2020年顺义二模高三数学试题(数学)

2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 43.在等比数列{a n}中，若，a4=-4，则a7=（）A. 32B. 16C. 8D.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.过原点作圆的两条切线，则这两条切线所成的锐角为（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则（）A. 若m⊥α，α⊥β，则m∥βB. 若m∥α，n⊥α，则m⊥nC. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βD. 若m∥α，n∥α，则m∥n．7.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”的集合为（）A. M1，M2B. M2，M3C. M1，M4D. M3，M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.设双曲线C经过点（4，0），且与双曲线具有相同渐近线，则C的方程为______；渐近线方程为______．12.已知α为锐角，，则=______．13.“当c＞1时，能使不等式log a c＞log b c”成立的一组正数a，b的值依次为______．14.F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|•|PF2|的最大值为______，若，则|AP|-|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共79.0分）15.在△ABC中，b=8，c=3，．（Ⅰ）求a及sin C的值；（Ⅱ）求BC边上的高．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，等边三角形PCD所在的平面垂直于底面ABCD，，∠BAD=∠ADC=90°，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M-BC-D的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM与平面PAB的是否平行，并说明理由．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市，，，，五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.452.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有极小值2，求a．19.已知M，N为抛物线C：y2=4x上两点，M，N的纵坐标之和为4，O为坐标原点．（Ⅰ）求直线MN的斜率；（Ⅱ）若点B（-2，0）满足∠OBM=∠OBN，求此时直线MN的方程．20.在数列{a n}中，若a n2-a n-12=D（n≥2，n∈N*，D为常数），则称{a n}为“平方等差数列”．（Ⅰ）若数列{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，写出b3，b4的值；（Ⅱ）如果一个公比为q的等比数列为“平方等差数列”，求证：q=±1；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{c n}满足c1=2，c2=2＞0，设数列的前n项和为T n．是否存在正整数p，k，使不等式T n＞-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，k的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．3.答案：A解析：解：数列{a n}是等比数列，所以，所以==32．故选：A．根据等比中项的性质，即可得到结果．本题考查了等比中项的性质，属基础题．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：C解析：解：由得x2+（y-6）2=9，易求得两条切线方程为y=±，这两条切线所成的锐角为，故选：C．把圆的方程化成直角坐标方程后求得两条切线方程，可得它们所夹的锐角．本题考查了圆的参数方程，属基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，属于中档题．根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可．【解答】解：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥α，则存在直线b⊂α，使得m∥b，由n⊥α可知n⊥b，所以m⊥n，故B正确；对于C，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交，或m，n为异面直线，故D错误．故选：B．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：对于M 1，取点（0，1），假设存在（x，y）∈M1满足0+y=0，解得y=0，而y=x2+1≥1，矛盾，因此不满足条件．对于M2，取点（1，0），假设存在（x，y）∈M2满足x+0=0，解得x=0，而函数y=ln x的定义域为{x|x＞0}，矛盾，因此不满足条件．对于M3，假设∀取点A（x1，y1）∈M3，∃B（x2，y2）∈M3，使得x1x2+y1y2=0成立，即k OA•k OB=-1．结合图象即可得出，正确．对于M4，画出图象，同理可得：正确．只有M3，M4正确．故选：D．集合M={（x，y）|y=f（x）}，对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，称集合M是“互垂点集”．利用此定义即可判断出正误．本题考查了新定义、数形结合方法、举例法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：y=±x解析：解：双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为：=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（4，0），∴m=4，即双曲线方程为，对应的渐近线方程为y=±x，故答案为：，y=±x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12.答案：-解析：解：∵α为锐角，且，∴cos=．∴=-sinα=-2sin=．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos，再由诱导公式及倍角公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.答案：（2，）解析：解：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，故答案为：（2，）．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，得＞，又c＞1，所以lg c＞0，所以，则a，b可依次取2，，得解．本题考查了对数不等式的解法，属简单题．14.答案：9 4解析：解：∵P点在椭圆C：上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤=9，∴|PF1|•|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|-|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6-|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|==10，|AP|=10-|PF1|=10-6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|-|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|•|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|-|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．15.答案：（本题满分为13分）【解答】解：（Ⅰ）∵b=8，c=3，，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bc cos A=82+32-2×=49，…4分∴a=7，…6分∴由正弦定理，可得：sin C===…8分（Ⅱ）在△ABC中，BC边上的高为b sin C=8×=…13分解析：【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得a的值，根据正弦定理可求sin C的值．（Ⅱ）由已知可求BC边上的高为b sin C，即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的定义，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：（I）证明：∵∠ADC=90°，∴AD⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PCD．（II）解：取CD的中点O，连接PO，OB．∵△PCD是等边三角形，∴PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=DO，∴四边形ABOD是正方形，故OB⊥CD，以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），M（0，-，），∴=（0，-，），=（1，-1，0），设=（x，y，z）为平面MBC的一个法向量，则，∴，令x=1可得=（1，1，）．又OP⊥平面ABCD，故=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角M-BC-D的余弦值为．（III）∵AB∥CD，∴CD∥平面PAB，假设CM∥平面PAB，则平面PCD∥平面PAB，显然与P是平面PCD和平面PAB的公共点矛盾．故假设不成立，所以直线CM与平面PAB的不平行．解析：（I）根据面面垂直的性质即可得出结论；（II）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III）假设线CM与平面PAB平行，结合CD∥平面PAB可得平面PCD∥平面PAB，得出矛盾．