高中数学北师大版必修5课时作业：第1章 数列 12 含答案

§12 单元测试一班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×10＝50分)1．等差数列3,1，－1，－3，…，－97的项数为( ) A ．52 B ．51 C ．49 D ．502．下列选项中两个数没有等比中项的是( ) A ．2和4 B ．－1和－3 C.2和 3 D ．－6和43．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，d ＝2，则S 8等于( ) A ．26 B ．32 C ．54 D ．644．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，当n >1(n ∈N ＋)，则下列等式成立的是( )A ．a n ＝S n ＋1B ．a n ＝S n －1＋1C ．2a n ＝S nD ．a n ＝2S n －15．如果数列{}a n 的首项a 1＝13，a n ＋1＝2a n3a n ＋2，那么a 17等于( )A.127B ．24C ．27 D.1246．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( ) A ．2 B.73C.83D ．3 7．等差数列{a n }中，a p ＝q ，a q ＝p (p ，q ∈N *，且p ≠q )，则a p ＋q ＝( ) A.p ＋q2B.p －q2C ．0D ．p ＋q8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2 B ．2nC ．3nD ．3n－19．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．27 B ．35 C ．39 D ．4910．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．若一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的“保等比数列函数”，则下列结论不正确的是( )A ．b ＝0B ．数列{f (a n )}的公比与{a n }的公比相同C ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，{f (a n )}的前n 项和为k 2·S n ，则k ＝1 D ．数列{a n }的前n 项和与{f (a n )}的前n 项和不可能相等 二、填空题：(每小题6分，共6×5＝30分)11．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________.12．等差数列{}a n 前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 13．已知数列{a n }，a n ＝23n －1，把数列{a n }的各项排成三角形状，如图所示．记A (m ，n )表示第m 行，第n 列的项，则A (7,5)＝________.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3，当n ≥2时，4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.15．已知数列{(－1)n ＋1·n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝________.三、解答题：(共70分，其中第16小题10分，第17～21小题各12分) 16．已知{a n }是等差数列，其中a 1＝25，a 4＝16. (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19值．数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n＋1＝2S n＋2，等差数列{b n}满足b3＝3，b5＝9.(1)分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若对任意的n∈N＋，(S n＋1)k≥b n恒成立，求实数k的取值范围．18.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换5000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车200辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)若a＝50，求经过5年该市被更换的公交车总数；(2)若该市计划6年内完成全部更换，求a的最小值．已知数列{}a n 为等差数列，a 1＋a 7＝20，a 11－a 8＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若在数列{}a n 中的每相邻两项之间插入2个数，使之构成新的等差数列{}b n ，求新的等差数列{}b n 的通项公式．20.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－2a n，证明数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2＋2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n ＝1S n，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ；(3)若数列{c n }满足条件：c n ＋1＝ac n ＋2n，又c 1＝3，是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫c n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．一、选择题1．B ∵a 1＝3，a 2＝1，∴d ＝1－3＝－2，∴a n ＝3＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋5，由－97＝－2n ＋5，得n ＝51.2．D 由等比中项的定义可知，两个数有等比中项，则这两个数必须同号，所以D 不符合．3．D ∵S 8＝a 1＋a 82＝8×a 1＋8×72×2＝64.4．B 由题意可得{a n }为等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝2，则S n ＝2n－1，所以S n －1＝2n －1－1，即有a n ＝S n －1＋1.5．A 对已知式子a n ＋1＝2a n 3a n ＋2两边分别取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋22a n ＝32＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝32，∴{1a n }是以3为首项，以32为公差的等差数列，∴1a 17＝1a 1＋32×(17－1)＝3＋24＝27，即a 17＝127. 6．B 设公比为q ，则S 6S 3＝＋q3S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 7．C ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋p －d ＝q a 1＋q －d ＝p，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝p ＋q －1d ＝－1，∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1－(p ＋q －1)＝0.8．B 因数列{a n }为等比数列，则a n ＝2qn －1，因数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，∴a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴a n (1＋q 2－2q )＝0，∴q ＝1.即a n ＝2，所以S n ＝2n .9．D 法一：S 7＝a 1＋a 72＝a 2＋a 62＝＋2＝49.