【精品推荐】人教版高中数学选修二课时作业11

课时作业(十一)1．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5答案 B解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 5·x 10－3r，令10－3r ＝4，∴r ＝2，则x 4的系数是(－1)2·C 25＝10.故选B. 2．(2x 3－12x 2)10的展开式中的常数项是( )A ．210 B.1052 C.14 D ．－105答案 B3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210答案 A解析 T 4＋1＝C 410x 6(－2y )4＝C 410×4x 6y 4＝840x 6y 4. 4．二项式(52＋77)24展开式中的整数项是( ) A ．第15项 B ．第14项 C ．第13项 D ．第12项答案 A解析 (52＋77)24展开式的通项为C r24(52)24－r ·(77)r .要使其为整数，应使24－r 5与r 7都是整数，观察易知r ＝14时24－r 5＝2，r7＝2皆为整数，因此所求为第r ＋1项，即第15项．5．把(3i －x )10(i 是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( ) A ．135 B ．－135 C ．－3603i D ．3603i答案 D解析 ∵T 7＋1＝C 710(3i)3(－x )7＝－C 71033i 3x 7＝C 71033i x 7，所以展开式的第8项的系数为33·C 710i ，即3603i.6．在(x ＋1)(2x ＋1)·…·(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n B ．C 2n ＋1 C ．C n －1n D.12C 3n ＋1 答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·n ＋12＝C 2n ＋1.7．(2011·陕西理)(4x－2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20答案 C解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r(－2－x )r ＝(－1)r C r 6(2x )12－3r，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15.8．(2013·安徽)若(x ＋a3x)8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析 由二项式(x ＋a3x)8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a rx 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3.故C 38a 3＝7，∴a ＝12.9．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________． 答案 －240解析 (x －y )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r (－y )r ＝(－1)r C r 10x 10－r y r， ∴x 7y 3的系数为－C 310，x 3y 7的系数为－C 710. ∴所求的系数和为－(C 710＋C 310)＝－2C 310＝－240.10．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3的值为________． 答案 x 4解析 原式为(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1 ＝[(x －1)＋1]4＝x 4.11．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________． 答案 －20解析 方法一 所给的代数式是五个二项式的代数和．因此所求的x 2的系数就应该是这五个二项式的展开式中x 2的系数的代数和，即－C 02－C 13－C 24－C 35＝－20.方法二 也可以利用等比数列求和公式，将原式化为x －1[1－1－x5]1＋x －1＝x －1＋x －16x.可以看出，所求的x 2的系数就是(x －1)6中x 3的系数，即为－C 36＝－20.12．在(x －a )10的展开式中，x 7的系数是15，则实数a ＝________. 答案 －1213．(32＋12)50的二项展开式中，整数项共有________项．答案 4解析 T k ＋1＝C k50(32)50－k ·(12)k ＝C k 50·2100－5k 6.由0≤k ≤50，且k ∈N 可知，当k ＝2,8,14,20时， 100－5k6取整数，即展开式中有4项是整数项． 14．求(x ＋1x－1)5展开式中的常数项．解析 方法一 (x ＋1x －1)5＝(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x －1)(x ＋1x－1)．按多项式乘法的规律，常数可从五个因式中都选取－1相乘为(－1)5；若从五个因式中选定一因式取x ，一因式取1x，另三个因式中取(－1)，为C 15C 14(－1)3；若从五个因式某两因式中取x ，另两因式中取1x，余下一个因式中取－1，所得式为C 25C 23(－1)，所以常数项为(－1)5＋C 15C 14(－1)3＋C 25C 23(－1)＝－51.方法二 由于本题只有5次方，也可以直接展开，即[(x ＋1x )－1]5＝(x ＋1x )5－5(x ＋1x )4＋10(x ＋1x )3－10(x ＋1x )2＋5(x ＋1x)－1.由x ＋1x 的对称性知，只有在x ＋1x的偶数次幂中的展开式中才会出现常数项且是各自的中间项，∴常数项为－5C 24－10C 12－1＝－51.方法三 ∵(x ＋1x －1)5＝[(x ＋1x)－1]5，∴通项为T r ＋1＝C r 5(x ＋1x)5－r ·(－1)r(0≤r ≤5)．当r ＝5时，T 6＝C 55(－1)5＝－1； 当0≤r <5时，(x ＋1x)5－r的通项为T ′k ＋1＝C k 5－r x5－r －k ·(1x)k＝C k 5－r x5－r －2k(0≤k ≤5－r )．∵0≤r <5，且r ∈Z ，∴r 只能取1或3相应的k 值分别为2或1. ∴常数项为C 15C 24(－1)＋C 35C 12(－1)3＋(－1)＝－51. ►重点班选做题15．(2010·全国卷Ⅰ)(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2的系数是( ) A ．－6 B ．－3 C ．0 D ．3答案 A解析 由于(1－x )4的通项为T r ＋1＝C r 4(－x )r ＝(－1)r C r 4x r ，(1－x )3的通项为T k ＋1＝(－1)k C k3，所以乘积中的x 2项的系数为(1－x )4中的x 2项的系数和x 的系数分别乘(1－x )3中的常数项和x 的系数再求和得到，即6×1＋(－4)×3＝6－12＝－6.16．(2011·新课标全国理)(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 对于(x ＋a x)(2x －1x)5，可令x ＝1得1＋a ＝2，故a ＝1.(2x －1x)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x )r ＝C r 525－r ×(－1)r ×x 5－2r ，要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与(2x －1x)5展开式的1x 相乘，x ＋1x 的1x 与(2x －1x)5展开式的x 相乘，故令5－2r ＝－1，得r ＝3.令5－2r＝1，得r ＝2，从而可得常数项为C 35×22×(－1)3＋C 25×23×(－1)2＝40.17．若(cos φ＋x )5的展开式中x 3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________.答案 －35解析 由二项式定理，得x 3的系数为C 35cos 2φ＝2，得cos 2φ＝15，故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35.18．(2011·浙江理)设二项式(x －a x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．答案 2 解析。

