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-2014学年北京市第十三中学分校第一学期期中九年级数学试卷20XX年-20XX年学年度北京市第十三中学分校第一学期期中九年级数学试卷考生须知1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共页。
2.本试卷满分3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。
4.考试结束，将试卷、机读卡及答题纸一并交回监考老师。
第Ⅰ卷一、选择题（每小题4分，共32分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
）1．抛物线y= (x+2)2 3的顶点坐标是（D ）A．（2,-3）B．（-2,3）C．（2,3）D．（-2,-3）2．如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，。
AC=3，则sinB的值是（C ）A．AD23B．3 2C．3 4D．4 3B3．在等边三角形、平行四边形、等腰梯形、矩形、正五边形、圆这6个图形中，既是中心对称又是轴对称图形的有（B ）个。
A．1 B．2 C．3 D．44．已知ABC∞ DEF，且AB:DE=1:2，则ABC的周长与DEF的周长之比为（ C ）。
A．2:1 B．1:4 C．1:2 D．4:1 5．已知函数y=2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2个单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ A ）.A．y=2(x+2)2+2 C．y=2(x 2)2 2B．y=2(x+2)2 2 D．y=2(x 2)2+2C（-2，a），（-1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（C ）6．抛物线y=(x+1)2+2上三点A．abcB．bacC．cabD．无法比较大小7．在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（ C ）y y y yO xAO xBO xO xC D8．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点（-1,2），与y轴交于（0,2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x1 1，0x21，下列结论①4a 2b+c0②2a b0③a 1④b2+8a4ac其中正确的有（D ）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个第Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）9．若3x=4y，则x+y的值为_____________7________________。
海淀区九年级第一学期上册期末考试试题数 学 试 卷（分数：120分 时间：120分钟）2013.01班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.若代数式21x -有意义，则x 的取值范围是A ．12x ≠B ．x ≥12C ．x ≤12D ．x ≠-122.将抛物线2y x =平移得到抛物线25y x =+，下列叙述正确的是 A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位3.如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC .若:1:2AE EC =，则:AED CEB S S ∆∆为A.2:1B. 1:2C.3:1D. 1:4 4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是A ．2210x x -+=B ． 2240x x +-=C ．2250x x --=D ．2240x x ++=5.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =40°，则∠OCB 等于 A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°6.如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为A ．212y x =-B ．21(1)2y x =-+ C ．1)1(212---=x y D ． 21(1)12y x =-+- 7．已知0a <，那么22a a -可化简为 A. a - B. a C. 3a - D. 3a 8. 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为⊙G 上一动点，CF AE ⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为 A ．3π B ．3π C ．3π D ．3π 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．计算3(16)-= ．(0,1)I10. 若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则mn （填“<”或“=”或“>”）.11.如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 _________cm.12.小聪用描点法画出了函数y x =的图象F ，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象1F ，再将图象1F 绕原点逆时针旋转90︒得到图象2F ，如此继续下去，得到图象n F .在尝试的过程中，他发现点P (4,2)--在图象上（写出一个正确的即可）；若点P （a ，b ）在图象127F 上，则a = (用含b 的代数式表示) . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：20112()(3)83π--+---. 14. 解方程：2280x x +-= .15．已知3a b +=，求代数式22285a b a b -+++的值.16.如图，正方形网格中，△ABC 的顶点及点O 在格点上． (1)画出与△ABC 关于点O 对称的△111A B C ；(2)画出一个以点O 为位似中心的△222A B C ，使得△222A B C 与△111A B C 的相似比为2.17．如图，在△ABC 与△ADE 中，C E ∠=∠，12∠=∠,AC AD =2AB ==6,求AE 的长．18.如图,二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点 C ，顶点为D , 求△BCD 的面积.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.20. 已知：二次函数2=++(0)y ax bx ca≠中的x和y满足下表：…0 1 2 3 4 5 …xy… 3 0 1-0 m8 …(1) 可求得m的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式；(3) 当03x<<时，则y的取值范围为 . 21．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？22.如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点.求证：（1）DE为⊙O的切线；（2）延长ED交BA的延长线于F，若DF=4，AF=2，求BC 的长.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题.作法：（1）在e上任取一点C，以点C为圆心，AB长为半径画弧交c于点D，交d于点E；（2）以点A为圆心，CE长为半径画弧交AB于点M；∴点M为线段AB的二等分点.图1解决下列问题：（尺规作图，保留作图痕迹）（1）仿照小明的作法，在图2中作出线段AB 的三等分点；图2（2）点P 是∠AOB 内部一点，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB于N ，请找出一个满足下列条件的点P . （可以利用图1中的等距平行线）①在图3中作出点P ，使得PM PN =； ②在图4中作出点P ，使得2PM PN =.图3 图424．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n . ①求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .25．如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，2AB=．将直线EB绕点E逆时针旋转45︒，交直线AD DE=，1于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．图1 图2 图3解答问题：的值（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得AMDM为；的值为（用含k的代数②在平移过程中，AMDM式表示）；（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，的值；计算AMDM（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0α<≤90，原题中的其他条件保持不变.计算AM的值（用含k的代数式表DM示）．海淀区九年级第一学期期末练习 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 BAD A BDC B二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 9101112答 案332->232F （答案不唯一）、b -三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：20112()(3)83π-+--解：原式219122+-- …………………………………………4分 =72. …………………………………………5分 14. 解方程：2280x x +-= .解法一：(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分40x +=或20x -=.∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分解法二： 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分∴ 23621x -±=⨯. …………………………………………3分 ∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分15．解法一：∵3a b +=，∴ 22285a b a b -+++=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+=20. ………………………5分解法二：∵3a b +=，∴3b a =-. .…………………………1分原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分 =582426922+-++-+-a a a a a .