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝3a 6＝a 1＋5d ＝11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，a 7＝1＋6×2＝13，∴S 7＝a 1＋a 72＝＋2＝49.10．D 由a n a n ＋2＝a 2n ＋1，得f (a n )f (a n ＋2)＝(ka n ＋b )(ka n ＋2＋b )＝k 2a n a n ＋2＋kb (a n ＋a n ＋2)＋b 2，而f 2(a n ＋1)＝(ka n ＋1＋b )2＝k 2a 2n ＋1＋2kba n ＋1＋b 2，所以k 2a n a n ＋2＋kb (a n ＋a n ＋2)＋b 2＝k 2a 2n ＋1＋2kba n ＋1＋b 2，故kb (a n ＋a n ＋2－2a n ＋1)＝0恒成立，故kb ＝0，而k ≠0，故b ＝0，A 正确.f a n ＋1f a n ＝ka n ＋1ka n ＝a n ＋1a n，B 正确．若数列{a n }的前n 项和为S n ，{f (a n )}的前n 项和为k ·S n ，故由C 中选项可得k ＝1.当k ＝1时，数列{a n }的前n 项和与{f (a n )}的前n 项和相等，故选D.二、填空题 11．16解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 24，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16. 12．10解析：∵S 9＝S 4，a ＝1，∴d ＝－16，∴a k ＋a 4＝a 1＋(k －1)d ＋a 1＋3d ＝2a 1＋(k ＋2)d ＝2＋(k ＋2)·(－16)＝0，即k ＝10.13.2325解析：由图中的规律可知第7行有7个数，且前6行的数列的个数为21个，所以第7行的第5个数为数列的a 26，所以A (7,5)＝a 26＝2325.14．3·(12)n －1解析：n ≥2时，4S n －4S n －1＝4a n ＝6a n －a n －1，∴a n a n －1＝12，∴a n ＝a 1·(12)n －1＝3·(12)n －1. 15．1007解析：S 2013＝1－2＋3－4＋…＋2013＝1＋(3－2)＋(5－4)＋…＋(2013－2012)＝1007. 三、解答题16．(1)∵a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－3 ∴a n ＝28－3n(2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19是首项为25，公差为－6的等差数列，共有10项，其和S ＝10×25＋10×92×(－6)＝－20.17．(1)由a n ＋1＝2S n ＋2①， 得a n ＝2S n －1＋2(n ≥2)②，①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，∴a n ＋1＝3a n ，又∵a 2a 1＝62＝3，∴a n ＋1a n＝3(n ∈N ＋)，∴a n ＝2·3n －1，又b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3＋(n －3)×3＝3n －6. (2)由a n ＋1＝2S n ＋2，得S n ＋1＝a n ＋1－22＋1＝2·3n－22＋1＝3n,∴(S n ＋1)k ≥b n 对n ∈N ＋恒成立， 即k ≥3n －63n 对n ∈N ＋恒成立，令c n ＝n －23n －1，c n －c n －1＝n －23n －1－n －33n －2＝－2n ＋73n －1，当n ≤3时，c n >c n －1，当n ≥4时，c n <c n －1， ∴(c n )max ＝c 3＝19，∴k ≥19.18．(1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车，混合动力型公交车的数量， 依题意，{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为200，公差为50的等差数列.{a n }的前5项和S 5＝128×[1－325]1－32＝256[(32)5－1]＝1688,{b n }的前5项和T 5＝200×5＋－2×50＝1500，所以经过5年，该市更换的公交车总数为S 5＋T 5＝1688＋1500＝3188. (2)若计划6年内完成全部更换，所以256[(32)6－1]＋200×6＋6×52a ≥5000,即15a ≥1140，所以a ≥76. 所以a 的最小值为76.19．解：(1)设数列{}a n 的公差为d ，由已知a 1＋a 7＝20，a 11－a 8＝18，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝20，3d ＝18，解之得a 1＝－8，d ＝6，∴a n ＝－8＋(n －1)×6＝6n －14.(2)设新的数列{}b n 的公差为d ′，则b 4－b 1＝a 2－a 1＝6＝3d ′，∴d ′＝2， ∴b n ＝－8＋(n －1)×2＝2n －10. 20．解：(1)由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3， 由S n ＋1＝4a n ＋2，①则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，②由①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)．又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，∴数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋34(n －1)＝34n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2. 21．解：(1)n ＝1时，a 1＝S 1＝3n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1当n ＝1时，a 1＝3，∴a n ＝2n ＋1 (2)b n ＝1S n ＝1nn ＋＝12(1n －1n ＋2)， T n ＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…(1n －2－1n )＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝3n 2＋5nn ＋n ＋(3)c n ＋1＝ac n ＋2n，即c n ＋1＝2c n ＋1＋2n， 假设存在这样的实数λ，满足条件，又c 1＝3，c 2＝2c 1＋1＋2＝9，c 3＝2c 2＋1＋22＝23， 3＋λ2，9＋λ4，23＋λ8成等差数列， 即2×9＋λ4＝3＋λ2＋23＋λ8，解得λ＝1，此时c 1＋12＝2，c n ＋1＋12n ＋1－c n ＋12n＝c n ＋1＋1－c n ＋2×2n＝c n ＋1－2c n －12×2n＝1＋2n －12×2n＝12，数列{c n ＋12n }是一个以2为首项，12为公差的等差数列．。

北师大版高中数学必修五课时作业10 数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2、a 3、a 6成等比数列，则其公比q 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C【解析】 ∵等差数列{a n }中a 2、a 3、a 6成等比数列， ∴a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d)(a 1＋5d)＝(a 1＋2d)2⇒d(d ＋2a 1)＝0， ∵公差不为零，∴d ＝－2a 1， ∴所求公比q ＝a 3a 2＝a 1＋2d a 1＋d ＝－3a 1－a 1＝3.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在 【答案】 A【解析】 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，∴a 1d ＋4d 2＝0， ∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2. 3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【答案】 C【解析】 本题主要考查等比数列等知识． 