2020年北京大学高水平艺术团招生数学测试题

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2020年普通高等学校招生统一考试（北京卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,0,1,2}，B ={x|0<x <3}，则A⋂B =．( ) A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1,2}D. {1,2}2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i ⋅z =．( ) A. 1+2iB. −2+iC. 1−2iD. −2−i3. 在(√x −2)5的展开式中，x 2的系数为．( ) A. −5B. 5C. −10D. 10……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为．( )A. 6+√3B. 6+2√3C. 12+√3D. 12+2√35. 已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为．( ) A. 4B. 5C. 6D. 76. 已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是．( ) A. (−1,1) B. (−∞,−1)∪(1,+∞) C. (0,1)D. (−∞,0)∪(1,+∞)7. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP8. 在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 5=−1.记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列{T n }．( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项9. 已知α,β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α=kπ+(−1)k β”是“sin α=sin β”的．( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形(各边均与圆相切的正6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是．( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 3n (sin 30∘n +tan 30∘n )B. 6n (sin 30∘n +tan 30∘n ) C. 3n (sin 60∘n+tan 60∘n)D. 6n (sin 60∘n+tan 60∘n)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 ．12. 若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 ．13. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论：①在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中，在[0,t 1]的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ．14. 已知双曲线C:x 26−y 23=1，则C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近线的距离是 ．15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ；PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，含答案）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知全集U=R ，集合{}21P xx =∣≤，那么U P =ð (A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞U（2）复数212i i -=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+162(C)48(D)16322+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。

为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 （A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。

若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC V 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

二、北京大学2020年高水平艺术团招生简章根据教育部有关文件规定，结合北京大学实际情况，为促进素质教育，繁荣校园文化，我校将于2020年2月下旬举办“北京大学2020年高水平艺术团招生测试”，并根据测试成绩，择优认定北京大学2020年高水平艺术团候选人。

一、招生对象1、符合国家规定条件，参加2020年全国普通高等学校统一招生考试的高中毕业生。

2、艺术特长突出、综合素质全面、学习成绩优良、身体健康、符合北京大学录取条件的优秀学生。

二、招生项目及录取优惠政策三、报名与初审1、报名方式及时间本次测试实行网上报名，请考生登录北京大学本科招生网上报名平台（点击“阅读原文”进入），按网上要求注册、填写并打印《北京大学2020年高水平艺术团招生测试申请表》，经中学签章后附上相关报名材料寄至北京大学招生办公室。

报名网址：北京大学本科招生网上报名平台（点击“阅读原文”进入）网上报名时间：2019年12月25日至2020年1月3日24:00截止接收报名材料时间：2020年1月6日17:00（以实际收到时间为准）邮寄地址：北京市海淀区颐和园路5号北京大学老化学楼120室邮编：100871来函请用EMS特快专递寄出，并在信封注明所报项目、类别。

2、报名条件及要求符合招生对象要求的考生，每人限报一个项目。

各类别报名条件如下：声乐类：只招收美声唱法的优秀考生，要求考生能熟练视唱五线谱，具备参加合唱团的经历或在省级（含）以上声乐或合唱比赛中获得优异成绩。

报名材料须包括中学提供的参加合唱团的证明或省级（含）以上声乐或合唱比赛获奖证书（复印件）、DVD格式的考生本人演唱的影像资料（录音录像必须是同期声，不允许后期对声音进行修饰处理），内容包括考生自选曲目及练声展示。

