人教版数学 认识三角形 三角形PPT(第4课时)

三角形定义及分类三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

三角形的分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

0102三角形的内角和等于180°。

通过测量或撕拼的方法验证三角形的内角和等于180°。

三角形内角和定理验证方法三角形内角和定理三角形外角性质三角形外角的定义三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形外角性质三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

等腰、等边三角形特性等腰三角形特性有两边相等，且两底角相等；具有轴对称性，对称轴是底边的垂直平分线。

等边三角形特性三边相等，三个内角也相等，每个内角都是60°；具有轴对称性，有三条对称轴分别是三边的垂直平分线。

01勾股定理在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

02勾股定理的逆定理如果三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形。

03应用举例通过勾股定理求解直角三角形中的未知边长或角度。

勾股定理及其逆定理正弦、余弦、正切在三角形中应用正弦、余弦、正切的定义及性质在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边，正切值等于对边比邻边。

应用举例通过已知角度和一边长，利用正弦、余弦或正切求解三角形的其他边长或角度。

两个三角形如果对应角相等，则这两个三角形相似。

相似三角形的定义通过比较对应角或对应边是否成比例来判断两个三角形是否相似。

相似三角形的判定方法相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形的性质利用相似三角形的性质求解未知边长或角度，或者证明两个三角形相似。

应用举例全等三角形的定义两个三角形如果三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。

全等三角形的性质全等三角形的对应边和对应角分别相等。

全等三角形的判定方法通过比较三边及三角是否分别相等来判断两个三角形是否全等，如SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法。

三角形的认识
.
1
你能找出图中的三角形吗？
.
2
画一个三角形,说一说你画的三角形 有哪些特点。
讨论：
哪种说 1、有三条边的图形或有三个角的图形叫三角形。
法更准 2、有三条边、三个角的图形叫三角形。
确？
3、有三条边、三个角、三个顶点的图形叫三角形。
4、由三条边组成的图形叫三角形。
5、由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端 点相连）叫做三角形。
分别表示三角形的3个顶点，上面
的三角形可以表示成三角形ABC。
.
7
什么是三角形的高呢？
A
高
B
┐
底
C
从三角形的一个顶点到它的对边作 一条垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高。
这条对边叫做三角形的底。
.
8
小明画了三角形的一条高，你说他 画得对吗？为什么？
A
高高
底 B底
C
.
9
顶点
高
底
.
10
底 高
17
小结
1、三角形的定义与组成部分 2、三作业布置
第60页“做一做”； 第65页练习十五，第1题。
.
19
.
3
三角形的定义 A
B
C
由三条线段围成的图形（每相邻两 条线段的端点相连）叫做三角形。
.
4
判断下面哪些图形是三角形？哪些 图形不是三角形？为什么？
1
2
3
4
.
5
5
认识三角形
顶点
角
边
边
顶点 角
边 角 顶点
三角形有（ 3）条边，（ 3）个顶点, （ 3 ）个角。

则∠ADC=____.
直角三角形
6．如果△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：5，则此三角
形按角分类应为________________.
课堂小结
本节课都学到了
什么？
1、三角形三个内角的和等于180 ˚ .
2、三角形按角的大小分类：
⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角；
⑵直角三角形 ：有一个内角为直角；
2 7
随堂检测
20
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角
度．
1
1
3
3.一个三角形最多有
个直角；最多有
个锐角；最多
CB
∠B
有 AC
个钝角.
4. 如图，△ABC中，AB与BC的夹角是
是
，∠A、∠C的公共边是
．
，∠A的对边
随堂检测
80º º，
5．在△ABC中，AD是角平分线，若∠B=50º，∠C=70
⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角 .
3、直角三角形的两个锐角互余.
个性化作业
1．如图，共有三角形的个数是（
A．3
B．4
C．5
2.如图，三角形共有________个
）
D．6
个性化作业
3．如图所示，在ΔABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则(
)
A．ΔACB将变为锐角三角形，而不会再是钝角三角形
钝角三角形
有一个内角是钝角
直角三角形
有一个内角是直角
活动探究
探究点四、直角三角形的表示方
法及性质
直
角
边
斜
边
直角边
1、常用符号“Rt∆ABC”来表示直
角三角形ABC.

