第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案

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1 / 20 第2节第2课时用样本的数字特征估计总体的数字特征教学案

第2课时 用样本的数字特征估计总体的数字特征

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P71～P78，回答下列问题．

(1)众数、中位数、平均数各是什么样的数？

提示：见本课时[归纳总结，核心必记](1)．

(2)你能说出教材P72思考中样本的中位数与样本中位数估计值为什么不一样吗？

提示：频率分布直方图已经损失了一些基本的信息，因而通过频率分布直方图只能估计样本的中位数，而不能得到样本的准确的中位数．

(3)标准差和方差各指什么？

提示：见本课时[归纳总结，核心必记](2)．

2．归纳总结，核心必记

(1)众数、中位数、平均数

①众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．

②中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数． .精品文档.

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2 / 20 ③平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)标准差、方差

①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．假设样本数据是x1，x2，…，xn，x表示这组数据的平均数，

则s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].

②方差：标准差的平方s2 即为方差， 则s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

[问题思考]

(1)一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？

提示：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．

(2)在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？

提示：①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． .精品文档.

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3 / 20 [课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点：

(1)众数、中位数、平均数的概念： ；

(2)标准差、方差的公式： .

现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下(单位：年)

甲：3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10

乙：4, 6, 6, 6, 8, 9, 12, 13

丙：3, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12

[思考1] 三家广告中都称其产品使用寿命为8年，你能说明为什么吗？

名师指津：三个厂家从不同的角度进行了说明，以宣传自己的产品．其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．

[思考2] 众数、中位数、平均数各有什么优缺点？

名师指津：三种数字特征的比较：

众数：优点是体现了样本数据的最大集中点，容易计算；缺点是只能表达样本数据中很少的一部分信息，无法客观地反映总体的特征．

中位数：优点是不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响，容易计算，便于利用中间数据的信息；.精品文档.

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4 / 20 缺点是对极端值不敏感．

平均数：优点是代表性较好，是反映数据集中趋势的量，一般情况下可以反映出更多的关于样本数据全体的信息；缺点是任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”对平均值的影响越大．

?讲一讲

1．某工厂人员及月工资构成如下：

人员经理管理

人员高级

技工工人学徒合计

月工

资(元)22 0002 5002 2002 0001 00029 700

人数16510123

合计22 00015 00011 00020 0001 00069 000

(1)指出这个表格中月工资的众数、中位数、平均数；

(2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？

[尝试解答] (1)由表格可知，众数为2 000元．

把23个数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元．

平均数为69 000÷23＝3 000(元)． .精品文档.

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5 / 20 (2)虽然平均数为3 000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理的工资在平均数以上，其余人的工资都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平．

对众数、中位数、平均数的几点说明

(1)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策．

(2)众数、中位数、平均数三者比较，平均数更能体现每个数据的特征，它是各个数据的重心．

?练一练

1．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：

分数5060708090100

人数甲班161211155

乙班351531311

选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．

解：甲班平均数79.6分，乙班平均数80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；

甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班； .精品文档.

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6 / 20 按从高到低(或从低到高)的顺序排列之后，甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62%，同理乙班有27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．

如果记90分以上(含90分)为优秀，甲班有20人，优秀率为40%，乙班有24人，优秀率为48%，从优秀率看成绩较好的是乙班．可见，一个班学生成绩的评估方法很多，需视要求而定．如果不考虑优秀率的话，显然以中位数去评估比较合适.

甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：

甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；

乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.

[思考1] 通过计算可以知道，甲、乙两人的平均成绩相等，那么甲、乙两人的成绩谁的更稳定一些？怎样用数字刻画这种稳定性？

名师指津：乙的成绩相对稳定，样本数据的稳定性(或分散程度)常用标准差刻画．

[思考2] 怎样理解方差与标准差？

名师指津：(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；.精品文档.

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7 / 20 标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

?讲一讲

2．甲、乙两机床同时加工直径为100 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99 100 98 100 100 103

乙：99 100 102 99 100 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

[尝试解答] (1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，

s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，

又s2甲>s2乙， .精品文档.

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8 / 20 所以乙机床加工零件的质量更稳定．

(1)求一组数据的方差和标准差的步骤：

①先求平均数x.

②代入公式得方差和标准差

s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，

s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].

(2)实际问题中方差、标准差的意义

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．

?练一练

2．甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为(单位： )：

甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10

9.9 10.1

乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7

10.2 10

分别计算上面两个样本的平均数与标准差．如果图纸上的设计尺寸为10 ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？