课时作业(十一)一、选择题1．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( ) A ．－π2 B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1答案 A2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x (－1<x <1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也无最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值 答案 C3．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．e答案 A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图，则导数y ＝f ′(x )的图像可能为下图中的( )答案 D5．已知对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 答案 B6．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案 A解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数． ∴函数图像关于y 轴对称． 由f ′(0)＝1可排解C 、D 选项． 而f ′(1)＝cos1－sin1<0， 从而观看图像即可得到答案为A. 二、填空题7．函数f (x )＝12x 2－1x (x <0)的最小值是________． 答案 328．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，－1] 解析 f ′(x )＝2x ＋2a ，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，说明f (x )在[0,1]上单调递减， ∴x ∈[0,1]时f ′(x )≤0恒成立． ∴a ≤－x ，∴a ≤－1.9．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为________． 答案 [12，12e n 2]解析 ∵x ∈[0，π2]，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f (π2)．即12≤f (x )≤12e n 2 . 10．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图像有三个相异的交点，则a 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可以得x ＝1或－1. ∵f (1)＝－2，f (－1)＝2，∴－2<a <2.11．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2. 由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]． 三、解答题12．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]；(2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正常数．解析 (1)由于f (x )＝sin2x －x ，所以f ′(x )＝2cos2x －1. 又x ∈[－π2，π2]，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－π6或x ＝π6.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化状况如下表：。

