1矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。
证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。
于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。
()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。
这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。
我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。
其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
下面，我们来证明向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。
事实上，假设数j k ，()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得()()1()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B Bx -=-+=∑。
这样，()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。
于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得()()()11()s r AB s r B j j jj s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。
由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。
于是，向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。
一类矩阵迹的不等式周其生;金乐乐【摘要】In this paper, inequality on trace of a class of matrix are provided, by using Young inequality and Lieb-Thirring inequality, and the result of some of the literature is generalized.%本文利用Young不等式和Lieb-Thirring不等式，给出一类矩阵迹的新的不等式，且推广了一些文献的结果。
【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】5页(P1-4,56)【关键词】矩阵;迹;不等式【作者】周其生;金乐乐【作者单位】安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133;安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆246133【正文语种】中文【中图分类】O178;O151.21矩阵的迹是矩阵的一个重要数值特征，由于矩阵迹的运算在数值计算、逼近论以及统计估计、随机控制、滤波和经济计量学等理论中应用广泛，因此，对于它的讨论引起众多数学工作者的重视。
由于矩阵的乘法无实数乘法所具有的交换性，这使得许多关于实数的不等式不能直接推广到矩阵论中，一些看似平常的代数不等式，推广为按Löwner偏序的矩阵不等式一般可能不成立。
由于矩阵迹运算克服了矩阵乘法交换性的困难，又使得实数不等式的推广成为可能，鉴于矩阵乘积的迹一般不等于矩阵迹的乘积，故而又成为推广的障碍，因此，研究矩阵不等式不仅具有应用价值，而且也极具挑战性。
本文将利用矩阵迹的Young不等式和Lieb-Thirring 不等式，以及关于迹的性质，将一些熟知的实数不等式推广到矩阵论中，得到关于矩阵迹的不等式。
杨晋和稽国平、汤正谊等人分别在文[1]和[2]中给出如下一些实数不等式。
1.Jacobsthal不等式设x≥0,y≥0，对任意正整数n，有xn+(n-1)yn≥nxyn-1；当y>0时，上式可变形为。
关于矩阵乘积迹的几个不等式
宝音特古
【期刊名称】《内蒙古民族师院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1990(000)001
【总页数】4页(P1-4)
【作者】宝音特古
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.关于幂等矩阵乘积的迹的不等式 [J], 詹仕林
2.关于稳定矩阵乘积迹一个不等式的注记 [J], 谭思文;杨忠鹏
3.关于斜Hermite矩阵乘积之迹的不等式 [J], 杨兴东
4.关于Hermite矩阵乘积迹的一个不等式的注记 [J], 包金山;郑瑛;其木格;阚建秋
5.矩阵乘积之迹的不等式 [J], 冯秀红;杨主旺
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