…………………………4分 =20. ………………………5分16.例如：∴△111A B C 、△222A B C 为所求.(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.) 17. 解：∵12∠=∠，∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠，∴△CAB ∽△EAD . ………………………3分 ∴AB ACAD AE=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6， ∴=3AB . ∴36=6AE. ∴12AE =. ………………………5分18. 解法一：依题意，可得223y x x =-++=214x --+（）. ∴顶点(1,4)D . ……………1分 令0y =，可得3x =或1x =-.∴A (1,0)-、B (3,0). ……………2分令0x =，可得3y =.∴(0,3)C . ……………3分∴直线CD 的解析式为3y x =+.设直线CD 交x 轴于E .∴(3,0)E -.∴6BE =. …….………….…………4分∴3BCD BED BCE S S S =-=V V V .∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分解法二：同解法一，可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . (3)分∴直线BC 的解析式为3y x =-+.过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE .∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+.∵(1,4)D ，∴直线DE 的解析式为5y x =-+.∴(5,0)E .∴2BE =. ….…………4分∵DE ∥BC ，∴132BCD BCE S S BE OC ==⨯⨯=V V .∴△BCD 的面积为3. . .………….………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）∵关于x 的方程04332=++m x x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分∴3m <. .…………………………2分（2）∵m 为符合条件的最大整数，∴2m =. .…………………………3分∴23302x x ++=. 2223333()()222x x ++=-+. 233()24x +=. 2331-=x ，2332--=x . ∴方程的根为2331-=x ，2332--=x . .…………………………5分 20．解：(1)m 的值为3； .…………………………1分(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. (2)分∵图象经过点(0,3)，∴1a =. .…………………………3分∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分 (3) 当03x <<时，则y 的取值范围为1-≤3<y . .…………………5分21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分∴24a -=，12a =-. ∴212y x =-. .…………………3分 当3y =-时，6x =±. .…………………4分答：当水面高度下降1米时，水面宽度为26米. (5)分22．（1）如图，连接,OD BD . (1)分∵在⊙O 中，OD OB =，∴∠1=∠2.∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB CDB ∠=∠=︒.∵E 为BC 中点， ∴12ED BC EB ==.∴∠3=∠4.∵BC 切⊙O 于点B ，∴90EBA ∠=︒.∴132490∠+∠=∠+∠=︒,即90ODE ∠=︒.∴OD ⊥DE .∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分（2）∵OD ⊥DE ，∴90FDO ∠=︒.设OA OD r ==.∵222OF FD OD =+, DF =4，AF =2，∴222(2)4r r +=+.解得3r =. ……………………………………3分∴3,8OA OD FB ===.∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,∴△FDO ∽△FBE . ……………………………………4分 ∴FD OD FB BE =. ∴ 6.BE =∵E 为BC 中点，∴212.BC BE ==……………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）……………………2分（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）(2)① ②……………………4分……………………7分24．解：（1）解法一：∵抛物线2(3)3(0)=+-->与y轴交于y mx m x m点C，∴(0,3)C-. ……………………1分∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，∴B(3,0)或B(-3,0).∵点A在点B的左侧，0m>，∴抛物线经过点B(3,0). ……………………2分∴093(3)3=+--.m m∴1m=.∴抛物线的解析式为322-y.……………………3分-x=x解法二：令0y=,∴2(3)3=0+--.mx m x∴(1)(3)0+-=.x mx∴3=-.1,=x xm0m >Q ，点A 在点B 的左侧，∴3(1,0),(,0)A B m-. ……………………1分 令0x =，可得3y =-.∴(0,3)C -.∴3OC =. ……………………2分OB OC =Q ,∴33m=. ∴1m =.∴322--=x x y . ……………………3分（2）①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分∵点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上，且12x x <，PQ n =， ∴121,122n n x x =-=+. ……………………5分∴1222,22x n x n =-=+.∴原式=736)2()2(2=+++--n n n n . ……………………6分②42b -<<-或0b =. ……………………8分（注：答对一部分给1分.）25．解：（1）①1；……………………1分②2k ；……………………2分（2）解：连接AE .∵ABC DEF ∆∆，均为等腰直角三角形，2,1DE AB ==，∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒∴22,2,90.DF AC EFB ==∠=︒∴2, 2.DF AC AD ==∴点A 为CD 的中点. ……………………3分∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒, 2.AE =∵45,BEM ∠=︒∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.∴1= 3.∠∠∴AEM ∆∽FEB ∆.∴.AM AE BF EF= ……………………4分 ∴2AM =. ∴222DM AD AM =-=-=. ∴1AM DM =. ……………………5分 （3） 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ，连接AG 、BG .∴90EBG ∠=︒.∵45BEM ∠=︒，∴45EGB BEM ∠=∠=︒.∴BE BG =.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴90.BA BC ABC =∠=︒，∴12∠=∠.∴△ABG ≌△CBE . ……………………6分∴34AG EC k ==∠=∠，.∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒，∴65∠=∠.∴AG ∥DE .∴△AGM ∽△DEM .∴.2AM AG k DM DE == ……………………7分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。
2013-2014学年北京214中九年级（上）期中数学试卷一．选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）A．B．C．D．2．（3分）（2008•湘潭）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：23．（3分）（2008•江西）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．B．S△AFD=2S△EFBC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC4．（3分）下列各图中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．（3分）△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15cm，则最长边一定是（）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm7．（3分）（2007•济宁）如图，是一个装饰物品连续旋转所成的三个图形，照此规律旋转，下一个呈现出来的图形是（）A．B．C．D．8．（3分）在△ABC中，∠C=90°，，那么cosB的值等于（）A．B．C．D．9．（3分）（2012•青羊区一模）抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．C．D．）10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）二．填空题：（每空3分，共39分）11．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则AB=_________．12．（3分）（2012•庆阳）如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．13．（3分）（2008•上海）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=_________．14．（3分）（2008•乌鲁木齐）我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为_________m．15．（6分）如图△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，BC=3，AB=5，DB=_________，CD=_________．16．（3分）（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为_________．17．（3分）如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是_________．18．（6分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由“明文密文”，接收方由“密文明文”．