舞蹈类：招收有舞蹈特长的优秀考生。

要求考生受过系统的舞蹈训练，有扎实的舞蹈基本功功底、较强的舞蹈学习能力。

报名材料须包括DVD格式的考生影像资料，内容包括考生自选独舞剧目及基本功、技巧展示。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x||x|＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B=( )A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{-2，0，1，2}D.{-1，0，1，2}解析：∵集合A={x||x|＜2}={x|-2＜x＜2}，B={-2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}.答案：A2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数()()1111 11122iii i i+==+--+，共轭复数对应点的坐标(1122-，)在第四象限.答案：D3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A.1 2B.5 6C.7 6D.7 12解析：在执行第一次循环时，k=1，S=1.在执行第一次循环时，S=1-1122=.由于k=2≤3，所以执行下一次循环.S=115236+=，k=3，直接输出S=56.答案：B4.设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc，反之数列-1，-1，1，1.满足-1×1=-1×1，但数列-1，-1，1，1不是等比数列，即“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.答案：B5.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )A.32fB.32 2fC.125 2fD.127 2f解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：()7127 122?2f f=.答案：D6.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，，，PC=3，PD=22，可得三角形PCD不是直角三角形.==AC CD55所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD.答案：C，，，是圆x2+y2=1上的四段弧(如图)，点P其中一段上，7.在平面直角坐标系中，AB CD EF GH角α以Ox为始边，OP为终边.若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是( )A.ABB.CDC.EFD.GH解析：A、在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件.B、在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件.C、在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D、在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα.答案：C8.设集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}，则( )A.对任意实数a，(2，1)∈AB.对任意实数a，(2，1)∉AC.当且仅当a＜0时，(2，1)∉AD.当且仅当a≤32时，(2，1)∉A解析：当a=-1时，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，-x+y＞4，x+y≤2}，显然(2，1)不满足，-x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={(x，y)|x-y≥1，ax+y＞4，x-ay≤2}={(x，y)|x-y≥1，4x+y＞4，x-4y≤2}，显然(2，1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确.答案：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

答案：1. 求证边长为1 的正5边形对角线长为（1+5^(1/2))/22. 六边形AB1CA1BC1中，AB1=B1C，CA1 =A1B，AC1 =BC1 ，角A+角B+角C=角A1+角B1+角C1, 求证三角形ABC面积是六边形面积的一半3. 已知a1+a2+a3=b1+b2+b3, a1*a2+a2*a3+a1*a3=b1*b2+b2*b3+b1*b3 若已知min{a1,a2,a3}<=min{b1,b2,b3} 求证：max{a1,a2,a3}<=max{b1,b2,b3}4. 南方队和北方队打循环赛，南方队比北方队多9支队伍，最后南方队总分是北方队的九倍（胜者得1分，负者得0分），求证最后得分最高的是一支南方的队。

5.（只理科生做）在空间坐标系oxyz中，c是由平面图形y-2=x^2 绕y 轴旋转后所得的不透光的立体图形。

现在（1，0，1）处有一点光源p。

圆a是以原点o为圆心的位于x-y平面上的圆，且圆上被光源照到的部分长为2 TT （派），求圆上阴影部分长度。

2020年北京大学自主招生考试试题12月30日，北京大学在上海市进行了自主招生选拔测试。

其中的语文考题作文要求考生模仿贪官污吏写600-700字检讨，体现出一定的新意。

据了解，全国范围内，共有6000多名考生向北大递交了自主招生申请材料，其中1715名考生通过了初审。

北京大学自主招生测试题选登【语文】1.写四字短语，要求偏旁部首相同。

(10分)2.写十字句子，每个字都是zh,ch,sh,r。

(10分)3.写一段文言50字以内，至少3个“之”，且用法不同。

(10分)4.请随便默写一首五言绝句，再将每一句诗增加两个字，使之成为七言绝句。

(30分)5.作文：模仿贪官污吏写600-700字检讨，要体现出其中的华而不实、雕琢堆砌、避重就轻和企图敷衍了事。

(40分)【英语】20道选择(20分)2篇阅读，共10道题(40分)(考生介绍，两道题的大意为：1、比较麦当劳和高档餐厅的不同，‘我’过生日时，妻子要去正式的餐厅，而‘我’更钟情麦当劳；2、二战中，有7名英勇的黑人士兵，立下赫赫战功，但没有得到相应的最高荣誉。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-， 所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=， 故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减； 故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（ ）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==， 故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数， 若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=， 所以10.11210E E =； 故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2， 故圆心为（1,0），半径为2， 所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线， 若m αP ，则l m ⊥； 故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可， 根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元， 故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯， 故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤； 故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列， 可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125； （III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； （II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率； （III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ， 故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形， 而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面； （Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面 在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可； （Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=； （II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程； （II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==， 因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6， 则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==， 故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦， 所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ， 则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==， 故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==， 故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩， 故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。

