当前位置：文档之家 › 极大无关组求法.ppt

极大无关组求法.ppt

  • 格式：ppt
  • 大小：1.11 MB
  • 文档页数：10

下载文档原格式

  / 10

合集下载

高等数学线性代数极大线性无关组的性质于应用教学ppt(3)

高等数学线性代数极大线性无关组的性质于应用教学ppt(3)

向量组 B :1, ,m ,m1 也线性相关.反言之,
若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证
1,2 ,
,
线性相关,
m
存在不全为0的数x1, x2 , , xm,使
x11 x22 xmm =0,
从而存在不全为0的数x1, x2, , xm,0,使
x11 x22 xmm +0m+1=0.
ann xn 0,
a11 a12
a1n
当 a21 a22
a2n 0, 方程组(1)只有零解.
an1 an2
ann
定理2
向量组 1, 2, , m (m 2)线性相关
1, 2,
,
中至少有一个向量可
m
由其余向量线性表示.
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
向量组线性表示.
例4 将向量 (1, 0, 4)T 用向量组1 (0,1,1)T ,
2 (1, 0,1)T ,3 (1,1, 0)T 线性表出.
解 设x11 x22 x33 , 即
0x1 1x2 1x1 0x2
1x3 1x3
1, 0,
1x1 1x2 0x3 4,
解得x1
l11 l22 lmm ,
(k1 l1)1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0,
1,2 ,
,
线性无关,
m
表示式唯一. Page56 例6； Page57. 例8； Page59. 例9
四、小结
１. 线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；（重点）
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）

§3 向量组的秩与极大线性无关组

§3 向量组的秩与极大线性无关组

同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0， 则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不 为零.）
定理 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质 如果多数向量能用少数向量线性表示出， 那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0

3-3向量组的极大无关组

3-3向量组的极大无关组
1 1 2 2
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
信息系 刘康泽
1 0 1 2 例 如 , 设 1 , 2 , 3 , 4 ， 例1 0 1 1 2
则 ： 1 , 2 构 成 1 , 2 , 3 , 4 的 极 大 无 关 组 ，
可 由 1 , ,
r
线性表出, 故对任意
i , 有 i , 1 , , r 可 由 1 , , r 线 性 表 出 . 由 r 1 r
知：
i , 1 , , r ( i 1, , r ) 必 线 性 相 关 .
r
又 1 , ,
1 , 2 , , r ( r s ) ，则 1 , 2 , , r 线性无关且含有
r 个向量， 因而 1 , 2 , , r 也是 1 , 2 , , s , 的一个
极大无关组，从而 可由 1 , 2 , , r 线性表出，故向 量 可由 1 , 2 , , s 线性表出。 （必要性是显然的）
（ 1）
4 1 1 2 2 3 3
又 假 设 5 4 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 则 ：
5 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3
信息系 刘康泽
( a ) 可由 ( b ) 线性表示；
( b ) 可由 ( b ) 线性表示。
由线性表示的传递性可知：( a ) 可由 ( b ) 线性表示。 而 ( a ) 是线性无关的，故： ( a ) 中向量的个数 „ ( b ) 中向量的个数，
即
r ( 1 , 2 , , m ) „ r ( 1 , 2 , , s ) 。

3.3 向量组的极大无关组与秩

3.3 向量组的极大无关组与秩

矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt

3.4 向量组的极大线性无关组

3.4 向量组的极大线性无关组

11
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 向量组 α1 , α 2 , L , α m
等价 极大线性无关组 等价 等价
向量组 β 1 , β 2 ,L , β n
等价 极大线性无关组
α i 1 , α i 2 ,L , α i r
β i 1 , β i 2 ,L , β i s
12
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 即 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 可由 β i 1 , β i 2 ,L , β i s 线性表示， 线性表示， 线性无关， 且 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 线性无关，因此 r ≤ s . 同理 r ≥ s . 即得 r = s .
化为标准形
I 即 C Q = P −1 t 0 0 0
It 0 , 其中 t ≤ s . 0 0 I t 0 = P1 I t 0 , = ( P1 P2 ) 0 0 0 0
下面利用反证法证明 t = s . 18
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 3. 向量组的秩 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系
16
第 三 章 n 维 向 量 空 间