已知加密规则为：当明文a≥1时，a对应的密文为a2﹣2a+1；当明文a＜1时，a对应的密文为﹣a2+2a﹣1．例如：明文2对应的密文是22﹣2×2+1=1；明文﹣1对应的密文是﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣1=﹣4．如果接收方收到的密文为4和﹣16，则对应的明文分别是_________和_________．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________或_________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．20．（3分）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交与A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交与C点，如果点M在y轴右侧抛物线上，且，那么点M的坐标是_________．三．解答题：21．（8分）计算：（1）2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245°（2）．22．（3分）以直线x=1为对称轴的抛物线过点（3，0），（0，3），求此抛物线的解析式．23．（6分）（1）在图1方格纸中，画出将三角形绕原点O逆时针旋转90°后得到的图形；（2）在图2方格纸中，将原三角形以点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后三角形．24．（3分）已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC=9，DB=4，AE=5，求AD的长．25．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．26．（6分）已知：抛物线y=x2+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．27．（9分）已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．28．（5分）（2008•大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．29．（7分）（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．2013-2014学年北京214中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）（2006•海南）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示．则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有专题：网格型．分析：本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．解答：解：由图可知，∠α的对边为3，邻边为4，斜边为=5，则sinα=．故选C．点评：本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3分）（2008•湘潭）如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE=1：8，得S△ADE：S△ABC=1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=AE2：AC2，∵S△ADE：S四边形DBCE=1：8，∴S△ADE：S△ABC=1：9，∴AE：AC=1：3．故选B．点评：此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．（3分）（2008•江西）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．B．S△AFD=2S△EFBC．四边形AECDD．∠AEB=∠ADC是等腰梯形考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；等腰梯形的判定．菁优网版权所有分析：根据已知条件即可推出△BEF∽△DAF，推出A项为正确，已知条件可以推出四边形AECD为等腰梯形，推出C项正确，结合平行四边形的性质，可以推出D项正确，所以B项是错误的．解答：解：∵平行四边形ABCD中，∴△BEF∽△DAF，∵E是BC的中点，∴BF：FD=BE：AD，∴BF=DF，故A项正确；∵∠AEC=∠DCE，∴四边形AECD为等腰梯形，故C项正确；∴∠AEB=∠ADC．∵△BEF∽△DAF，BF=DF，∴S△AFD=4S△EFB，故B项不正确；∵∠AEB+∠AEC=180∠ADC+∠C=180而四边形AECD为等腰梯形∴∠AEC=∠C∴∠AEB=∠ADC因此D项正确．故选B．点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质、等腰梯形的判定、平行四边形的性质，解题的关键在于找到相似三角形．4．（3分）下列各图中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形．菁优网版权所有专题：常规题型．分析：根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．解答：解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选B．点评：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．菁优网版权所有分析：根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．解答：解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选A．点评：考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．（3分）△ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15cm，则最长边一定是（）A．18cm B．21cm C．24cm D．19.5cm考点：相似三角形的性质．菁优网版权所有分析：首先设另一个和它相似的三角形的最长边为xcm，由相似三角形的对应边成比例，可得，解此方程即可求得答案．解答：解：设另一个和它相似的三角形的最长边为xcm，根据题意得：，解得：x=21．∴最长边一定是21cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意对应关系．7．（3分）（2007•济宁）如图，是一个装饰物品连续旋转所成的三个图形，照此规律旋转，下一个呈现出来的图形是（）A．B．C．D．考点：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有专题：规律型．分析：通过观察所给三个图案可找出规律，即后一个图形是前一个图形旋转得出的，所以下一个呈现出来的图形是B．解答：解：再次旋转得图形B，故选B．点评：此类规律题涉及到图形的旋转变换，注意通过特殊例子发现规律，再选择即可．8．（3分）在△ABC中，∠C=90°，，那么cosB的值等于（）A．B．C．D．考点：互余两角三角函数的关系．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入求出即可．解答：解：∵∠C=90°，sinA=，又∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=．故选A．点评：本题考查了对互余两角三角函数的关系的应用，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．9．（3分）（2012•青羊区一模）抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．C．D．）考点：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有分析：由于抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，所以把（p，0）代入解析式即可求出p，然后利用抛物线的顶点公式即可求出顶点坐标．解答：解：∵抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，∴把（p，0）代入解析式得0=p2+p+p，∴p=﹣2或p=0，而已知p≠0，∴p=﹣2，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2∴x=﹣=﹣，y==﹣，∴该抛物线的顶点的坐标是（﹣，﹣）．故选D．点评：此题主要考查了利用与坐标轴交点确定抛物线的解析式和求抛物线顶点坐标，计算时要主要符号．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（）A．（4，2）B．（4，4）C．（4，5）D．（5，4）考点：位似变换．菁优网版权所有专题：数形结合．分析：根据两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点，即可得出F点的坐标．解答：解：∵△DEF∽△ABC，且F点在CP的连线上，∴可得F点位置如图所示：故P点坐标为（4，4）．故选B．点评：本题考查位似的定义，难度不大，注意掌握两位似图形的对应点的连线都经过同一点，这一点即是位似中心．二．填空题：（每空3分，共39分）11．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=2，，则AB=6．考点：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有分析：运用三角函数定义求解即可．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，sinA==，BC=2，∴AB=6，故答案为：6．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．12．（3分）（2012•庆阳）如图∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC 或AD•AC=AB•AE，使△ABC∽△ADE．考点：相似三角形的判定．菁优网版权所有专题：开放型．分析：根据相似三角形的判定方法，已知一组角相等则再添加一组相等的角可该角的两个边对应成比例即可推出两三角形相似．解答：解：∵∠DAB=∠CAE∴∠DAE=∠BAC∴当∠D=∠B或∠AED=∠C或AD：AB=AE：AC或AD•AC=AB•AE时两三角形相似．点评：此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．13．（3分）（2008•上海）如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么=．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA=BF：DF即可解．解答：解：ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC=AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA=BF：DF∵BC=AD∴BF：DF=BE：BC=2：3．