设a n ＝a 1q n －1，其中a 1>0，q>0， ∴2×12a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0，解得q ＝2＋1，q ＝－2＋1<0(舍去)， a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2. 4．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19【答案】 C【解析】 本题考查了等比数列的前n 项和通项公式与运算能力．∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.【点评】 解答本题充分运用了等比数列的通项公式和整体代换的方法．5．已知等比数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 等于( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.39n －14【答案】 D【解析】 数列{a n }的偶数项是以a 2＝6为首项，公比为9的等比数列，故新数列的前n 项和S n ＝69n －19－1＝39n －14.6．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31C.314 D ．以上都不正确 【答案】 B【解析】 设{a n }的公比为q ，q>0. 由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2＝10a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2,2q 2＋6q ＝20，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)， 则a 1＝1，所以S 5＝a 11－q 51－q＝11－251－2＝31.7．(2013·福建理)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n －1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 【答案】 C【解析】 b n ＝a 1q m(n －1)＋a 1q m(n －1)＋1＋…＋a 1q m(n －1)＋m －1＝a 1q m(n －1)(1＋q ＋…＋q m －1)＝a 1q m(n －1)·1－qm1－q ，∴b n ＋1b n ＝a 1q mn ·1－q m1－q a 1q m n －1·1－q m 1－q＝q m， ∴{b n }是等比数列，公比为q m ， c n ＝a 1q m(n －1)·a 1q m(n －1)＋1·…·a 1q m(n －1)＋m －1 ＝a m 1·qm 2(n －1)＋m m －12，∴c n ＋1c n＝a m 1qm 2n ＋1－1m m －12a m 1qm 2n －1m m －12＝qm 2，∴{c n }是等比数列，公比为qm 2. 二、填空题(每小题5分，共15分)8．设公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.【答案】 32【解析】 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2得，2q 2－q －3＝0，即q ＝32(q ＝－1舍去)．9．已知数列{x n }满足lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.【答案】 100【解析】 由lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)得lgx n ＋1－lgx n ＝1， ∴x n ＋1x n＝10，数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100＝100.10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．【答案】 3 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.【解析】 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和相关知识联系又要考虑其特点．由题设a 1＋a 2＝a 2＋a 3＝…＝a 17＋a 18＝…＝a 2k －1＋a 2k ＝a 2k ＋a 2k ＋1＝5.∵a 1＝2，∴a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3…当n 为奇数时a n ＝2，当n 为偶数时，a n ＝3.∴a 18＝3. 当n 是偶数时，有n 2个2，n2个3，∴S n ＝n 2·2＋n 2·3＝52n.当n 为奇数时，有n －12个3，n ＋12个2，∴S n ＝n －12·3＋n ＋12·2＝5n －12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝9，a 1＋4d ＝21，解得a 1＝5，d ＝4.所以{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1. (2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1， 因为b n ＋1b n＝24，所以{b n }是首项b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．于是得{b n }的前n 项和S n ＝2524n －124－1＝3224n －115.12．(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .【解析】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4， 从而a n ＝S n －S n －1＝92－n(n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n.(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 13．(20分)(2013·江西理)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564.【解析】 思路分析：(1)将已知S n 的关系式分解因式，先求出S n ，后求a n ；(2)化简b n 用放缩法求T n 的范围．(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n.综上，数列{a n }的通项a n ＝2n. (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1n ＋22a 2n.则b n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116[1n 2－1n ＋22]． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －12－1n ＋12＋1n2－1n ＋22]＝116[1＋122－1n ＋12－1n ＋22]<116(1＋122)＝564. 【点评】 本题考查了数列通项公式．裂项求和与放缩法证明不等式．考查了运算能力和逻辑思维能力．。

§数列的函数特性
时间：分钟满分：分
班级姓名分数
一、选择题：(每小题分，共×＝分)
．设数列{}的前项和＝，则的值为( )
．．
．．
．已知＋－－＝，则数列{}是( )
. 递增数列 . 递减数列
. 常数项 . 不能确定
．下列说法中不正确的是( )
．数列，，，…是无穷数列．数列{()}就是定义在正整数集＋上或它的有限子集{，…，}上的函数值
．数列，－，－，－，…不一定是递减数列
．已知数列{}，则{＋－}也是一个数列
．已知数列{}满足＝，＋＝(∈＋)，则的值是( )
．．－
．设数列{}中，＝，＋＝＋，则通项可能是( )
．－．·－－
．－．·－－．已知数列{}满足＋＝
若＝，则的值为( )
. .
. .
二、填空题：(每小题分，共×＝分)
．数列{}的通项公式为＝－，则它的最小项是．
．已知数列{}中，＝，＋＝＋(－)，则＝.
．已知数列{}的前项和＝－，第项满足＜＜，则＝.