本题考查了面面垂直的性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．17.答案：解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，X123P------------------------------------------（11分）（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223解析：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以，（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，，然后写出分布列；（Ⅲ）先列一个表格，再根据表格可得．本题考查了离散型随机变量及其分布列，属中档题．18.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，------------------------------------------（1分）又，------------------------------------------（3分）所以------------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0------------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），--------------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不存在极小值------------------------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得------------------------------------------（9分）xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（11分）所以=，所以=2解得a=2（舍负）------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）利用已知条件求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．（Ⅱ）求出导函数，判断导函数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的极值．推出a．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．19.答案：解：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得：即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2）又y1+y2=4，所以，即直线MN的斜率为1．------------------------------------------（4分）（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，---------------------（6分）又所以即--------------------（7分）又y1=x1+a，y2=x2+a，所以（x1+a）（x2+2）+（x2+a）（x1+2）=0，化简得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0 ①---------------------（8分）联立方程组消去y得x2+（2a-4）x+a2=0，所以x1+x2=4-2a，---------------------（12分）代入①式可得a=-2所以直线MN的方程为y=x-2--------------------（13分）（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM=k BN即直线MN过点B，所以此时直线方程为y=x+2，经验证，此时直线与抛物线无交点，故舍去--------------------（14分）综上可知：直线MN的方程为y=x-2．解析：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），则依题意可知：相减可得直线MN的斜率．（II）由（I）知直线MN的斜率为1，所以可设直线MN的方程为y=x+a．讨论：当（1）M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴异侧时，由∠OBM=∠OBN知k BM+k BN=0，得2x1x2+（a+2）（x1+x2）+4a=0（1）联立方程组消去y利用韦达定理，代入（1）式可得a=-2得到直线MN的方程．（2）当M（x1，y1），N（x2，y2）在x轴同侧时，验证即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．20.答案：解：（Ⅰ）由题意，可知：∵{b n}是“平方等差数列”，b1=1，b2=2，∴D==22-12=3．∴，．∴，．（Ⅱ）由题意，可设：数列{a n}是公比为q的等比数列，∴所以，（q为公比且q≠0）．∴，n∈N*．又∵数列{a n}为“平方等差数列”，∴．∵D为与n无关的一个常数．∴q2=1，∴q=1或q=-1．（Ⅲ）由题意，可知：∵数列{c n}是“平方等差数列”，，∴D==4，∴∴，n∈N*．∴，n∈N*．∴数列的前n项和．由题意，可假设存在正整数p，k使不等式对一切n∈N*都成立．即：对一切n∈N*都成立．①当n=1时，化简上式，可得：，整理，得：．又∵p，k为正整数，∴p=k=1．②当n≥2时，可猜想：对一切n≥2都成立．下面证明：对一切n∈N*都成立．∵=，（n∈N*）．∴＞2[]=．∴存在p=k=1使不等式对一切n∈N*都成立．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题意及b1=1，b2=2算出常数D，然后根据b2及递推式算出b3，再根据b3及递推式算出b4；第（Ⅱ）题可设一个等比数列{a n}为“平方等差数列”，然后根据等比数列的通项公式代入题干中的递推式，然后根据D为与n无关的一个常数，可得出q的值；第（Ⅲ）题先根据题意算出T n的表达式，然后先思考n=1时是否存在正整数p，k，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题第（Ⅰ）题主要考查对新定义数列的理解能力，然后代值进行计算；第（Ⅱ）题主要考查等比数列的概念及新定义数列的理解能力；第（Ⅲ）题主要考查先思考n=1时的结论，然后再将n=1的结论推到n≥2的情况并予以证明．本题是一道偏难题．。

2020-2021学年北京顺义区第二中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=(－2,1)，=(－1,3)，则( )A．∥ B．⊥ C.∥(－) D．⊥(－)参考答案：D2. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（）A．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数,则它是负数”C．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”参考答案：C略3.如上右图所示，C是半圆弧上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为（）A． B． C． D．2参考答案：答案：C4.已知向量a=（1，2），b=（－2，1），则向量a 与bA．垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且反向 D.平行且同向参考答案：答案:A5. 复数（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A,选A.6. 已知向量,,且，则的值为 ( ) A．B．C．D．参考答案：B7. （09年湖北重点中学4月月考理）已知不等式，对任意恒成立，则a 的取值范围为（）A． B．C．（1，5） D．（2，5）参考答案：B8.若P为双曲线右支上一点，P到右准线的距离为，则点P到双曲线左焦点的距离为（）A．1 B．2 C．6 D．8参考答案：答案:D9.设实数，满足，，，则下列不等式一定成立的是A． B． C．D．参考答案：答案：C10. 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是▲．参考答案：答案：1.512. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M+N=16，则展开式中的常数项为.参考答案：略13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．参考答案：①③④ 略14. 运行如图所示程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出s 属于 ．参考答案：[﹣3，4]【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为s=，则当输入的t∈[﹣1，3]，则当t∈[﹣1，1）时，s=3t∈[﹣3，3），当t∈[1，3]时，s=4t ﹣t 2=﹣（t ﹣2）2+4∈[3，4]， 综上s∈[﹣3，4]， 故答案为：[﹣3，4]．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．15. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：①若则； ②若则；③若则；④若则.其中正确的命题序号是 .参考答案：③④ 略 16. 在中，,,,则的面积等于 .参考答案：或17. 已知函数，则函数在时的最大值为 ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