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课时提升作业十一复数代数形式的乘除运算一、选择题(每小题5分,共25分)1.复数(2+i)2等于( )A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i【解析】选A.(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.2.(2016·长春高二检测)若复数z满足z=(z-1)i,则复数z的模为( )A.1B.C.D.2【解析】选B.因为复数z满足z=(z-1)·i,所以z(1-i)=-i,故有z===-i, 故|z|==.3.(2015·四川高考)设i是虚数单位,则复数i3-= ( )A.-iB.-3iC.iD.3i【解题指南】利用i2=-1,对原式化简,便可求解.【解析】选C.i3-=-i-=-i+2i=i.4.(2016·东营高二检测)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是H(2,-1).5.(2016·山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【解题指南】利用共轭复数的性质解题.【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.二、填空题(每小题5分,共15分)6.计算(7-i)=________.【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母,按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.【解析】(7-i)=×7-i+i·7-i·i=+i.答案:+i7.(2016·银川高二检测)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________. 【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.答案:1【补偿训练】i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是( )A.-15B.-3C.3D.15【解析】选B.==-1+3i=a+bi,所以a=-1,b=3,所以ab=-3.8.(2016·济南高二检测)设x,y为实数,且+=,则x+y=________.【解析】+=+=+i,而==+i,所以+=且+=,解得x=-1,y=5,所以x+y=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算:(1)(2+i)(2-i).(2)(1+2i)2.(3)+.【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)原式=+=i6+i=-1+i.【拓展延伸】复数的运算顺序复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开方,再进行次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.10.(2016·青岛高二检测)已知复数z=.(1)求复数z.(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.【解析】(1)z====1+i.(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,整理得a+b+(2+a)i=1-i,所以解得一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·全国卷Ⅲ)若z=4+3i,则= ( )A.1B.-1C.+iD.-i【解题指南】根据复数的运算法则进行计算.【解析】选D.==5,=4-3i,则=-i.2.(2016·西宁高二检测)复数为纯虚数,则实数a= ( )A.-2B.-C.2D.【解析】选D.因为复数==为纯虚数,所以2a-1=0,2+a≠0.解得a=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·天津高考)i是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a的值为____________.【解析】=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a≠0,所以a=-2.答案:-24.(2016·青岛高二检测)若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________.【解题指南】由已知利用复数代数形式的除法运算化简求得z,然后直接利用复数模的公式求解.【解析】因为(3-4i)z=4+3i,所以z====i.则|z|=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.【解析】设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0).(1)z2=z1+=a+bi+=+i.因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,所以z2=2a.由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.(2)ω====-i.因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.【补偿训练】已知z,ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=,且|ω|=5,求ω. 【解析】设ω=x+yi(x,y∈R),由ω=,得z=ω(2+i)=(x+yi)(2+i).依题意,得(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)(2+i)=( -x-7y)+(7x-y)i,所以7x-y=0.①又|ω|=5,所以x2+y2=50.②由①②得或所以ω=1+7i或ω=-1-7i.6.(2016·潍坊高二检测)已知z为虚数,z+为实数.(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.(2)求|z-4|的取值范围.林老师网络编辑整理【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,所以y-=0,因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),所以|z-4|=|x+yi-4|===∈(1,5).关闭Word文档返回原板块。

§1.3简单的逻辑联结词【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p∨q”为真，“綈q”为假- 1 -B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p ∧q”，“p∨q”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( ) A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则( )A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1- 1 -。

2018年秋高中数学课时分层作业11 定积分的简单应用新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学课时分层作业11 定积分的简单应用新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业（十一）定积分的简单应用（建议用时：40分钟）［基础达标练]一、选择题1．用S表示图1.7。

6中阴影部分的面积，则S的值是( ）图1.7.6D[在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，∴S＝f(x）d x－f(x)d x。

故选D.］2．如图1.7.7，阴影部分的面积是( ）图1­7­7A．2错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!C［S＝（3－x2－2x）d x＝错误!错误!＝错误!。

］3．一物体在力F（x）＝{10，0≤x≤2，，3x＋4，x〉2，（单位：N）的作用下沿与力F 相同的方向,从x＝0处运动到x＝4(单位：m）处，则力F（x)做的功为（）A．44 J B．46 JC．48 J D．50 JB［W＝F（x）d x＝10d x＋ (3x＋4）d x＝10x错误!＋错误!错误!＝46(J)．］4．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( ）【导学号：31062103】A。