三、解答题：(共分，其中第小题分，第、小题各分)．根据函数＝的单调性，求数列{}的最大项与最小项的值．。

2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念和通项公式课时过关·能力提升1.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( ) B.50 C.51 D.52a n+1-a n =12,∴数列{a n }是首项为2,公差为12的等差数列,则a n =2+12(n-1). ∴a 101=2+12×100=52.n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13的值为( ) B.120 C.90 D.75a 1+a 2+a 3=15,得a 2=5,所以a 1+a 3=10,a 1a 3=16,解得a 1=2,a 3=8或a 1=8,a 3=2. {a n }的公差为正数,所以数列{a n }是递增数列. 所以a 1=2,a 3=8,其公差d=a 2-a 1=5-2=3, a 11+a 12+a 13=(a 1+10d )+(a 2+10d )+(a 3+10d )=(a 1+a 2+a 3)+30d=15+30×3=105.n a 1=7,公差d=5的等差数列,若a n =2 017,则序号n 等于( ) B.401 C.402 D.403a 1=7,d=5,a n =7+5(n-1)=5n+2.5n+2=2 017,解得n=403.{a n }的公差为d ,若数列{2a 1a n }为递减数列,则( )B.d>0C.a 1d<0D.a 1d>0{2a 1a n }为递减数列,且y=2x 是增函数,所以{a 1a n }是递减数列, a 1a n+1-a 1a n =a 1(a n+1-a n )=a 1d<0.32,log 3(2x -1),log 3(2x +11)成等差数列,则x 的值为( ) -3 B.log 37 C.log 27 D.4log 3(2x +11)-log 3(2x -1)=log 3(2x-1)-log 32,∴2x +112x -1=2x -12,即22x -4·2x -21=0,解得2x =7或2x =-3(舍log 27.{a n }中,a 1=70,d=-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )B.a 9C.a 10D.a 11{a n }中,由a 1=70,d=-9,得a n =-9n+79,∴数列{a n }是首项为正数的递减等差数列.令-9n+79≥0,解得n ≤799,且a 8=7,a 9=-2,a 10=-11,a 11=-20,∴这个数列中绝对值最小的一项为a 9.{a n },若a n =10-2n (n ∈N +),且a 1+a 2+…+a m =|a 1|+|a 2|+…+|a m |,则正整数m 的最大值是( )B.5C.6D.7a n =10-2n ,得{a n }为递减数列.a m =10-2m ≥0,m ∈N +,1≤m ≤5.∴m 的最大值为5.{a n }的图像是平行于x 轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点,则数列{a n }的公差d 0(填“>”“<”或“=”).{a n }是等差数列,知a n =a 1+(n-1)d=dn+a 1-d.由其图像是平行于x 轴的直线上的孤立的点,可知0,故d=0.9.在数列{a n }中,a 1=1,对任意的n ∈N +,有a n+1=a n1+a n ,则1a 2 017= .a n+1=a n 1+a n ,得1a n+1−1a n =1,故{1a n }是首项为1,公差为1的等差数列,所以1a n =1+(n-1)=n.故1a 2 017=2 017.10.在数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列{1a n +1}是等差数列,则a 11= .a 3=2,a 7=1,所以1a 3+1=13,1a 7+1=12.设等差数列{1a n +1}的公差为d ,则1a 7+1=1a 3+1+4d ,即12=13+4d ,解得d=124,所以1a 11+1=1a 7+1+4d=12+16=23,解得a 11=12.求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项. 是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.由a 1=3,d=7-3=4,得当n=4时,a 4=3+(4-1)×4=15;当n=10时,a 10=3+(10-1)×4=39.(2)是.由a 1=2,d=9-2=7,得这个数列的通项公式为a n =2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100,解得n=15∈N +,因此100是这个数列的第15项.★12.在数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N +),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N +).(1)求证:数列{b n }是等差数列; {a n }中的最大项和最小项,并说明理由.a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N +),b n =1a n -1,∴当n ≥2时,b n -b n-1=1a n -1−1a n -1-1=1(2-1a n -1)-1−1a n -1-1=a n -1a n -1-1−1a n -1-1=1.又b 1=1a 1-1=-52,∴数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(1)知,b n =n-72,则a n =1+1b n =1+22n -7.设函数f (x )=1+22x -7,易知f (x )在区间(-∞,72)和(72,+∞)上是减少的.故当n=3时,a n 取得最小值-1;当n=4时,a n 取得最大值3.。

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和课时过关·能力提升1.等差数列{a n }的各项都是负数,且a 32+a 82+2a 3a 8=9,则它的前10项和S 10等于( ) B.-9 C.-15 D.-13a 32+a 82+2a 3a 8=9,(a 3+a 8)2=(a 1+a 10)2=9.∵a n <0,∴a 1+a 10<0.∴a 1+a 10=-3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=-15.n 为数列{a n }的前n 项和,若满足a n =a n-1+2(n ≥2),且S 3=9,则a 1等于( )B.3C.1D.-1a n =a n-1+2(n ≥2),a n -a n-1=2(n ≥2),∴{a n }是公差为2的等差数列.∵S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=9,∴a 2=3.a 1=a 2-d=3-2=1.