高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第六章

第八章 解析几何第41讲 直线的斜率与方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A. 3x ＋4y ＋15＝0B. 3x ＋4y ＋6＝0C. 3x ＋y ＋6＝0D. 3x －4y ＋10＝02. 直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6，π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4，π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4，2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( )A. m ＝－3 ,n ＝1B. m ＝－3 ,n ＝－3C. m ＝3 ,n ＝－3D. m ＝3 ,n ＝1二、 解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．7. 求适合下列条件的直线方程．(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．B巩固提升一、填空题1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________．2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________．4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________．二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程．6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时,求直线AB的方程．(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行,则m的值为()A. 83 B. －83 C. －6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x－y－2＝0平行,则直线l的方程为()A. 2x－y－5＝0B. 2x－y＋1＝0C. x＋2y－7＝0D. x＋2y－5＝03. (2019·石家庄模拟)若直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上,则k 的值为()A. －24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x＋3y－2＝0B. 3x＋2y－2＝0C. 3x＋2y＋2＝0D. 2x＋3y＋2＝05. 已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0,则“m ＝－2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0,x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0,求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(－6,3),其垂心为H(－3,2),求顶点A的坐标．B 巩固提升一、 填空题1. 若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．2. 如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行,则a ＝________．3. 已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a ＝________,此时点P 的坐标为________．4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝________．二、 解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0,求α的值,使得：(1) l 1∥l 2；(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程；(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程．第43讲 距离公式与对称问题A 应知应会一、 选择题1. 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,－1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x ＋3y ＋5＝0B. 3x －2y ＋5＝0C. 3x ＋2y ＋5＝0D. 2x －3y ＋5＝04. 已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (－1,3),B (1,0),则有d (A ,B )＝5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )＋d (C ,B )＝d (A ,B )D. 到M (－1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0二、 解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l ：y ＝12x －1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ；(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程．7. 已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4).(1) 证明：直线l 过某定点,并求该定点的坐标；(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 已知点(a ,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝________．2. 直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________．4. “c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、 解答题5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程；(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值．6. 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ？若能,求点P 的坐标；若不能,说明理由．第44讲 圆的方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y ＝x ＋2a ,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－15，1B. ⎝⎛⎭⎫－∞，－15 ∪(1,＋∞) C. ⎣⎡⎭⎫－15，1 D. ⎝⎛⎦⎤－∞，－15 ∪[1,＋∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |－1＝1－（y －1）2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x －1)2＋(y －1)2≤1,则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2 －1B. 3－22C. 2 ＋1D. 3＋225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x ＋y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、 解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD ＝410 .(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程．7. 已知圆经过点A (2,－3)和B (－2,－5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上,求圆的方程．B巩固提升一、填空题1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a＝________．2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(－1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________．3. (2019·南师附中)经过三点A(－1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S＝________．4. 已知点A(－2,0),B(0,2).若点M是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上的动点,则△ABM面积的最小值为________．二、解答题5. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．6. 如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点．(1) 若∠P AB＝30°,求以MN为直径的圆的方程；(2) 当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3C. (x－2)2＋(y＋1)2＝9D. (x＋2)2＋(y－1)2＝92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或－6B. 5或－5C. 6D. 53. “a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C：x2＋y2＝4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝23,则直线l的方程为()A. 3x＋4y－12＝0B. 4x－3y＋9＝0C. x＝0D. 4x＋3y＋9＝0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l：kx－y＋k－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,－1),与直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·衡水调研)过M (－3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2＋y 2＝1存在公共点,则实数a 的取值范围为________．2. (2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → ＝________．3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32，32 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB ＝________．4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |＝2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．(第4题)二、 解答题5. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程；(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点,直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ,N 两点．(1) 求k 的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能,求出直线l 的方程；若不能,请说明理由．课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝4,圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,－1}B. {3,－3}C. {1,－1,3,－3}D. {5,－5,3,－3}3. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2－2a－2b－3＝0B. a2＋2a＋2b＋5＝0C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．7. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|＝22,求圆O2的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切,则m ＝________．2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →＝λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________．3. (2019·江苏天一中学)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________．4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠DAB ＝60°,AC ＝3BC ,则边CD 长的最小值为________．(第4题)二、 解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1) 求M 的轨迹方程；(2) 当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ,B ,与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ,D .(1) 若AB ＝327 ,求CD 的长；(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围．(第6题)第46讲 椭圆A 应知应会一、 选择题1. 过点A (3,－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 ＋y 210 ＝1B. x 225 ＋y 220 ＝1 C. x 210 ＋y 215 ＝1 D. x 220 ＋y 215 ＝12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S ＝1,则满足条件的点P 有4个B. 若S ＝2,则满足条件的点P 有2个C. 若S ＝5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S ＝12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 ＋2y 225 ＝1 B. x 275 ＋y 225 ＝1C. x 225 ＋y 275 ＝1D. 2x 225 ＋2y 275 ＝15. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、 解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2,－3 )；(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x ＝－4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线PB 交直线x ＝－2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证：k FM ·k P A 为定值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________．2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点,点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2＝43 ,则S △F 1PF 2＝________．3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1＋PF 2|＝23 ,则∠F 1PF 2＝________．4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a ＞0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a ＝________．二、 解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点M (0,－1),长轴长是短轴长的2倍．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证：k 1＋k 2为定值．6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →＝0,试探究：直线l 是否过定点？若是,求该定点的坐标；若不是,请说明理由．第47讲 双曲线 A 应知应会一、 选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (－2,0),B (2,0),c ＝3,则方程为x 24 －y 25 ＝1B. a ＝25 ,过点A (2,－5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 －x 216＝1C. 与椭圆x 227 ＋y 236 ＝1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 －x 25＝1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫－2，352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473，4 两点,则方程是y 29 －x 216 ＝12. 若双曲线E ：x 29 －y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (－2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 －y 2＝1B. x 26 －y 22＝1C. x 23 －y 2＝1或x 2－y 23 ＝1 D. x 2－y 23 ＝1或x 26 －y 22＝1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 －y 220 ＝1B. x 220 －y 25 ＝1C. 3x 225 －3y 2100 ＝1D. 3x 2100 －3y 225 ＝1二、 解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为12,离心率为54 ；(2) 焦距为26,且经过点M (0,12)；(3) 经过两点P (－3,27 )和Q (－62 ,－7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154 ,Q ⎝⎛⎭⎫－163，5 ； (2) c ＝6 ,经过点(－5,2),焦点在x 轴上．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b2 ＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________．3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________．4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C ：x 24 －y 25 ＝1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________．二、 解答题5. 已知双曲线过点(3,－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|＋|MF 2|＝63 ,试判断△MF 1F 2的形状．6. 已知双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x ＋y＝0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程；(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55，m 在双曲线上,求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．第48讲 抛物线A 应知应会一、 选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2＝－2y ,则其准线方程为( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝12 D. y ＝－122. 过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2＝4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列 二、 解答题6. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → ＝12.(1) 求抛物线的方程；(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程．7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问：半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部？(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 若直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p ＝________,1AF ＋1BF＝________．2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________．3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → ＝5FB →,则直线l 的斜率为________．4. (2019·深圳二调)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | ＋|AF ||MF |＝________．二、 解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y ＝x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点．(1) 当x 1＋x 2＝2时,求k ；(2) 若OB ⊥l ,且|AB |＝3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围．第49讲 解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、 选择题1. 设A ,B 为椭圆C ：x 23 ＋y 2m＝1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,＋∞)B. (0,3 ]∪[9,＋∞)C. (0,1]∪[4,＋∞)D. (0,3 ]∪[4,＋∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,＋∞) B. (2 ,＋∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA ＋OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、 解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1－S 2|的最大值．5. (2019·荆州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |＝|GN |,求点G 的横坐标的取值范围．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2 －y 2＝1的离心率的取值范围是________． 2. 已知线段|AB |＝4,|P A |＋|PB |＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________．3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2,则双曲线离心率的取值范围为________．二、 解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C ：(x －5)2＋y 2＝9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |＝33 .(1) 求抛物线E 的方程；(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值．5. (2019·江西质检)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22,过点A (－m ,0),B (m ,0)(m ＞0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围．课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、 选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 ＋y 29 ＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2＝23,则l 一定过点( ) A. (－3,0) B. (3,0) C. (－1,3) D. (－2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249 ＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、 解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点．(1) 当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．5. 已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1,圆O ：x 2＋y 2＝4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系；(2) 同学甲：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直； 同学乙：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直． 请判定两个同学观点是否正确,并证明．B 巩固提升一、 填空题1. 过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________．2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4，95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 ＋y 29 ＝1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1＋x 2＝________．二、 解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点．当直线与x 轴垂直时,|AB |＝4.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．4. (2019·池州期末)已知定点A (－3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为－19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在,求出S 的坐标；若不存在,请说明理由．微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、 选择题1. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 －y 2108 ＝1B. x 29 －y 227＝1 C. x 2108 －y 236 ＝1 D. x 227 －y 29＝12. 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A. x 245 ＋y 236 ＝1B. x 236 ＋y 227＝1 C. x 227 ＋y 218 ＝1 D. x 218 ＋y 29＝13. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,＋∞)二、 填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (－2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |＋|MA |的最大值为________．5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (－25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP ＝OF ,且PF ＝4,则椭圆C 的方程为________．(第5题)三、 解答题6. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切,求证：OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围．8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x －y －2 ＝0时,求抛物线C 1的方程；(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值．(第8题)。

