函数性质应用(讲义)

函数的奇偶性一、函数奇偶性设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形． 二、方法归纳1.函数的定义域D 是关于原点的对称点集（即对x ∈D 就有－x ∈D ），是其具有奇偶性的必要条件．2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数．3.判断函数的奇偶性应把握：① 若为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域D 的对称性和变换中的等价性． ② 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性和合理性．4.定义在关于原点的对称点集D 上的任意函数)(x f ，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 即)(x f ＝)(x F ＋)(x G ，其中)(x F ＝2)()(x f x f -+为偶函数， )(x G ＝2)()(x f x f --为奇函数．5.奇（偶）函数性质的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-； 三、典型例题精讲［例1］（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称解析：由=-)(x f 111122+-+--+x x x x ， ∴ =-)(x f ＝11111122+++-++xx xx ＝)1(1)1(122x x x x +++++- ＝－)(x f∴ )(x f 是奇函数，图象关于原点对称． 答案：C【技巧提示】 用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进行恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数． （2）分段函数奇偶性的判定又例：函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性． 解析：当0>x 时，0<-x3)(2)()(2+-+-=-x x x f ＝322+-x x ＝)(x f -；当0<x 时，0>-x3)(2)()(2--+--=-x x x f ＝322---x x ＝)(x f -∴)(x f 是奇函数．［例2］已知)(x f 是偶函数而且在(0，＋∞)上是减函数，判断)(x f 在(－∞，0)上的增减性并加以证明． 解析：函数)(x f 在(－∞，0）上是增函数．设x 1＜x 2＜0，因为)(x f 是偶函数，所以)(1x f -＝)(1x f ，)(2x f -＝)(2x f ，由假设可知－x 1＞－x 2＞0，又已知)(x f 在(0，＋∞)上是减函数，于是有)(1x f -＜)(2x f -， 即)(1x f ＜)(2x f ，由此可知，函数)(x f 在(－∞，0)上是增函数．【技巧提示】 具有奇偶性的函数，其定义域D 关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性．“偶函数半增半减，奇函数一增全增”．［例3］定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系紧密．又例：偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合． 解析：偶函数)(x f 在（－∞，0]上单调递减，在［0，＋∞）上单调递增．根据图象的对称性，)3(+x f ＞)1(-x f 等价于|3|+x ＞|1|-x ．解之，1->x ，∴ 满足条件的x 的集合为（－1，＋∞）．［例4］设)(x f 是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(+x f ＝－)(x f ，当0≤x ≤1时，)(x f ＝x ，x 则)5.7(f 等于( )A ．0.5B ． －0.5C ． 1.5D ． －1.5解析：)5.7(f ＝)25.5(+f ＝－)5.5(f ＝－)25.3(+f ＝)5.3(f ＝)25.1(+f ＝－)5.1(f ＝－)25.0(+-f ＝)5.0(-f ＝－)5.0(f ＝－0.5．答案：B【技巧提示】 这里反复利用了)(x f ＝－)(x f 和)2(+x f ＝－)(x f ，后 面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．又例：如果函数)(x f 在R 上为奇函数，且在(－1，0)上是增函数，试比较)31(f ，)32(f ，)1(f 的大小关系_________． 解析：∵)(x f 为R 上的奇函数，∴ )31(f ＝－)31(-f ，)32(f ＝－)32(-f ，)1(f ＝－)1(-f ，又)(x f 在(－1，0)上是增函数且－31＞－32＞－1． ∴ )31(-f ＞)32(-f ＞)1(-f ，∴ )31(f ＜)32(f ＜)1(f ．答案：)31(f ＜)32(f ＜)1(f ．［例5］函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+ （1）求(1)f 的值； （2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明；解：（1）令121x x ==，得()10f =；（2）令121x x ==-，得()10f -=，令121,x x x =-=，得()()()1f x f f x -=-+∴ ()()f x f x -=，即)(x f 为偶函数．【技巧提示】 赋值法是解决抽象函数问题的切入点．常赋值有0，1，―1，2，―2，等等．［例6］已知函数)(x f 在(－1，1)上有定义，)21(f ＝－1，当且仅当0＜x ＜1时)(x f ＜0，且对任意x 、y ∈(－1，1)都有)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，试证明： (1) )(x f 为奇函数；(2) )(x f 在(－1，1)上单调递减． 证明：(1) 由)(x f ＋)(y f ＝)1(xyyx f ++，令x ＝y ＝0，得)0(f ＝0， 令y ＝－x ，得)(x f ＋)(x f -＝)1(2x xx f --＝)0(f ＝0，∴ )(x f ＝－)(x f -， ∴)(x f 为奇函数． (2)先证)(x f 在(0，1)上单调递减．令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (21121x x x x --)∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，∴21121x x x x --＞0，又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1+1)＜0 ∴x 2－x 1＜1－x 2x 1， ∴0＜21121x x x x --＜1，由题意知f (21121x x x x --)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴ )(x f 在(0，1)上为减函数，又)(x f 为奇函数且f (0)＝0．∴)(x f 在(－1，1)上为减函数．【技巧提示】 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如(0),(1),(2)f f f ±±等等，一般(0)f 的求解最为常见．赋值技巧常为令0==y x 或y x -=等。

第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。

函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。

.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。