{a n }满足a 5=11,a 12=-3,{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ,则lg M 等于( )B .2C .10D .100{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于( ) B.99 C.144 D.297a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,得3a 4=39,3a 6=27,解得a 4=13,a 6=9,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=)2=99. 5.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于( )B.48C.66D.132{a n }的公差为d ,则由a 9=12a 12+6,得a 1+8d=12(a 1+11d )+6,整理得a 1+5d=12,即a 6=12,所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=11×12=132.n ,a 10=33,a 2=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 20-2S 10等于( )A.40B.200D.2020-2S 10=20(a 1+a 20)2-2×10(a 1+a 10)2=10(a 20-a 10)=100d.a 10=a 2+8d ,∴33=1+8d ,∴d=4.S 20-2S 10=400.★7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为( ) A.S 1a 1 B.S 15a 15C.S 8aD.S 9a 9 S 15>0,∴a 1+a 15=2a 8>0,a 8>0.∵S 16<0,∴a 1+a 16<0,∴a 8+a 9<0,∴a 9<0,∴S 8最大.又a 1>a 2>a 3>…>a 8>0>a 9>…,∴S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为S8a 8.{a n }的前n 项和S n =n 2+n ,则它的通项公式为a n = .n=1时,a 1=S 1=2;n ≥2时,a n =S n -S n-1=(n 2+n )-[(n-1)2+(n-1)]=2n.∵a 1=2也符合上式,a n =2n.n {a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于 .n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3×2d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1. ①S 6=6a 1+6×52d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8. ② 联立①②两式,解得a 1=-1,d=2,a 9=a 1+8d=-1+8×2=15.{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,求数列{a n }的通项公式.,得S n +1=2n+1,则S n =2n+1-1.所以当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n -1)=2n . 又当n=1时,3≠21,故a n ={3,n =1,2n ,n ≥2.★12.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m .(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那?设甲、乙开始运动n min 后第一次相遇,依题意,有2n+n (n -1)2+5n=70. 整理得n 2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去).故甲、乙开始运动7 min 后第一次相遇.(2)设m min 后第二次相遇,依题意有2m+m (m -1)2+5m=3×70, 整理得m 2+13m-420=0.解得m=15或m=-28(舍去).故开始运动15 min 后第二次相遇.。

分钟课时作业一、选择题：每小题5分，共30分.1.下列说法中，正确的是（）A.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝B.数列1,0, — 1, —2与数列一2, —1,0,1是相同的数列C.数列｛字｝的第比项为1+£D.数歹!] 024,6$…可记为｛2〃｝解析：A中，｛135/7｝表示集合，所以A不正确；数列中的各项是有顺序的，所以B不正确；D中，数列应记为｛2〃一2｝, 所以D不正确；很明显C正确.答案：C2.数列1，0丄0丄0丄0,…的一个通项公式是（ ） ▲ 1—(—1 严 1+(—1严 A ・ a - — 2 13 ・ ci n ~— 2 (-iy-i —1—(—1)"—2 JD ・ a n = ■ 2 解析:斤=1时，验证知B 正确. 答案：B3.已知数列一1,的值为（）1A-51C,25解析：当n = 5时, 答案：D1 1 1_彳（_1）"庐则它的第5项B.-（T）A点D.254.数列迈，A/5, 2辺，V11,…，则2审是该数列的（A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项解析：由ci n—1 — 2^/5,解得zi=7.答案：B5・已知数列的通项公式冷于（）A. 70 B・ 28C・20D・8f3n+l, 〃为奇数,[2n—2, 〃为偶数,则等C.3n+1, 〃为奇数，, 心解析：由给=]2〃_2农为俚数得。

2。

3 = 2 X 10 = 20.二选答案：C6.已知a n=n那么（）A. 0是数列中的一项B. 21是数列中的一项C. 702是数列中的一项D.以上答案都不对解析:9：a f=n(n+\^且702 = 26X27, A 702 是第26 项, 故选C.答案：C二、填空题：每小题5分，24 35 48 637-数列亍~59 10, 17, 26J共15分.…的一个通项公式为解析：此数列各项都是分式，且分母都减去1为1,4,9,16,25,…，故分母可用n 2+l 表肩 若分子各项都加1为 16,25,36,49,64,…，故分子可用(n+3)2—1表贰 故其通项公式(“ + 3)2—1n 2+18.数列｛给｝的通项公式为©=log 卄心+2),则它前14项的可为a n =5+3)2—1/ +1积为_________解析：log234og34*log45 • • • • *logi516 = log216=4.答案：49.已知数列他a n = cosn3, OV0V&贝V «io =兀 兀又•••OV0V/ •••&=忑rm答案: 三、解答题：每小题15分，共45分.二根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式:八 兀 5&=2hi± 亍伙 WZ)— cos 15, Cl\o — cos -^ 2*1解析: •Cl4 14 2⑴弓，刁T1 9 25(2)刁2, 2* 8, 2 ,…；⑶1,3,6,10,15,…；(4)7,77,777,….