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3
3
X4 X5 X6 ~N(0 , 3)
X4 X5 X6 ~N(0,1), ( X4 X5 X6 )2 ~ 2 (1),
3
3
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数理统计—三大分布
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例2 设X1, X2 , X3 , X4为来自正态总体N (0, 4) 的简单
随机样本, 令X a( X1 2 X2 )2 b(3 X 3 4 X4 )2 , 则
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数理统计—三大分布
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3. 2 分布的性质 (1) 数学期望与方差 若X ~ 2(n)，则 EX n, DX 2n. (2) 可加性 若X ~ 2(n1 ),Y ~ 2(n2 ),并且X与Y独立 X Y ~ 2(n1 n2 )
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数理统计—三大分布
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例1 设总体X ~ N (0,1), X1, X 2 , , X6为取自总体X 的简单
P{F F (n1, n2 )} F (n1 ,n2 ) p( x)dx
则称F (n1, n2 )为F 分布的上 分位点(数)
y
性质：
F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
O
F (n1 , n2 ) x
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数理统计—三大分布
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例1 求（1）F0.01(5,4)，（2）F0.95(3,7)。
解 （1） F0.01(5,4) 15.5
（2）
F0.95 (3,7)
1 F0.05 (7,3)
1 8.89
0.1125
F1
(n1 , n2 )
F
1 (n2 , n1 )
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数理统计—三大分布
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设X ~ N (0, 2 ), X1, X2 , , X10为取自总体X 的简单
随机样本, 令F
2
3.例题 已知连续型随机变量X 的概率密度函数为 f ( x) 1 e , x2 2x1 求EX,DX
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数理统计—三大分布
3
6.3.1 2 分布
1、定义
X1, X2 , , Xn 独立同分布的随机变量, 并且Xi
2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
N (0,1)
服从的分布称为自由度为n的 2分布.记为 2 ~ 2(n)
a
X
2 5
X 12
X
2 6
X
2 2
X
2 7
X
2 3
X
2 8
X
2 4
X
2 9
X
2 10
~F (4, b),
则a ( ), b ( ).
解：Xi ~ N (0, 2 ),
Xi
~N(0,1),
( Xi
)2 =
X
2 i
2
~ 2 (1),
X
2 1
X
2 2
X
2 3
2
X
2 4
~
2 (4),
X
2 5
X
2 6
随机样本, 令Y ( X1 X 2 X 3 )2 ( X4 X5 X6 )2 , 求
常数C ,使得CY 服从 2分布 C= 1
3
E( X1 X 2 X 3 )=0
D( X1 X 2 X 3 )=3
解：Xi ~ N (0,1), X1 X2 X3 ~N( 0 , 3)
X1 X2 X3 ~N(0,1), ( X1 X2 X3 )2 ~ 2 (1),
2、密度函数
p( x)
( n1 n2 ) 2
( n1 )( n2 ) 22
(
n1 n2
)
n1 2
n1 1
x 2 (1
n1 n2
n1 n2
x) 2 ,
0,
x0 x0
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y
O
x
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数理统计—三大分布
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3. F 分布的上分位点
设F ~ F(n1, n2 ), , 对于给定的0 1，存在F (n1, n2 ) 使
E(3X3 4X4 )=0 D(3X3 4X4 )=100
3X3 4X4 ~N(0,1), ( 3X3 4X4 )2 ~ 2(1),
10
10
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数理统计—三大分布
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4. 2分布的上 分位点
设 2 ~ 2(n), 对于给定的 (0 1) , 存在2 (n) 使得
P{ 2 2 (n)}
10
6.3.2 t 分布
1、定义 设X ~ N (0,1),Y ~ 2(n), 且X与Y 独立, 则随机变量
T X Yn
所服从的分布称为自由度为n的t 分布(或称学生氏分布),记为
T ~ t(n)
2、密度函数
p( x)
( n 1) 2
(1
x2
n1
)2
n ( n) n
2
y
O
x
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t (n) O t (n) x t1 (n)ຫໍສະໝຸດ 数理统计—三大分布13
6.3.3 F 分布
1、定义 设X ~ 2(n1 ),Y ~ 2(n2 ), 且X与Y 独立, 则随机变量
F X / n1 Y / n2
所服从的分布称为第一自由度为n1,第二自由度为n2 的 F分布,记为F ~ F (n1, n2 )
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数理统计—三大分布
1
第三节 三大分布
6.3.1 2 分布 6.3.2 t 分布
6.3.3 F 分布
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数理统计—三大分布
2
常识 函数
1.定义 (s) xs1e xdx (s 0) 0
2.性质 (1)(s 1) s(s), (1) 1; (n 1) n! (2)( 1 ) ;
p( x)dx
2 (n)
则称2 (n)为 2分布的上 分位点(数)
y
O
2 (n) x
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数理统计—三大分布
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例1
求（1）
2 0.01
(10)，（2）
2 0.95
(20)
。
解 查表
2 0.01
(10)
23.2
y
2 0.95
(20)
10.9
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O
数理统计—三大分布
2 (n) x
)
~F(4,10)
a ( 5 ), b ( 10 ). 2
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数理统计—三大分布
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a, b取何值时X 服从 2分布
E( X1 2X2 )=0
解：Xi ~ N (0,1), X1 2X2 ~N( 0 , 20 ) D( X1 2X2 )=20
X1 2 X2 ~N(0,1), ( X1 2 X2 )2 = ( X1 2 X2 )2 ~ 2 (1),
20
20
20
3X3 4X4 ~N( 0 ,100)
2、密度函数
y
p(
x)
n
22
1 (
n)
n 1
x2 e
x 2
,
2
x0
0,
x0
O
x
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数理统计—三大分布
4
问题(1) X ~ N (0,1),则X 2 ~ 2 (1)
问题(2) X1, X2 ,
,
Xn,
X=
1 n
n i 1
X i ,Yi =X i
X , Y1 ,Y2 ,
,Yn
自由度是否为n ? 不是
数理统计—三大分布
x
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例1 求（1）t0.05(10) ，（2） t0.1(10) ，（3）t0.95(20) 。
解 （1）t0.05(10) 1.812 （2）t0.1(10) 1.372 （3）t0.95 (20) t0.05 (20) 1.725
t (n) t1 (n) y
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数理统计—三大分布
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3. t 分布的上 分位点
设T ~ t(n),对于给定的(0 1)，存在t (n) 使得
P{T t (n)}
p( x)dx
t (n)
则称t (n)为t 分布的上 分位点(数)
y
对称性：
t (n) t1 (n)
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t (n) O t (n) t1 (n)
X
2 7
X
2 8
2
X
2 9
X
2 10
~
2 (6),
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数理统计—三大分布
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X
2 1
X
2 2
X
2 3
X
2 4
X
2 5
X
2 6
4 2
X
2 7
X
2 8
X
2 9
X 120
~
F (4,10)
10 2
10(
X
2 1
X
2 2
X
2 3
X
2 4
)
4(
X
2 5
X
2 6
X
2 7
X
2 8
X
2 9
X
2 10