错误! m B。

错误! mC.错误! mD.错误! mA［v＝0时物体达到最高,此时40－10t2＝0，则t＝2 s。

又∵v0＝40 m/s,∴t0＝0 s。

课时作业(十一)一、选择题1．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π2，0]上的最小值是( )A ．－π2B ．2 C.π6＋ 3 D.π3＋1 答案 A2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x (－1<x <1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也无最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值 答案 C3．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．e答案 A4．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图像如下图，则导数y ＝f ′(x )的图像可能为下图中的( )答案 D5．已知对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0答案 B6．函数f(x)＝x cos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案 A解析∵f(x)＝x cos x，∴f′(x)＝cos x－x sin x.∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数．∴函数图像关于y轴对称．由f′(0)＝1可排除C、D选项．而f ′(1)＝cos1－sin1<0， 从而观察图像即可得到答案为A. 二、填空题7．函数f (x )＝12x 2－1x (x <0)的最小值是________．答案 328．函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在[0,1]上的最小值为f (1)，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－1] 解析 f ′(x )＝2x ＋2a ，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，说明f (x )在[0,1]上单调递减，∴x ∈[0,1]时f ′(x )≤0恒成立． ∴a ≤－x ，∴a ≤－1.9．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间[0，π2]上的值域为________．答案 [12，12en2]解析 ∵x ∈[0，π2]，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f (π2)．即12≤f (x )≤12e n2 .10．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图像有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 答案 (－2,2)解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可以得x ＝1或－1. ∵f (1)＝－2，f (－1)＝2，∴－2<a <2.11．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．三、解答题12．求下列各函数的最值： (1)f (x )＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]； (2)f (x )＝e －x－e x，x ∈[0，a ]，a 为正常数．解析 (1)因为f (x )＝sin2x －x ，所以f ′(x )＝2cos2x －1. 又x ∈[－π2，π2]，令f ′(x )＝0，解得x ＝－π6或x ＝π6.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.(2)f ′(x )＝(1e x )′－(e x )′＝－1e x －e x＝－1＋e 2xe x .当x ∈[0，a ]时，f ′(x )<0恒成立， 即f (x )在[0，a ]上是减函数．故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a－e a； 当x ＝0时，f ′(x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.13．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max .f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5，所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)． 14．设函数f (x )＝12x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝ex2x (x ＋2)．由ex2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2. ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间． 由ex2x (x ＋2)<0，得－2<x <0. ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝ex2x (x ＋2)＝0，得x ＝0或x ＝－2.∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]． 又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)．15．设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系．解析 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．∴x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)；当x ＝1时，g (x )＝g (1x)；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．16．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导函数f ′(x )>0的x 的取值范围为(1,3)．(1)求f (x )的解析式及f (x )的极大值；(2)当x ∈[2,3]时，求g (x )＝f ′(x )＋6(m －2)x 的最大值． 解析 (1)由题意知f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)(a <0)，∴在(－∞，1)上f ′(x )<0，f (x )是减函数，在(1,3)上f ′(x )>0，f (x )是增函数，在(3，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )是减函数．因此f (x )在x 0＝1处取得极小值－4，在x ＝3处取得极大值．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－4，f＝3a ＋2b ＋c ＝0，f＝27a ＋6b ＋c ＝0.解得a ＝－1，b ＝6，c ＝－9. ∴f (x )＝－x 3＋6x 2－9x .∴f (x )在x ＝3处取得极大值f (3)＝0.(2)g (x )＝－3(x －1)(x －3)＋6(m －2)x ＝－3(x 2－2mx ＋3)，g ′(x )＝－6x ＋6m ＝0，得x ＝m .①当2≤m ≤3时，g (x )max ＝g (m )＝3m 2－9；②当m <2时，g (x )在[2,3]上是递减的，g (x )max ＝g (2)＝12m －21； ③当m >3时，g (x )在[2,3]上是递增的，g (x )max ＝g (3)＝18m －36. 因此g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧12m －21 m ，3m 2－9m ，18m －36m17．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m . 由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍去)． 当t 变化时，g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：在(0,2)内恒成立，即1－m <0，解得m >1，所以m 的取值范围为(1，＋∞)．18．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x ＋12在x ＝x 0处取得极小值1＋ln2，其导函数f ′(x )的图像如图所示．求x 0，a ，b 的值．解析 由图可知x 0＝12.∴当x ＝12时，f (x )极小值为1＋ln2.∴14a －b ln 12＋12＝1＋ln2. ∴a ＋4b ln2＝2＋4ln2.① 又∵f ′(x )＝2ax －bx，∴f (12)＝2a ×12－2a ＝0.∴a ＝2b .②由①②解得b ＝1，a ＝2.。