第二章 基本初等函数第6讲 函数的概念及其表示方法A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( )A. 1B. 19C. 21D. 352. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )A BCD3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0， 则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1C. －13D. －1274. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9，则f (13)＋2f ⎝⎛⎭⎫13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 25. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4 ,则实数m的取值范围是( )A. (0,4]B. ⎣⎡⎦⎤32，4C. ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D. ⎣⎡⎦⎤32，3二、 解答题6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式．(2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1,求f (x )的解析式．7. 已知f (x )＝x 2－1,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1) 求f (g (2))和g (f (2))的值；(2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ,则函数y ＝f (x )的定义域为________,函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．2. (2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x ＞0， 则f (log 23)＝________． 3. (2018·南阳一模)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ,则f (x )的解析式为________．4. (2018·郴州质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (a )＝－1成立的a 值是________．二、 解答题5. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1,求f (x ).(2) 已知定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1),求f (x ).6. 对于每个实数x ,设f (x )取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f (x )的解析式,并求f (x )的最大值．第7讲 函数的单调性与最值A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)已知f (x )是定义在[0,＋∞)上的函数,根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )A. 对任意x ≥0,都有f (x ＋1)＞f (x )B. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≥x 2,都有f (x 1)≥f (x 2)C. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1－x 2<0,都有f (x 1)－f (x 2)<0D. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 2. 下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A. y ＝11－xB. y ＝cos xC. y ＝ln (x ＋1)D. y ＝2－x 3. 若函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. [1,2) D. [－1,2)4. (2019·郑州调研)若函数f (x )＝x －1x 2 在x ∈[1,4]上的最大值为M ,最小值为m ,则M －m 的值是( )A. 3116B. 2C. 94D. 1145. (2019·武汉质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2,＋∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A. (－∞,－4)∪[2,＋∞)B. (－4,4]C. [－4,4)D. [－4,4]二、 解答题6. 已知f (x )＝x x 2＋1,判断并证明函数f (x )在区间[－1,0]上的单调性．7. 求下列函数的值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1； (2) y ＝x －x .B 巩固提升一、填空题1. 函数f (x )＝1－2x ＋1的单调增区间是________． 2. (2019·太原期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －1,x ∈[2,5],则f (x )的最大值是________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．4. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0成立,那么实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0,x ＞0). (1) 求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2) 若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ,求a 的值．6. 已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；(3) 如果f (4)＝1,f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围．第8讲 函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性判定与周期性A 组 应知应会一、 选择题1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( )A. y ＝x 3B. y ＝ln 1|x |C. y ＝2|x |D. y ＝cos x 2. (2019·济宁二模)已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )＝x 2＋ln x ,则f (2 019)等于( )A. －1B. 0C. 1D. 23. (2019·烟台一模)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f ⎝⎛⎭⎫14 ＝1,当x <0时,f (x )＝log 2(－x )＋m ,则实数m 等于( )A. －1B. 0C. 1D. 24. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(－2,0)时,f (x )＝2x 2,则f (2 019)等于( )A. －2B. 2C. －98D. 985. (多选)设函数f (x )的定义域为R,且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝0,f (0)≠0,若对于任意实数x ,y ,恒有f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 ·f ⎝⎛⎭⎫x －y 2 ,则下列说法正确的是( )A. f (0)＝1B. f (x )＝f (－x )C. f (x ＋2π)＝f (x )D. f (2x )＝2f (x )－1二、 解答题6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝－x lg (2－x ),求函数f (x )的解析式．7. 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,且f (1)＝1,若a ,b ∈[－1,1],且a ＋b ≠0时,有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1,1]上是增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12 <f (1－x ).B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·日照一模)若函数f (x )＝x 2＋(3－a )x ＋1为偶函数,则a ＝________．2. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝log 2(x ＋1),则当x ∈[1,2]时,f (x )＝________．3. (2019·苏州期初调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0 为奇函数,则实数a 的值为________．4. (2019·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时,f (x )＝x 3－ax ＋1,则实数a 的值为________．二、 解答题5. 设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式；(3) 计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值．课时2 函数性质的应用A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·山西考前训练)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)内是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于 ( )A. －50B. 0C. 2D. 503. (2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R,f (x )＋f (－x )＝0,f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时,f (x )＝x (x －2),则f (2 019)等于( )A. 1B. 0C. 2D. －14. (多选)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )和偶函数y ＝g (x )满足f (x )＋g (x )＝4x ,下列结论正确的有( )A. f (x )＝4x －4－x 2,且0<f (1)<f (2) B. ∀x ∈R,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C. ∀x ∈R,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D. ∃x 0∈R,使得f (2x 0)＞2f (x 0)g (x 0)5. (2019·临沂一模)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x ＞0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)等于( )A. －7B. －9C. －11D. －13二、 解答题6. 若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数,且x ∈[0,1)时f (x )为增函数,求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12 ＜0的解集．7. 已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x ＋2)＝－f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 021)＋f (－2 022)的值．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,＋∞)；③周期为2 020,请写出f (x )的一个解析式：______________．2. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系是________．3. 设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2,则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 4. 函数f (x )＝x 3－3x 2的对称中心是________．二、 解答题5. 若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0,＋∞)上有最大值8,求F (x )在(－∞,0)上的最小值．6. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1) 证明：y ＝f (x )是周期函数,并指出其周期；(2) 若f (1)＝2,求f (2)＋f (3)的值；(3) 若g (x )＝x 2＋ax ＋3,且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数,求实数a 的值．第9讲二次函数与幂函数A组应知应会一、选择题1. 若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛,b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛,c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛,则a,b,c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c2. 若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是()A BC D3. (2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1],若f(x)有最小值－2,则f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. －1D. 24. 将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为()A. 50元B. 60元C. 70元D. 100元5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0,则f(x)在区间[a,＋∞)上是增函数B. 存在a∈R,使得f(x)为偶函数C. 若f(0)＝f(2),则f(x)的图象关于x＝1对称D. 若a2－b－2＞0,则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点二、解答题6. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①对称轴方程是x＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．7. 已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,求实数t的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间为(－∞,4)上单调递减,则a 的取值范围是________．2. 若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1,一个零点大于3,则实数a 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x <0，x 2－2x －3，0≤x ≤3 的值域是________． 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域为(－∞,1],则1a ＋4c的最大值是________．二、 解答题5. (1) 已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围．(2) 已知关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2,2]上存在单调减区间,求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ,任选一个函数补充在下列问题中,若m 存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由．问题：当k ＝0时,若对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[－1,2],使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)第10讲 指数式与指数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝x x -⎪⎭⎫⎝⎛221的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞,1)和(1,＋∞) D. 1x＞1是x <1的必要不充分条件 2. 已知a ＝243 ,b ＝425 ,c ＝2513,则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b3. 若3x ＝a ,5x ＝b ,则45x 等于( )A. a 2bB. ab 2C. a 2＋bD. a 2＋b 24. (2019·东北三校联考)已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB. y ＝|x －2|C. y ＝2x －1D. y ＝log 2(2x )5. (多选)已知函数f (x )＝e x －e －x 2 ,g (x )＝e x ＋e －x 2,则f (x ),g (x )满足( ) A. f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x )B. f (－2)<f (3)C. f (2x )＝2f (x )g (x )D. [f (x )]2－[g (x )]2＝1二、 解答题6. 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2).(1) 求a 的值；(2) 若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝2x －1.(1) 求f (3)＋f (－1)；(2) 求f (x )在R 上的解析式；(3) 求不等式－7≤f (x )≤3的解集．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·菏泽九校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3 ),则a 的最大值是________．2. (2019·石家庄二模)若函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )＋2g (x )＝e x ,则g (－1),f (－2),f (－3)从大到小的顺序是________．3. (2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4,则实数a 的取值范围为________．4. (2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ,若f (x )为奇函数,则不等式f (x )＞1的解集为________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝b ·a x (a ＞0,且a ≠1,b ∈R)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1) 设g (x )＝1f （x ）＋3 －16,确定函数g (x )的奇偶性； (2) 若对任意x ∈(－∞,1],不等式⎝⎛⎭⎫a b x≥2m ＋1恒成立,求实数m 的取值范围．6. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ,g (x )＝a x －a －x 2,其中a 为常数,且a ＞0,a ≠1. (1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式,使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例,并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．第11讲 对数与对数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·全国卷Ⅰ) 已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a2. (多选)已知函数f (x )＝ax 3－1x＋b (a ＞0,b ∈Z),选取a ,b 的一组值计算f (lg a )和f ⎝⎛⎭⎫lg 1a 所得出的结果可以是( )A. 3和4B. －2和5C. 6和2D. －2和23. (2019·枣庄一模)已知2x ＝5y ＝t ,1x ＋1y＝2,则t 等于( ) A. 110 B. 1100C. 10D. 100 4. (2019·汕头一模)已知当0<x ≤12时,不等式log a x <－2恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. (2 ,2) B. (1,2 )C. ⎝⎛⎭⎫22，1 D. (0,2 ) 5. (2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg (10＋x )＋lg (10－x ),则( )A. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数B. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数C. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数D. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数二、 解答题6. 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3).(1) 若f (1)＝1,求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )的最小值为0,求a 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)＝0,当x ＞0时,f (x )＝log 12x . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 解不等式f (x 2－1)＞－2.B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·南京、盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x ＞0时,f (x )＝e x ＋1,则f (－ln 2)的值为________．2. (2019·孝义二模)若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________．3. 若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0,a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )＞0,则f (x )的单调增区间为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________, 方程f (f (x ))＝1的解集是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,a ≠1)在区间[1,7]上的最大值比最小值大12,求a 的值．6. 已知函数f (x )＝ln (1＋x )＋ln (a －x )为偶函数,a ∈R ．(1) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫12 <f (lg x ),求x 的取值范围．第12讲函数的图象课时1图象变换及识别A组应知应会一、选择题1. (2019·黄山一模)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x),则图(2)中的图象对应的函数为()(第1题)A. y＝f(|x|)B. y＝f(－|x|)C. y＝|f(x)|D. y＝－f(|x|)2. (2019·厦门质检)函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π,2π])的图象大致为()A BC D3. (2019·泉州质检)函数f(x)＝e|x|2x的部分图象大致为()A BC D4. (2019·长沙月考)函数f(x)＝ln (x－1)＋ln (x＋1)＋cos x的大致图象是()A BC D5. (2019·济南一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0)在R 上为减函数,则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )A BC D二、解答题6. 如图,定义在[－1,＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f (x )的解析式．(第6题)7. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2). (1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．B 组 能力提升一、 填空题1. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，－x ＋3，x ≥1， 使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________． 2. 已知函数f (x )＝1x,则y ＝f (x －1)＋1的单调减区间为________． 3. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为________．4. (2019·龙岩质检)已知定义在R 上的可导函数f (x ),g (x )满足f (x )＋f (－x )＝6x 2＋3,f (1)－g (1)＝3,g ′(x )＝f ′(x )－6x ,如果g (x )的最大值为M ,最小值为N ,则M ＋N ＝________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝|x |(x －a ),a ＞0.(1) 作出函数f (x )的图象；(2) 写出函数f (x )的单调区间；(3) 当x ∈[0,1]时,由图象写出f (x )的最小值．6. 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ,b 为常数),且方程f (x )＝32 x 的两个实根分别为x 1＝－1,x 2＝2.(1) 求y ＝f (x )的解析式；(2) 证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心．课时2以函数图象为背景的问题A组应知应会一、选择题1. (2019·合肥质检)函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为()A BC D2. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D3. (2019·广州一模)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h ＝f(t)的图象大致是()(第3题)ABCD4. (多选)函数f (x )＝|x |＋ax2 (其中a ∈R)的图象可能是( )ABCD二、 填空题5. 已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________．6. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示,则f (－3)＝________．(第6题)7. 若函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝________．8. (2019·长沙统测)已知f (x )＝|e x －1|＋1,若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点,则实数a 的取值范围是________．9. 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －log 12x <0的整数解的个数为________．B 组 能力提升一、 选择题 1. (2019·潍坊模拟)函数y ＝4cos x －e |x |的图象可能是( )ABCD2. (2019·河南省六市联考)设实数a ,b ,c 分别满足a ＝5－12 ,b ln b ＝1,3c 3＋c ＝1,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞b ＞c3. 已知函数f (2x ＋1)是奇函数,则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( )A. (1,0)B. (－1,0)C. ⎝⎛⎭⎫12，0D. ⎝⎛⎭⎫－12，04. 若函数f (x )＝（2－m ）xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )(第4题)A. (－∞,－1)B. (－1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、 填空题 5. (2019·新余模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1),则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．6. (2019·荆州三模)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示,若关于x 的方程f (g (x ))＝1,g (f (x ))＝2的实根个数分别为m ,n ,则m ＋n ＝________．(第6题)7. 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2 x ,若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点,则a 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )对于任意实数x ∈[a ,b ],当a ≤x 0≤b 时,记|f (x )－f (x 0)|的最大值为D [a ,b ](x 0). (1) 若f (x )＝(x －1)2,则D [0,3](2)＝________；(2) 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 则D [a ,a ＋2](－1)的取值范围是________．第13讲 函数与方程A 组 应知应会一、 选择题1. 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1， 则函数f (x )的零点为( )A. 12 ,0B. －2,0C. 12D. 0 3. 已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1,g (x )＝log 2x ＋x ＋1,h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ,b ,c ,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c4. 已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个 5. (2019·九江模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a ＞0)的最小值为8,则实数a 的取值范围是( )A. (5,6)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10) 二、 解答题6. 若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围．7. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2,a ∈R ．(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1,2],求不等式f (x )≥1－x 2 的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解集为________．2. 设f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x )＝f (2－x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝－x 2＋1,方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x |在区间[－5,5]内实根的个数为________．3. 在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点,则a 的值为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x <1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1， 若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x . (1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．6. (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ,f ′(x )为f (x )的导数． (1) 求证：f ′(x )在区间(0,π)上存在唯一零点； (2) 若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A组应知应会一、选择题1. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A. 3 000元B. 3 800元C. 3 818元D. 5 600元2. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年3. (2019·三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3 010)()A. 3B. 4C. 5D. 64. (2019·安庆二模)设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A BC D5. (多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,则下列叙述不正确的是()(第5题)A. 消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D. 某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、解答题6. 网店销售某一品牌的商品,购买人数n是商品标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少．已知标价为每件300元时,购买人数为零；标价为每件225元时,购买人数为75人．若这种商品的成本价是100元/件,网店以高于成本价的相同价格(标价)出售．(1) 网店要获取最大利润,商品的标价应定为每件多少元？(2) 通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果网店要获得最大利润的75%,那么商品的标价为每件多少元？7. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2,其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11 kg.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．B组能力提升一、填空题1. (2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A (a为常数),广告效应为D＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________．(用常数a表示)2. (2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(kg)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________kg.(第2题）3. 某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________．4. 根据相关规定,机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升,经过x h,酒精含量降为p毫克/100毫升,且满足关系式p＝p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2 h后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到h)二、解答题5. 某创业团队拟生产A、B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图(1)),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图(2)).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1) 分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数；(2) 该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A、B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A、B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？图(1)图(2)(第5题)6. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2＋x ＋150(万元). (1) 若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台？(2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问：引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之多少？(第6题)微难点2 分段函数的研究一、 选择题1. (2019·湖北四地联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，log 2（x ＋1），x ≥0， 若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,－3)∪[0,1)B. (－3,0)∪(－1,1)C. (－3,1)D. (1,＋∞)2. (2019·开封一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2， 若f (a )≥1,则a 的取值范围是( )A. [1,2)B. [1,＋∞)C. [2,＋∞)D. (－∞,－2]3. (2019·廊坊三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x －2x ＋a ，x >0，ax ＋3a －2，x ≤0 在(－∞,＋∞)上是单调函数,且f (x )存在负的零点,则a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎝⎛⎦⎤23，32C. ⎝⎛⎦⎤0，32D. ⎝⎛⎭⎫23，＋∞4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3， 若存在实数a ,b ,c ,d ,满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d ),其中d ＞c ＞b ＞a ＞0,则abcd 的取值范围是( )A. (21,25)B. (21,24)C. (20,24)D. (20,25)5. (2019·驻马店期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax x >0 在[－2,2]上的最大值为3,则实数a 的取值范围是( )A. (ln 3,＋∞)B. ⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C. ⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D. (－∞,ln 3]二、 填空题6. (2019·佛山二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－x 2＋2x ＋1，x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y＝|f (x )|－mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是________．7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x，x ≤1，log a x ＋13，x >1. 若存在x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,使得f (x 1)＝f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________．8. (2019·滨州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x >0.若方程f (x )＝a 恰有4个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23 x 4的取值范围为________．微难点3 由函数的性质求参数范围一、 填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0， 若f (a －1)＋f (a )＞0,则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数,则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2,＋∞)上单调递增,则a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2 在区间(－2,＋∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0， 若f (2－a 2)<f (a ),则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 设定义在[－2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围．。