北京市顺义区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.4．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A．122- B．122i + C．12+ D12i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.5．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3 B．C．-D ．3-【答案】D 【解析】【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，Q 一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 6π==，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.6．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算．【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.9．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵12F F =∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020北京各区高三二模数学分类汇编----数列一、选填问题：1.（2020昌平二模）设{}n a 是等差数列，且13a =，12n n a a +=-，则数列{}n a 的前n 项和n S = ． 答案 24n S n n =-+2.（2020密云二模）已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______． 答案10-；30-3. （2020顺义二模）设{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和.已知1316a a ⋅=, 314S =,若存在0n 使得012,n a a a ⋅⋅⋅，，的乘积最大，则0n 的一个可能值是 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7答案A4. （2020顺义二模）设{}n a 是等差数列，且12a =，248a a +=，则{}n a 的通项公式为__________. 答案 1,N n a n n *=+∈5.（2020西城二模）答案 306.（2020海淀二模）数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*n N Î. 若其前k 项和为126，则k =_______. 答案 67.（2020丰台二模）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则23a a +=（A ）3 （B ）6（C ）7（D ）8答案 B二、解答题部分：8.（2020海淀二模）已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S .又，且540S =，是否存在大于1的正整数k ,使得1k S S =？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.从①14a =，②2d =-这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

答案解：选择条件①，不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =.解法1 理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+，又14a =，540S =.所以由 114,51040a a d =⎧⎨+=⎩得 2.d = 所以 1(1)42(1)22n a a n d n n =+-=+-=+. 又因为110n n n S S a ++-=>，所以数列{}n S 为递增数列.即1k ∀>，都有1k S S >. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =. 解法2理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+，又14a =，540S =. 所以由 114,51040a a d =⎧⎨+=⎩得 2.d =所以21(1)(1)42322k k k k k S ka d k k k --=+=+⨯=+.令14k S S ==，即2340k k +-=.解得1k =或4k =-.因为1k >，所以1k =与4k =-均不符合要求. 所以不存在正整数(1)k k >,使得1k S S =. 选择条件②，存在正整数12k =,使得1k S S =.理由如下：在等差数列{}n a 中，5115455102S a d a d ⨯=+=+，又2d =-，540S =. 所以由 12,51040d a d =-⎧⎨+=⎩得112.a =所以21(1)(1)12(2)1322k k k k k S ka d k k k --=+=+⨯-=-+.令112k S S ==，即21312k k -+=. 整理得213120k k -+=.解得1k =或12k =.因为1k >，所以12k =.所以当12k =时，1k S S =.9.（2020东城二模）已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足31a =，3231S a =+.{}n b 为等差数列，其前n 项和为n T ，如图____，n T 的图象经过A ,B 两个点． （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）若存在正整数n ，使得n n b S >，求n 的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

北京市顺义区2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤- D ．{}35x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R N M I ð，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.故选：C . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=…，()220.9544P X μσμσ-<+=….A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=…，()70900.9544P X <=…， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=…，()75900.68260.13590.8185P X <=+=…. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 3．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆Q D ．Q ⊆R C P【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C4．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.5．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】 【分析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 6．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.7．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 8．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d . 【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.9．已知平面向量a r ，b r满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b =r （ ）A ．3 B． C．D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b +r r，再利用()0a a b ⋅+=r r r 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r，=r b 故选：B 【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.10．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ⋅=u u u r u u u r，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln t t的值域，由此求得a 的取值范围. 【详解】根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即()()232320t t ttt -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即()232ln 0(1)a t t t tt t -++=+，即ln t a t =，因为()'2ln 1ln ln t t t t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数ln tt 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值e ln e e =，所以函数ln ty t=在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目. 11．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3C ．3D ．15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 12．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++L ，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L ，计算得到答案. 【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-L . 故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--L . 