解：(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为扌，春，卷，…，于是它们的分母依次相差3,因而有43/1 + 2*(2)把分母统一为2,则有*, |,学,y因而有an2-⑶注意6 = 2X3,10=2X5,15 = 3X5,规律还不明显，再把各 因而有a n =(4)把各项除以7,得1,11,111,再乘以9,得9,99,999, 7 因而有给=0(10"—1).项的分子和分母都乘以2,即 1X2 2X3 3X4 4X5 5X611.在数列｛©｝中，°i = 0, =a n J r(2n — 1)(«GN ),试写出数列的前4项，并归纳出通项公式.解：VtZi =0? a n+i =a n-\-(2n—1)(〃WN)，/.6/2=6Z I+(2X 1 —1)=1,6/3=02+(2X2 —1)=4，04=03 + (2x3—1) = 9,…■ 2a n = (n—1) •Yl12.(1)已知数列｛©｝的通项公式为给=齐干试判断0.7是不是数列｛给｝中的一项？若是，是第几项?riTT⑵已知数列｛给｝的通项公式为给=3 —2cos~y・求证:〃7解：⑴令n2qr[=0-7^ 则3H2 = 7,即n=y 此时斤无整数解，故0.7不是这个数列中的项.(2)因为给卄4=3 —2cos (777 + 4)兀2+4 仇m •。

3.1 等比数列第1课时 等比数列的概念和通项公式课时过关·能力提升1.在等比数列{a n }中,a 1=12,q=12,a n =132,则项数n 为( ) B.4 C.5D.6a n =a 1q n-1,所以12×(12)n -1=132, 即(1)n =(1)5,解得n=5.{a n }的第三项a 3=6,第四项a 4=18,则a 1+a 2等于( )A.43B.13C.38D.83 q=a 4a 3=186=3,∴a 1+a 2=a 3+a 4q 2=249=83. {a n }中,已知a 1a 2a 12=64,则a 4a 6的值为( )B .24C .48D .128q ,则a 1a 2a 12=a 13q 12=64,a 1q 4=4,所以a 4a 6=(a 1q 4)2=16.{a n }满足a n a n+1=16n ,则公比为( )B.4C.8D.16n=1,得a 1a 2=16,① n=2,得a 2a 3=162. ② ②÷①,得a 3a 1=16,q 2=16,即q=±4.①知q>0,故q=4.5.若数列a 1,a 2a 1,a 3a 2,…,a n a n -1,…是首项为1,公比为-√2的等比数列,则a 5等于( )B .64C .-32D .-64{a n }是等比数列,且a 1+a 3=-3,a 2a 4=4,则公比q 的值是( )√2 B.-2 C.±√2 D.±2 a 1+a 3=a 1+a 1q 2=-3,a 12(1+q 2)2=9,a 2·a 4=a 12·q 4=4.∴(1+q 2)2q 4=94.∴5q 4-8q 2-4=0. q 2=2.∴q=±√2.{a n }中,各项均为正数,且a 1=1,a 1+a 2+a 3=7,则数列{a n }的通项公式a n = .q ,则1+q+q 2=7,q=2或q=-3(舍去),所以a n =2n-1.n-1n }是公差不为0的等差数列,a 1=2,且a 1,a 3,a 6成等比数列,则{a n }的前n 项和则a 32=a 1a 6.设数列{a n }的公差为d ,则(2+2d )2=2(2+5d ),解得d=12或d=0(舍去),所以数列{a n }的前n 项和S n =2n+n (n -1)2×12=n 24+7n 4.+7n 4{a n }为递增数列,且a 52=a 10,2(a n +a n+2)=5a n+1,则数列{a n }的通项公式2)=5a n+1,∴2a n +2a n ·q 2=5a n ·q , 即2q 2-5q+2=0,解得q=2或q=12(舍去).又a 52=a 10=a5·q 5,∴a 5=q 5=25=32,∴32=a 1q 4,解得a 1=2,a n =2×2n-1=2n .n{a n }中,a 1=1,a n +2a n-1+3=0(n ≥2,n∈N +).(1)判断数列{a n +1}是否为等比数列,并说明理由;a n .由a n +2a n-1+3=0(n ≥2,n ∈N +),得a n +1=-2(a n-1+1), ∴a n+1a n -1+1=-2,即q=-2.又a 1+1=2≠0, ∴数列{a n +1}是首项为2,公比为-2的等比数列.(2)由(1)知,a n +1=(a 1+1)(-2)n-1=2×(-2)n-1,则a n =2×(-2)n-1-1(n ∈N +). ★11.等比数列{a n }同时满足以下三个条件:(1)a 1+a 6=11;(2)a 3a 4=329;(3)三个数23a 2,a 32,a4+49成等差数列.{a n }的通项公式.,得{a 1+a 1q 5=11,a 1q 2·a 1q 3=329, 即{a 1(1+q 5)=11,a 12·q 5=329,① ②由①2②,得(1+q 5)2q 5=112×932, 即32(q 5)2-1 025q 5+32=0, 即(32q 5-1)(q 5-32)=0,∴q 5=132或q 5=32, ∴q=12或q=2.当q=12时,a 1=323;当q=2时,a 1=13. ∴当q=2时,a n =13·2n-1;当q=12时,a n =13·26-n .若a n =13·2n-1,则23a 2+a 4+49=329,2a 32=329, ∴23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,满足条件(3).若a n =13·26-n ,则23a 2+a 4+49=489,2a 32=1289.∵23a 2+a 4+49≠2a 32,∴23a 2,a 3,a 4+49不成等差数列,不满足条件(3). 故通项公式a n =13·2n-1. ★12.在等差数列{a n }中,a 3+a 6=17,a 1a 8=-38,且a 1<a 8.(1)求数列{a n }的通项公式;{a n }的前三项a 1,a 2,a 3的顺序,使它们成为等比数列{b n }的前三项,求{b n }的通项公式. 由题意,得17=a 3+a 6=a 1+a 8.又a 1a 8=-38,a 1<a 8,∴a 1=-2,a 8=19.∴数列{a n }的公差d=3.∴a n =3n-5.(2)由(1)得a 1=-2,a 2=1,a 3=4.依题意可得数列{b n }的前三项为b 1=1,b 2=-2,b 3=4或b 1=4,b 2=-2,b 3=1. ①当等比数列{b n }的前三项为b 1=1,b 2=-2,b 3=4时,公比q=-2,b n =(-2)n-1; ②当等比数列{b n }的前三项为b 1=4,b 2=-2,b 3=1时,公比q=-12,b n =(-1)n -12n -3.。