点评：本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．14．（3分）（2008•乌鲁木齐）我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m，则这棵树的高度约为 4.8m．考点：相似三角形的应用．菁优网版权所有专题：转化思想．分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解答：解：因为，所以：树的高度=×树的影长=×3.6=4.8（m）．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（6分）如图△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D，BC=3，AB=5，DB=，CD=．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：由△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB，根据等角的余角相等，即可求得∠BCD=∠A，又由BC=3，AB=5，利用勾股定理即可求得AC的长，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识即可求得答案．解答：解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵△ABC中，∠C为直角，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∵BC=3，AB=5，∴AC==4，在Rt△BCD中，DB=BC•sin∠BCD=BC•sin∠A=3×=；CD=BC•cos∠BCD=BC•cos∠A=3×=．故答案为：，．点评：此题考查了直角三角形的性质与三角函数的知识．此题难度不大，注意转化思想与数形结合思想的应用．16．（3分）（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为4．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有分析：根据已知条件可知△ADE∽△ACB，再通过两三角形的相似比可求出AE的长．解答：解：∵∠AED=∠ABC，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC∴又∵DE=3，BC=6，AB=8∴AE=4．点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质．17．（3分）如图，在△ABC中，M、N是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是1：4．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有分析：由于M、N是AB、BC的中点，那么MN是△ABC的中位线，由中位线所得MN、AC的位置关系，可判定△MNO∽△CAO，根据中位线得到的数量关系，可得到两个相似三角形的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比即可得解．解答：解：∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，且MN=AC；∴△MON∽△COA，∴S△MON：S△COA=MN2：AC2=1：4．点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的综合应用．18．（6分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由“明文密文”，接收方由“密文明文”．已知加密规则为：当明文a≥1时，a对应的密文为a2﹣2a+1；当明文a＜1时，a对应的密文为﹣a2+2a﹣1．例如：明文2对应的密文是22﹣2×2+1=1；明文﹣1对应的密文是﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣1=﹣4．如果接收方收到的密文为4和﹣16，则对应的明文分别是3和﹣3．考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有分析：根据题意列出方程a2﹣2a+1=4和﹣a2+2a﹣1=﹣16后求得x的值即可；解答：解：∵当明文a≥1时，a对应的密文为a2﹣2a+1；当明文a＜1时，a对应的密文为﹣a2+2a﹣1．∴当收到密文是4时，a2﹣2a+1=4解得：a=3或﹣1（舍去）当收到密文是﹣16时，﹣a2+2a﹣1=﹣16解得：a=﹣3或5（舍去）∴对应的明文是3和﹣3；故答案为3、﹣3．点评：本题考查了一元二次方程的应用，此题将一元二次方程与实际生活相结合，体现了数学来源于生活，应用于生活理念．19．（6分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或（1，0）时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．菁优网版权所有分析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标．解答：解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（﹣4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（﹣1，0）；（1，0）．点评：本题考查了相似三角形的判定、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系的两种可能，分别求解．20．（3分）如图，在直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交与A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交与C点，如果点M在y轴右侧抛物线上，且，那么点M的坐标是（1，﹣6）或（4，6）．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：令y=0，解方程求出A，B两点，再令x=0，求出C点坐标，设出M点坐标，根据它在抛物线上和S△ABO= S△COB，这两个条件求出M点坐标．解答：解：∵y=x2﹣x﹣6∵抛物线y=x2﹣x﹣6与x轴交于A，令y=0，设方程x2﹣x﹣6=0的两根为x1，x2，∴x1=﹣2，x2=3，∴A（﹣2，0），B（3，0），设M点坐标为（a，a2﹣a﹣6），（a＞0）∵S△AMO=S△COB，∴×AO×yM=××OC×xB∴×2×|a2﹣a﹣6|=××6×3，解得，a1=0，a2=1，a3=﹣3，a4=4，∵点M在y轴右侧的抛物线上，∴a＞0，∴a=1或a=4，a2﹣a﹣6=12﹣1﹣6=﹣6，或a2﹣a﹣6=42﹣4﹣6=6∴M点坐标为（1，﹣6）或（4，6）．故答案为：（1，﹣6）或（4，6）．点评：此题主要考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题，另外此题把三角形的面积关系式与函数的图象联系起来，计算量比较大，关键是利用三角形的几何关系来解题．三．解答题：21．（8分）计算：（1）2sin30°+cos60°﹣tan60°•tan30°+cos245°（2）．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）将涉及特殊角的三角函数值，代入运算，然后合并即可得出答案．（2）分别运算负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，然后合并运算即可．解答：解：（1）原式=2×+﹣×+=1+﹣1+=1；（2）原式=﹣3﹣2×+2+1=﹣2．点评：此题考查了实数的运算，解答本题的关键是熟练零指数幂及负整数指数幂的运算，二次根式的化简，熟练记忆一些特殊角的三角函数值．22．（3分）以直线x=1为对称轴的抛物线过点（3，0），（0，3），求此抛物线的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．菁优网版权所有分析：由于直线x=1为对称轴的抛物线过点（3，0），（0，3），利用顶点公式用待定系数法得到二次函数的解析式．解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+b，（1分）∵抛物线过点（3，0），（0，3）．∴解得．（4分）∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（5分）点评：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．23．（6分）（1）在图1方格纸中，画出将三角形绕原点O逆时针旋转90°后得到的图形；（2）在图2方格纸中，将原三角形以点O为位似中心放大，使它们的位似比为1：2，画出放大后三角形．考点：作图-位似变换；作图-旋转变换．菁优网版权所有分析：（1）把A、B逆时针旋转90°，即可求得A，B的对应点，则对应的三角形即可求得；（2）在OA的延长线上截取OA2=2OA，则A2就是所求的A的对应点，同理可以得到B的对应点，从而得到对应的三角形．解答：解：（1）△OA1B1是所求的三角形．（2）△OA2B2就是所求的三角形．点评：本题考查了旋转以及位似的作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点．24．（3分）已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AD+EC=9，DB=4，AE=5，求AD的长．考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，代入得出=，求出AD即可．解答：解：∵DE∥BC，∴=，∵AD+EC=9，DB=4，AE=5，∴EC=9﹣AD，∴=，解得：AD=4或5，答：AD的值是4或5．点评：本题考查了平行线分线段定理的应用，关键是得出比例式=，注意：根据平行线得出的比例是对应成比例，题目比较好，难度不大．25．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且，连接DE．若AC=3，AB=5，猜想DE与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．考点：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：根据△ADE与△ACB两边对应成比例及一夹角相等，证明两三角形相似，然后利用相似三角形的性质即可得到∠ADE=∠C=90°，从而得到DE与AB的位置关系是互相垂直．解答：猜想：DE与AB的位置关系是互相垂直．证明：∵AC=3，AB=5，，∴．∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．∵∠C=90°，∴∠ADE=∠C=90°．∴DE⊥AB．点评：此题考查了垂直定义及相似三角形的性质，根据图形的特点找到公共角，并根据各边的比得到相似比是解题的关键．26．（6分）已知：抛物线y=x2+（a﹣2）x﹣2a（a为常数，且a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴的交点为C．当时，求抛物线的解析式．