1.1.2 四种命题1.．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是2.．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是3．已知命题甲：p⇒q，命题乙：q⇒p，命题丙：¬p⇒¬q，命题丁：¬q⇒¬p.(1)若甲真则乙为真；(2)若乙真则丙为真；(3)若丙真则丁为真；(4)若丁真则甲为真．说法正确的是4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是5．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是____________________．6．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．8．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．9．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.10.．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．[答案]1.a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数2.．不能被3整除的整数，一定不能被6整除3.（2）（4）4. 25. 若x >－3，则x 2＋x －6≤06. 假7. 若A ∪B ≠B ，则A B 若A B ，则A ∪B ≠B8.[答案] 逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数． 如a ＝2，b ＝2，则a ＋b ＝2＋2是无理数，故逆否命题为假9.[答案] 若a >b ，由c ≤0知b ≥b ＋c ，∴a >b ＋c .∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c ≤0，若有a ≤b ＋c 成立，则a ≤b .10.[答案] 解法1：是真命题．∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题．解法2：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．。

1.1.3 导数的几何意义一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 2．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)4．已知曲线y ＝13x 3上一点P (2，83)，则该曲线在P 点处切线的斜率为( )A ．4B ．2C ．－4D ．85．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－16．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.8．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是__________． 9．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.10．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 三、解答题11．求曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积．12.已知抛物线y ＝x 2和直线x －y －2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离．13．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[答案]精析1．C [k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.]2．B [由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．] 3．D[解析] ∵y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ， ∴令2x ＝tan π4＝1，得x ＝12.∴y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 4．A [因y ＝13x 3，得y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx ＝ 13lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 故y ′＝x 2，y ′|x ＝2＝22＝4，结合导数的几何意义知，曲线在P 点处切线的斜率为4.] 5．A [∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1.] 6．A [易得切点P (5,3)，∴f (5)＝3，k ＝－1，即f ′(5)＝－1. ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.] 7．3[解析] 由在点M 处的切线方程是y ＝12x ＋2，得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.8．2x －y ＋4＝0[解析] 曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx ＝lim Δx →0(3Δx ＋2)＝2. ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.∴所求直线方程为2x －y ＋4＝0. 9．3[解析] 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋P ＝1，即P ＝3. 10.⎣⎡⎦⎤－1，－12 [解析] ∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx ＝lim Δx →0(2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2. ∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12，∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12. 11．解 由导数定义可得y ′|x ＝1＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，设它与两坐标轴的交点分别为A (0，－1)，B (12，0)，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |＝14.12．解 方法一 设P (x ，x 2)为抛物线上任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|x －x 2－2|2＝22⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫x －122－74＝22⎝⎛⎭⎫x －122＋728，所以当x ＝12时，d 最小，最小值为728. 方法二 由题意设直线x －y ＋b ＝0与抛物线y ＝x 2相切，则x 2－x －b ＝0，由Δ＝0得b ＝－14，所以直线x －y －14＝0与x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－14＋22＝742＝728，所以抛物线y＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.方法三 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.13．解 (1)∵y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx＝2x ＋1， ∴y ′|x ＝1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点P (x 0，x 20＋x 0－2)，则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．∵l 1⊥l 2，∴3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.又直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，(－223，0)，∴所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎝⎛⎭⎫1＋223＝12512.。