题型七函数的基本性质（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．1.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2 B．y x+2 C．y＝4x+2 D．y＝3x+22.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，直线l 2：y=kx （k ≠0）与直线l 1在第一象限交于点C ．若∠BOC=∠BCO ，则k 的值为（ ）A B C D ．3.如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．4.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5,)A m 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.考点02反比例函数 一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围 自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．1.反比例函数经过点，则下列说法错误．．的是（ ） A ．B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当时，随的增大而增大D ．当时，随的增大而减小2.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）ky x=(2,1)2k =0x >y x 0x >y x y ax a =-(0)ay a x=≠A ．B ．C ．D ．3.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 4.如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，直线与反比例函数的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段与之差最大时，求点P 的坐标．OABC A x ()3,2D OB ()0,0k y k x x =>>C D OABC 152B 84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭105,3⎛⎫⎪⎝⎭2416,55⎛⎫⎪⎝⎭(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =AB (0)k y x x =>()6,1AOB AB PA PB6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．考点03二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y=a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）． （3）交点式：y=a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质y kx b =+my x=()1,2A (),1B n -AB x C P x ACP △4P开口向上开口向下四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．1.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞13时，y 1＜y 2 3.二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位4.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．5.二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a+b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．6.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；7.已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+x c经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.224y x x c =-+()2,A m ()3,B n m n。

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第3讲一次函数的图象和性质(1)学习目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象，结合函数图象，能体会出函数的变化情况学习重点：函数的图象学习难点：函数图象的画法学习过程引入:信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph）.•已经知道了形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 )的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．那么正比例函数的图象有什么特征呢？范例：例1．画出下列正比例函数的图象，并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．1．y=2x 2．y=—2x2．y=列表表示几组对应值：y3．两个图象的共同点:都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=—2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限． 1比较可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升,经过一、三象限,即随x增大y也增大;函数y=—x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳：正比例函数图象的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x〉0时,图象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降,即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线,•我们可以称它为直线y=kx．思考：经过原点与点（1，k)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单?为什么?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k)．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象:1．y=x 2．y=-3x练习1、某函数具有下面的性质：（1）．它的图象是经过原点的一条直线．（2）．y随x增大反而减小．121232请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式，画出图象．2。