[学业水平训练]1．下列说法正确的是( )①一个数列的通项公式可以有不同的形式．②数列的通项公式也可用一个分段函数表示．③任何数列都存在通项公式，若不存在通项公式也就不是一个数列了．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案：A2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－(n －1)B ．a n ＝n 2－1C ．a n ＝n （n ＋1）2D ．a n ＝n （n －1）2解析：选C.数列1，3，6，10，…可写成1×22，2×32，3×42，4×52，…，故选C. 3．已知数列12，23，34，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C.由a n ＝n n ＋1知0.96＝n n ＋1，解得n ＝24，故选C. 4．下列说法中，正确的是( )A ．数列3，5，7，9可表示为{3，5，7，9}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列{n ＋2n }的第k 项为1＋2kD ．数列1，3，5，7，…可记为{2n ＋1}解析：选C.A 错；选项B 中数的顺序不同，表示的是不同的数列，故B 错；选项D 中数列应记为{2n －1}，故D 错．5．数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n ＝1），n 2－2（n ≥2），则该数列的前两项分别是( ) A ．1，2 B ．2，0C ．2，2D ．2，4解析：选C.当n ＝1时，a 1＝2；当n ＝2时，a 2＝22－2＝2.6．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是该数列的第________项． 解析：由题意知a n ＝2n －1，又35＝45，∴45＝2n －1，n ＝23，即35是该数列的第23项．答案：237．数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第24项为________．解析：易知该数列的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，令n ＝24，得a 24＝600.答案：6008．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n ，则10－9是此数列的第________项． 解析：a n ＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ＝10－9，观察可得：n ＝9. 答案：99．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 3n ＋2， (1)求a 3；(2)若a n ＝813，求n . 解：(1)将n ＝3代入a n ＝2n 3n ＋2，得a 3＝2×33×3＋2＝611. (2)将a n ＝813代入a n ＝2n 3n ＋2，得813＝2n 3n ＋2，解得n ＝8. 10．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数，求数列{a n }的通项公式，并求a 2 014.解：设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，把a 1＝3，a 10＝21代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1. 于是a n ＝2n ＋1.a 2 014＝4 029.[高考水平训练]1．已知数列{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数为( )(1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]； (2)a n ＝sin 2 n π2； (3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)； (4)a n ＝1－cos n π2； (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数，0，n 为奇数. A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于(3)，将n ＝3代入，a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式．通过观察、猜想、辨认的办法，根据半角公式可知(2)和(4)实质是一样的．数列1，0，1，0，…的通项公式，可猜想为12＋12(－1)n ＋1，这就是(1)的形式．另外我们可以联想到单位圆与x 轴，y 轴交点的横坐标依次为1，0，－1，0，根据三角函数的定义，可以猜想通项公式为sin n π2(n ∈N ＋)，这样1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝sin 2 n π2(n ∈N ＋)．对于(5)，易看出它不是数列{a n }的一个通项公式．综上，可知可作为数列{a n }的通项公式的有三个，即有三种表示形式．故选C.2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N ＋)，则这个数列的第4项是________，65是这个数列的第________项．解析：a 4＝42－4×4－12＝－12.令n 2－4n －12＝65，解得n ＝11或n ＝－7(舍去)． 答案：－12 113．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或＝－9(舍去)，故150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．故从第7项开始各项都是正数．4．已知数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ∈N ＋且n ≥2都有a 1·a 2·…·a n ＝n 2.(1)求a 3＋a 5的值；(2)判断256225是不是此数列中的项； (3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解：(1)法一：∵a 1·a 2·…·a n ＝n 2对所有n ≥2的自然数都成立，且a 1＝1，∴令n ＝2，得a 1a 2＝22＝4，故a 2＝4a 1＝41＝4； 令n ＝3，得a 1a 2a 3＝32＝9，故a 3＝9a 1a 2＝94； 令n ＝4，得a 1a 2a 3a 4＝42＝16，故a 4＝16a 1a 2a 3＝169； 令n ＝5，得a 1a 2a 3a 4a 5＝52＝25，故a 5＝25a 1a 2a 3a 4＝2516. 从而a 3＋a 5＝94＋2516＝6116. 法二：由a 1·a 2·…·a n ＝n 2(n ≥2)且a 1＝1满足上式，可得a 1·a 2·…·a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，以上两式相除，得通项公式a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)， ∴a 3＝32（3－1）2＝94，a 5＝52（5－1）2＝2516， ∴a 3＋a 5＝94＋2516＝6116. (2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＝n 2（n －1）2， 令256225＝n 2（n －1）2，解得n ＝16，∵n ＝16∈N ＋，∴256225是此数列中的第16项． (3)∵n ≥2，∴a n ＋1－a n ＝（n ＋1）2n 2－n 2（n －1）2＝－2n 2＋1n 2（n －1）2＜0，∴a n ＋1 ＜a n (n ≥2)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课时作业1 数列的概念时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分) 1．