故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年北京市顺义区高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}，则∁U A=（）A. {2}B. {0，1}C. {0，2}D. {1，2}2.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为7，则输出的y值为（）A. -2B. -1C.D. 23.若实数x，y满足则2x+y的最小值是（）A. -2B. -1C. 0D. 44.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 12B. 2C.D.5.在△ABC中，a=7，c=3，．sin C的值为（）A. B. C. D.6.当c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立的正数a（a≠1）的值为（）A. B. C. 2 D. 47.“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2={（x，y）|y=ln x}；；M4={（x，y）|y=sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A. M1B. M2C. M3D. M4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.=______．10.已知向量，满足||=1，||=2，且，则与的夹角为______．11.为了解中学生寒假从图书馆借书的情况，一个调研小组在2019年寒假某日随机选取了100名在市级图书馆借书的中学生，如表记录了他们的在馆停留时间，分为（0，15]，（15，30]，（30，45]（45，60]和60以上（单位：分钟）五段统计．现在需要从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取停留时长（单位：分钟）频数频率（0，15]20.02（15，30]a0.05（30，45]b0.10（45，60]250.2560以上580.58合计100 1.0012.（）的两条切线，则两条切线所成的锐角______．13.把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，则a的最小值为______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，则抛物线的标准方程为______；P为抛物线和双曲线的一个公共点，P到双曲线左焦点F1的距离为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=2，b5=16，a1=2b1，a3=b4．（Ⅰ）求{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17.国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60 贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20 极其富裕下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）A B C D E1978年57.7 52.5 62.3 61.0 58.8 1988年54.2 48.3 51.9 55.4 52.6 1998年44.7 41.6 43.5 49.0 47.4 2008年37.9 36.5 29.2 41.3 42.7 2018年28.6 27.7 19.8 35.7 34.2（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率为__（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出两个家庭，求这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E 五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．18.如图，AE⊥平面ABC，CD∥AE，AC=BC=AE=2CD=2，，M为棱BE上一点，平面CDM与棱AB交于点N．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）求证：CD∥MN；（Ⅲ）当四边形CDMN为矩形时，求四棱锥B-CDMN的体积．19.设函数．（Ⅰ）若点（1，1）在曲线y=f（x）上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的右焦点为，过F的直线l与C交于A，B两点．当l与x轴垂直时，线段AB长度为1．O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）若对任意的直线l，点M（m，0）总满足∠OMA=∠OMB，求实数m的值．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△MAB面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：全集U={0，1，2}，集合A={x|x2-x=0}={0，1}．则∁U A={2}故选：A．由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2.答案：C解析：解：若输入的x值为7，则x≤0否，x=7-2=5，x≤0否，x=5-2=3，x≤0否，x=3-2=1，x≤0否，x=1-2=-1x≤0是，y=2-1=，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．3.答案：B解析：解：画出，可行域，得在直线x-y+2=0与直线x+y=0的交点A（-1，1）处，目标函数z=2x+y的最小值为-1．故选：B．本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．4.答案：D解析：解：由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，∴该几何体的表面积：S=2×（×1×1）+2×（1×1）+1×=3+．故选：D．由几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，其中底面是等腰直角三角形，两条直角边长都为1，高为1，由此能求出该几何体的表面积．本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．5.答案：B解析：解：根据题意，△ABC中，a=7，c=3，，有=，则sin C===；故选：B．根据题意，由正弦定理可得=，变形可得sin C=，代入数据计算可得答案．本题考查正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵c＞1时，使不等式log a c＞log3c成立，∴＞，∴＞，∴b＞a＞1时，不等式成立，故a可以取2，故选：C．由对数不等式的解法得：由log a c＞log b c，可得＞，即b＞a＞1时，不等式成立，问题得以解决本题考查了对数不等式的解法，属简单题．7.答案：B解析：【分析】函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可.本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+ax+1存在零点，即f（x）=ax2+ax+1=0有实数根，当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，∴根据充分必要条件的定义可判断：“a≥4或a≤0”是“函数f（x）=ax2+ax+1存在零点”的必要不充分条件故选：B．函数零点的判定方法得当a=0时，无根，当a≠0时，=a2-4a≥0，解得a＜0或a≥4，运用充分必要条件的定义判断即可本题考查了函数零点的判定方法，充分必要条件的定义，属于容易题，运算量小．8.答案：D解析：解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2=0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB 成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必须在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即排除A，B，C．故选：D．根据x1x2+y1y2=0确定A（x1，y1）与B（x2，y2）两点的位置关系：OA⊥OB．下面只要判断四个集合所表示的点集是否满足：对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立即可．此题考查了平面向量数量积的运用，利用了排除法，理解：若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”是解本题的关键．9.答案：1+i解析：解：=1+i故答案为：1+i．将复数的分子、分母同时乘以1+i，然后利用平方差公式将分母展开即得到结果．本题考查进行复数的除法运算就是将复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用多项式的乘法法则展开即可，属于基础题．10.答案：60°解析：解：由||=1，||=2，•（）=0，∴-•=0，即12-1×2×cosθ=0，解得cosθ=；又θ∈[0°，180°]，∴与的夹角θ是60°．故答案为：60°．根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小．本题考查了平面向量数量积的运算问题，是基础题．11.答案：4解析：解：由图表可知学生在馆停留时间落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，从（15，30]，（30，45]（45，60]（单位：分钟）这三段时间中按分层抽样抽取16人做调查，则从（30，45]这段时长中抽取的人数是：=4，故答案为：4由落在（15，30]，（30，45]（45，60]的频率之比为：0.05：0.10：0.25=1：2：5，再结合频率之比运算可得解本题考查了分层抽样方法，属简单题12.