第四讲函数常考知识复习讲义I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 3题型二：求函数的解析式 4题型三：求函数的值域 5题型四：函数的单调性 6题型五：函数的奇偶性 8题型六：函数性质的综合应用 10题型七：幂函数 12题型八：函数的实际应用 14 III数学思想方法 19①分类讨论思想 19②转化与化归思想 19③数形结合思想 20I本章知识思维导图II典型例题题型一：求具体函数与抽象函数的定义域【例1】(2024·广东深圳·高一校考期中)函数y=9-x2x的定义域是.【例2】(2024·上海松江·高一校考期末)函数y=xx2-1的定义域为(用区间表示).【例3】(2024·河南新乡·高一校联考期末)函数f x =8x2-x2-1的定义域为．【例4】(2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)若函数f x 的定义域为-1,2，则函数f3+2x的定义域是．【例5】(2024·高一课时练习)已知函数f(x+1)的定义域是[-2,2]，则函数f(x)的定义域是．【例6】(2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞，则函数F x =f x+2+3-x的定义域为.【例7】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x+1的定义域为1,2，则f2x的定义域为.【例8】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x 的定义域为-1,1则y=f x+1x2-2x-3的定义域为【例9】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f2x的定义域为12,2，则函数f x2的定义域为.【例10】(2024·全国·高一专题练习)函数f3x+1的定义域为1,7，则函数f x 的定义域是.【例11】(2024·河南郑州·高一校考阶段练习)已知函数f(x)是一次函数且f(f(x))+2f(x)=-x-2，则函数f(x)的解析式为．【例12】(2024·全国·高一专题练习)已知f x 是二次函数．且f x+1+f x-1=2x2-4x．则f x =．【例13】(2024·四川眉山·高一校考阶段练习)已知f x+1=2x2+3，则f x =．【例14】(2024·高一课时练习)已知函数f x+1=x，则函数f x 的解析式是.【例15】(2024·全国·高一专题练习)已知f1x=x1-x2，则f x =.【例16】(2024·江苏盐城·高一统考期中)已知函数f(x)满足f3-2x=x2-x，则f(x)=.【例17】(2024·全国·高一专题练习)已知f1+1 x=1x-1，则f x =．【例18】(2024·上海·高一专题练习)已知函数f x 满足2fx-1x+f x+1x=1+x，其中x∈R且x≠0，则函数f x 的解析式为【例19】(2024·高一课时练习)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+x，则f(x)的解析式为.【例20】(2024·全国·高一专题练习)求下列函数的值域.(1)f x =2x+41-x;(2)f x =5x+4x-2;(3)f x =x2-2x-3，x∈-1,4(4)y=x2+x+1x【例21】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=5x+4x-1；(2)y=x-1-2x；(3)y=2--x2+4x.【例22】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域．(1)y=16-x2；(2)y=x2-4x+61≤x≤5；(3)y=xx+1；(4)y=2x+41-x.【例23】(2024·全国·高一课堂例题)求下列函数的值域：(1)y=x+1，x∈1,2,3,4,5；(2)y=x2-2x+3，x∈0,3；(3)y=2x+1x-3x>4；(4)y=2x-x-1；(5)y=x2-2x+4x-2x>2；(6)y=2xx2+3x+4x<0；(7)y=2x2+2x+5x2+x+1．【例24】(2024·高一校考课时练习)求下列函数的值域:(1)y =2x +1x -3，(2)y =x +4xx >0 ，(3)y =-2x 2+x +3，(4)y =x +41-x题型四：函数的单调性【例25】(2024·高一课时练习)定义域为(-2,0)∪(0,2)的函数f (x )在区间(-2,0)上是增函数，在区间(0,2)上是减函数，则：(1)函数y =-f (x )的单调递增区间是；单调递减区间是；(2)函数y =-f (x +1)的单调递增区间是；单调递减区间是．【例26】(2024·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习)函数y =7+6x -x 2的单调递增区间为.【例27】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x =x +1x -52x >0 ，则f x 的递减区间是.【例28】(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f x =xx -1,x ≤0-x 2-a +1 x +2a ,x >0在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是.【例29】(2024·全国·高一课堂例题)已知函数f x 在0,+∞ 上单调递减，对任意x ∈0,+∞ ，均有f x ⋅f f x +2x =13，记g x =f x +4x 2，x ∈0,+∞ ，则函数g x 的最小值为．【例30】(2024·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中)若f x =x 2-ax +2a 在区间1,+∞ 上是增函数，则实数a 的取值范围是.【例31】(2024·全国·高一专题练习)设函数f x =x +1,x <a a x -2 2,x ≥a，若f x 存在最大值，则实数a 的取值范围为．【例32】(2024·全国·高一专题练习)函数f (x )=x +1x-a +a 在区间[1,2]上的最大值为5，则a =．【例33】(2024·湖北武汉·高一校联考期中)函数f x 是定义在0,+∞ 上的增函数，若对于任意正实数x ,y ，恒有f xy =f x +f y ，且f 3 =1，则不等式f x +f x -8 <2的解集是.【例34】(2024·全国·高一专题练习)已知函数y =f x 的定义域为R ，对任意的x 1、x 2，且x 1≠x 2都有f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0成立，若f x 2+1 >f t 2-t -1 对任意x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围是．【例35】(2024·全国·高一假期作业)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称，且f (x )在(-∞，2)上是增函数，则f (-1)与f (3)的大小关系是．【例36】(2024·全国·高一课堂例题)证明函数f x =x +1xx >0 在区间0,1 上递减，在区间1,+∞ 上递增，并指出函数在区间0,+∞ 上的最值点和最值．【例37】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )-1，且当x>0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.【例38】(2024·河北邯郸·高一校考期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对任意的x ,y ∈(0,+∞)，都有f (xy )=f (x )+f (y )；②当且仅当x >1时，f (x )<0成立．(1)求f (1)；(2)用定义证明f (x )的单调性；【例39】(2024·天津·高一统考期中)已知函数f(x)=x2+a2ax+b是奇函数，且f1 =2.(1)求f x 的解析式；(2)判断f x 在区间0,1上的单调性并说明理由.题型五：函数的奇偶性【例40】(2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中)已知f x =11+x(x∈R，且x≠-1)，g x =x2+2x∈R．(1)求f g2的值；(2)判断函数g x =x2+2x∈R的奇偶性；(3)证明函数g x =x2+2在0,+∞上是增函数．【例41】(2024·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习)已知定义在-1,1上的奇函数f x =ax-bx2+1，且f-12=-25.(1)求函数f x 的解析式;(2)判断f x 的单调性(并用单调性定义证明);(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.【例42】(2024·全国·高一随堂练习)判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)=5x+3；(2)f(x)=5x；(3)f(x)=2x2+1；(4)f(x)=x2+6x+9；(5)f(x)=1x2+2x4；(6)f(x)=x+1x3.