下列说法错误的是( ) A ．数列4,7,3,4的第一项是4B ．在数列{a n }中，若a 1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C ．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同D ．－1,1,2,0，－3是有穷数列 【答案】 B2．下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n ＋12 C ．a n ＝2－|sin n π2| D ．a n ＝(－1)n －1＋32【答案】 C【解析】 由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝12n (n ＋2)，则220是这个数列的( )A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项【答案】 B【解析】 由a n ＝12n (n ＋2)＝220，解得n ＝20(n ＝－22舍去)． 4．设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项 【答案】 B【解析】 数列通项公式为a n ＝3n －1，令3n －1＝25，解得n ＝7.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．－55B ．－5C ．5D ．55 【答案】 C【解析】 由{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)得a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝－4，a 4＝5，a 5＝－6，a 6＝7，a 7＝－8，a 8＝9，a 9＝－10，a 10＝11，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( )A ．20不是这个数列中的项B ．只有第5项是20C．只有第9项是20D．这个数列第5项、第9项都是20【答案】 D【解析】令a n＝20，得n2－14n＋45＝0，解得n＝5或n＝9，故选D.7．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，由图中结构可知第n个图中有化学键()A．6n个B．(4n＋2)个C．(5n－1)个D．(5n＋1)个【答案】 D【解析】由图形观察可得，第(1)个图中有6个化学键，第(2)个图中有(6＋5)个化学键，第(3)个图中有(6＋5＋5)个化学键，……，第n个图中有6＋5(n－1)＝(5n＋1)个化学键，故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)8．数列－1,8，－27,64，…的通项为________．【答案】(－1)n·n3【解析】据前4项数字的规律可得a n＝(－1)n·n3.9．在数列{a n}中，a n＋1＝2a n2＋a n对所有正整数n都成立，且a7＝12，则a5＝________.【答案】 1【解析】由a n＋1＝2a n2＋a n，得1a n＝1a n＋1－12，所以1a5＝1a6－12＝(1a7－12)－12＝1.所以a5＝1.10．根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．【答案】n2－n＋1【解析】第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心1个点，则图中共有点的个数为n(n－1)＋1＝n2－n＋1.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式．(1)－1,1，－1,1；(2)－3,12，－27,48；(3)35，12，511，37；(4)23，415，635，863.【解析】 (1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n ＝(－1)n .(2)各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42，…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n ＝(－1)n 3n 2.(3)因为12＝48，37＝614，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n ＋2；分子依次为3,4,5,6为序号n ＋2，故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.(4)因为分母3,15,35,63可看作22－1,42－1,62－1,82－1，故通项公式为a n ＝2n (2n )2－1＝2n4n 2－1.12．(15分)已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n (1≤n ≤10，n ∈N ＋)，试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【分析】 由于数列的通项公式已知，故可将110和1627分别代替a n ＝4n 2＋3n 中的a n ，建立关于n 的方程，然后判断n 是否是正整数即可；考虑到该数列共有10项，故也可采用列表法将数列表示出来，然后再对照即可．【解析】 令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故将n ＝－8舍去， 所以110是该数列的第5项．再令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92， 注意到n ∈N ＋，所以1627不是此数列中的项．13．(20分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1n ＋1＋n，求a n .【解析】 ∵1n ＋1＋n ＝n ＋1－n (n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝n ＋1－n .∴a n ＋1－a n ＝n ＋1－n .当n ≥2时，(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n －n －1)＝n －1. 即a n －a 1＝n －1.又a 1＝1， ∴a n ＝n .而a 1＝1也适合a n ＝n . ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n .。