答案：600解析：解：如图：OA，OB为圆的两条切线，在Rt△OAC中，CA=3，CO=6，∴∠COA=30°，同理∠COB=30°，故∠AOB=60°．故答案为：60°．结合图象可得．本题考查了圆的切线方程，属基础题．13.答案：解析：解：把函数图象上的所有点向左平移a（a＞0）个单位长度后，可得y=sin（2x+2a-）的图象；再根据得到函数y=sin2x的图象，则有2a-=0，解得a=，即a的最小值为，故答案为：．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.答案：y2=8x7解析：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和双曲线的右焦点F2重合，可得，就是p=4，所以抛物线方程为：y2=8x；由，解得x=3，所以P（3，2），P到双曲线左焦点F1的距离为：=7．故答案为：y2=8x；7．求出双曲线的焦点坐标，得到抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程；求出两条曲线的焦点坐标，利用双曲线定义求解P到双曲线左焦点F1的距离．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：解：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．因为b2=2，b5=16，所以，所以q=2.，------------------------------------------（2分）所以．------------------------------------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b1=1，b4=8．设等差数列{a n}的公差为d．因为a1=2b1，a3=b4所以a1=2，a3=a1+2d=8所以d=3．------------------------------------------（6分）所以a n=3n-1．------------------------------------------（8分）因此．--------------------------------------（9分）从而数列{c n}的前n项和=------------------------------------------（12分）=．------------------------------------------（13分）解析：（Ⅰ）设{b n}的公比为q．利用已知条件求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）设等差数列{a n}的公差为d．转化求解数列的通项公式a n=3n-1，然后利用拆项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和的方法的应用，考查计算能力．16.答案：解：（Ⅰ）====，所以f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．于是，当，即时，f（x）取得最大值；当，即时，f（x）取得最小值-2．解析：（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求出它的最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间[]上的最大值和最小值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．17.答案：解析：解：（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，∴在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率p=．故答案为：．（4分）（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭的所有选法为：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种，其中至少有一个家庭达到“相对富裕”或更高生活质量的有9种．记至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量为事件M，则这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（11分）（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E11223（Ⅰ）从以上五个年份中随机选取一个年份，基本事件总数n=5，在该年份五个家庭的生活质量都相同包含的基本整个数m=1，由此能求出在该年份五个家庭的生活质量都相同的概率．（Ⅱ）在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的有A，B，C三个家庭，从五个家庭中随机选出两个家庭，利用列举法能求出这两个家庭中至少有一个家庭在2008年和2018年均达到“相对富裕”或更高生活质量的概率．（Ⅲ）生活质量方差最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．本题考查概率、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=2，，∴AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC，∵AE⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AE⊥BC，∵AE∩AC=A，∴BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）证明：∵CD∥AE，AE⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，∵CD⊂平面CDM，平面CDM∩平面ABE=MN，∴CD∥MN；（Ⅲ）解：∵CD∥MN，CD∥AE，∴MN∥AE，当四边形CDMN为矩形时，，∴MN为△ABE的中位线，∵AE⊥平面ABC，∴AE⊥CN，AE⊥AB，∴MN⊥CN，MN⊥AB，此时四边形CDMN为矩形，又BN⊥CN，MN∩CN=N，∴BN⊥平面CDMN．∴．解析：（Ⅰ）由已知结合勾股定理证明BC⊥AC，再由AE⊥平面ABC得AE⊥BC，利用线面垂直的判定可得BC⊥平面ACDE；（Ⅱ）由CD∥AE，利用线面平行的判定可得CD∥平面ABE，再由平面与平面平行的性质得CD∥MN；（Ⅲ））由CD∥MN，CD∥AE，得MN∥AE，然后证明BN⊥平面CDMN，结合已知由棱锥体积公式求四棱锥B-CDMN的体积．本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：（I）因为点（1，1）在曲线y=f（x）上，所以a=1，．---------------------------------------（1分）又，---------------------------------------（3分）所以．---------------------------------------（4分）在该点处曲线的切线方程为即x+2y-3=0---------------------------------------（5分）（II）定义域为（0，+∞），-------------------------------（6分）讨论：（1）当a≤0时，f'（x）＜0此时f（x）在（0，+∞）上单调递减，又f（1）=a≤0，不满足f（x）≥2-------------（8分）（2）当a＞0时，令f'（x）=0可得列表可得xf'（x）-0+f（x）单调递减单调递增所以f（x）在上单调递减，在上单调递增----------------------（10分）所以=，所以令解得a≥2所以a的取值范围为a≥2．---------------------------------------（13分）或法二：定义域为（0，+∞），f（x）≥2恒成立即恒成立，又所以恒成立．令，x∈（0，+∞）则，由g'（x）＞0⇒0＜x＜1，所以g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，g（x）max=g（1）=2所以a≥2解析：（Ⅰ）利用导数的几何意义计算出切线的斜率，然后根据点斜式求出切线方程；（Ⅱ）有两种思路：一是利用分类讨论的方法计算出f（x）的最小值，建立不等式求解；二是利用分离参数法得到恒成立，再借助最值求解．本题考查导数的几何意义及其应用、函数的最值处理不等式恒成立问题，属于中档题目．20.答案：解：（I）椭圆C：的右焦点为所以a2-b2=3，当l与x轴垂直时，线段AB长度为1，所以，，代入椭圆方程可得，联立方程组可得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为，或法二：设左焦点为F1，则依题意可知：△F1AF2为直角三角形所以，.2a=|F1A|+|F2A|=4即a=2，又所以a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为（II）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R．当l与x轴不垂直时，因为∠OMA=∠OMB所以k AM+k BM=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为又，所以又，所以可得即，联立方程组消去y得所以，，代入上式可得．（III）最大值为，此时l斜率为．=可设此时直线方程为，联立方程组消去x可得，所以，所以==，当且仅当时取等号，此时，即直线斜率为解析：本题考查椭圆的方程和性质的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，三角形的面积，基本不等式，考查运算能力，属于较难题．（Ⅰ）根据题意可得c=，再根据，，可得a2=4，b2=1，即可求出椭圆方程（Ⅱ）当l与x轴垂直时，∠OMA=∠OMB，此时m∈R，当l与x轴不垂直时，根据OMA=∠OMB可得k AM+k BM=0，根据韦达定理和斜率公式即可求出（Ⅲ）根据三角形的面积公式和弦长公式和基本不等式即可求出。

11
数学期望： ．
（3）
．
解析:
（ 1 ）根据甲班统计数据，高三年级每天学习时间达到 小时及以上的学生人数为
人．
（ 2 ）由甲、乙两班的频率分布直方图，可得每天学习不足 小时的人数，
甲班：
人．
乙班：
人．
∴ 可以取 ， ， ．
，
，
． ∴
∴
．
（ 3 ）由甲、乙两班的频率分布直方图可知，
，因为乙班的直方图比甲班的更集中．
C.