【例43】(2024·全国·高一期中)已知函数f(x)=2x-ax，且f(2)=92.(1)求实数a的值；(2)判断该函数的奇偶性；(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并证明.【例44】(2024·甘肃白银·高一校考期中)已知函数f x =x2-ax+4，g x =x+b ax2+2.(1)若f x+1在b-1,b+1上为偶函数，求a，b的值；(2)设g x 的定义域为-1,1，在(1)的条件下：①判断函数g x 在定义域上的单调性并证明；②若g t-1+g2t<0，求实数t的取值范围.【例45】(2024·全国·高一期中)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(-∞,0)∪(0, +∞)，f(x⋅y)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f2 =1．(1)试判断函数f x 的奇偶性；(2)判断函数f x 在0,+∞上的单调性；(3)求函数f x 在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集．【例46】(2024·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习)已知函数y=f x 是定义在R上的奇函数，当x>0时，f x =x2-ax，其中a∈R(1)求函数y=f x 的解析式；(2)若函数y=f x 在区间0,+∞不单调，求出实数a的取值范围.【例47】(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末)设函数f x 是增函数，对于任意x，y∈R都有f x+y=f x +f y ．(1)写一个满足条件的f x 并证明；(2)证明f x 是奇函数；(3)解不等式12f x2-f x >12f3x．题型六：函数性质的综合应用【例48】(多选题)(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，则下列说法正确的是()A.M(2)=3B.∀x≥1，M(x)≥4C.M(x)有最大值D.M(x)最小值为0【例49】(多选题)(2024·江苏南通·高一统考期末)奇函数f x 与偶函数g x 的定义域均为R，在区间a,ba<b上都是增函数，则()A.0∉a,bB.f x 在区间-b,-a上是增函数，g x 在区间-b,-a上是减函数C.f x g x 是奇函数，且在区间a,b上是增函数D.f x -g x 不具有奇偶性，且在区间a,b上的单调性不确定【例50】(多选题)(2024·福建福州·高一校联考期中)已知连续函数f x 对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)-1，当x>0时，f x >1，f1 =2，则()A.f0 =1B.f x 在-4,4上的最大值是4C.f x 图像关于-1,0中心对称D.不等式f3x2-2f x <f3x-2的解集为0,5 3【例51】(多选题)(2024·江西赣州·高一统考期中)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=x ，x 表示不超过x的最大整数，例如1,1=1，-1,1=-2．已知函数f x =x-x ，则()A.f x 在R上是增函数B.f-3 2=12C.f x 为奇函数D.f x 的值域为0,1【例52】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)已知定义域为R的函数f x 满足：∀x,y∈R，f x+y+f x-y=f x f y ，且f1 =1，则下列结论成立的是()A.f0 =2B.f x 为偶函数C.f x 为奇函数D.f2 =-1【例53】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)设函数f x 是定义在0,+∞上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数x，y都有f xy=f x +f y ；②当x>1时，f x >0；③f8 =3.则下列说法不正确的是()A.f1 =1B.f14=-2C.不等式f x +f x-3<2的解集为x|-1<x<4D.若关于x的不等式f kx+f3-x≤2恒成立，则k的取值范围是0,16 9【例54】(多选题)(2024·重庆长寿·高一统考期末)若函数f x 在定义域内D内的某区间M是增函数，且f xx在M上是减函数，则称f x 在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是()A.若f x =x4则不存在区间M使f x 为“弱增函数”B.若f x =x+x-1则存在区间M使f x 为“弱增函数”C.若f x =x5+x3+x则f x 为R上的“弱增函数”D.若f x =x2+4-ax+a在区间0,2上是“弱增函数”，则a=4【例55】(2024·福建漳州·高一校考期中)已知定义在区间0,+∞上的函数f x =t x+4 x-5(t>0)．(1)若函数f x 分别在区间0,2,2,+∞上单调，试求t的取值范围；(直接写出答案)(2)当t=1时，在区间1,4上是否存在实数a,b，使得函数f x 在区间a,b上单调，且f x 的取值范围为ma,mb，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【例56】(2024·全国·高一期中)已知函数f x =ax2-x+2a-1a>0(1)设f x 在区间1,2的最小值为g a ，求g a 的表达式；(2)设h x =f xx，若函数h x 在区间1,2上是增函数，求实数a的取值范围．【例57】(2024·高一单元测试)已知偶函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)=1.(1)证明：f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数；(2)解不等式f(2x-1)<2.题型七：幂函数【例58】(2024·全国·高一专题练习)已知幂函数f x =x-m2-2m+3-2<m<2,m∈Z满足：①f x 在0,+∞上为增函数，②对∀x∈R，都有f-x-f x =0，求同时满足①②的幂函数f x 的解析式，并求出x∈1,4时，f x 的值域.【例59】(2024·浙江金华·高一校考期中)已知点2,2在幂函数f(x)的图像上.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)+ax+3，x∈1,+∞是否存在实数a，使得g(x)最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【例60】(2024·全国·高一假期作业)已知幂函数f x =m2-6m+10x-n2+4n n>1,n∈Z,m∈R的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递增.(1)求m和n的值；(2)求满足不等式2a+3-m3<a-1-n2的a的取值范围.【例61】(2024·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-5m +7 x m -1为奇函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数g x =14f x +1+12-f x -14<x <2 的最小值.【例62】(2024·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中)已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈N ∗)关于y 轴对称，且在0,+∞ 上单调减函数．(1)求m 的值；(2)解关于a 的不等式a +1 2m3<3-2a 2m3．【例63】(2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习)已知幂函数f x =k 2+k -1 x 2-k 1+k ，且f 2 <f 3 .