人教A版高中数学选修2-3全册课时同步作业1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理2、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用3、排列与排列数公式4、排列的应用5、组合与组合数公式6、组合的应用7、二项式定理8、“杨辉三角”与二项式系数的性质9、离散型随机变量10、离散型随机变量的分布列11、条件概率12、事件的相互独立性13、独立重复试验与二项分布14、离散型随机变量的均值15、离散型随机变量的方差16、正态分布17、回归分析的基本思想及其初步应用1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、题组对点训练对点练一分类加法计数原理的应用1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )A．13 B．16C．24 D．48解析：选A 由分类加法计数原理可知，不同走法种数为8＋2＋3＝13.2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C 分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．3．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C 分3类：买1本好书，买2本好书和买3本好书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．4．椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足题意的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在y 轴上，所以0＜m ＜n ，考虑m 依次取1,2,3,4,5时，符合条件的n 值分别有6,5,4,3,2个，由分类加法计数原理知，满足题意的椭圆的个数为6＋5＋4＋3＋2＝20.答案：205．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.对点练二 分步乘法计数原理的应用6．如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为( )A ．8B ．6C ．5D ．3解析：选B 从A 处到B 处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6，故选B.7．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A ，B ，后两个字符用a ，b ，c (允许重复)，则不同编号的书共有( )A ．8本B ．9本C ．12本D ．18本解析：选D 完成这件事可以分为三步．第一步确定首字符，共有2种方法；第二步确定第二个字符，共有3种方法；第三步确定第三个字符，共有3种方法．所以不同编号的书共有2×3×3＝18(本)，故选D.8．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C 要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a 有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36个虚数．9．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．解析：将第一个新节目插入5个节目排成的节目单中有6种插入方法，再将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种插入方法，利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．答案：4210．某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？解：完成一荤一素一汤的套餐分三步：第一步，配一个荤菜有6种选择；第二步，配一个素菜有5种选择；第三步，配一个汤有3种选择．根据分步乘法计数原理，共可配成6×5×3＝90种不同的套餐．对点练三两个计数原理的综合应用11．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理．有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．12．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？解：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．二、综合过关训练1．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )A．27种B．36种C．54种D．81种解析：选C 小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54种不同的报名方法，故选C.2．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A．96种B．24种C．120种D．12种解析：选A 先排第1道，有4种排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种停车方法．3．将3封不同的信投到4个不同的邮箱，则不同的投法种数为( )A．7 B．12C．81 D．64解析：选D 第一步，第一封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第二步，第二封信可以投到4个邮箱，有4种投法；第三步，第三封信可以投到4个邮箱，有4种投法．根据分步乘法计数原理，得不同的投法的种数为4×4×4＝64，选D.4．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D 以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．5．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )A．34B．43C．12 D．以上都不对解析：选C 由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12个元素．6．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多1张，则所有分法的种数是________．解析：第一步，分第1张电影票，有10种分法；第二步，分第2张电影票，有9种分法；第三步，分第3张电影票，有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．答案：7207．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，问：(1)有多少个不同的数对？(2)其中m>n的数对有多少个？解：(1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对(m，n)，先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．(2)在(1)中的25个数对中m>n的数对可以分类来解．当m＝2时，n＝1，有1个数对；当m＝4时，n＝1,3，有2个数对；当m＝6时，n＝1,3,5，有3个数对；当m＝8时，n＝1,3,5,7，有4个数对；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9，有5个数对．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15个数对．8．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类，一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法；第二类，一幅选自国画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有5×7＝35种不同的选法；第三类，一幅选自油画，一幅选自水彩画．由分步乘法计数原理知，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．2、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用一、题组对点训练对点练一组数问题1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279解析：选B 由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.2．