第三章 导数及其应用第15讲 导数的几何意义和四则运算A 应知应会一、 选择题1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )A. e 2B. 1C. ln 2D. e2. 若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π63. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )A. －2B. －1C. 0D. 34. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A. 0B. 9C. 18D. 275. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )A. (－1,－1)B. (－2,0)C. (1,－2)D. (4,1)二、 解答题6. 求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．(1) 求P 0的坐标；(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2,则f (x )的解析式为________________.3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．二、 解答题5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．第16讲 导数与函数的单调性A 应知应会一、 选择题1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )A BC D2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )(第2题)A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )A. －1＋52B. 1＋52C. 1－52D. －1－525. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0<x 1<x 2<e 的任意x 1,x 2,下列结论中正确的是( )A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围．7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ．(1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程；(2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·泰州一模)已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2,若f (a ＋3)＞f (a －1),则实数a 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )的定义域为R,f (0)＝2,对任意x ∈R,都有f (x )＋f ′(x )＞1,则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．3. 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________．4. (2019·盐城期中)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫x 22＋x (a ∈R),讨论函数f (x )的单调性．6. 已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R).(1) 若f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直,求a 的值； (2) 若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值A 应知应会一、 选择题1. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. (2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A. 2e －1B. －1eC. 1D. 2ln 2 3. 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ,6－a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A. (－5 ,1)B. [－5 ,1)C. [－2,1)D. (－2,1)4. 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值是( )A. 1B. 12C. 52D. 225. (多选)设函数f (x )＝ax 22e－ln |ax |(a ＞0),若f (x )有4个零点,则a 的可能取值个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、 解答题6. 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．7. (2019·邵阳期末)已知a ∈R,函数f (x )＝a x＋ln x －1. (1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程；(2) 求f (x )在区间(0,e]上的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. 若函数f (x )＝12x 2f ′(2)＋ln x ,则f (x )的极大值点为________,极大值为________． 2. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．3. (2019·滁州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3－3x 2＋1，x ≥0，e ax ＋1，x <0 在[－2,2]上的最大值为5,则实数a 的取值范围是________．4. (2019·唐山一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点,则sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3 的最小值为________． 二、 解答题5. (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．6. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是：“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1) 求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值； (2) 请对(1)提出两个“逆向问题”,并作解答．第18讲生活中的优化问题举例A应知应会一、解答题1. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10－x)2万件．(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．2. 如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO＝3PO1.设PO1＝x.(1) 当x＝2 m,P A1＝4 m时,求搭建的帐篷的表面积；(2) 在P A1的长为定值l m的条件下,已知当且仅当x＝23m时,帐篷的容积V最大,求l的值．(第2题)B 巩固提升一、 解答题1. (2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2 km,圆心角为π3的扇形游览区的平面示意图,点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且CD ∥OA .现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设∠AOD ＝x 弧度,广告位出租的总收入为y 元．(1) 求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2) 试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．(第1题)2. (2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品．根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间近似满足关系：P ＝⎩⎨⎧196－x ，1≤x ≤c ，x ∈N ，1≤c <96，23，x >c ，x ∈N (注：次品率P ＝次品数总生产量,如P ＝0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损A 2元,故厂方希望定出合适的日产量． (1) 试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当日产量x 为多少时,可获得最大利润？微难点4 构造函数研究不等关系一、 选择题1. 当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [－5,－3]B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98 C. [－6,－2] D. [－4,－3] 2. (2019·上饶一模)已知函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x ),若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为( )A. (1,＋∞)B. (0,1)C. (1,2 )D. (1,3 )3. 已知函数f (x )＝x ＋1x 2 ,g (x )＝log 2x ＋m ,若对x 1∈[1,2],x 2∈[1,4],使得f (x 1)≥g (x 2),则m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤－∞，－54B. (－∞,2]C. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 D. (－∞,0] 二、 填空题4. 设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R,有f (－x )＋f (x )＝x 2,当x ∈(0, ＋∞)时,f ′(x )＜x .若f (4－m )－f (m )≥8－4m ,则实数m 的取值范围为________．5. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )＜f (x ),且f (x ＋1)＝f (3－x ),f (2 019)＝2,则不等式f (x )＜2e x －1的解集为________．6. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＞1,f (0)＝4,则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．三、 解答题7. 已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ,若不等式f （x ）ex ＋7x －2＞k (x ln x －1)(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值．(参考数据：ln 7≈1.95,ln 8≈2.08)8. 已知函数f (x )＝ln x －ax 3,g (x )＝a e xe. (1) 若直线y ＝x 与y ＝g (x )的图象相切,求实数a 的值；(2) 若存在x 0∈[1,e],使得f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1成立,求实数a 的取值范围．微难点5 利用导数研究函数的零点一、 解答题1. 已知函数f (x )＝2e x ＋ax .(1) 求f (x )的单调区间；(2) 讨论f (x )在(0,＋∞)上的零点个数．2. (2019·抚州调研)已知函数f (x )＝a 6 x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103 . (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点,求m 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝3x －2a 2x. (1) 求函数F (x )＝f (x )－x ＋2在x ∈[4,＋∞)上的最大值；(2) 若函数H (x )＝2f (x )－ln [g (x )]在区间⎣⎡⎦⎤12，1 上有零点,求实数a 的取值范围．4. 已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1) 当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2) 若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12 上无零点,求a 的最小值．。