(1)求函数f x 的解析式；(2)试判断是否存在正数m ，使得函数g x =1-f x +2mx 在区间0,1 上的最大值为5，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.【例64】(2024·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递增.(1)求f x 的解析式；(2)若f x >3x 2+k -1 x 在1,3 上恒成立，求实数k 的取值范围．【例65】(2024·浙江杭州·高一校联考期中)已知幂函数f (x )=x -3n 2+9(n ∈N )为偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=3f (x )+2tx +3，求函数y =g (x )在区间[2,6]上的最小值G (t ).【例66】(2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知幂函数f x =2m2-5m+3x m是定义在R上的偶函数.(1)求f x 的解析式；(2)在区间-1,1上，f x 的图象总在函数y=kx-2图象的上方，求实数k的取值范围.【例67】(2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中)已知幂函数f x =m2-5m+7x m-1，且f x =f-x.(1)求函数f x 的解析式；(2)若g x =f xf x +1,a,b均为正数且g a +g b =1，求f a +f b 的最小值.题型八：函数的实际应用【例68】(2024·全国·高一专题练习)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②(注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元).(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【例69】(2024·全国·高一专题练习)某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x(千部)手机，需另外投入成本R x 万元，其中R x =10x2+100x+800,0<x<50504x+10000x-2-6450,x≥50，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2024年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式；(2)当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【例70】(2024·全国·高一专题练习)党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元，每生产x万件该产品，需另投入变动成本W(x)万元，在年产量不足6万件时，W x =12x2+x，在年产量不小于6万件时，W x =7x+81x-37．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式．(注：年利润=年销售收入-固定成本-变动成本)(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【例71】(2024·全国·高一专题练习)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m )，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值，并求出此时x 的值．【例72】(2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试)党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x (百辆)新能源汽车，需另投入成本C x 万元，且C x =10x 2+500x ,0<x <40901x +10000x-4300,x ≥40.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)请写出2020年的利润L x (万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式；(利润=销售-成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【例73】(2024·浙江衢州·高一校考阶段练习)2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)=12x2+20x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)=51x+10000x-600(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【例74】(2024·高一课时练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x0≤x≤10(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅6-12 x+4(万件)，其中k为工厂工人的复工率(0.5≤k≤1).A公司生产t万件防护服还需投入成本20+9x+50t(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)对任意的x∈0,10(万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01).【例75】(2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅ (万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本6-12x+4(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？III 数学思想方法①分类讨论思想【例76】设函数f (x )=x +2，g (x )=x 2-x -1.用M (x )表示f (x )，g (x )中的较大者，记为M (x )=max{f (x ),g (x )}，则M (x )的最小值是()A.1B.3C.0D.-54【例77】已知幂函数f (x )=(m 2-2m -2)x 2-m 满足f (2)<f (3)，则函数g (x )=2x +m -x -m 的值域为()A.-258,+∞ B.[-3,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【例78】若定义在R 的奇函数f (x )在0,+∞ 单调递增，且f (-3)=0，则满足xf (x +1)≤0的x 的取值范围是()A.[-2,0]∪[1,4]B.[-4,-1)∪[0,2]C.[-4,-1]∪[0,2]D.[-4,-1]∪[3,+∞)【例79】已知函数f x =x 2-2ax +2,x ≤1x +9x-3a ,x >1的最小值为f 1 ，则a 的取值范围是()A.[1,3]B.3,+∞C.0,3D.-∞,1 ∪3,+∞【例80】已知函数f (x )=|x 2+bx |(b ∈R )，当x ∈[0,1]时，f (x )的最大值为M b ，则M b 的取值范围是()A.[1,+∞)B.[3-22,+∞)C.[4-23,+∞)D.[5-25,+∞)②转化与化归思想【例81】定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (-2)=1，则满足-1≤f (x -1)≤1的x 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,1]C.[-1,3]D.