D.
4. 抛物线 A. B. C. D.
上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）．
5. 若角 的终边经过点 A. B. C. D.
，则 的值为（ ）．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．
1
正 （ 主 ） 视图 侧 （ 左 ） 视图
俯视图 A. B. C. D.
7. 若 为任意角，则满足 A. B. C. D.
的直线 与椭圆 相交于 ， 两点． （ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 设点 是椭圆 的左顶点，直线 ， 求证：以 为直径的圆恒过点 ．
分别与直线
相交于点 ， ．
21. 给定数列 ， ， ， ．对
，， ，
，该数列前 项 ， ， ， 的最小值
记为 ，后 项 ， ， ， 的最大值记为 ，令
．
（ 1 ） 设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值．
，
所以
．
又因为
，
，
所以
，
所以
．
又因为
14
，
所以
，
所以 所以以
， 为直径的圆恒过点 ．
21.（ 1 ）
，

15．曲线 是平面内到定点 和定直线 ： 的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线 关于 轴对称；
②若点 在曲线 上，则 满足 ；
③若点 在曲线 上，则 .
其中，正确结论的序号是________.
【答案】②③
【解析】先求出曲线 的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.
【详解】
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列，考查数学期望及方差，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
对于选项D，由 ，不能判断 的大小关系，即选项D不符合题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分性与必要性的判断，考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
9．设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和.已知 ， ，若存在 使得 的乘积最大，则 的一个可能值是（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小.(只需写出结论)
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为1；（3）
【解析】结合函数的奇偶性及单调性，对四个函数逐个分析，可选出答案.
【详解】
由题意，选项B、D中两个函数是非奇非偶函数，不符合题意；
对于选项A，二次函数 ，既是偶函数，又在区间 上为减函数，符合题意；
对于选项C，余弦函数 是偶函数，在区间 上不是单调函数，不符合题意.

顺义区2024届高三第二次质量监测数学试卷参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. DCADB ，BCCAB二、填空题共5小题，每题5分.（11）()(],00,1−∞⋃ （12）（13）//a c ，且22a c >>即可（141+ （15）①④（有错不得分，对1个三分） 三、解答题 （16）（本小题满分13分）（I ）解：法一：()20cos cos 222f ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2cos cos 222ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………………1分=1cos sin 22ϕϕ+−12= ……………………3分即可得tan 3ϕ=又2πϕ<，所以6πϕ= ……………………5分法二：()()()1cos 2222x f x x ϕϕ+−=+− ……………………2分 =1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ ……………………3分所以()10sin 62f πϕ⎛⎫=−++ ⎪⎝⎭12=即得sin 06πϕ⎛⎫−= ⎪⎝⎭ ……………4分又2πϕ<，所以6πϕ= ……………………5分（II ）()()()1cos 2222x f x x ϕϕ+−=+−=1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ 选择②，1sin 622f ππϕ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()51sin 122f ππϕ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭因为5612f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭ ………………7分 因为()f x 的最小正周期22T ππ==，2πϕ< ………………8分所以由()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=−⎪⎝⎭可得2πϕπϕπ−+−=所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……………10分或法二：因为5612f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin sin 2πϕπϕ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭ ………………7分 所以cos sin ϕϕ=即tan 1ϕ= ………………8分因为2πϕ<所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……………10分选择③，()()()1cos 2sin 222x f x x ϕϕ+−=+−=1sin 262x πϕ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭ ()y f x =的图像与直线12y =的一个交点的横坐标为24π即可得1242f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 04πϕ⎛⎫−= ⎪⎝⎭ …………………8分 又2πϕ<，所以4πϕ=，()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ …………………10分法一：令222,2122k x k k Z πππππ−+≤−≤+∈解得572424k x k ππππ−+≤≤+，即()f x 的单增区间为57,2424k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦ (11)分又[]0,x m ∈时，()f x 单增 所以，[]0,m 是57,2424k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦的一个子区间所以，50247024k m k ππππ⎧−+≤⎪⎪⎨⎪<≤+⎪⎩即可得752424k −<<，又k Z ∈ 所以0k = …………………12分故[]0,m 是57,2424ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的一个子区间，所以m 的最大值为724π. …………………13分 法二：因为()1sin 2122f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，[]0,x m ∈，所以22121212x m πππ−≤−≤− (11)分因为sin y x =在2,222k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦上单增，所以222212122k