一轮复习数学模拟试题06满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．12i i+=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =A ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x >5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD += ，()0AB AD AC -=⋅ ，则四边形ABCD 是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯ （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若 3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________．12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f xf x '=，求tan()4x π+的值．题12图 主视图 俯视图 左视图16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A 小区，丙、丁来自B 小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A 小区中任选25个人，记X 表示25个人中低碳族人数，求()E X ．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M 、(1,0)N ，若动点P 满足6||MN MP NP =⋅ ．（1）求动点P 的轨迹C ；（2）在曲线C 上求一点Q ，使点Q 到直线l ：2120x y +-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，x AE =． 沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点，以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）求()f x 的最大值；（3）当()f x 取得最大值时，求异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}n a 中112a =，前n 项和2(1)n n S n a n n =--，1n =，2，…． （1）证明数列1{}n n S n+是等差数列；（2）求n S 关于n 的表达式； （3）设 3n n n b S =１，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分14分）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是14-．（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭 图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥答案8~1：CCDD ；CBBA ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14． 以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-． 2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B = ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =． 4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知 10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >． 5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD += ，得AB CD DC =-= ，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅ ，故0DB AC =⋅ ，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>．9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x =，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=． 10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．。

姓名，年级：时间：加强练（六） 平面向量、复数一、选择题(本大题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.(2020·温州适应性考试)已知i 是虚数单位，则错误!＝( ) A 。

1－i B 。

1＋i C.－1－i D 。

－1＋i解析错误!＝错误!＝错误!＝1＋i ，故选B.答案 B2.(2020·北京东城区一模)设E 为△ABC 的边AC 的中点,错误!＝m 错误!＋n 错误!，则m ，n 的值分别为（ ） A 。

－1，错误! B 。

错误!，－1 C 。

－错误!，1D.1，错误!解析 ∵错误!＝错误!(错误!＋错误!)＝错误!＝－错误!＋错误!错误!，∴m ＝－1,n ＝12.答案 A3。

(2019·诸暨期末）已知a ，b ，c ∈R ，i 是虚数单位,若1＋a ib ＋i ＝c i ，则（ ) A.a ＝b B 。

a ＝1bC.a ＝－bD 。

a ＝－错误!解析 由题意得1＋a i ＝c i(b ＋i ）＝－c ＋bc i ，则错误!则a ＝－b ，故答案C4.(2019·浙江十校联盟适考)若复数z＝错误!(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为( ）A。

3 B.±3C。

－3 D.±错误!解析由复数z＝1－b i2＋i＝（1－b i）（2－i）（2＋i(2－i）)＝错误!的实部和虚部相等得错误!＝－错误!，解得b＝－3,故选C.答案C5.(2020·北京石景山区期末）已知平面向量a＝错误!，b＝错误!，则下列关系正确的是（)A。

(a＋b)⊥b B.(a＋b）⊥aC.(a＋b)⊥（a－b) D。

（a＋b）∥(a－b)解析a＋b＝错误!，a－b＝错误!,∵(a＋b)·（a－b）＝0，∴(a＋b）⊥(a－b)。

答案C6.(2020·北京西城区二模）设向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝1，〈a，b〉＝60°，则｜a＋t b|的取值范围是( )A。