[0,2]【例82】已知函数f x =3x+1,x≤1x2-1,x>1，若n>m，且f(n)=f(m)，设t=n-m，则t的最大值为()A. 1B.5-1C.1712 D.43【例83】若定义在R的奇函数f(x)在-∞,0单调递减，且f2 =0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【例84】设a=0.40.6，b=0.60.8，c=0.80.4，则()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c【例85】已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)【例86】函数f(x)=3+2x-x2的单调递增区间是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[1,3]D.[-1,1]③数形结合思想【例87】已知函数f(x)为奇函数，x>0时为增函数且f2 =0，则{x|f(x-2)>0}=.()A.{x|0<x<2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【例88】已知定义在R上的偶函数f(x)满足：①对任意的x 1,x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立；②f(-2)=0.则不等式f(x)x>0的解集为()A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)21数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例89】已知函数f (x )=-x 2+4x ,x ∈[m ,5]的值域是[-5,4]，则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]【例90】奇函数f (x )在-∞,0 上单调递减，且f 2 =0，则不等式f (x )>0的解集是．()A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)【例91】如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90{^°})时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是()A.B.C.D.【例92】已知函数y =f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的图像如图所示，则不等式xf (x )>0的解集为()22越努力越幸运//邦达数学高一讲义梅花香自苦寒来A.(-2,-1)∪(1,2)B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)。

第2课时指数函数的性质及其应用1．掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．2．能借助指数函数图象及单调性比较大小．3．会解简单的指数方程、不等式．4．了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法．1．指数函数值与1的大小关系(1)a>1时，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1.(2)0<a<1时，当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1.2．对称关系函数y＝a－x与y＝a x的图象关于y轴对称．3．图象位置关系底数a的大小决定了图象相对位置的高低．(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”．作出直线x＝1，与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序．(2)在y轴左侧，图象正好相反．如图所示的指数函数的底数的大小关系为0<d<c<1<b<a.1．指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的函数值随自变量有怎样的变化规律？[答案] 当a >1时，若x >0，则y >1；若x <0，则0<y <1.当0<a <1时，若x >0，则0<y <1；若x <0，则y >12．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若0.3a >0.3b ，则a >b .( )(2)函数y ＝3x 2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y ＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m >1，则m >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×题型一 利用指数函数的单调性比较大小【典例1】 比较下列各组数的大小：(1)0.7－0.3与0.7－0.4；(2)2.51.4与1.21.4；(3)1.90.4与0.92.4.[思路导引] (1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助中间量1进行比较．[解] (1)∵y ＝0.7x 在R 上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x 与y ＝1.2x 的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.(3)∵1.90.4>1.90＝1，0．92.4<0.90＝1，∴1.90.4>0.92.4.比较幂的大小的3种类型及方法(1)对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值(如0或1)来比较．[针对训练]1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b[解析]∵函数y＝0.8x在R上为减函数，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又0.80.7<1,1.20.8>1，∴0.80.7<1.20.8，即a<c.∴c>a>b.选D.[答案]D题型二 解简单的指数不等式【典例2】 (1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2； (2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[思路导引] (1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a >1与0<a <1两种情况解不等式．[解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1， ∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数， ∴3x －1≥－1，∴x ≥0.故原不等式的解集是{x |x ≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数， ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.指数不等式的求解策略(1)形如a x >a y 的不等式：可借助y ＝a x 的单调性求解．如果a 的值不确定，需分0<a <1和a >1两种情况讨论．(2)形如a x >b 的不等式：注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．[针对训练]2．已知32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围． [解] 由32x －1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，得32x －1≥30.5. ∵函数y ＝3x 在R 上为增函数，∴2x －1≥0.5，得x ≥34.故x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 3．