(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法(20210206050533)

奇数幻方口诀“1”坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间偶数八阶魔方图：和值260一、幻方及其起源在《射雕英雄传》中郭靖、黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。

瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。

这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。

4 9 23 5 78 1 6这就是一个最简单的3阶平面幻方（三阶幻方，幻和为15，中间数字必填5）。

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。

公元13世纪的宋朝数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

杨辉称之为纵横图。

我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。

由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

幻方图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等的这种性质，称为幻方法则。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45 个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。

这九个数就可以组成一个纵横图，人们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的。

也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。

任意奇数阶幻方的杨辉斜排法——对杨辉口诀的讨论范贤荣2016.3.8关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。

按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。

因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。

最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。

见图1。

图1 杨辉口诀的画法可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。

图2 菱中取方的画法现在,我们很多人用的是“取方框”画法。

即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。

红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。

因此1、9没有“对易”。

同样，3、7也没有“相更”。

因此，就没有“上下对易，左右相更”了。

所以，就不需要“四维挺出”了。

因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。

所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成：各子斜排为菱形，中间取方当作城，城外有子城内空，四围都往城中进。

挺进多少方可止，几阶就挺几步深。

注1：“四围”就是上下左右四边。

“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。

注2：“几阶就挺几步深”。

如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。

见图2。

下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。

图3 5阶菱方阵与幻方图4 7阶菱方阵与幻方图5 9阶菱方阵与幻方图6 11阶菱方阵与幻方图7 11阶幻方图8 13阶菱方阵图9 13阶幻方。

任意奇数阶幻方最简单公式做法任意奇数阶幻方最简单公式做法奇数阶幻方的填法我有最简易公式，任意奇数阶直接填成（3阶——任意奇数阶通用），先填中心九宫图，然后延伸填成米字形。

在米字划分的八个区内，对称填（1——最大数），（2——最大数减1），（3——最大数减2），（4——最大数减3）。

这八个数为首数，然后按照走向每格依次递加4，或者递减4，依次填完即成！公式简单而且完美对称，绝对最简单！不用位移法，一次填成！任意奇数阶通用。

公式中带入n(即幻方阶数）即可，内九宫格内每格一个公式，正中心数填上（n 平方+1）除以2，.然后以（中心数）（注：以下简称（中））为坐标和原始数；得出周围八个格内数，如下：中上左为（中）减1. 中下右为（中）加1.中上为（中）减（n-1). 中下为（中）加（n-1).中上右为（中）加（2n-3). 中下左为（中）减（2n-3).中左为（中）加（n+1). 中右为（中）减（n+1).然后以这八个数为首数，向外延伸成米字形，填法如下：中上左方向每格递减2. 中下右方向每格递加2.中上方向每格递加2. 中下方向每格递减2.中上右方向每格递减2. 中下左方向每格递加2.中左方向每格递加2. 中右方向每格递减2.下面填米字隔开的八个区域：将（1 ）填入右上顶角的下一格，（以它为首数每格递加4）从上往左下依次填完一行，再折回从上往左下依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（n的平方）填入右下顶角的上一格，（以它为首数每格递减4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（2 ）填入右下顶角的左一格，（以它为首数每格递加4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（n的平方-1）填入左下顶角的右一格，（以它为首数每格递减4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（3 ）填入左下顶角的上一格，（以它为首数每格递加4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

奇数三阶幻方的解法摘要：1.奇数三阶幻方的概念及特点2.构造奇数三阶幻方的基本方法3.构造奇数三阶幻方的具体步骤4.奇数三阶幻方的验证方法5.结论正文：一、奇数三阶幻方的概念及特点奇数三阶幻方，又称为奇数阶幻方，是指一个含有N 行N 列的数表，满足如下条件：1.每一行中的数字之和等于奇数；2.每一列中的数字之和等于奇数；3.每一对角线上的数字之和等于奇数；4.每一反对角线上的数字之和等于奇数；5.N 个数字都不重复。

由于满足以上条件的数表中的数字和为奇数，因此称为奇数三阶幻方。

二、构造奇数三阶幻方的基本方法构造奇数三阶幻方的基本方法是先设定中心数，然后按照一定的规律填充其他数字。

三、构造奇数三阶幻方的具体步骤构造奇数三阶幻方的具体步骤如下：1.选择一个奇数作为中心数，例如选定数字5 作为中心数；2.将中心数放在数表的中心位置，即第3 行第3 列；3.从中心数开始，按照顺时针和逆时针方向填充其他数字。

具体规律为：- 从中心数开始，向上、下、左、右四个方向填充数字，直到碰到边界；- 碰到边界后，从该方向的对角线开始填充数字，直到碰到另一个边界；- 填充完四个方向后，再从中心数开始，按照顺时针和逆时针方向继续填充数字，直到填满整个数表。