绝密★启封并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞U （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2020年7月16日北京大学高水平艺术团招生文化课测试1．已知1，122018,,, x x x 是201910x -=的2019个根，求122018111111x x x ++++++ 的值．2．已知18,87,A B D == 在BC 的延长线上，且DC BC =，E 在AC 上，且18,CED ∠= 求CE 与BD 的比值.3．双曲线：221169x y -=有一点P 在双曲线上，分别过P 点作渐近线平行线交x 轴于,A B ，且A 在靠近原点的一侧，过A 点作x 轴垂线交以OB 为直径的圆于点C ，求OC 的取值范围.4．正方体1111,,ABCD A B C D O P -分别为面111111,AA DD A B C D 的中心，求AP 与1OC 夹角的正弦值．5．四边形ABCD 中，8,60,30,BC b C === 且1,CD =若四边形面积为,2求AB 的长．6．已知三角形ABC 中,6,BC AD BC =⊥且4,AD =求AB AC ⋅的最小值．78．已知222264,100a cbc ⎧+=⎨+=⎩求22a b +的取值范围．9．已知三角形中：2222020a b c +=，求()cot cot tan A B C +⋅的值.10．已知8152719m n a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求()202024301m n +-的值．11．直角ABC V 中，C 为直角，作D AB CD ,⊥到AB 的中点距离为3，又已知AB 所在的中线长为5，求ABC S ．12．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[][]π3,π4=-=-等，求012202022223333⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值．13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]π3=，[]π4-=-等，现记{}x 为[]x x -，则{}2020x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭有几个交点．14．已知ABCV的三条边分别为3，4，6，则长为6的边对应的中线的长度位于区间（）A．[1.6,1.7)B．[1.7,1.8)C．[1.8,1.9)D．以上答案都不正确15．已知复数z满足1122z=+，则232020,,,,z z z z中不同的数有（）A．4个B．6个C．2019个D．以上答案都不正确16．平面上有n个互不相交的圆，若该平面上的点O不论往何种方向的射线都能与3个圆相交，问n至少为多少？（）A．6B．7C．8D．都不是1．1009【分析】令2π2πcosisin 20192019k k k x =+，得()()11111k k k k x x x x +=+++1i πtan 222019=-k ，再结合()tan tan π0αα+-=可得答案．【详解】由题意可得2π2πcos isin 20192019k k k x =+，则()()2π2π1cosisin11201920192π11122cos 2019k k k k k k x k x x x +-+==++++2πisin 120192π221cos 2019k k =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭2ππ2isincos 11i π20192019tan π22220194cos2019=-=-k k k k ，因为()tan tan πtan tan 0αααα+-=-=，所以122018111111x x x ++++++ 2018i π2π2018πtan tan tan 100922201920192019⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．2．CEBD=【分析】利用正弦定理及两角差的正弦公式可求CEBD的值.【详解】因为()sin 7518sin75cos18cos 75sin18sin18CE CD ︒-︒︒︒==-︒，且sin75sin(4530),cos75cos(4530)44︒=︒+︒=︒=︒+︒=，下面计算18θ=︒，因为3290θθ+=︒则sin3cos2θθ=，所以323sin 4sin 12sin θθθ-=-，即()()2sin 14sin 2sin 10θθθ-+-=，因此sinθθ==，从而可得4CECD =则CEBD=3．4OC =【分析】根据直线,PA PB 方程可求得,A B x x ，由射影定理可求得结果.【详解】由对称性不妨取点P 在第一象限，设0,0，则22001169x y -=，由双曲线方程可得其渐近线方程为：34y x =±，则()003:4PA y y x x -=-，()003:4PB y y x x -=--，0043A x x y ∴=-，0043B x x y =+，2OC OA OB =⋅ ，222016169A B OC x x x y ∴=⋅=-=，4OC ∴=.4．116．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系,设2AB =则()()()1(1,0,1),0,2,2,2,0,0,1,1,2O C A P ，()()11,1,2,1,2,1AP OC =-=-，∴AP 与1OC 所成角θ的余弦值为11||1225cos 6114141||||OC AP OC AP θ⋅++===++⨯++⋅uuu r uu u r uuu r uu u r .所以211sin 1cos 6θθ=-=．5．1523347AB -=【分析】把四边形面积转化为ADCB ADE EBC S S S =+ 计算即可求出边长AB .【详解】将图形补成直角三角形易知4,43,83BCE BE CE S === 因此3311(431)222ADE S AE ED AE ==⨯=⨯- 则363347AE +=，则1523347AB -=6．25【分析】本题建立直角坐标系，分析知点A 始终在直线4y =上运动，结合三角形面积公式以及等积变形可知，当sin A 最大时，AB AC ⋅取得最小值，此时AB AC =，计算即可得出结果.【详解】由题意可得6BC =，4,AD =因为1sin 122S bc A ==，所以24sin bc A =，欲使bc 最小，则sin A 最大，如图所示，显然点A 在直线4y =上运动，且在以BC 为直径的圆外，欲使sin A 最大，则只需以BC 为弦的圆与4y =相切时最大，则此时5b c ==，()min 5525=⨯=bc ，即AB AC ⋅的最小值25．