若a －5x >a x ＋7(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] ①当a >1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为增函数，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7，且函数y ＝a x 为减函数，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 当0<a <1时，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，＋∞. 题型三 指数型函数的单调性【典例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x . (1)判断函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )的值域．[思路导引] 由函数u ＝x 2－2x 和函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性判断． [解] (1)令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u .∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． (2)∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．[变式] 若本例“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ”改为“f (x )＝2|2x －1|”，其他条件不变，如何求解？[解] (1)设u ＝|2x －1|，由函数y ＝2u 和u ＝|2x －1|的定义域为R ，故函数y ＝2|2x －1|的定义域为R .∵u ＝|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 而y ＝2u 是增函数，∴y ＝2|2x －1|在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)∵u ＝|2x －1|≥0，∴2u ≥1.∴原函数的值域为[1，＋∞)．指数型函数单调性的解题技巧(1)关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y＝f[φ(x)]的单调性，即若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同(同增或同减)，则y＝f[φ(x)]为增函数，若y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(一增一减)，则y＝f[φ(x)]为减函数．[针对训练]4．求函数f(x)＝3－x2＋2x＋3的单调区间．[解]由题意可知，函数y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3的定义域为实数集R.设u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则y＝3u，故原函数是由u＝－x2＋2x＋3与y＝3u复合而成．∵y＝3u是增函数，而u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在x∈(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).题型四指数函数的实际应用【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域．[解]现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材的蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；…经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.解决指数函数应用题的流程(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．(3)解模：运用数学知识解决问题．(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．[针对训练]5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．[解析]假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．[答案]19课堂归纳小结1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c 且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x >b x 的不等式，可借助图象求解．3．研究y ＝a f (x )型单调区间时，要注意a >1还是0<a <1. 当a >1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相同．当0<a <1时，y ＝a f (x )与f (x )单调性相反.1．下列判断正确的是( )A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5 [解析] 函数y ＝0.9x 在R 上为减函数，所以0.90.3>0.90.5.[答案] D2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. [答案] B3．设13<⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <1，则( ) A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a[解析] 由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .[答案] C4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[解析] 设t ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的递增区间． [答案] A5．已知函数f (x )＝2－x 2＋2x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在[0,3]上的值域．[解] (1)函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (0)＝1，f (1)＝2，f (3)＝18，所以f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (3)＝18，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 课内拓展 课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y ＝f (a x )”型函数的单调性【典例1】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．[解] 令t ＝a x (t >0)，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t ＝－1.①若a >1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．②若0<a <1，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，则y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上可知，a 的值为3或13.[点评] 解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t ＝a x 的形式，再利用定义域和函数y ＝a x 的单调性求出t 的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．2．“y ＝f (a x )”型函数的奇偶性 【典例2】 设函数f (x )＝12－12x ＋1，(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．