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是( )A．4 B．8C．16 D．24解析：选B 由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8.3．由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以组成多少个无重复数字的三位偶数与三位奇数？解：当个位上的数是偶数时，该三位数就是偶数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取2,4,6,8中的1个，有4种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位偶数的个数为4×8×7＝224.当个位上的数是奇数时，该三位数就是奇数．可分步完成：第一步，先排个位，个位上的数只能取1,3,5,7,9中的1个，有5种取法；第二步，排十位，从剩余的8个数字中取1个，有8种取法；第三步，排百位，从剩余的7个数字中取1个，有7种取法．所以可以组成无重复数字的三位奇数的个数为5×8×7＝280.对点练二涂色问题4．如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有( )A．180种B．240种C．360种D．420种解析：选D 区域2,3,4,5地位相同(都与其他4个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种种法，再种区域2，有4种种法，接着种区域3，有3种种法，种区域4时应注意：区域4与区域2同色时区域4有1种种法，此时区域5有3种种法；区域4与区域2不同色时区域4有2种种法，此时区域5有2种种法，故共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种栽种方案．故选D.5.如图所示，“中国印”被中间的白色图案分成了5个区域，现给它着色，要求相邻区域不能用同一颜色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同的着色方法有( )A．120种B．72种C．48种D．24种解析：选B 以所选颜色的种数为标准，可分两类进行：第一类，用3种颜色有4×3×2＝24(种)；第二类，用4种颜色有4×3×2×2＝48(种)．∴共有24＋48＝72种不同的方法，故选B.6.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔．问：该板报有多少种书写方案？解：第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案．对点练三抽取(分配)问题7．某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各一名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为( )A．11 B．30C．56D．65解析：选B 先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法．8．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有( ) A．4种B．5种C．6种D．7种解析：选A 共有4种方法．列举如下：1,4,5；2,4,4；2,3,5；3,3,4.9．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7个会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解：“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：①既会英语又会日语的不当选；②既会英语又会日语的按会英语当选；③既会英语又会日语的按会日语当选．既会英语又会日语的人数为7＋3－9＝1，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法；从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法；从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法．根据分类加法计数原理，共有6×2＋6×1＋2×1＝20种不同选法．二、综合过关训练1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9解析：选B 分两步：第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6解析：选B ①当从0,2中选取2时，先排2，再排1,3,5中选出的两个数，共有2×3×2＝12个奇数．②当从0,2中选取0时，必须排在十位，只要从1,3,5中选出两个数排在个位、百位即可，共有3×2＝6个奇数．由分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数．3.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有( )A．6种B．8种C．12种D．48种解析：选D 每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6×4×2＝48种不同的游览线路．4．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3 542大的四位数的个数是( )A．360 B．240C．120 D．60解析：选C 因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120个比3 542大的四位数．5．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有________个．解析：由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222,2 122,2 212，共3个，当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个，当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数，故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)．答案：76．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为系数A、B的值，则方程表示不同直线的条数是________．解析：若A＝0，则B从1,2,3,5,7中任取一个，均表示直线y＝0；同理，当B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0且B≠0时，能表示5×4＝20条不同的直线．故方程表示直线的条数是1＋1＋20＝22.答案：227.有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？解：法一：第一步：种植A试验田有4种方法；第二步：种植B试验田有3种方法；第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种种植方法．第四步：由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C 也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法．8．用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列{a n}．(1)这个数列共有多少项？(2)若a n＝341，求n的值．解：(1)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数．由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为4×4×4＝64，即数列{a n}共有64项．(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有2×4×4＝32个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3×4＝12个三位数．所以比341小的三位数的个数为32＋12＝44，因此341是这个数列的第45项，即n＝45.3、排列与排列数公式一、题组对点训练对点练一排列概念的理解1．