∨是假命题；qp∨。

因为命题p是假命题，命题q也是假命题，所以q二、“且”与“交集”集合}A∈∈B中的“且”，它是指“A=且{B|xxAxx∈”都要满足的x∈”、“B意思：即x既属于集合A，同时又属于集合B．用“且”联结两个命题p与q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，“p且q”真．例２写出由下列各组命题构成的“p且q”形式的复合命题，并判断其真假：（1）p：3是9的约数，q：3是18的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相垂直．解（1）3是9的约数且是18的约数．此为真命题；（2）矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题；点评判断“p且q”的真值时，可简称为“有假则假”．三、“非”与“补集”“非”有否定的意思，一个命题p 经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p ”，当p 真时，则“非p ”假，当p 假时，则“非p 真．若将命题p 对应集合p ，则命题非p 就对应着集合p 在全集U 中的补集U P ．例3 写出下列各命题的否定，并判断其真假.（1）x y p sin :=是奇函数；（2）3)3(:2=-q解：（1）x y p sin : =⌝不是奇函数，假命题.（2）3)3(: 2=/-⌝q ,即3)3(: 2>-⌝q 或3)3(2<-，假命题.。

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§4逻辑联结词“且”“或”“非”错误!用逻辑联结词构成新命题如图所示,有三种电路图.问题1:甲图中，什么情况下灯亮?提示:开关p闭合且ｑ闭合．问题２：乙图中,什么情况下灯亮？提示:开关p闭合或ｑ闭合．问题3：丙图中什么情况下灯不亮？提示:开关p不闭合.用逻辑联结词“且"“或”“非”构成新命题（1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q,构成一个新命题“p且q”．(2)用逻辑联结词“或＂联结两个命题p和q,构成一个新命题“p或q”．（3)一般地,对命题ｐ加以否定，就得到一个新命题,记作綈p，读作“非p”。

含逻辑联结词命题的真假在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中,若开关p,q的闭合与断开分别对应着命题ｐ，q 的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q,p或ｑ，非p的真与假.问题1:什么情况下，p且q为真命题？提示:当ｐ真,且q真时．问题2:什么情况下,p或q为假命题?提示:当p假，且q假时．问题3:什么情况下,綈p为真命题？提示：当p为假时.含有逻辑联结词的命题的真假判断ｐq非p p或q ｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假１．新命题“p且ｑ”的真假概括为:同真为真,有假为假;2．新命题“p或q"的真假概括为:同假为假，有真为真;3．新命题綈p与命题p的真假相反．错误!利用逻辑联结词构造新命题［例１] .(1）p:6是自然数;q：6是偶数．(2)p:菱形的对角线相等；q:菱形的对角线互相垂直.(3)ｐ：3是9的约数；q:3是１8的约数．[思路点拨］先用逻辑联结词将两个简单命题连起来,再用数学语言综合叙述．[精解详析] （1)ｐ或ｑ:6是自然数或是偶数.ｐ且q:6是自然数且是偶数．綈p:６不是自然数.(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直.p且q：菱形的对角线相等且互相垂直.綈p：菱形的对角线不相等．(3)p或q：3是9的约数或是18的约数.p且q：３是９的约数且是18的约数.綈p:3不是9的约数.[一点通]用逻辑联结词“且”“或"“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形.1．给出下列命题:①200４年10月1日是国庆节,又是中秋节；②１0的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x=±1。