考点：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有分析：（1）令抛物线的y=x2+（a﹣2）x﹣2a的y值等于0，证所得方程x2+（a﹣2）x﹣2a=0的△＞0即可；（2）令抛物线的解析式中y=0，通过解方程即可求出A、B的坐标，进而可得到OA的长；易知C（0，﹣2a），由此可得到OC的长，在Rt△OAC中，根据勾股定理即可得到关于a的方程，可据此求出a的值，即可确定抛物线的解析式．解答：解：（1）证明：令y=0，则x2+（a﹣2）x﹣2a=0△=（a﹣2）2+8a=（a+2）2；∵a＞0，∴a+2＞0∴△＞0∴方程x2+（a﹣2）x﹣2a=0有两个不相等的实数根；∴抛物线与x轴有两个交点；（2）令y=0，则x2+（a﹣2）x﹣2a=0，解方程，得x1=2，x2=﹣a∵A在B左侧，且a＞0，∴抛物线与x轴的两个交点为A（﹣a，0），B（2，0）．∵抛物线与y轴的交点为C，∴C（0，﹣2a）（3分）∴AO=a，CO=2a；在Rt△AOC中，AO2+CO2=（2）2，即a2+（2a）2=20，可得a=±2；∵a＞0，∴a=2∴抛物线的解析式为y=x2﹣4．点评：本题考查了抛物线与x轴交点．解题时，利用了根的判别式、勾股定理、二次函数解析式的求法等知识点．27．（9分）已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴，y轴分别相交于点A（﹣1，0），B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．考点：二次函数综合题．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法将A（﹣1，0），B（0，3）两点代入解析式求出即可；（2）根据二次函数的对称性即可得出E点坐标，利用四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，求出即可；（3）利用勾股定理求出BD，BE，DE，得出△BDE是直角三角形，再利用，得出答案即可．解答：解：（1）由已知得：，解得：c=3，b=2，∴抛物线的线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1，A，E关于x=1对称，所以E（3，0），设对称轴与x轴的交点为F，所以四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，===9；（3）相似．如图，作BG⊥DF，BD=，BE=，DE=，所以BD2+BE2=20，DE2=20，即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形，所以∠AOB=∠DBE=90°，且，所以△AOB∽△DBE．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及四边形面积求法和勾股定理、相似三角形的判定等知识，根据已知结合坐标系得出BD，BE，DE的长，利用数形结合得出是解决问题的关键．28．（5分）（2008•大兴安岭）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．解答：解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．点评：本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．29．（7分）（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．解答：（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF。
海淀区九年级第一学期期末测评数学试卷（分数：120分时间: -、选择题（本题共 32分，每小题4分） F 面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的. 120分钟） 2014.1 1 . 32的值是（ ） B .— 3 2.如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片， 换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是 将这两个直角三角形纸片通过图形变 （ ） C A B D 矩形纸片3.如图，在厶ABC 中，点D 、E 分别为边AB 、AC 上的点, 若 AD 5, A . 3且 DE // 4.二次函数 BD 10, AE 3，贝U CE 的长为( ) B . 6 C . 9 D . 12 2x 2+1的图象如图所示, 将其绕坐标原点 O 旋转180 ,则旋转后的抛物线的解析式为 A . y 2x2 1 y 2x 2 c 2 C . y 2x c 2 y 2x 5.在平面直角坐标系 在直线的位置关系是 A .相离xOy 中, ) B •相切以点（3,4）为圆心, C •相交6. 若关于x 的方程（x 1）2 k 1没有实数根，则k 的取值范围是7. A . k 1 B . k 1 如图，AB 是O O 的切线， D .无法确定BC , 4为半径的圆与C . k 1D . k 1 B 为切点，AO 的延长线交O O 于C 点，连接 A 30 , AB 2 3，则 AC 等于( )A. 4 B.6 C. 4 3 D. 如图，Rt △ ABC 中，AC=BC =2，正方形 CDEF 的顶点D 、 x , △ ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为 & 设CD 的长度为 F 分别在 AC 、BC 边上, y ,则下列图象中能表示 C 、D 两点不重合, y 与x 之间的函数关A二、填空题（本题共B16分，每小题4分）9.比较大小：2 2(填 >、=或 < ).211.已知点P (-1, m )在二次函数y x 1的图象上，则象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为1，若 B 40 , AB BC ,则/ ERF + / EF »F + / ERF + -求证：塑匹CD DE216.已知抛物线 y x bx c 经过(0, -1),10 .如图，A 、B 、C 是O O 上的点，若 AOB 100，则ACB度.12•在△ ABC 中，E 、F 分别是AC 、BC 边上的点，F 、F 2、P 、］、F n 1是AB 边的n 等分点, CE1 AC ,n度；如图2，若 A ,B ，则/ EPF + / EEF +/ EP 3F + …+/的式子表示) 三、解答题(本题共 13•计算：.27 30分，每小题 3 ( 2013)0.3 5分)I 2、3| .15.如图，在△ ABC 和厶CDE 中, 田114.解方程:EP n图2X (X3) 2(3 x).90 , C 为线段BD 上一点，且 AC CE .m 的值为;平移此二次函数的图ER -i F(3, 2)两点.求它的解析式及顶点坐标.18 .若关于x 的方程 x 2 2x+k 1 0有实数根.(1) 求k 的取值范围；(2) 当k 取得最大整数值时，求此时方程的根四、解答题(本题共 20分，每小题5分) 19.如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于 180°,设扇形花坛的半径为r 米，面积为S 平方米.(注：n 的近似值取3)(1)求出S 与r 的函数关系式，并写出自变量 r 的取值范围；(2) 当半径r 为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值.20. 如图，AB 为匚0的直径，射线AP 交匚0于C 点，/ PCO 的平分线交匚0于D 点，过点D 作DE AP交AP 于E 点.(1)求证：DE 为匚0的切线； (2 )若DE 3 , AC 8，求直径AB 的长.17.如图，在四边形 ABCD 中，AD // BC 且BD 求证：AB ED . DC , E 是 BC 上一点，且 CE DA .221 .已知二次函数y 2x m .(1)若点(2,yJ与(3,y2)在此二次函数的图象上，则y ______ y (填“>”、“=”或“ <”);(2)如图，此二次函数的图象经过点(0, 4)，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和.22.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x 4) 6 .解：原方程可变形，得[(x 2) 2][(x 2) 2] 6.2 2(x 2) 2 6,(x 2)2 6 22,(x 2)210.直接开平方并整理，得 2 .10, X2 2 .10我们称晓东这种解法为“平均数法”(1)下面是晓东用“平均数法”解方程(x 2)(x 6) 5时写的解题过程.解：原方程可变形，得[(x ]) 0 ][(x □) 0 ] 5.(x )2 02 5,(x ])2 5 O2.直接开平方并整理，得％☆ ,X2 O.上述过程中的“ 口”，“0”，“☆” , “O”表示的数分别为_______(2)请用“平均数法”解方程：(x 3)(x 1) 5 .五、解答题(本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分)223.已知抛物线y (m 1)x 2mx m 1 (m 1).(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；(3)若一次函数y kx k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式24. 已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE .(1)如图1,连接BG、DE.求证：BG=DE;(2)如图2,如果正方形ABCD的边长为.2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD , BG=BD .①求BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值.FE图12 325•如图1,已知二次函数y X bx -b的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C,点2D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点. （1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；（2）当点D的坐标为（1, 1 ）时，连接BD、BE •求证：BE平分ABD ;（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标.图1海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1.为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细写出即可.2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.、选择题（本题共32分，每小题4 分）题号12345678答案A C B D C B B A 、填空题（本题共16分，每小题4 分）9. < ; 10. 130; 11. 0, y x2 2x(每空2 分); 12. 