7．【分析】根据基本不等式结合不等式的性质应用求出最值计算即得.【详解】因为2a b a b =++≥+,因为()()22a b a b a b a b =++≤+++=+,=当2020x =或者x =+≤==当2015x =时，等号成立因此最大值和最小值的乘积为8．[]36,164【分析】利用不等式的性质可求取值范围.【详解】根据题意知2221642a b c +=-且2064c ≤≤，所以212820c -≤-≤，则2436164216c ≤-≤，所以2243616a b ≤+≤故答案为：[]36,1649．22019【分析】先应用余弦定理化简得出22cos 2019ab C c =，再结合同角三角函数关系及两角和正弦公式化简，最后结合正弦定理求值.【详解】由余弦定理可得222220202cos a b c c ab C +==+，则22cos 2019ab C c =，则()()sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cot cot tan sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B A B C A B B A C CA B C A B C A B C A B C++⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅=⋅=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222sin 22019sin sin cos cos 20192C c c A B C ab C c ====.10．1【分析】根据条件，利用指对数的互换和换底公式，得到24300m n +=，即可求出结果.【详解】由827m a =，得到27log 8a m =，又由1519na =，得到91log 15n a=，所以279331124303log 2log log log 0m n a a a a+=+=+=，故()()202020202430111m n +-=-=.11．20．【分析】算出斜边的长和斜边上的高的长度后可求面积.【详解】设CM 为ABC V 的中线，5,3CM DM ==，且C 为直角，则22510AB CM ==⨯=，根据勾股定理得4CD =,于是111042022ABC S AB CD =⨯⨯=⨯⨯=.12．2021230323-【分析】根据()()21mod3nn=-可求23n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式，再利用分组求和可求数列的和.【详解】当n 为偶数时()22121mod3,33n n n⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦当n 为奇数时，()21mod3n=-，则22233n n ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此0122020012020202122222221011202023032333333⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++---++++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.13．无穷多个【分析】根据新定义的含义可确定x 和2020x的小数部分相同，由此可得结论.【详解】由{}2020x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭得：[]20202020x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，x ∴和2020x 的小数部分相同，2020x x∴-为整数，{}2020x x ⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭有无穷多个交点.14．C【分析】根据边长与中线的等式关系可得正确的选项.【详解】根据平行四边形的性质，边长为6所对应的中线长x 满足：()()222222272346(2) 3.5 1.8,1.92x x ⨯+=+⇒==∈，于是所求区间为[1.8,1.9)．故选：C.15．B【分析】根据复数的三角形式可求61z =，从而可判断出不同的数的个数.【详解】根据题意，有61cos isin 12233z z ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是232020,,,,z z z z 中有6个不同的数．故选：B.16．D【分析】根据已知条件确定n 的最小值.【详解】设平面上有3个同心圆，O 为它们的圆心，这3个圆不相交，该平面上的点O 不论往何种方向的射线都能与3个圆相交，符合题意,n 可以取3.故选：D.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共140分）【名师简评】2020年北京市的高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持2020年特点的同时，又力争创新与变化；试题不仅注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。

从考生角度来说，试卷总体难度“没有想象的那么难”。

试题有较好的梯度，注重认知能力和数学运用能力的考查，稳中求新。

1. 忠实地遵循了《普通高中新课程标准教学要求》和2020年《考试说明》。

2. 题型稳定，突出对基本知识但考查，全卷没有一道偏题、怪题。

全卷结构、题型包括难度基本稳定。

填空题比较基础，平和。

不需要太繁的计算，考生感觉顺手。

许多试题源于课本，略高于课本。

3. 把关题与往年相似，多题把关，有和好的区分度。

如填空题第14题，第19题的第二问，和第20题，更能有效区分不同能力层次的考生群体。

4. 深化能力立意。

知识与能力并重。

全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。

许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题。

5. 关注联系，有效考查数学思想方法。

（1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（5）极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是（A ）两个圆 （B ）两条直线（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线⊥”是“函数f（x）=（xa+b）g（xb-a）为一次函数”的（6）a、b为非零向量。