四、奇数三阶幻方的验证方法在填充完数字后，需要验证该数表是否满足奇数三阶幻方的条件。

验证方法如下：1.验证每一行、每一列的数字之和是否为奇数；2.验证每一对角线和每一反对角线上的数字之和是否为奇数。

如果满足以上条件，则所构造的数表是一个有效的奇数三阶幻方。

五、结论通过以上步骤，我们可以构造出一个满足条件的奇数三阶幻方。

这种方法不仅适用于奇数三阶幻方，还可以推广到其他奇数阶幻方。

奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。

六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。

这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。

（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。

我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。

而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。

图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。

一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。

构造奇数阶幻方的杨辉口诀法
朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2023(12)1
【摘要】幻方在中国起源很早,最初是与河图与洛书相关联,后来古人称为九宫算或纵横图,它是最早发现的著名组合算题。

在杨辉口诀法的基础上,通过对构造出的具体的奇数阶幻方的构造规律进行探寻,结合幻方矩阵化的思路及分块矩阵这个工具给出奇数阶幻方构造的通法,并且将杨辉口诀法进行推广应用于全体奇数阶幻方的构造上。

【总页数】7页(P166-172)
【作者】朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院延安
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.奇数阶面幻方的行列式构造法
2.构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法
3.构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法
4.构造奇数阶对称幻方及奇偶分开对称幻方的新方法
5.奇数阶幻方的一种新构造法
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幻方”的口诀小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于奇数阶的幻方，有如下的口诀：居首列正中央，依次斜填左上方；左出框时向右写，上出框时往下放；遇到重合无处填，退居原数右邻行。

举例（3 阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央”步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”* * *步骤（3）:即“上出框时往下放（左一列最下一行）”步骤（4）:即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，将要填写的数字放到本行靠右一列）步骤（5）:步骤（6）:1 * *步骤（7）:注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即6的左上方是已经填写了数据的4的位置，根据口诀“遇到重合无处填”，此时步骤（8）:即“上出框时往下放（左一列最下一行）”步骤（9）:即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。

双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4,8, 12 , 16 ,20……)(n=4k ,k=1 , 2, 3, 4 , 5……)先说明一个定义:互补:如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1 ,称为互补。

先看看4 阶幻方的填法:将数字从左到右、从上到下按顺序填写：10 11 1213 14 15 16这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。

将对角线上的数字，换成与它互补的数字。

这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17把1 换成17-1 = 16 ；把6 换成17-6 = 11 ；把11 换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方对于n=4k 阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4*4 把它划分成k*k 个方阵。

奇数阶幻方的杨辉方法从三阶幻方谈起。

三阶幻方是指将1，2，3，…，8，9这九个数排列成一个3×3方阵，使三横行、三竖列和两条对角线上的三个数之和都相等。

这个相等的和数就叫做三阶幻方的幻和。

我们很容易求得这个幻和：1289451533++++== 。

要排出一个三阶幻方，中心这个数是一个关键。

这个数有四条线通过它，为此，我们把三数之和为15的算式全部列出来： 1+5915+=，16815++= ，2+ 5815+= ，2+ 6 715+=，34815++= ，3+5715+=，24915++= ，4+ 5615+= 。

（一共八个式子，幻方的三行、三列和两条对角线也正好是八个，所以上列八个式子正好表示行、列和对角线上的组成情形。

）5这个数在上列八个式子中出现了四次，这表明中心数就是5。

中心这个数定好之后，再确定四个角上的数，每个角上的数有三条线通过它，2,4,6,8这四个数在上列八个式子中各出现了三次，由此我们可以确定四个角上的数就是2,4,6,8这四个数。

首先可以任意指定某一个角是2，那么与2构成对角线的另一端只能是8；余下的两个角就是4,6。

中心和四角这五个数确定之后，余下的四个数不难计算求得。

图1给出了三阶幻方的一个示例。

关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。

参见图2。

如图2所示，它形象的表达了杨辉的方法。

这个方法可以变通一下：“上下对易，左右相更”改为上、下、左、右的各个元素各向对方移动三格，这样不仅可以省去“四维挺进”，而且最后得到的方阵是一个标准的33⨯方阵。

参见图3。

杨辉的方法不仅可以构造三阶幻方，而且还可以构造任图 1987654321176852349图2428637915图 3意奇数阶幻方。

杨辉的方法：设n 为奇数。

1．将221,2,3,,1,n n - 排成一个斜的n n ⨯方阵；2．以212n +为中心作一个n n ⨯方阵（格）；3．将位于这个n n ⨯方阵外的所有元素都向方阵内平移n 格，即得。

三阶幻方的解法第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。

12 43 5 76 892 9 47 5 36 1 8第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。

7在左中，3在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下，正中央5）第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样8 1 63 5 74 9 2四阶幻方的解法1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。

17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方应该是第五行的第四个,接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五个数,直到完成.无论从上到下还是从左到右都是五排,所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,因此,你可以验算一下是否每个和都是65.此法适合于一切奇阶幻方.）罗伯法用罗伯法构造幻方：幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。