3.4 极大无关组

3.4 极大无关组
2 ' ) A 中每一个 i 可由 j , j ,, j 表出 即 1)+2) 1)+ 2 ')
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组 若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的 向量相关） 注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是 满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量 用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组 的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s

第四节 向量组的极大线性无关组


故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15

r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，

极大线性无关组

（1）当P为何值时，该向量组线性无关？
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个

2-3 极大无关组

第三节
极大无关组
1. 极大无关组和向量组的秩
2. 矩阵的秩 3. 秩的相关定理
一、极大无关组
定义 7 设有向量组 A ，如果
（i）在 A 中有 r 个向量 1 , 2 , , r 线性无关；
（ii） A 中任意 r 1 个向量（如果 A 中有 r 1 个向量）都 线性相关. 那么称 1 , 2 , , r 是向量组 A 的一个极大线性无关
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r4 r3
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
例
设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
下面证明 A 与 C 等价；B 与 C 等价；从而得 A 与 B 等价.
由于 B 可被 A 线性表示， A 可被 A 线性表示.
所以 C 可被 A 线性表示.
A 为 C 的部分组，有 A 可被 C 线性表示.
所以 A 与 C 等价. R( A 组) R(C 组) .
而R( A 组) R( B 组) R( B 组) R(C 组) .
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0

求极大无关组的方法

求极大无关组的方法
求解极大无关组的一种常用方法是使用贪心算法。

贪心算法的基本思路是在每个步骤中做出当前看起来最优的选择，而不考虑未来的情况。

具体步骤如下：
1. 将所有的元素按照某个规则进行排序。

常用的排序规则有按照元素的价值、按照元素的权重等。

2. 从排序后的列表中按顺序遍历元素。

每次选取一个元素，将其加入极大无关组中。

3. 对于每个选取的元素，如果它与已选择的元素相互矛盾，则将其从极大无关组中移除。

也就是说，如果该元素与极大无关组中的某个元素有冲突，则不选取该元素。

4. 继续按顺序遍历下一个元素，重复步骤3，直到遍历完所有元素。

最终得到的极大无关组即为最优解。

需要注意的是，贪心算法不能保证一定能得到全局最优解。

在某些情况下，可能会存在局部最优解或次优解。

另外，选择合适的排序规则是贪心算法成功的关键。

不同的问题需要选择不同的排序规则。

在实际应用中，一般需要根据问题的特点来确定合适的排序规则。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用极大无关组线性表示。
解 以? 1,? 2,? 3,? 4为列构造矩阵A, 并实施初等 行
变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
? 2 3 1 4 ? ?1 -1 3 -3 ?
A
?
??
1,?
2 ,?
3 ,?
4
??
? ? ?
1 3
?1 2
3 4
?
3
? ?
?
??0
1 ? ?0
5 5
-5
10
? ?
-5 10?
? ?
3 依次进行下去，最后求出的向量组就是 所求的极大无关组
例：A : ? 1 ? ?1, 2, ? 1?T ,? 2 ? ?2, ? 3,1 ?T ,? 3 ? ?4,1, ? 1?T ,
求A的极大无关组
解：因为a1非零，故保留a1 取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2
取a3，易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相 关。
由此提供了求向量组的极大无关组的方法：
(1)以向量组中各向量为 列向量构成矩阵 A; (2)对A做初等行变换 将该矩阵 化为行阶梯形矩阵 ,则 可求出r(A)=r(向量组的秩为 r，说明向量组中线性无 关的向量最多有 r个，任何 r+1个线性相关 ). (3)在A中找出r个线性无关的向量 即是所求向量组的 极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形 。
?
?0?
2
??0
? ?
?
?0?
?? 1????10??? ?
2?1
?
?2,?4
?
?
?1
?
2? 2
? ?
0
? ?
??0
? ?
? ?
0 ??
因此? 3=2? 1-? 2, ? 4=-? 1+2? 2
,
?
2
,
?
3
线性无关
?? 0 0 1 ??
?0 1 0?
?1 0 0?
?1 0 0?
则B1
?
? ?
1
?? 0
0 0
0
? ?
,B
2
1 ??
?
?? 0 ?? 0
2 0
0 ??，B3 1 ??
?
? ?
0
?? 3
1 0
0
? ?
1 ??
中的三个列向量均线性无关
即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和 线性表出性。
所以极大无关组为a1，a2
方法3 初等变换法
初等行变换保持了列向量间的线性无关性 和线性表出性