证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∠ABE＝∠CBF＝90°， ∵AB＝CB，AE＝CF , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
探究新知
12.2 三角形全等的判定
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的 高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝ AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC43;EF=CF+EF.即AF=CE.
A
E
F C
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
D
AB=CD,
AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE.
课堂检测
12.2 三角形全等的判定
拓广探索题
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
A
C
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
探究新知
12.2 三角形全等的判定
判一判
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画
“×”，全等的注明理由：
探究新知 B
A E
D
12.2 三角形全等的判定
想一想

用符号语言表示：
A
D
E
B
C
合作探究
如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，
求：四边形DECF的周长．
CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接FC,DC,AF．
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 问题3：三角形的中位线有什么性质？ 问题2：三角形的中位线与中线一样吗？ 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
∴四边形ADCF是平行四边形，CF 1．理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段．
DA ．
∵AE＝CE，ED＝EF，
∴CF BD． ∵AE＝CE，ED＝EF，
连接各边中点所成三角形的周长为_________．
D
（1）表示位置关系------平行于第三边；
E
F
∴四边形BCFD是平行四边形． 求：四边形DECF的周长．
一个三角形共有三条中位线． 得到结论：三角形的中位线定理
∴DF BC． 连接各边中点所成三角形的周长为_________．
区分三角形的中位线与中线： 证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接FC,DC,AF．
B
C
“ ”表示平行且相等．
1
2
合作探究
得到结论：三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2． 如果等边三角形的边长为3cm，那么连接各边中点所 成的三角形的周长_4_．__5_c_m_．
随堂检测
3．已知，如图，D、F、E是△ABC的中点．
（1）若△ABC的周长为12，则△DEF的周长为 __6__ ．

三角形的认识
下面图片中都有哪种平面图形？
三角形有什么特点？
3 个角 3 条边 3 个 顶点
什么样的图形叫三角形 ？
由三条线段围成的图形叫三角形。
下面哪些图形是三角形？
（×） （× ） （ × ） （×） （√ ） （√ ）
（每相邻两条线段的端点相连） A
B
C
这个三角形记作三角形ABC。
它有3个顶点：顶点A、顶点B、顶点C
有3个角：角A、角B、角C
有3条边：AB、AC、BC。
小红从家出发到对面的小河去打水，走哪条路比较近？
A（小红家）
B
C
（小河）
A（小红家）
B
C
（小河）
下面哪些红色线段是三角形的高？

A
FE
B
D
C
高 高高 底
高 高 高高 底
只确定一条高可以画无数个三角形！
确定一条高和对应的一条底只能画出一个三角形。
1.感悟雪孩子的善良、勇敢，懂得懂 得当别 人有困 难时要 勇于伸 出援助 之手。 2.使学生知道雪会变成云，理解雪与 云之间 的变化 过程。 3．读了这段话，你有什么发现？（让 学生找 出意思 相反或 相近的 词） 4．通过朗读，进一步体验盘古开天地 的艰难 。 5.重点研读第五自然段，体验神话故 事想象 神奇的 特点。 6.也像童话书里一样称呼六只小喜鹊 为喜鹊 弟弟。 多么天 真活泼 的孩子。

3
2 1
这个图形中一共有６个三角形。
下面图形中一共有多少个三角形？锐角 三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
3
2 1
这个图形中一共有６个三角形。
锐角三角形有２个；
下面图形中一共有多少个三角形？锐角 三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
3
2பைடு நூலகம்1
这个图形中一共有６个三角形。
锐角三角形有２个；
3
2
上面图形中一共有多少个三角形？锐角 三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
3
2 1
上面图形中一共有多少个三角形？锐角 三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
下面图形中一共有多少个三角形？锐角 三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
3
2 1
这个图形中一共有６个三角形。
下面图形中一共有多少个三角形？锐角 三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？
A
底
高 高 高 底
B
底
C
从三角形的一个顶点到它的对边做一条 垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底。
A
底
高 高 高 底
B
底
C
1.如果BC为底，（红 ）色的虚线是它的高； 2.如果绿色的虚线是高,它的底是（ AC ）；
3.AB是底，红色的虚线是它的高，这样说法对吗？
画出三角形底边上的高
首
×
×
×
×
×
√
下面每组图形中，哪个图形是三角形？
第一组：
第二组：
第三组：
下面每组图形中，哪个图形是三角形？
第一组：
第二组：
第三组：