70 , 180 (每空2 分).13. （本小题满分5分）3 3 3 1 2 3 ..................................................................................................4 分4.3 1. ................................................................................................................ 5 分14. (本小题满分5分)解：原方程可化为x(x 3) 2(x 3) 0. ............................................................. 1分(x 3)(x 2) 0 ,x 3 0或x 2 0, ............................................................................... 4 分二x 3, X2 2. ...................................................................................................... 5 分15. (本小题满分5分)证明：•/ B 90 ,••• A ACB 90 .••• C为线段BD上一点，且AC CE ,• ACB ECD 90 .•• A ECD ......................................................................................... 2 分B D = 90 , .................................................................................................. 3 分• △ ABC CDE . ....................................................................................................... 4 分AB BCCD DE16. （本小题满分5分）2014.1，阅卷时，只要考生将主要过程正三、解30分,每小题5分）解:.27 (2013)0| 2、3|解：•••抛物线 y x 2 bx c 过(0, -1), (3, 2)两点,1 c, …2 9 3b c.•••抛物线的解析式为 y x 2 2x1. ........................................................ 3分••• y x 2 2x 1 （x 1）2 2 , ............................................................................... 4 分•抛物线的顶点坐标为（1, -2）................................. 5分17. (本小题满分5分) 证明：••• AD // BC ,• ADB DBC . •••BD CD ,• DBC C .... .......... •ADBC .••…在厶ABD 与厶EDC 中,AD EC, ADB C, BD DC,• △ ABD EDC . ............................................................................................. 4分 • AB ED ......................................................................................... 5 分18. （本小题满分5分）解：（1 ）•••关于x 的方程 x 2 2x+k 1 0有实数根，• 4 4（k 1） 0 . .......................................................................... 1 分解不等式得， k 2 . ............................................................................... 2分 （2 ）由（1）可知，k 2 ,• k 的最大整数值为2. ............................................................................. 3分 此时原方程为 x 2 2x 10. ........................................................... 4分解得 ,为 X 2 1. ........................................................................................... 5 分四、解答题（本题共 20分，每小题5 分） 19. （本小题满分5分）解：（1）设扇形的弧长为I 米.由题意可知，I 2r 20 . • l 20 2r .1 2 • S - (20 2r)r r +10r . ..................................................................................... 2 分2其中4 r 10. ............................................................................................... 3分(2)••• S r 2+10r (r 5)225.•当r 5时，S 最大值25. ..................................................................................... 5分解得,c 1, b2.A DBE C20. (本小题满分5分)解：(1)证明：连接OD.••• OC OD ,二 13 .•/ CD 平分/ PCO ,••• 1= 2 .二 2= 3. ..................••• DE AP ,• 2 EDC=90：.• 3 EDC =90. 即 ODE=90：.• OD DE.• DE 为匚：O 的切线 ........................................... 2分 ⑵过点O 作OF AP 于F.由垂径定理得，AF CF .•/ AC 8,• AF 4 ...... ........................................................................................................ 3 分 ••• OD DE, DE AP , •四边形ODEF 为矩形. • OF DE .•/ DE 3,• OF 3. ........................................................................................................ 4 分 在 Rt △ AOF 中，OA 2 OF 2 AF 2 42 32 25.• OA 5.• AB 2OA 10. ................................................................................................... 5 分21 .（本小题满分5分）解：（1） y 1< y ........ ..................................................................................................... 2 分（2）.•二次函数y 2x 2 m 的图象经过点（0, -4）,• m = -4. ........................................................................................... 3 分.•四边形ABCD 为正方形，又.•抛物线和正方形都是轴对称图形，且 y 轴为它们的公共对称轴，• OD =OC , S 阴影=S 矩形 BCOE .设点B 的坐标为（n , 2n ） （n >0）, •••点B 在二次函数 y 2x 24的图象上,2• 2n 2n 4. 解得，n 1 2,n 21 （舍负）•点B 的坐标为（2, 4） • S 阴影=S 矩形BCOE =2 4=8.1分B24.22. (本小题满分5分)(1) 4 , 2 , -1 , -7 .(最后两空可交换顺序) ............ 2分(2) (x 3)(x 1)5.原方程可变形，得[(x 1) 2][(x 1) 2] 5. ............................................................ 3分 2 2(X 1) 25，2 2(X 1)5 2 , (x 1)29. ........................................................................ 4分直接开平方并整理，得x 1 4, X 22 . (5)分五、解答题(本题共 22分，第23、24小题各7分，第25小题8 分) 23. (本小题满分7分)解：(1)令 y 0，则(m 1)x 2 2mx m 10.(2m)2 4(m 1)(m 1)4,2m 2x2(m 1)彳m 1…x 1 1 , x 2.m 1m 1•••抛物线与x 轴的交点坐标为(1, 0) , ( -------- , 0)..... ...........................m 1(2) •/ m 1,由题意可知，1 2. ..............................................................................m 1解得，m 2.经检验m 2是方程的解且符合题意.•- m 2 ...... .................................................................................. (3) ：•—次函数y kx k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，二方程kx k (m 1)x 2mx m 1有两个相等的实数根 整理该方程，得(m 1)x 2 (2mk)x m 1 k 0 ,解得k 1 k 2 2.•一次函数的解析式为(本小题满分7分)解方程，得 (2 m k)2 4(m 1)(m 1 k)k 2 4k 4 (k 2)2解：(1)证明：24.•••四边形ABCD和CEFG为正方形,BC DC , CG CE , BCD GCE 90BCD DCG GCE DCG .即：BCG DCE . ........................................ 1 分• ••△ BCG ◎△ DCE ..BG DE ......... ..................................................... 2 分(2)①连接BE .由(1)可知：BG=DE .△ BDE为等边三角形BDE 60 .②正方形CEFG的边长为.3 1. ......................................................................25.