下列问题是排列问题的是( )A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？解析：选B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.2．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 对点练二 利用排列数公式进行计算或证明 3．已知A 2n ＝132，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：选B A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0， 解得n ＝12或n ＝－11(舍去)． 4．A 312－A 310的值是( ) A ．480 B ．520 C ．600D ．1 320解析：选C A 312＝12×11×10＝1 320， A 310＝10×9×8＝720， 故A 312－A 310＝1 320－720＝600. 5．下列等式中不成立的是( ) A ．A 3n ＝(n －2)A 2n B.1nA n n ＋1＝A n －1n ＋1C ．n A n －2n －1＝A nn D.nn －mA m n －1＝A mn解析：选B A 中，右边＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n 成立；C 中，左边＝n ×(n －1)× (2)n ×(n －1)×(n －2)×…×2×1＝A n n 成立；D 中，左边＝nn －m ×(n －1)！(n －m －1)！＝n ！(n －m )！＝A mn 成立；经验证只有B 不正确．6．计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)． 因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0. 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5.对点练三 简单的排列问题7．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：选B 问题为6选4的排列即A 46＝360.8．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析：选D 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A 34种，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×A 34＝48.9．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为( )A ．15B ．30C ．12D ．36解析：选B 只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可．对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同元素的排列数，故不同的火车票有A 26＝6×5＝30(种)．10．将A 、B 、C 、D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三，D 不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．解：由于A 不排在第一，所以第一只能排B 、C 、D 中的一个，据此可分为三类．由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.11．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号种数为A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15.二、综合过关训练1．89×90×91×…×100可表示为( )A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100解析：选C 最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．2．与A310·A77不相等的是( )A．A910B．81A88C．10A99D．A1010解析：选B A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A．12种B．24种C．48种D．120种解析：选B ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( ) A．120个B．80个C．40个D．20个解析：选C 由题意知可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有A25个；第二类，十位数字取6，有A24个；第三类，十位数字取5，有A23个；第四类，十位数字取4，有A22个．所以“伞数”的个数为A25＋A24＋A23＋A22＝40.故选C.5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A28A22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A28A22.故所求的四位数的个数是A28＋A28A22＋A28A22＝280.答案：2806.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 解析：将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60(种)．答案：607．有三张卡片，正面分别写着1,2,3三个数字，反面分别写着0,5,6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？解：先排列三张卡片，有A33×2×2×2种排法，0排在首位的个数为A22×2×2，则这三张卡片可以组成A33×2×2×2－A22×2×2＝40个三位数．8．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.4、排列的应用一、题组对点训练对点练一数字排列问题1．用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( )A．48个B．64个C．72个D．90个解析：选C 有A13A44＝72个无重复数字的五位偶数．2．用0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数为________．解析：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其个数为A33＝6.答案：63．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？解：(1)法一(直接法)：A15·A35＝300(个)．法二(间接法)：A46－A35＝300(个)．(2)法一(直接法)：因为0为特殊元素，故先考虑0.若0在个位有A35个；0不在个位时，从2,4中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有A12·A14·A24，故有A35＋A12·A14·A24＝156个不同的四位偶数．法二：(间接法)：从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A13·A35个，其中第一位是0的有A12·A24个．故适合题意的有A13·A35－A12A24＝156个不同的四位偶数．(3)1在首位的数的个数为A35＝60.2在首位且0在第二位的数的个数为A24＝12.2在首位且1在第二位的数的个数为A24＝12.以上四位数共有84个，故第85个数是2 301.对点练二排队问题4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解析：选C 利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A33(A33)3＝(3！)4.5．4名男生和4名女生并坐一排照相，女生要排在一起，不同排法的种数为( ) A．A88B．A55A44C．A44A44D．A58解析：选B 因为4名女生要排在一起，所以先将4名女生捆绑与其他4名男生一起排列，然后再将4名女生排列，共有A55A44种排法．6．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有( )A．120种B．240种。