该公式在解决与三角形面积相关的问题时非常有 用，如计算几何形状的面积、解决物理问题等。
04
CATALOGUE
三角形在生活中的应用举例
建筑结构中稳定性应用
三角形框架
在建筑结构中，三角形框架常被用于增强稳定性，如桥梁、 塔楼和屋顶等结构中，利用三角形的稳定性原理来提高整体 结构的承载能力。
三角形支撑
勾股定理及其逆定理
01
02
03
勾股定理
在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方 。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边满足勾 股定理，则这个三角形是 直角三角形。
应用举例
通过勾股定理求解直角三 角形中的未知边长或角度 。
正弦、余弦、正切函数在三角形中应用
正弦函数
在直角三角形中，正弦 值等于对边长度除以斜
01
该公式适用于已知三角形两边长度及其夹角的情况。通过运用
三角函数，可以计算出三角形的面积。
已知两边及夹角求面积公式表达式
02
假设三角形的两边长度分别为a、b，夹角为C，则三角形面积Βιβλιοθήκη A=(1/2)ab×sinC。
已知两边及夹角求面积公式的应用
03
该公式常用于解决与三角形面积相关的问题，如建筑设计、地
类型的三角形。
海伦公式表达式
假设三角形的三边长度分别为a 、b、c，半周长s=(a+b+c)/2，
则三角形面积A=√[s(s-a)(sb)(s-c)]。
海伦公式的应用
海伦公式在几何、工程、物理等 领域有广泛应用，如计算不规则 图形的面积、设计机械零件等。
已知两边及夹角求面积公式
已知两边及夹角求面积公式介绍
三角高程测量是一种利用三角形原理 测量地面点高程的方法。通过在已知 高程的点上设立测站，观测目标点与 测站之间的垂直角和水平距离，可以 计算出目标点的高程。

B.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,9 cm,2 cm
2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=a,则a的值可能是( B )
A.1
B.3
C.5
D.7
3.两根木棒的长分别是5 cm和7 cm,要选择第三根木棒,将它们拼成三
角形,如果第三根木棒的长为偶数,那么第三根木棒的长有哪几种情况?
角形为“特征三角形”.其中α称为“特征角”.若一个“特征三角
形”恰好是直角三角形,则这个“特征三角形”的“特征角”的度数
为 90°或60° .
4.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC.若∠ABC=70°,
∠DAC=50°.求∠AEB的度数.
解:因为 AD 是 BC 边上的高,
C.60°
D.70°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=10°,则∠A的度数为
50° .
3.如图所示,∠C=90°,∠AED=∠B,△ADE是直角三角形吗?为什么?
解:是.因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°.
因为∠AED=∠B,所以∠A+∠AED=90°.
所以∠ADE=90°.
所以△ADE是直角三角形.
第四章
三角形
2022年新课标要求
内容要求
1.理解三角形的三边关系、三
角形内角和、三角形的中线、
高和角平分线.了解三角形的
重心.
2.理解全等三角形的概念、性
质,掌握全等三角形的判定方
法.了解三角形的稳定性.
3.掌握尺规作三角形的方法.
4.掌握用全等三角形解决测量
问题的方法.
学业要求

三角形稳定性在生活中的运用:
要使木架稳定，至少需要多少根木棍？
A
高
B
D底
C
从三角形的一个顶点到对边做一条垂线，顶点和垂足之 间的线段叫三角形的高， 这条对边叫做三角形的底。
线段AE是从A点到对边做的一条垂线， 它是哪个三角形的高？
A
B
D
E
C
线段AE是哪个三角形
线段AE是哪个三角形的高？
认识三角形
互相
由三条线段围成的图形， 叫做三角形。
围成：每相邻两条线段 的端点相连。
我们一起聊数学：
• 这是我画的三角形，它是由—— • 你有没有发现，我们画的三角形有
一样的地方，都有—— • 仔细看看，我画的三角形和你的也
有不一样的地方，我的——
三角形稳定性在生活中的运用:
三角形稳定性在生活中的运用:
A
D
E
C
线段AE是哪个三角形的高？
A
B
D
E
C
线段AE是哪个三角形的高？
A
B
E
线段AE是哪个三角形的高？
A
B
D
E
C
线段AE是哪个三角形的高？
A
E
C
线段AE是哪个三角形的高？
A
B
D
E
C
线段AE是哪个三角形的高？
A
B
D
E
要使木架稳定，至少需要多少根木棍？
电动伸缩门
小兔子和小猴子在围篱笆，你觉得 哪一种方法更牢固些，为什么？