§6.3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n ＋1a n ＝q (n ∈N *,q 为非零常数).(2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇒a ,G ,b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式:S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n ＝a m ·q n－m(n ,m ∈N *).(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n ＋k ,a n ＋2k ,a n ＋3k ,…为等比数列,公比为q k .4.在等比数列{a n }中,若S n 为其前n 项和,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外).概念方法微思考1.将一个等比数列的各项取倒数,所得的数列还是一个等比数列吗？若是,这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列,这两个数列的公比互为倒数. 2.任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项. 3.“b 2＝ac ”是“a ,b ,c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件.因为b 2＝ac 时不一定有a ,b ,c 成等比数列,比如a ＝0,b ＝0,c ＝1.但a ,b ,c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( × ) (2)如果数列{a n }为等比数列,则数列{ln a n }是等差数列.( × ) (3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n,则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8－S 4,S 12－S 8成等比数列.( × ) 题组二 教材改编2.已知{a n }是等比数列,a 2＝2,a 5＝14,则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18,∴q ＝12.3.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18,若a 1a m ＝9,则m 的值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 答案 C解析 由题意得,2a 5a 6＝18,a 5a 6＝9,∴a 1a m ＝a 5a 6＝9,∴m ＝10. 题组三 易错自纠4.(多选)已知数列{a n }是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n B.log 2a 2nC.{a n ＋a n ＋1}D.{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}答案 AD解析 等比数列{a n }的通项a n ＝1时,log 2a 2n ＝0,数列{log 2a 2n }不是等比数列,等比数列{a n }的公比q ＝－1时,a n ＋a n ＋1＝0,数列{a n ＋a n ＋1}不是等比数列,由等比数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 和{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}都是等比数列.故选AD.5.若1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1－a 2b 2的值为________.答案 －12解析 ∵1,a 1,a 2,4成等差数列, ∴3(a 2－a 1)＝4－1,∴a 2－a 1＝1.又∵1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,设其公比为q ,则b 22＝1×4＝4,且b 2＝1×q 2＞0,∴b 2＝2,∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 6.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2＋a 5＝0,则S 5S 2＝________.答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q , ∵8a 2＋a 5＝0,∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0,∴q ＝－2, ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2) ＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 7.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机________秒,该病毒占据内存8 GB.(1 GB ＝210 MB) 答案 39解析 由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n },且a 1＝2,q ＝2,∴a n ＝2n ,则2n ＝8×210＝213,∴n ＝13.即病毒共复制了13次. ∴所需时间为13×3＝39(秒).等比数列基本量的运算1.(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2＝3,S 4＝15,则公比q 等于( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D解析 因为S 2＝3,S 4＝15,S 4－S 2＝12,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，两个方程左右两边分别相除,得q 2＝4, 因为数列是正项等比数列, 所以q ＝2,故选D.2.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5＝3a 3＋4a 1,则a 3等于( )A.16B.8C.4D.2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4,得q 2＝4,因为数列{a n }的各项均为正数,所以q ＝2,又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15,所以a 1＝1,所以a 3＝a 1q 2＝4.3.(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1＝1,S 3＝34,则S 4＝________.答案 58解析 设等比数列的公比为q , 则a n ＝a 1q n －1＝q n －1. ∵a 1＝1,S 3＝34,∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34,即4q 2＋4q ＋1＝0,∴q ＝－12,∴S 4＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58.4.(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中,a 1＝1,a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m ＝63,求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2,解得q ＝0(舍去),q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)若a n ＝(－2)n －1,则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188,此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1,则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64,解得m ＝6. 综上,m ＝6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时,注意对q ＝1和q ≠1的分类讨论.等比数列的判定与证明例1 (2019·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *). (1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n . (1)证明 ∵2S n ＝－a n ＋n ,当n ＝1时,2a 1＝－a 1＋1,解得a 1＝13.当n ≥2时,2S n －1＝－a n －1＋n －1, 两式相减,得2a n ＝－a n ＋a n －1＋1, 即a n ＝13a n －1＋13.∴a n －12＝13⎝⎛⎭⎫a n －1－12, 又a 1－12＝－16≠0,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列.(2)解 由2S 1＝－a 1＋1,得a 1＝13.由(1)知,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以－16为首项,13为公比的等比数列.∴a n －12＝－16⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n,∴a n ＝－12⎝⎛⎭⎫13n ＋12,∴a n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n －12,∴T n ＝－16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－n 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1－n2.思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法:若a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数),则数列{a n }是等比数列.(2)等比中项法:若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *,a n ≠0),则数列{a n }是等比数列.(3)通项公式法:若a n ＝Aq n (A ,q 是不为零的常数),则数列{a n }是等比数列. 跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ,证明:数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式. (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2, 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5,∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② ①－②,得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2), ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ,∴b n ＝2b n －1(n ≥2), 故{b n }是首项b 1＝3,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1, ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34, 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12,公差为34的等差数列.∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14, 故a n ＝(3n －1)·2n －2.等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中,2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0,数列{b n }是等比数列,且b 2 020＝a 2 020,则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 C解析 因为等差数列{a n }中a 2 019＋a 2 021＝2a 2 020,所以2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝4a 2 020－a 22 020＝0,因为数列{a n }各项不为零,所以a 2 020＝4,因为数列{b n }是等比数列,所以b 2 019·b 2 021＝a 22 020＝16. 所以log 2(b 2 019·b 2 021)＝log 216＝4.故选C.(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 6＝30,S 9＝70,则S 3＝________. 答案 10解析 根据等比数列的前n 项和的性质,若S n 是等比数列的和,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n ,…仍是等比数列,得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6),解得S 3＝10或S 3＝90(舍). 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类: (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形.(3)前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12,该数列前9项的乘积为1,则a 1等于( ) A.8 B.16 C.32 D.64答案 B解析 由已知a 1a 2…a 9＝1 ,又a 1a 9＝a 2a 8＝a 3a 7＝a 4a 6＝a 25 ,所以a 95＝1 ,即a 5＝1,所以a 1⎝⎛⎭⎫－124＝1 ,a 1＝16.故选B.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3S 6＝89,则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2,且n ∈N *).答案 －12解析 很明显等比数列的公比q ≠1, 则由题意可得,S 3S 6＝a 1()1－q 31－q a 1()1－q 61－q ＝11＋q 3＝89, 解得q ＝12,则a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.对于数列通项公式的求解,除了我们已经学习的方法以外,根据所给递推公式的特点,还有以下几种构造方式.构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0,其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1,数列{a n }为等差数列； (2)若d ＝0,数列{a n }为等比数列；(3)若c ≠1且d ≠0,数列{a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. 方法如下:设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ),得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ,与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝dc －1(c ≠1),所以a n ＋dc －1＝c ⎝⎛⎭⎫a n －1＋d c －1(n ≥2),即⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋d c －1构成以a 1＋dc －1为首项,以c 为公比的等比数列.例1 在数列{a n }中,若a 1＝1,a n ＋1＝3a n ＋2,则通项a n ＝________. 答案 2×3n －1－1解析 a n ＋1＝3a n ＋2,即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1), 又因为a 1＋1＝2≠0,所以{a n ＋1}构成以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以a n ＋1＝2·3n －1,a n ＝2·3n －1－1.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1,q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1,q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1,即得a n ＋1pn ＋1－a n p n ＝q ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列.例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4,a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1,则a n 等于( ) A.n ·2n －1 B.(n ＋1)·2n C.n ·2n ＋1 D.(n －1)·2n答案 B解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1, ∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1,即a n ＋12n ＋1－a n2n＝1, 又∵a 121＝42＝2,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为2,公差为1的等差数列,∴a n2n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1, ∴a n ＝(n ＋1)·2n ,故选B.(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝2a n ＋3×5n ,则数列{a n }的通项a n 等于( ) A.