[解] (1)证明：函数的定义域为R ，关于原点对称． f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x 2x ＋1＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．(3)因为函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上也是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310.所以函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.[点评] 指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．课后作业(二十八)复习巩固一、选择题1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [解析] 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.[答案] B 2．若0.72x －1≤0.7x 2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析] ∵函数y ＝0.7x 在R 上为减函数， 且0.72x －1≤0.7 x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A. [答案] A[解析] 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减，可得b <c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x >⎝ ⎛⎭⎪⎫25x，故，∴a >c ，故a >c >b .[答案] A4．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1[解析] 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x －1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x ＋1.故选D.[答案] D5．已知函数f (x )＝a 2－x (a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数[解析] 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t >1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.[答案] A 二、填空题6．满足方程4x ＋2x －2＝0的x 值为________． [解析] 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2＋t －2＝0，∴t ＝1或t ＝－2. ∵t >0，∴t ＝－2舍去． ∴t ＝1，即2x ＝1，∴x ＝0. [答案] 0 7．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．[解析] 设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ， u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以y ＝3u ≥3－1＝13， 所以函数y ＝3x 2－2x的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 8．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．[解析] 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的14，也就是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，故解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1100，4x ≥100,2x ≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．[答案] 4 三、解答题9．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市的人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)． (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127) [解] (1)1年后该城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)3； …x 年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)10 ＝100×1.01210≈112.7(万人)．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1； 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.综合运用11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，23[解析] 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a0，即13≤a <1，故选B.[答案] B12．函数y ＝32x ＋2·3x －1，x ∈[1，＋∞)的值域为______________． [解析] 令3x ＝t ，由x ∈[1，＋∞)，得t ∈[3，＋∞)． ∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2≥(3＋1)2－2＝14. 故所求函数的值域为[14，＋∞)． [答案] [14，＋∞)13．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．[解析] 解法一：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象向右平移1个单位得到函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象(如图所示过点(0,2))，当m <0时，再向下平移|m |个单位就可以得到函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象．要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 的图象不经过第一象限，需要有m ≤－2.解法二：由题意得，因为0<12<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m 是减函数，由函数图象不经过第一象限知，当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，故m 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]15．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1(a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．[解] (1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝1－23x＋1. ∵f (－x )＝1－23－x ＋1＝1－2·3x 1＋3x ＝1－2(3x＋1)－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．(3)f(x)＝1－23x＋1中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0,2)．∴f(x)的值域为(－1,1)．。