m k ππππππ−≤−≤−≤+，即可得7024m k ππ≤≤+，752424k −<< 所以0k = …………………12分所以7024m π≤≤，可得m 的最大值为724π. …………………13分（17）（本小题14分） (I)法一：证明：连接BE因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥ ……………………1分 因为1BB 是直三棱柱的侧棱， 所以1BB ⊥平面ABC ……………………2分 因为AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥因为1BE BB B ⋂=，所以AC ⊥平面BDE ……………………3分 因为DE ⊂平面BDE ，所以AC DE ⊥ ……………………4分 法二：证明：连接,AD CD因为1BB 是直三棱柱的侧棱， 所以1BB ⊥平面ABC ……………………1分 所以1BB ⊥AB ，1BB ⊥BC又AB BC =，所以ABD CBD ∆≅∆ ……………………2分 所以AD CD = ……………………3分 又因为E 为AC 中点，所以AC DE ⊥ ……………………4分 (II)解：（i ）因为2AB AC BC ===，所以ABC ∆为等边三角形 设AB 中点为O ，则OC OB ⊥因为1BB ⊥平面ABC ，设11A B 的中点为M ，则OM OB ⊥，OM OA ⊥以OC 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OM 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系. ……………………5分则()0,0,0O ，()0,1,0A −，()0,1,0B，)C，()10,1,2A −，()10,1,2B，)C，因为,D E 为中点，所以()0,1,1D，1,02E ⎫−⎪⎪⎝⎭所以()10,2,1A D =−，131,222A E ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭…………6分 因为OC OB ⊥，1OC BB ⊥，所以OC ⊥平面11A ABB所以()3,0,0OC =是平面11A ABB 的一个法向量. ……………………7分设(),,m x y z =是平面1A DE 的一个法向量，则10mA D ⋅=，10m A E ⋅=所以2012022y z x y z−=⎧+−=⎪⎩，令1y =，可得2,3z x ==所以7323m ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭……………………9分 设平面1A DE 与平面11A ABB 的夹角为θ，则7cos 8OC m OC mθ⋅==所以平面1A DE 与平面11A ABB 的夹角的余弦值为78. ……………………11分 (ii)13BF BC = ……………………14分（18）（本小题满分13分）（I ）解：设甲选择方式一参加比赛得分为X()22311321228P X C ⎛⎫⎛⎫==−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………1分 ()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ……………………2分设甲得分不低于2分为事件A ……………………3分则()()()23P A P X P X ==+==12……………………4分（II ）设乙选择方式二参加比赛得分为Y ，Y 的可能取值为0,2,4,6()102P Y ==，()112122P Y ⎛⎫==⨯− ⎪⎝⎭=14，()11141222P Y ⎛⎫==⨯⨯− ⎪⎝⎭=18，()1116222P Y ==⨯⨯=18……………………8分所以()4E Y = ……………………10分（III ）甲获胜的可能性更大. ……………………13分（19）（本小题满分15分）（I ）解：长轴长为2a =，所以a =……………………1分又焦点为()1,0F ，所以1c = ……………………2分所以2221b a c =−=所以，椭圆E 的方程为2212x y += ……………………4分（II ）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为()11y k x =− 联立()122112y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222111124220k x k x k +−+−=所以211221412k x x k +=+ ……………………5分 又M 为AB 的中点，所以2121212M k x k =+，()1121112M M k y k x k −=−=+ ……………7分 因为121k k ⋅=−，即211k k =−，又N 为CD 的中点不妨用11k −代换1k ，可得2122N x k =+，1212N k y k =+ ……………………9分 讨论：（1）当M N x x =时，直线MN 的斜率不存在此时2121212M k x k =+=2122N x k =+，解得11k =±. 当1k =时，2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时MN 的方程为23x =所以，点()1,0F 到直线MN 的距离d 为13同理，当11k =−，13d = ……………………11分（2）当11k ≠±时，M N x x ≠，此时M N MN M N y y k x x −=−=121322k k − 所以直线MN 的方程为11222111322222k k y x k k k ⎛⎫−=− ⎪+−+⎝⎭化简可得()211132220k x k y k +−−= ……………………12分 法一：点()1,0F 到直线MN 的距离d ==又10k ≠，所以d =……………………13分因为211k ≠，所以2121448k k +>= ……………………14分 所以103d <<综上可知，103d <≤……………………15分 法二：直线MN 的方程为()211132220k x k y k +−−= ……………………12分 令0y =，可得23x =，综上可知，直线MN 恒过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭……………………14分 故点()1,0F 到直线MN 的距离d 的最大值为13，此时直线MN 的斜率不存在又直线MN 的斜率一定不为0 所以103d <≤……………………15分 （20）（本小题满分15分）(I)解：因为()cos xf x e a x =+，所以()001f e a a =+=+ ……………………1分又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f = ……………………2分 所以12a +=即1a = ……………………4分 （II ）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根只需证明cos 20x e x +−=仅有一个零点 令()cos 2xg x e x =+−，则()sin xg x e x '=− ……………………6分令()()sin xh x g x e x '==−，则()cos xh x e x '=−讨论：（1）当0x >时，()0cos cos xh x e x e x '=−>−=1cos 0x −≥所以()h x 在()0,+∞上单调递增，所以()()01h x h >= 即()sin 10xg x e x '=−>>所以()g x 在()0,+∞上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点 …………………7分 （2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点 ……………………8分 （3）当0x <时，()cos 2xg x e x =+−0cos 2e x <+−1cos 0x =−+≤所以，当0x <时，()0g x < ，即此时无零点 ……………………9分 综上可得，()cos 2xg x e x =+−仅有一个零点，得证.