－3×2n －1 B.3×2n －1 C.5n ＋3×2n －1 D.5n －3×2n －1答案 D解析 方法一 在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1,得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35,①令a n 5n ＝b n ,则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35, 即b n ＋1－1＝25(b n －1),所以数列{b n －1}是等比数列,其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35,公比为25,所以b n －1＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫25n －1, 即b n ＝1－35×⎝⎛⎭⎫25n －1,所以a n 5n ＝1－35×⎝⎛⎭⎫25n －1＝1－3×2n －15n .故a n ＝5n －3×2n －1.方法二 设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n ),则a n ＋1＝2a n －3k ×5n ,与题中递推公式比较得k ＝－1, 即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n ),所以数列{a n －5n }是首项为a 1－5＝－3,公比为2的等比数列, 则a n －5n ＝－3×2n －1, 故a n ＝5n －3×2n －1.故选D.构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1,其中a 1＝a ,a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1),其中x 1,x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根. 例3 数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ,求数列{a n }的通项公式.解 由a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n 可得,a n ＋2－a n ＋1＝－13(a n ＋1－a n ),所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1,公比为－13的等比数列,当n ≥2时,a 2－a 1＝1,a 3－a 2＝－13,a 4－a 3＝19,…,a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫－13n －2, 将上面的式子相加可得a n －1＝1＋⎝⎛⎭⎫－13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫－13n －2, 从而可求得a n ＝2＋⎝⎛⎭⎫－13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫－13n －2, 故有a n ＝74＋94×⎝⎛⎭⎫－13n (n ≥2).又a 1＝1也符合上式,则a n ＝74＋94×⎝⎛⎭⎫－13n . 构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s型)例4 已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a na n ＋2,求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2,a 1＝1,∴a n ≠0,∴1a n ＋1＝1a n ＋12,即1a n ＋1－1a n ＝12, 又a 1＝1,则1a 1＝1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公差的等差数列.∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12, ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *).1.(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数,a 2＝3,4a 23＝a 1a 7,则a 5等于( )A.34B.38 C.12 D.24 答案 D解析 数列{a n }是等比数列,各项均为正数,4a 23＝a 1a 7＝a 24,所以q 2＝a 24a 23＝4, 所以q ＝2.所以a 5＝a 2·q 3＝3×23＝24, 故选D.2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ,则r 的值为( ) A.13 B.－13 C.19 D.－19 答案 B解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋r , 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3 ＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1 ＝83·9n －1, 所以3＋r ＝83,即r ＝－13,故选B.3.(2019·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 D解析 取a n ＝－2n ,此时q ＝2＞1, 但{a n }是单调递减数列,取a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n, 因a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ＞0,故{a n }是单调递增数列,但q ＝12＜1,故“q ＞1 ”是“{a n }是递增数列”的既不充分也不必要条件,故选D.4.已知递增的等比数列{a n }中,a 2＝6,a 1＋1,a 2＋2,a 3成等差数列,则该数列的前6项和S 6等于( )A.93B.189C.18916 D.378答案 B解析 设数列{a n }的公比为q ,由题意可知,q ＞1, 且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3, 即2×(6＋2)＝6q ＋1＋6q ,整理可得2q 2－5q ＋2＝0, 则q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去,则a 1＝62＝3, ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×()1－261－2＝189.5.(2020·苏州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ,则下列结论正确的是( ) A.数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B.数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C.数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列答案 D解析 对于A,由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知其是公比为q 2的等比数列；对于B,若q ＝－1,则{a n ＋a n ＋1}项中有0,不是等比数列；对于C,若q ＝1,则数列{a n －a n ＋1}项中有0,不是等比数列；对于D,1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q ,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列,故选D.6.若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *),则a 6－a 5的值是( ) A. 2B.－16 2C.2D.16 2 答案 D解析设正项等比数列{a n}的公比为q＞0, ∵a n a n＋1＝22n(n∈N*),∴a n＋1a n＋2a n a n＋1＝22(n＋1)22n＝4＝q2,解得q＝2,∴a2n×2＝22n,a n＞0,解得a n＝2122n-,则a6－a5＝1122－922＝162,故选D.7.(多选)在等比数列{a n}中,a5＝4,a7＝16,则a6可以为()A.8B.12C.－8D.－12答案AC解析因为{a n}为等比数列,a5＝4,a7＝16,所以a26＝a5·a7＝4×16＝64,所以a6＝±8.8.(多选)在等比数列{a n}中,公比为q,其前n项积为T n,并且满足a1＞1,a99·a100－1＞0,a99－1a100－1＜0,下列选项中,结论正确的是()A.0＜q＜1B.a99·a101－1＜0C.T100的值是T n中最大的D.使T n＞1成立的最大自然数n等于198答案ABD解析对于A,∵a99a100－1＞0,∴a21·q197＞1,∴(a1·q98)2·q＞1.∵a1＞1,∴q＞0.又∵a99－1a100－1＜0,∴a99＞1,且a100＜1.∴0＜q＜1,故A正确；对于B,∵a2100＝a99·a101,a100＜1,∴0＜a99·a101＜1,即a99·a101－1＜0,故B正确；对于C,由于T100＝T99·a100,而0＜a100＜1,故有T100＜T99,故C错误；对于D,T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)×99＞1, T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1,故D正确.故选ABD.9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝2 020,a 2＋a 4＝－2a 3,则S 2 021＝________. 答案 2 020解析 ∵a 2＋a 4＝－2a 3,∴a 2＋a 4＋2a 3＝0,a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0, ∵a 2≠0,∴q 2＋2q ＋1＝0,解得q ＝－1. ∵a 1＝2 020,∴S 2 021＝a 1(1－q 2 021)1－q ＝2 020×[1－(－1)2 021]2＝2 020.10.如图所示,正方形上连结着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连结正方形,…,如此继续下去得到一个树状图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为22,则其最小正方形的边长为________.答案132解析 由题意,得正方形的边长构成以22为首项,以22为公比的等比数列,现已知共得到1 023个正方形,则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023,∴n ＝10,∴最小正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫229＝132. 11.(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1,na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1,b 2,b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由； (3)求{a n }的通项公式.解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n ,将n ＝1代入得,a 2＝4a 1,而a 1＝1,所以a 2＝4. 将n ＝2代入得,a 3＝3a 2,所以a 3＝12. 从而b 1＝1,b 2＝2,b 3＝4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn,即b n ＋1＝2b n ,又b 1＝1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a n n ＝2n －1,所以a n ＝n ·2n －1.12.(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝34,S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2),数列{b n }满足:b 1＝－374,且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证:数列{b n －a n }为等比数列.(1)解 由S n ＝S n －1＋a n －1＋12,得S n －S n －1＝a n －1＋12,即a n －a n －1＝12(n ≥2且n ∈N *),则数列{a n }是以34为首项,12为公差的等差数列,因此a n ＝34＋(n －1)×12 ＝12n ＋14.(2)证明 因为3b n －b n －1＝n ＋1(n ≥2), 所以b n ＝13b n －1＋13(n ＋1)(n ≥2),b n －a n ＝13b n －1＋13(n ＋1)－12n －14＝13b n －1－16n ＋112 ＝13⎝⎛⎭⎫b n －1－12n ＋14(n ≥2), b n －1－a n －1＝b n －1－12(n －1)－14＝b n －1－12n ＋14(n ≥2),所以b n －a n ＝13(b n －1－a n －1)(n ≥2),因为b 1－a 1＝－10≠0,所以数列{b n －a n }是以－10为首项,13为公比的等比数列.13.各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n ,b n ,a n ＋1成等差数列,b n ,a n ＋1,b n ＋1 成等比数列,且a 1＝1,a 2＝3,则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n 2＋n2解析 由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1,a n ＝b n b n －1(n ≥2), 代入2b n ＝a n ＋a n ＋1得2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1(n ≥2), 即2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2), 则{b n }是首项为b 1的等差数列. 又a 1＝1,a 2＝3,所以2b 1＝4,b 1＝2, 故b 2＝a 22b 1＝92,则公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22, 所以b n ＝2＋22(n －1)＝2(n ＋1)2, 即b n ＝n ＋12,b n ＋1＝n ＋22,则a n ＋1＝b n b n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2,所以a n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2.14.已知在等比数列{a n }中,a n ＞0,a 22＋a 24＝900－2a 1a 5,a 5＝9a 3,则a 2 020的个位数字是____.答案 7解析 由等比数列的性质可得a 1a 5＝a 2a 4,因为a 22＋a 24＝900－2a 1a 5＝900－2a 2a 4,所以a 22＋a 24＋2a 2a 4＝(a 2＋a 4)2＝900,又因为a n ＞0,所以a 2＋a 4＝30,又由a 5＝9a 3,所以a 1(q ＋q 3)＝30,a 3q 2＝9a 3,且q ＞0,解得a 1＝1,q ＝3, 所以a 2 020＝a 1q 2 019＝32 019＝(34)504×33, 所以a 2 020的个位数字是7.15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”,第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2,….设第n 次“扩展”后得到的数列为1,x 1,x 2,…,x t ,2,并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2),其中t ＝2n －1,n ∈N *,求数列{a n }的通项公式. 解 a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2),所以a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·…·x t ·(x t ·2)·2] ＝log 2(12·x 31·x 32·x 33·…·x 3t ·22)＝3a n －1, 所以a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎫a n －12, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以32为首项,以3为公比的等比数列,所以a n －12＝32×3n －1,所以a n ＝3n ＋12.16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3,公差为2的等差数列,若b n ＝2n a ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值.解 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3,公差为2的等差数列,所以S nn ＝3＋(n －1)×2 ,化简得S n ＝2n 2＋n ,则S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)(n ≥2),所以a n ＝S n －S n －1 ＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)] ＝4n －1(n ≥2),当n ＝1 时,S 1＝a 1＝3,也符合上式,所以a n ＝4n －1,因为b n ＝2n a ,所以b 1＝a 2,b 2＝a 4,b 3＝a 8,b 4＝a 16,b 5＝a 32,b 6＝a 64,… 所以T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋a 16＋…＋12n a ＋2n a＝(23－1)＋(24－1)＋(25－1)＋…＋(2n ＋1－1)＋(2n ＋2－1) ＝23＋24＋25＋…＋2n ＋1＋2n ＋2－n＝2n ＋3－n －8,所以S 1＋T 1＝(2×12＋1)＋(24－1－8)＝10,S 2＋T 2＝(2×22＋2)＋(25－2－8)＝32,S 3＋T 3＝(2×32＋3)＋(26－3－8)＝74,S 4＋T 4＝(2×42＋4)＋(27－4－8)＝152,S 5＋T 5＝(2×52＋5)＋(28－5－8)＝298,所以使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值为5.。