（本小题满分8分）解：(1)v 点D (1, m)在y x2 bx -b图象的对称轴上, 2CG / /BD ,DCG =BDC45 .BCG BCDGCD9045135 .GCE90 ,BCE360BCG GCE 360135BCG =BCE.-3分BC BC,CG CE,△ BCG ◎△ BCE .BG BE .. ............................................... 4 分BG BD DE ,BD BE DE .90 135F1 . 2•- C (1,-4).(2): D ( 1, 1),且DE垂直于y轴，•••点E的纵坐标为1, DE平行于x轴.DEB EBO .令y 1，则X2 2x 3 1，解得X1 1 5,X2•• •点E位于对称轴右侧，•- E(1 . 5, 1).令y 0，则X2 2x 3=0，求得点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(-1,0).• BD = 12 1 1 2,5 .••• BD = D E . ............................................................................................ 3 分DEB DBE .DBE EBO .• BE平分ABD . ....................................................................................... 4分⑶•••以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,且厶GDE为直角三角形，•△ ACG为直角三角形.•/ G在抛物线对称轴上且位于第一象限,•CAG 90；.••• A (3,0) C (1, -4),AF CG，•求得G点坐标为(1 , 1).•AG= 5 , AC=2 5 .•AC=2 AG.• GD=2 DE 或DE =2 GD. 2分图1•••二次函数的解析式为y x2 2x 3 . 1分设E t, t2 2t 3 (t >1),1 .当点D在点G的上方时，则DE=t -1,GD = (t22t 3) 1 = t2 2t 4i.如图2, 当GD=2 DE 时，贝Ut2 2t 4= 2(t-1).有，图3解得，t=2 .6 .（舍负） ............................. 5分ii.如图3,当DE =2GD时，则有，t - 1=2（t2 2t 4）.解得，t i = 1, t2=-.（舍负） ................................. 6分22 .当点D在点G的下方时，贝U DE=t -1 ,GD=1- （t2 2t 3）= - t2 +2t+4.i.如图4，当GD=2 DE时，则有，t2+2t+4 =2 （t -1）.解得，t= 6 .（舍负）............................... 7分ii.如图5,当DE =2 GD时，贝U有，t-仁2 （t2+2t+4 ）.3 解得，t1 =3, t2= ........ .（舍负）8分2综上，E点的横坐标为2+. 6或7或6 或3.2图5。
北京101中学2013-2014学年上学期初中九年级12月段考数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）（下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个．．．．是符合题意的，请将正确选项前的字母填在相应的位置上） 1. 下列计算正确的是（ ）A. 4=±B. 1=C.=D.2=2. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外切，那么圆心距O 1O 2的值是（ ）A. 3B. 5C. 7D. 93. 以下对一元二次方程：2210x x --=根的情况描述正确的为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根D. 无法确定4. 圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积是（ ） A. 260cm πB. 245cm πC. 230cm πD. 215cm π5. 2(3)0y -=，则yx 的值为（ ） A. －8B. 8C. 9D.186. 如图，身高为1.6米的某学生想利用太阳光测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝2米，BC ＝8米，则旗杆的高度是（ ）A. 6.4米B. 7米C. 8米D. 9米7. 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点，作△ABC 的外接圆⊙O ，则劣弧AC 的长等于（ ）A.B.C.D.8. 己知：如图，P 是△ABC 内一点，过点P 分别作直线平行于△ABC 各边所成的三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，则△ABC 的面积为（ ）A. 120B. 144C. 134D. 145二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）（将答案填在相应的位置上）9. x 的取值范围是________。
10. 如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，点P 在劣弧AB 上，∠ABP ＝22°，则∠BCP 的度数为________度。
一．选择题1【江苏省泰兴市济川中学初三数学阶段试题】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.4个B. 3个C. 2个D. 1个2【湛师附中、东方实验学校2013-2014学年度上学期第一次月考九年级数学试题】下列图形中，是中心对称图形的是（）3.【湛师附中、东方实验学校2013-2014学年度上学期第一次月考九年级数学试题】下列图形中，对称轴最多的是（ ）A ．等边三角形B ．矩形C ．正方形D ．圆4.【湛师附中、东方实验学校2013-2014学年度上学期第一次月考九年级数学试题】点M （3，2-）关于原点对称的对称点的坐标是（ ）A.（3-，2）B.（3，2）C.（3-，2-）D.（2，3）5 【温州市七校2013-2014学年上学期12月联考九年级数学试题】按如下方法，将△ABC 的三边缩小到原来的21，如图，任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得到△DEF，则下列说法错误的是（ ）A.△ABC 与△DEF 是位似图形B.△ABC 与△DEF 是相似图形C.△ABC 与△DEF 的面积之比为4:1D.△ABC 与△DEF 的周长之比为1:2考点：位似图形的性质.6.【湛师附中、东方实验学校2013-2014学年度上学期第一次月考九年级数学试题】某几何体的三视图如图2所示，那么该几何体是（）A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体7 【云南省临沧区云县后箐中学2014届九年级10月综合练习数学试题】如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．14B．13C．12D．1【答案】B.【解析】试题分析：如图，过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B．8.【云南省临沧区云县后箐中学2014届九年级10月综合练习数学试题】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan∠CBE 的值是（ ）A ．247BC ．724D ．139.【北京市海淀区九年级第一学期期中测评数学试题】如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是( )A ． 60B ． 72C ．90D ．12010．【浙江省桐乡市实验中学2013-2014学年上学期基础调研九年级数学试卷】对下图的对称性表述，正确的是（）．（A）轴对称图形（B）中心对称图形（C）既是轴对称图形又是中心对称图形（D）既不是轴对称图形又不是中心对称图形11．【诸暨市陶朱中学2013-2014学年第一学期10月月考九年级数学试卷】如图，矩形纸片ABCD 中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点(点P不与点B、C重合)．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC’D；作∠BPC’的角平分线，交AB于点E．设BP= x,BE= y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )12．【北京市海淀区九年级第一学期期中测评数学试题】在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．角 B．等边三角形 C．平行四边形 D．圆13、【江苏省无锡市惠山六校联考2014届九年级上学期期中考试数学试题】如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）A. 70°B.65°C.50°D.25°14.【广东省温州地区2013-2014学年八年级上学期第三次月考数学试卷】右图中几何体的左视图是（）A B C D二．填空题15．【温州市七校2013-2014学年上学期12月联考九年级数学试题ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30o 后得到正方形AB ＇C ＇D ＇，则图中阴影部分面积为【解析】试题分析：设CD 与B'C'的交点是M ，连结AM ，则 ∠DAM=30° ∴AM=2DM 由勾股定理得DM=1考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质.正面14题16.【广东省温州地区2013-2014学年八年级上学期第三次月考数学试卷】如图所示，用一根长度足够的长方形纸带，先对折长方形得折痕l,再折纸使折线过点B，且使得A在折痕l上，这时折线CB与DB所成的角为：。