4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．知识点一含有逻辑联结词“且”“或”的命题思考1观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？思考2观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？梳理(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．知识点二含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假思考1你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q 的真假有关系吗？思考2你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q 的真假有关系吗？梳理(1)含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：①“p且q”形式命题：当命题p、q都是________时，p且q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是__________时，p且q是假命题．②“p或q”形式命题：当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是__________；当p、q两个命题都是假命题时，p或q是__________．(2)命题真假判断的表格如下：类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．跟踪训练1分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)3是质数或合数；(2)他是运动员兼教练员．命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．反思与感悟(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤第一步：确定两个简单命题p，q；第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p且q”“p 或q”．跟踪训练2分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等；(3)p：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．类型二“p或q”和“p且q”形式命题的真假判断例3分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”形式的新命题的真假．(1)p：2>2，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．反思与感悟判断p且q与p或q形式的命题真假的步骤(1)首先判断命题p与q的真假；(2)对于p且q，“一假则假，全真则真”，对于p或q，只要有一个为真，则p或q为真，全假为假．跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．(1)p：3是无理数，q：π不是无理数；(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．类型三“p或q”与“p且q”的应用例4已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的解集是∅，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．反思与感悟由p或q为真知p、q中至少一真；由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．跟踪训练4已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．“p为真命题”是“p且q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．5．已知p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_____________．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少有一个为真．答案精析问题导学知识点一思考1命题③是将命题①②用“且”联结得到的．思考2命题③是将命题①②用“或”联结得到的．梳理(1)p且q(2)p或q知识点二思考1①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．思考2①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．梳理(1)①真命题假命题②真命题假命题(2)真真假真假真假假题型探究例1解(1)是p且q形式命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p或q形式命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是p或q形式命题．其中p：2>2，q：2＝2.跟踪训练1解(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．例2解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．跟踪训练2解(1)p或q：π是无理数或e不是无理数；p且q：π是无理数且e不是无理数；(2)p或q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；p 且q ：方程x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；(3)p 或q ：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任意一个内角；p 且q ：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任意一个内角．例3 解 (1)∵p ：2>2，是假命题， q ：2＝2，是真命题，∴命题“p 或q ”是真命题；“p 且q ”是假命题． (2)∵p ：∅是{0}的真子集，是真命题； q ：0∈∅，是假命题， ∴命题“p 或q ”是真命题； “p 且q ”是假命题．(3)∵p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图像与x 轴有交点，是假命题，q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题． 跟踪训练3 解 (1)∵p 真，q 假， ∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真． (3)∵p 假，q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假．例4 解 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m <0，Δ＝m 2－4>0，解得m >2， 则p ：m >2.∵方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无解，∴Δ＝16(m －2)2－16<0即1<m <3. 则q ：1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 与q 一真一假．当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是 (1,2]∪[3，＋∞)．跟踪训练4 解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3 ＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上是增加的， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0， 解得a ≤－1或a ≥2， 即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，得⎩⎨⎧a >0，Δ<0或a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－a )2－4a <0或a ＝0， 解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p 且q 假，p 或q 真， ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0≤a <4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)． 当堂训练1．D 2.D 3.B 4．x >5或x ＝5 5．(－∞，－1]∪[3，＋∞)。

4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．知识点一含有逻辑联结词“且”“或”的命题思考1观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？思考2观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？梳理(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．知识点二含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假思考1你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q 的真假有关系吗？思考2你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q 的真假有关系吗？梳理(1)含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：①“p且q”形式命题：当命题p、q都是________时，p且q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是__________时，p且q是假命题．②“p或q”形式命题：当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是__________；当p、q两个命题都是假命题时，p或q是__________．(2)命题真假判断的表格如下：类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．跟踪训练1分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)3是质数或合数；(2)他是运动员兼教练员．命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．反思与感悟(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤第一步：确定两个简单命题p，q；第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p且q”“p 或q”．跟踪训练2分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等；(3)p：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．类型二“p或q”和“p且q”形式命题的真假判断例3分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”形式的新命题的真假．(1)p：2>2，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．反思与感悟判断p且q与p或q形式的命题真假的步骤(1)首先判断命题p与q的真假；(2)对于p且q，“一假则假，全真则真”，对于p或q，只要有一个为真，则p或q为真，全假为假．跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．(1)p：3是无理数，q：π不是无理数；(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．类型三“p或q”与“p且q”的应用例4已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的解集是∅，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．反思与感悟由p或q为真知p、q中至少一真；由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．跟踪训练4已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．“p为真命题”是“p且q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．5．已知p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_____________．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少有一个为真．答案精析问题导学知识点一思考1命题③是将命题①②用“且”联结得到的．思考2命题③是将命题①②用“或”联结得到的．梳理(1)p且q(2)p或q知识点二思考1①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．思考2①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．梳理(1)①真命题假命题②真命题假命题(2)真真假真假真假假题型探究例1解(1)是p且q形式命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p或q形式命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是p或q形式命题．其中p：2>2，q：2＝2.跟踪训练1解(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．例2解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．跟踪训练2解(1)p或q：π是无理数或e不是无理数；p且q：π是无理数且e不是无理数；(2)p或q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；p且q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；(3)p或q：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任意一个内角；p且q：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任意一个内角．例3解(1)∵p：2>2，是假命题，q ：2＝2，是真命题，∴命题“p 或q ”是真命题；“p 且q ”是假命题． (2)∵p ：∅是{0}的真子集，是真命题； q ：0∈∅，是假命题， ∴命题“p 或q ”是真命题； “p 且q ”是假命题．(3)∵p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图像与x 轴有交点，是假命题，q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题． 跟踪训练3 解 (1)∵p 真，q 假， ∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真． (3)∵p 假，q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假．例4 解 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m <0，Δ＝m 2－4>0，解得m >2， 则p ：m >2.∵方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无解， ∴Δ＝16(m －2)2－16<0即1<m <3. 则q ：1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 与q 一真一假．当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是 (1,2]∪[3，＋∞)．跟踪训练4 解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3 ＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上是增加的，∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0， 解得a ≤－1或a ≥2， 即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0或a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－a )2－4a <0或a ＝0， 解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p 且q 假，p 或q 真， ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4， 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0≤a <4， ∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)． 当堂训练1．D 2.D 3.B 4．x >5或x ＝5 5．(－∞，－1]∪[3，＋∞)。