§6.1数列的概念与简单表示法1.数列的有关概念2.数列的表示方法3.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4.数列的分类概念方法微思考1.数列的项与项数是一个概念吗？提示不是,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y＝3x＋5的定义域是R,a n＝3n＋5的图象是离散的点,且排列在y＝3x＋5的图象上.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(√)(4)1,1,1,1,…不能构成一个数列.(×)题组二教材改编2.在数列{a n}中,已知a1＝1,a n＋1＝4a n＋1,则a3＝________.答案21解析由题意知,a2＝4a1＋1＝5,a3＝4a2＋1＝21.3.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________. 答案5n＋1题组三 易错自纠4.已知a n ＝n 2＋λn ,且对于任意的n ∈N *,数列{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是________. 答案 (－3,＋∞)解析 因为{a n }是递增数列,所以对任意的n ∈N *,都有a n ＋1＞a n ,即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn , 整理,得2n ＋1＋λ＞0,即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1,所以－(2n ＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需λ＞－3. 5.数列{a n }中,a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *),则此数列最大项的值是________. 答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214, ∵n ∈N *,∴当n ＝5或n ＝6时,a n 取最大值30. 6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1,则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N* 解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝2,当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1, a 1＝2不满足上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.7.已知整数数列{a n }满足:a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，当a n 为偶数时，5a n ＋1，当a n 为奇数时.(1)若a 1＝8,则a 5＝________. (2)若a 4＝6,则a 3＝________. 答案 (1)6 (2)1或12解析 (1)a 1＝8,a 2＝12×8＝4,a 3＝12×4＝2,a 4＝12×2＝1,a 5＝5＋1＝6.(2)a 3为偶数时,a 4＝12a 3＝6,得a 3＝12.a 3为奇数时,a 4＝5a 3＋1＝6,得a 3＝1,故a 3＝1或12.由a n与S n的关系求通项公式例1(1)设S n为数列{a n}的前n项和,若2S n＝3a n－3,则a4等于()A.27B.81C.93D.243答案 B解析根据2S n＝3a n－3,可得2S n＋1＝3a n＋1－3,两式相减得2a n＋1＝3a n＋1－3a n,即a n＋1＝3a n,当n＝1时,2S1＝3a1－3,解得a1＝3,所以数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以a4＝a1q3＝34＝81.故选B.(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n,则a n＝________.答案4n－5解析a1＝S1＝2－3＝－1,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5, 由于a 1也适合此等式,∴a n ＝4n －5.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ,则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析 当n ＝1时,由已知,可得a 1＝21＝2, ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ,①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2),② 由①－②,得na n ＝2n －2n －1＝2n －1, ∴a n ＝2n －1n(n ≥2).显然当n ＝1时不满足上式, ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.本例(2)中,若S n ＝2n 2－3n ＋1,则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2思维升华 已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，一定要检验a 1的情况.跟踪训练1 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1,则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝ 2×3n －1.当n ＝1时,2×31－1＝2≠a 1,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3,则a n ＝________.答案13n解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3,①则当n ≥2时,a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13,② 由①－②,得3n －1a n ＝13,所以a n ＝13n (n ≥2).由题意,知a 1＝13符合上式,所以a n ＝13n .(3)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1,则S 6＝________. 答案 －63解析 ∵S n ＝2a n ＋1,当n ≥2时,S n －1＝2a n －1＋1, ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2), 即a n ＝2a n －1(n ≥2).当n ＝1时,a 1＝S 1＝2a 1＋1,得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1,公比q ＝2的等比数列, ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ,∴S 6＝1－26＝－63.由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法例2 设数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋n ＋1,则a n ＝________. 答案 n 2＋n ＋22解析 由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1,则当n ≥2时,a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22, 又a 1＝2也符合上式,所以a n ＝n 2＋n ＋22.命题点2 累乘法例3 设数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝nn ＋1a n ,则a n ＝________.答案 2n解析 ∵a n ＋1＝nn ＋1a n ,a 1＝2,∴a n ≠0,∴a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴当n ≥2时,a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n.a 1＝2也符合上式, 则a n ＝2n.思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＋1＝a n ＋f (n )时,用累加法求解. (2)当出现a n ＋1a n＝f (n )时,用累乘法求解.跟踪训练2 (1)(2019·龙岩质检)若数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1－a n －1＝2n ,则a n ＝________. 答案 2n ＋n －2解析 因为数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1－a n －1＝2n , 所以当n ≥2时,a 2－a 1＝1＋21, a 3－a 2＝1＋22, a 4－a 3＝1＋23, ……a n －a n －1＝1＋2n －1,以上各式相加得a n －a 1＝n －1＋(21＋22＋23＋…＋2n －1), 则a n ＝2n ＋n －2(n ≥2). 又a 1＝1也符合上式, 所以a n ＝2n ＋n －2.(2)已知数列{a n }满足a 1＝23,a n ＋1＝n n ＋2a n ,求通项公式a n .解 由已知得a n ＋1a n ＝n n ＋2,分别令n ＝1,2,3,…,(n －1),代入上式得n －1个等式累乘,即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1, 所以a n a 1＝2n (n ＋1),即n ≥2时,a n ＝43n (n ＋1),又因为a 1＝23也满足该式,所以a n ＝43n (n ＋1).数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{c n },c n ＝2n －72n ,则当n ＝________时,c n 最大. 答案 5解析 c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1, 当n ≤4时,c n ＋1＞c n ,当n ≥5时,c n ＋1＜c n ,因此c 1＜c 2＜c 3＜c 4＜c 5＞c 6＞c 7＞…,∴n ＝5时,c n 取得最大值.命题点2 数列的周期性例5 (2019·兰州模拟)已知数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *),则a 2 020的值为( )A.2B.1C.12D.14答案 B解析 因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *),由a 1＝1,a 2＝2,得a 3＝2,由a 2＝2,a 3＝2,得a 4＝1,由a 3＝2,a 4＝1,得a 5＝12, 由a 4＝1,a 5＝12,得a 6＝12, 由a 5＝12,a 6＝12,得a 7＝1, 由a 6＝12,a 7＝1,得a 8＝2, 由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列,所以a 2 020＝a 4＝1,故选B.命题点3 数列的最值例6 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S m －1＝－2,S m ＝0,S m ＋1＝3(m ≥2),则nS n 的最小值为( )A.－3B.－5C.－6D.－9答案 D解析 由S m －1＝－2,S m ＝0,S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2,a m ＋1＝3,设等差数列{a n }的公差为d ,则d ＝1,∵S m ＝0,∴a 1＝－a m ＝－2,则a n ＝n －3,S n ＝n (n －5)2,nS n ＝n 2(n －5)2. 设f (x )＝x 2(x －5)2,x ＞0,f ′(x )＝32x 2－5x ,x ＞0, ∴f (x )的极小值点为x ＝103, ∵n ∈N *,且f (3)＝－9,f (4)＝－8,∴f (n )min ＝－9.思维升华 应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断. 跟踪训练3 (1)若数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝3,a n a n －2＝a n －1(n ≥3),记数列{a n }的前n 项积为T n ,则下列说法错误的是( )A.T n 无最大值B.a n 有最大值C.T 2 020＝9D.a 2 020＝1答案 A解析 因为a 1＝1,a 2＝3,a n a n －2＝a n －1(n ≥3),所以a 3＝3,a 4＝1,a 5＝13,a 6＝13,a 7＝1,a 8＝3,… 因此数列{a n }为周期数列,a n ＋6＝a n ,a n 有最大值3,a 2 020＝a 4＝1,因为T 1＝1,T 2＝3,T 3＝9,T 4＝9,T 5＝3,T 6＝1,T 7＝1,T 8＝3,…,所以{T n }为周期数列,T n ＋6＝T n ,T n 有最大值9,T 2 020＝T 4＝9,故选A.(2)(2019·宁夏石嘴山市第三中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1,且点(a n ,2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上.若对任意的n ∈N *,1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n≥λ恒成立,则实数λ的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 数列{a n }满足a 1＝1,且点(a n ,2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上, 可得a n －a n ＋1＋1＝0,即a n ＋1－a n ＝1,可得a n ＝n ,对任意的n ∈N *,1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n≥λ恒成立, 即为λ≤⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n min ,由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ,得f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋2－12n ＋1＝－1(2n ＋1)(2n ＋2)＜0,即f (n )＜f (n ＋1),可得f (n )递增,即有f (1)为最小值,且为12,可得λ≤12,则实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12.1.已知数列5,11,17,23,29,…,则55是它的() A.第19项 B.第20项C.第21项D.第22项答案 C解析 数列5,11,17,23,29,…中的各项可变形为5,5＋6,5＋2×6,5＋3×6,5＋4×6,…,所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1, 令6n －1＝55,得n ＝21.2.(2019·咸阳模拟)已知正项数列{a n }中,a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为( )A.a n ＝nB.a n ＝n 2C.a n ＝n 2D.a n ＝n 22 答案 B解析 由题意得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2), 又a 1＝1 ,所以a n ＝n (n ≥1),a n ＝n 2 ,故选B.3.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n ＝2a n －2,则S 8等于( )A.255B.256C.510D.511答案 C解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝2a 1－2,据此可得a 1＝2,当n ≥2时,S n ＝2a n －2,S n －1＝2a n －1－2,两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1,则a n ＝2a n －1,据此可得数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 4.(2020·山东省淄博实验中学月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝2,S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *),则a 10等于( )A.128B.256C.512D.1 024答案 B解析 ∵S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *),n ≥2时,S n ＝2S n －1－1,∴a n ＋1＝2a n .n ＝1时,a 1＋a 2＝2a 1－1,a 1＝2,a 2＝1.∴数列{a n }从第二项开始为等比数列,公比为2.则a 10＝a 2×28＝1×28＝256.故选B.5.(2019·安徽省江淮十校联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2,a 1＝20,则a n n 的最小值为( )A.4 5B.45－1C.8D.9答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2n 知,当n ≥2时,a 2－a 1＝2×1,a 3－a 2＝2×2,…,a n －a n －1＝2(n －1),相加得,a n －a 1＝n 2－n ,所以a n n ＝n ＋20n－1(经检验n ＝1时也符合), 又n ∈N *,所以n ≤4时,a n n 单调递减,n ≥5时,a n n单调递增, 因为a 44＝a 55,所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8.故选C. 6.(2019·临沂模拟)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F (1)＝F (2)＝1,F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3,n ∈N *),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n },则数列{a n }的前2 020项的和为( )A.672B.673C.1 347D.2 020答案 C解析 由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数,可得{a n }为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,所以{a n }是周期为3的数列,一个周期中三项和为1＋1＋0＝2,因为2 020＝673×3＋1,所以数列{a n }的前2 020项的和为673×2＋1＝1 347,故选C.7.(多选)下列说法不正确的是( )A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,－1,－2与数列－2,－1,0,1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1k D.数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数答案 ABD解析 数列与数集是不同的,故选项A 错误；由数列的有序性知选项B 错误；数列的定义域不一定为正整数集,故选项D 错误.8.(多选)在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ,则数列{a n }中的最大项可以是( )A.第6项B.第7项C.第8项D.第9项 答案 AB解析 假设a n 最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 即⎩⎨⎧ (n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ≥n ·⎝⎛⎭⎫78n －1，所以⎩⎨⎧ n ＋1≥78(n ＋2)，78(n ＋1)≥n ，即6≤n ≤7,所以最大项为第6项和第7项.9.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1,则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析 当n ＝1时,a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5,显然当n ＝1时,不满足上式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2. 10.(2020·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且∀n ∈N *,a n ＋1＞a n ,S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *,a n ＋1＞a n ,则数列{a n }是递增的,∀n ∈N *,S n ≥S 6,即S 6最小,只要前6项均为负数,或前5项为负数,第6项为0,即可, 所以,满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一).11.已知在数列{a n }中,a 1＝1,前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2,a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2,得3(a 1＋a 2)＝4a 2, 解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3,得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3,解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时,有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1, 整理,得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1,a 2＝31a 1,a 3＝42a 2,…, a n －1＝n n －2a n －2,a n ＝n ＋1n －1a n －1, 将以上n 个等式两端分别相乘,整理,得a n ＝n (n ＋1)2, 经检验n ＝1时,也满足上式.综上,{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2. 12.(2020·南京模拟)已知数列{a n }中,a 1＝1,其前n 项和为S n ,且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ,若数列{b n }为递增数列,求λ的取值范围. 解 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ,∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1,∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ,即na n ＋1＝(n ＋1)a n ,∴a n ＋1n ＋1＝a n n, ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1, ∴a n ＝n (n ∈N *).(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1).∵数列{b n }为递增数列,∴2·3n －λ(2n ＋1)＞0,即λ＜2·3n2n ＋1. 令c n ＝2·3n2n ＋1, 则c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3＞1. ∴{c n }为递增数列,∴λ＜c 1＝2,即λ的取值范围为(－∞,2).13.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n ＝2a n －3n ,则a 2 020等于( )A.22 020－1B.32 020－6C.⎝⎛⎭⎫12 2 020－72D.⎝⎛⎭⎫13 2 020－103答案 A解析 由题意可得,3S n ＝2a n －3n ,3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1),两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3,即a n ＋1＝－2a n －3,a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1),结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3,a 1＋1＝－2, 则数列{a n ＋1}是首项为－2,公比为－2的等比数列, 据此有a 2 020＋1＝(－2)×(－2)2 019＝22 020,∴a 2 020＝22 020－1.故选A.14.已知正项数列{a n }单调递增,则使得不等式(1－λa i )2＜1对任意a i (i ＝1,2,…,k )都成立的λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a kD.⎝⎛⎭⎫0，2a k 答案 D解析 由(1－λa i )2＜1,得－1＜1－λa i ＜1,即0＜λa i ＜2,∵a i ＞0,∴0＜λ＜2a i, ∵{a n }单调递增,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 单调递减,∴对任意i ＝1,2,…,k ,有2a k ≤2a i, ∴λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，2a k.15.(2020·北京市海淀区期末)设数列{a n }使得a 1＝0,且对任意的n ∈N *,均有|a n ＋1－a n |＝n ,则a 3所有可能的取值构成的集合为:________,a 64的最大值为________. 答案 {－3,－1,1,3} 2 016解析 因为数列{a n }使得a 1＝0,且对任意的n ∈N *,均有|a n ＋1－a n |＝n , 所以|a 2－a 1|＝1,因此a 2＝1或a 2＝－1；又|a 3－a 2|＝2,所以a 3－a 2＝±2,因此a 3＝1±2或a 3＝－1±2,即a 3所有可能的取值为－3,－1,1,3,故a 3所有可能的取值构成的集合为{－3,－1,1,3}, 若a n 取最大值,则{a n }必为单调递增数列,即a n ＋1－a n ＞0, 所以有a n ＋1－a n ＝n ,因此a 2－a 1＝1,a 3－a 2＝2,…,a n －a n －1＝n －1,以上各式相加得a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1),所以a n ＝1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)n 2, 因此a 64＝63×642＝2 016. 16.已知数列{a n }是递增的等比数列且a 1＋a 4＝9,a 2a 3＝8,设S n 是数列{a n }的前n 项和,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n ·S n ＋1的前n 项和为T n ,若不等式λ≤T n 对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的最大值. 解 ∵数列{a n }是递增的等比数列,且a 1＋a 4＝9,a 2a 3＝8,a 1a 4＝a 2a 3,∴a 1,a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根,且a 1＜a 4. 解方程x 2－9x ＋8＝0,得a 1＝1,a 4＝8,∴q 3＝a 4a 1＝81＝8,解得q ＝2, ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴S n ＝a 1()1－q n 1－q ＝1×()1－2n 1－2＝2n －1, 令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n()2n －1·()2n ＋1－1 ＝12n －1－12n ＋1－1, ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1 ＝1－12n ＋1－1在正整数集上单调递增, ∴T n ≥T 1＝23, ∵λ≤T n ,且对一切n ∈N *成立,∴λ≤23, ∴实数λ的最大值是23.。