海淀区九年级第一学期期中练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：234 6.x x x -=-解法一：2760x x -+=. …………………………………………1分(6)(1)0x x --=. …………………………………………3分60x -=或10x -=.∴ 126,1x x ==. …………………………………………5分解法二：2760x x -+=. ………………………………………1分1,7,6a b c ==-=,2(7)416250∆=--⨯⨯=>. ……………………………………2分∴ x =. …………………………………………3分∴ 126,1x x ==. …………………………………………5分14．计算：241221348+⨯-÷.解： 原式=4…………………………………………4分=4+ …………………………………………5分15．计算：(3-.解： 原式=(3+-…………………………………………1分=223-…………………………………………3分 =98-=1. …………………………………………5分16. 解：连接CO . .…………………………1分∵AB 为直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，∴90OEC ∠=︒,2CD CE =. ………2分 ∵5,2OA AE ==,∴3OE =,5OC =. ……………………3分 在Rt △OCE 中,4CE ==..………………4分∴8CD =.∴CD 的长为8. ………………………………5分17．解法一：∵1x =，∴1x +=.…………………………2分∴2(1)2x +=. ..…………………………3分 ∴221x x +=. . .…………………………4分 ∴原式=15-=4-. .…………………………5分解法二：原式=21)15+-） .…………………………1分=2125+-- .…………………………3分 =4-. .…………………………5分18．证明： 过点D 作DH ∥AE 交BC 于H . ………………………………………1分∴12,34∠=∠∠=∠.∵2B ∠=∠, ∴1B ∠=∠.∴BD HD =.………………………………2分 ∵BD CE =,∴HD CE =. .………………………3分 在△DHF 和△ECF 中,34,56,.DH EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHF ≌△.ECF ()AAS .…………………………………………4分 ∴DF EF =. .…………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：设网购交易总额的年平均增长率是x. …………………………………1分依题意，得 25000(1)12800x +=. …………………………………………3分 解得120.6 2.6x x ==-，（不合题意,舍去）. ……………………………4分 答：网购交易总额的年平均增长率是60％. …………………………5分 20．解：（1）∴△''AB C 即为所求.(不写结论的不扣分) …………………………………2分 （2）点'B 的坐标为(0,1)； ……………………………………3分（3）90.180l π⨯==答：点C 旋转到C. ………………………………5分21. 解：（1）∵关于x 的一元二次方程022=--m x x 有实数根，∴440m ∆=+≥. .…………………………………………1分 ∴1m ≥-. …………………………………………2分 （2）∵a ,b 是此方程的两个根， ∴220a a m --=，220b b m --=. ∴2122ma a -=，2242b b m -=. .…………………………………………3分 ∵()2213124122a a b b ⎛⎫-+--=⎪⎝⎭，∴()312122m m ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.∴235022m m +-=. ∴()5102m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. ∴152m =-,21m =. …………………………………………4分 ∵1m ≥-, ∴1m =.答：m 的值为1. …………………………………………5分 22．（1）连接OF . ………………1分∵∠2和∠C 是 DF所对的圆心角和圆周角, ∴∠2=2∠C .∵∠3=2∠C , ∴∠3=∠2. ∵∠ADC =90°， ∴∠3+∠B =90°. ∴∠2+∠B =90°. ∴90BFO ∠=︒. 即OF ⊥BF .∵OF 是⊙O 的半径，∴BF 是⊙O 的切线. …………………………………………2分 （2）∵BF =FC , ∴∠B =∠C .∵∠3=2∠C ， ∴32B ∠=∠.∵︒=∠+∠903B ， ∴3∠B =90°. ∴∠B =∠C=30°. ……………………………3分 ∴∠5=∠B +∠C =60°，∠4=∠3 =60°. ∴△AEF 是等边三角形.∵AE∴EF =AF =AE ∵90ADC ∠=︒,DC 是⊙O 的直径， ∴ED 是⊙O 的切线.∴ED EF = ……………………………4分∴AD AE DE =+= 在△ADC 中，∠ADC =90°，∵∠C =30°，AD =∴ 6.CD = ∴3OC =.∴⊙O 的半径为3. …………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23. 解：（1）∴∠APB 为所求. ………………………………………2分∴∠APB 为所求. ………………………………………4分（2）∴1APB ∠（或2AP B ∠）为所求. ………………………………………7分 (注：作出一个即给满分，不同的方法酌情给分) 24．解：（1）②. ………………………………………2分（2）∵AD 是直径,∴90DBA ∠= .又∵∠DBC =30︒, ∴60CBA ∠= . 又∵BC ⊥AD , ∴ AB AC =.∴60CBA BCA ∠=∠= . ∴△ABC 为等边三角形.∴a b c ==. ………………………………………4分 ∴“△ABC 的☆方程”可化简为210x x +-=.∴12x x == ………………………………………5分 （3）∵14x c =是“△ABC 的☆方程”02=-+c bx ax 的一个根， ∴2110.164ac bc c +-=∵0c >，∴ 164ac b =-. ………………………………………6分 ∵ 40ac b -<， ∴ 16440b b --<.∴ 2b >. 又∵0ac >， ∴1640b ->.∴ 4.b <综上所述，2 4.b << ∵a 、b 、c 均为整数，且a 、b 、c 为△ABC 的三条边，∴3b =. ………………………………………7分 ∴1612 4.ac =-= ∴当1a =时，4c =； 当4a =时，1c =； 当2a =时，2c =.∵三角形两边之和大于第三边， ∴2a =，2c =.∴“△ABC 的☆方程”为22320x x +-=.∴121, 2.2x x ==- ∵14x c =，且2c =，∴另一个根为2x =-. ………………………………………8分25． 解：（1）(2,2)P ，PE = ………………………………2分 （2）当点P 在第一象限内时.如图，过点E 作QE PE ⊥交PN 的延长线于点Q ．…………………3分 ∵ △MNE 是以MN 为斜边的等腰直角三角形，∴ 90PEQ MEN ∠=∠=︒，ME NE =． ∴12∠=∠．∵90PMO MON PNO ∠=∠=∠=︒, ∴四边形PMON 为矩形． ∴90MPN ∠=︒．∵360PME MEN ENP NPM ∠+∠+∠+∠=︒， ∴180PME PNE ∠+∠=︒． ∵3180PNE ∠+∠=︒， ∴3PME ∠=∠． 在△QEN 和△PEM 中,∵12,,3,EN EM PME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △QEN ≌△PEM ． ∴QN PM =，QE PE =． ∴PQ QN PN PM PN =+=+． ∵矩形PMON 的周长为8，∴ 4PM PN +=．…………………4分即.4=PQ 在Rt △PEQ 中，∵,4,==PQ PE QE ∴.22=PE当点P 在第二、三、四象限内时，同理可得.22=PE .…………………5分（3）当点P 在第一、二、三、四象限时，PE、、. ………………………………7分(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)。
海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷（分数：120分时间：120分钟）2013.11班级姓名学号成绩 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上做答无效.一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个..是符合题意的.21•一元二次方程 x 2x 30的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A. 1, 2, 3B. 1,-2,3C. 1,2,3D. 1,2, 32.在角、等边三角形、平行四边形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A •角B •等边三角形 C .平行四边形 D •圆 3•函数y :厂2中，自变量x 的取值范围是 A . x2B . x 2C . x 2 D . x 24•如图，点A 、B 、C 在O O 上，若 AOB 110：，则 ACB 的大小是A . 35B . 45/kC . 55；D . 110A ， -)C2X5.用配方法解方程x10x9 0,配方正确的是2A . (x 5)16B (x 5)2 342C . (x 5)16D(x 5)2 256•如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是A . 60B . 72C . 90'D .120；7.若|a 2 \ b 3 0，则a b 的值为A . - 1B . 1C . 5D . 6&如图，O O的半径为5,点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦,那么长度为整数值的弦的条数为A . 3B . 4C. 5 D . 6二、填空题（本题共16分，每小题4分）9 .如图，将A ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，若ACB 15】, B 120；；，贝U A'的大小为 _________ .10•已知一元二次方程有一个根是0,那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）.B 11.如图，AB是O O的直径，点C、D为O O上的两点，若ABD 40，贝U BCD的大小为.12•下面是一个按某种规律排列的数阵:1第1行近羽2第2行躬晶霁2近3第3行10 11 2.3 13 14 15 4第4行根据数阵排列的规律，则第5行从左向右数第5个数为，第n （n 3，且n是整数）行从左向右数第5个数是（用含n的代数式表示）.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13 .计算：、24 . 3 6 3 .914.用公式法解一元二次方程：x 4x 1 .15 .如BE、CD .请在图中找出一条与CD长度相等的图，△ABC与16 .当x . 51时，求代数式x 2 2x 5的值.17. 如图，两个圆都以点 0为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于C 、D 两点. 求证：AC = BD .证明:18. 列方程(组)解应用题:如图，有一块长20米，宽12米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小 路，剩余的草坪面积是原来的3，求小路的宽度.4解:19. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 mx m 1(1) 求m 的值及另一根；(2) 若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长.20. 如图，DE 为半圆的直径，O 为圆心，DE=10,延长DE 到A ，使得EA=1，直线AC 与半圆交于B 、C 两点，且 DAC 30(1)求弦BC 的长；(2 )求△ AOC 的面积.四、解答题(每小题 5分，共20分)0的一个根为2.21.已知关于x的方程x22(k 1)x k20有两个不相等的实数根.(1) 求k的取值范围；(2)求证：x 1不可能是此方程的实数根.22 •阅读下面的材料：小明在研究中心对称问题时发现：如图1,当点A为旋转中心时，点P绕着点A1旋转180。