可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换 得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间有
相同的线性关系。（行变换对列没有影响）
?1 2 4?
?2 4 0?
如Ａ ?
? ?
2
?? 3
4 6
0 ??，有? 2 =2? 1
? 同理 , 也可以用向量组中各向量 为行向量 组成矩阵 , 通过做初等列变换 来求向量组的极大无关组。
例 求向量组
? 1=(2,1,3,-1) T, ? 2=(3,-1,2,0) T, ? 3=(1,3,4,-2) T, ? 4=(4,-3,1,1) T,
的秩和一个极大无关组 , 并把不属于极大无关组的向量
方法1 线性相关法
若非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n线性无关， 则A的极大无关组就是? 1, ? 2,…, ? n
若非零向量组A线性相关，则A中必有极 大无关组
方法2 逐个判别法
给定一个非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n 1 设? 1? 0，则? 1线性相关，保留? 1 2 加入? 2，若? 2与 ? 1线性相关，去掉? 2； 若? 2与 ? 1线性无关，保留? 1 ，? 2；
?0 0 0 0 ?
? ?
0
0
0
0
? ?
量组各向量之间的线性关系
记矩阵B=(? 1, ?2, ? 3, ?4),因为初等行变换保持了列向
量间的线性表出性， 因此向量? 1,? 2,? 3,? 4与向量? 1, ?2,
? 3, ? 4之间有相同的线性关系 。
? 2 ? ?1?
?0?
而? 3
?
? ?
?
1??
1 ??
对于
B1
=
? ?
1
?? 3
2 6
4 ??，有? 2 =2? 1
1 ??
?1 2 4?
?1 2 4?
对于B2
?
? ?
4
?? 3
8 6
0 ??，有? 2 =2? 1
1 ??
对于 B 3
?
? ?
3
? ?
3
6 6
4 ??，有? 2 =2? 1
1
? ?
?1 0 0?
再如Ａ
?
? ?
0
1
0
? ?
,有?
1
?
1
0
?2
1
? ?
??0 -1 1
-2
? ?
?1 -1 3 -3 ?
?
? ?
0
1
-1
2
? ?
?0 0 0 0 ?
? ?
0
0
0
0
? ?
? 知r(A)=2, 故向量组的极大无关组含 2个向量
? 而两个非零行的非零首元分别在第 1, 2列, 故? 1,? 2
为向量组的 一个极大无关组
?1 -1? 求极大无关组方法,找阶梯型矩
?
事实上， ?? 1，? 2 ??
??0 ?0
1
? ?
0?
阵非零行的非零首元所在的列
??0
0
? ?
知r(? 1,? 2)=2, 故? 1,? 2 线性无关
? 为把? 3,? 4用? 1,? 2线性表示 , 把A变成行最简形矩阵
?1
A
?
? ?
0
0 1
2 -1
-1?
2
? ??
B
将A化为一个行最简形矩阵B, 是因为较容易看出B 的列向