§6.4 数列求和1.(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2；(2)等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2,推导方法:倒序相加法；(3)等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.推导方法:错位相减法. 2.常见数列的前n 项和(1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 3.数列求和的常见方法(1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2)裂项相消:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和；(3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4)倒序相加:如等差数列前n 项和公式的推导方法.(5)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.概念方法微思考请思考以下常见式子的裂项方法.(1)1n (n ＋1)； (2)1(2n －1)(2n ＋1)； (3)1n ＋n ＋1；(4)1n (n ＋1)(n ＋2). 提示 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列,且公比不等于1,则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时,1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时,只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( × )(4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序相加法,利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )(5)如果数列{a n }是周期为k 的周期数列,那么S km ＝mS k (m ,k 为大于1的正整数).( √ ) 题组二 教材改编2.等比数列1,2,4,8,…中从第5项到第10项的和为________. 答案 1 008解析 由a 1＝1,a 2＝2,得q ＝2, ∴S 10＝1×(1－210)1－2＝1 023,S 4＝1×(1－24)1－2＝15,∴S 10－S 4＝1 008.3.已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1,则该数列的前________项之和等于9.答案 99解析 由题意知,a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ,所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9,解得n ＝99.4.1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1＝________(x ≠0且x ≠1). 答案 1－x n (1－x )2－nx n1－x解析 设S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1,① 则xS n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ,②①－②得(1－x )S n ＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －1－nx n ＝1－x n 1－x －nx n , ∴S n ＝1－x n (1－x )2－nx n1－x .题组三 易错自纠5.一个球从100 m 高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是________________. 答案 100＋200(1－2－9)解析 第10次着地时,经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×2－1(1－2－9)1－2－1＝100＋200(1－2－9). 6.数列{a n }的通项公式为a n ＝n cosn π2,其前n 项和为S n ,则S 2 017＝________.答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化,观察此数列规律如下:a 1＝0,a 2＝－2,a 3＝0,a 4＝4. 故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. a 5＝0,a 6＝－6,a 7＝0,a 8＝8, 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2,∴周期T ＝4. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π＝1 008. 7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋…＋(－1)n －1(4n －3),则S 15＋S 22－S 31＝________. 答案 －76解析 S n＝⎩⎨⎧n2×(－4)，n 为偶数，n －12×(－4)＋4n －3，n 为奇数，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，∴S 15＝29,S 22＝－44,S 31＝61, ∴S 15＋S 22－S 31＝－76.分组求和与并项求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和. 解 (1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ,故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *). (2)由(1)知a n ＝n ,故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ,B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n , 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2,B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2(n ∈N *).本例(2)中,求数列{b n }的前n 项和T n .解 由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时,T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ] ＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时,T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.∴T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ,且{b n },{c n }为等差或等比数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.跟踪训练1 (2019·苏州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *). (1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2)当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)若数列{a n }是等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d ,a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3, 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3,解得d ＝2,a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *), 得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *). 两式相减得a n ＋2－a n ＝4,所以数列{a 2n －1}是首项为a 1,公差为4的等差数列,数列{a 2n }是首项为a 2,公差为4的等差数列. 由a 2＋a 1＝1,a 1＝2,得a 2＝－1,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时,a n ＝2n , S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×(1＋4n －11)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n2.所以S n＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n2，n 为偶数.错位相减法求和例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n ＝n 2＋n . (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若a k ＋1,a 2k ,a 2k ＋3(k ∈N *)恰好依次为等比数列{b n }的第一、第二、第三项,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n b n 的前n项和T n .解 (1)当n ＝1时,a 1＝S 1＝12＋1＝2. 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n . 检验n ＝1时,上式符合, ∴a n ＝2n (n ∈N *).(2)由题意知a k ＋1,a 2k ,a 2k ＋3成等比数列, ∴a 22k ＝a k ＋1·a 2k ＋3, 即(2·2k )2＝2(k ＋1)·2(2k ＋3), 解得k ＝3(负值舍去).b 1＝a 4＝8,b 2＝a 6＝12,公比q ＝128＝32,∴b n ＝8·⎝⎛⎭⎫32n －1, ∴n b n ＝18n ·⎝⎛⎭⎫23n －1, ∴T n ＝18×⎝⎛⎭⎫230＋18×2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋18×n ×⎝⎛⎭⎫23n －1, 即T n ＝18×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫23n －1.① 上式两边乘以23,得23T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋…＋⎦⎤(n －1)×⎝⎛⎭⎫23n －1＋n ×⎝⎛⎭⎫23n .② ①－②,得13T n ＝18×⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫230＋⎝⎛⎭⎫231＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －1－18n ⎝⎛⎭⎫23n ＝38－3＋n 8⎝⎛⎭⎫23n ,则T n ＝98－9＋3n 8⎝⎛⎭⎫23n(n ∈N *).思维升华 形如{a n ·b n }(其中{a n }是等差数列,{b n }是等比数列)的数列可用错位相减法求和. 跟踪训练2 已知数列{a n }满足a n ≠0,a 1＝13,a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1,n ∈N *.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知可得,1a n ＋1－1a n＝2,1a 1＝3,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为3,公差为2的等差数列, ∴1a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1,∴a n ＝12n ＋1(n ∈N *). (2)由(1)知b n ＝(2n ＋1)2n ,∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)2n －1＋(2n ＋1)2n , 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1, 两式相减得,－T n ＝6＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1. ＝6＋8－8×2n －11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)2n ＋1,∴T n ＝2＋(2n －1)2n ＋1(n ∈N *).裂项相消法求和例3 (2019·江苏省启东中学月考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＝2,a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *).(1)求a 2 019的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列{b n }满足b 1＝1,b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n(n ≥2,n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为a n a n ＋1＝2(S n ＋1),所以当n ≥2时,a n －1a n ＝2(S n －1＋1),两式相减,得a n a n ＋1－a n －1a n ＝2a n ,a n ≠0,所以a n ＋1－a n －1＝2.又a 1＝2,所以a 2 019＝2＋2 019－12×2＝2 020. (2)由a n a n ＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *),当n ＝1时,a 1a 2＝2(a 1＋1),即2a 2＝2×3,解得a 2＝3.由a n ＋1－a n －1＝2,可得数列{a n }的奇数项与偶数项都成等差数列,公差为2, 所以a 2k －1＝2＋2(k －1)＝2k ,k ∈N *,a 2k ＝3＋2(k －1)＝2k ＋1,k ∈N *, 所以a n ＝n ＋1.(3)因为数列{b n }满足b 1＝1,b n ＝1a n a n －1＋a n －1a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1＝(n ＋1)n －n n ＋1n (n ＋1)＝n n －n ＋1n ＋1, 所以{b n }的前n 项和T n ＝⎝⎛⎭⎫1－22＋⎝⎛⎭⎫22－33＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －n ＋1n ＋1 ＝1－n ＋1n ＋1. 思维升华 裂项相消法的关键是对通项拆分,要注意相消后剩余的项. 跟踪训练3 已知数列{a n }满足:a n ＋1＝a n (1－a n ＋1),a 1＝1,数列{b n }满足:b n ＝a n a n ＋1,则数列{b n }的前10项和S 10＝________.答案 1011解析 由a n ＋1＝a n (1－a n ＋1),a 1＝1,得1a n ＋1－1a n＝1, 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,1为公差的等差数列,所以1a n ＝n ,即a n ＝1n. 因为b n ＝a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1, 所以S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1－111＝1011.1.正项等差数列{a n }满足a 1＝4,且a 2,a 4＋2,2a 7－8成等比数列,{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1S n ＋2,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d (d ＞0),由已知得a 2(2a 7－8)＝(a 4＋2)2,化简得,d 2＋4d －12＝0,解得d ＝2或d ＝－6(舍),所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2(n ∈N *).(2)因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋6)2＝n 2＋3n , 所以b n ＝1S n ＋2＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2, 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2n ＋4(n ∈N *). 2.(2020·南京模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }是等比数列,满足a 1＝3,b 1＝1,b 2＋S 2＝10,a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ,求T 2n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ,数列{b n }的公比为q ,由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *),b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)由a 1＝3,a n ＝2n ＋1,得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2), 则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n (n ＋2)，n 为奇数，2n －1，n 为偶数， 即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)(n ∈N *). 3.已知递增的等比数列{a n }满足:a 2＋a 3＋a 4＝28,且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝12log n n a a ,S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ,求使S n ＋n ·2n ＋1＞62成立的正整数n 的最小值. 解 (1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28，a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12，∵{a n }是递增数列,∴a 1＝2,q ＝2,∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *).(2)∵b n ＝12log n n a a ＝122log 2n n ⋅＝－n ·2n ,∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n ),① 则2S n ＝－(1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1),②②－①,得S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1, 则S n ＋n ·2n ＋1＝2n ＋1－2,解2n ＋1－2＞62,得n ＞5,∴n 的最小值为6.4.数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋3)S n (n ＝1,2,3,…).(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .(1)证明 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋32n －1S n, ∴S n ＋1＝2(2n ＋1)2n －1S n, ∴S n ＋12n ＋1＝2·S n 2n －1, 又a 1＝1,∴S 11＝1≠0, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n －1是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)知,S n 2n －1＝2n －1, ∴S n ＝(2n －1)·2n －1,∴T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1,① 2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n .② ①－②得－T n ＝1＋2×(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n －1×21－2－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3,∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3(n ∈N *).5.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,∀n ∈N *,2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n,设{b n }的前n项和为T n,求在T1,T2,T3,…,T100中有理数的个数. 解∵2S n＝a2n＋a n,①∴2S n＋1＝a2n＋1＋a n＋1,②②－①,得2a n＋1＝a2n＋1＋a n＋1－a2n－a n,a2n＋1－a2n－a n＋1－a n＝0,(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n－1)＝0. 又∵{a n}为正项数列,∴a n＋1－a n－1＝0,即a n＋1－a n＝1.在2S n＝a2n＋a n中,令n＝1,可得a1＝1.∴数列{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列.∴a n＝n,∴b n＝1n n＋1＋(n＋1)n＝(n＋1)n－n n＋1[n n＋1＋(n＋1)n][(n＋1)n－n n＋1]＝(n＋1)n－n n＋1n(n＋1)＝1n－1n＋1,∴T n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝1－1n＋1,要使T n为有理数,只需1n＋1为有理数,令n＋1＝t2.∵1≤n≤100,∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99,共9个数, ∴T1,T2,T3,…,T100中有理数的个数为9.。