（III ）当()0,x ∈+∞时，cos sin 2x e x k x +>+即cos sin 20x e x k x +−−>恒成立 令()cos sin 2xF x e x k x =+−−则()sin cos xF x e x k x '=−−由（II ）可知，()0,x ∈+∞时sin 1x e x −> ……………………11分 所以()sin cos 1cos xF x e x k x k x '=−−>−讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x −≤≤，所以cos k k x k −≤≤ 即11cos 1k k x k −≤−≤+所以()1cos 1F x k x k '>−≥−0≥ ……………………12分即当01k <≤时，()0F x '>，所以()cos sin 2xF x e x k x =+−−在()0,x ∈+∞时单增所以()()0F x F >=0恒成立，即满足条件cos sin 20x e x k x +−−> …………………13分 （2）当1k >时，由()sin cos xF x e x k x '=−−可知()01F k '=−0<又()F e k ππ'=+0>，所以存在()00,x π∈，使得()00F x '=所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增所以()()000F x F <=即不能保证cos sin 20x e x k x +−−>恒成立 ……………14分 综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤. ……………………15分（21）（本小题满分15分） (I)解：()(){}2,0,0,2A =时(){}1,1B =或者(){}1,1A =时()(){}2,0,0,2B =； ……………………4分（II ）证明：反证法：假设不存在.则对任意3M 的一个优划分()00,A B 一定有()()003X A Y B +>，且00003,A B A B M ⋂=∅⋃=令1010,A B B A ==，则()11,A B 也是3M 的一个优划分.一定有()()003X B Y A +> 故可得()()()()00006X A Y B X B Y A +++> 因为点集3M 满足0,,2i i i i x y x y ≤+≤，所以()()()()00001122336X A Y B X B Y A x y x y x y +++=+++++≤，矛盾故假设不成立，得证. ……………………9分 （III ）证明：不妨设1202n x x x ≤≤≤≤≤，则1102222n n x x x −≤−≤−≤≤−≤.若()12132n n x x x n ++++≤≥，则B 组任取其中一点即可满足； 若1212n n x x x ++++>，则存在正整数k 使得()1212112k k k n X A x x x x x x x ++=+++≤<++++，从而有()1211112k k k n x x x x k x +++<++++≤+，于是()1121k n x k ++>+，又因为()()()()1212222k k n k k n Y B y y y x x x ++++=++≤−+−++−()()()()112221k n n k x n k k +⎛⎫+≤−−≤−− ⎪ ⎪+⎝⎭()()()()21555512121.22122n n n n k n k ⎡⎤++++=−++≤−+=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦也就是，取()()(){}111222,,,,,,,k k k A P x y P x y P x y = ()()(){}111222,,,,,,k k k k k k n n n B P x y P x y P x y ++++++=时，即有()12n X A +≤且()12n Y B +≤. 证毕 ……………………15分。

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．223【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．2．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 3．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35 B ．5C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 4．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 5．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 7．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，i 2i z =+，()22212121i i i iz i i i ++-+∴====--，∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅． 【详解】13313(3)(3)1010i z i i i i -===-++-，∴223131311()()()()10101010101010z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．9．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.10．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京顺义区2020 届高三数学第二次统练测试（理）新人教版doc 高中数学f(2 x 2) f(2x 1) 0 的解集是第n 卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9.一个实心铅质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为 1的圆，将8个这样的几何体加热熔解后, 浇铸成一个实心球，则该球的表面积为 _________________ .双曲线的右焦点，ABF 2的周长为20，则此双曲线的离心率 eL J符号a ij (1 i, j n)表示位于第i 行第j 列的正数.A. ,2 1,B.C. 3,D. 1,3 8.在区间 0,1上任取两个实数则函数f(x)ax b 在区间1,1上有且仅有一个零点的概率为1A.-9 (2B.-9) C. 79D.10 .若(ax 1—)n 的展开式共有 .x6项，并且x 2项的系数为10,则n ______ .实数a11.如图：PA 切圆O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，将OA 旋转600到D ，设OB PB 1，则£ POD 的面积等12.设曲线C 的极坐标方程为 2cos ( 0)，直线为x t( t 为参数)，则曲线C 与直线l 交点的直角y t 2绕点O 顺时针于l 的参数方程坐 标 为2x13.已知双曲线—a2y_ 71,直线l 过其左焦点F 1，交双曲线的左支于A 、B 两点，且| AB| 4 , F 2为14.如图，n 2 (n 4)个正数排成n 行n 列方阵：a 1n a 2na nna 11 a 12 a 13a n1 a n2 a n3已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列, 且各列数的公比都等于 q .为X ，求X 的分布列及数学期望 EX . 17 .(本小题共14分)已知：四棱锥 P ABCD 中，PA 平面ABCD ,川•在线段AB 上是否存在一点 G ，使得AF ||平面 存在指出G 在AB 上位置并给以证明，若不存 理由•18 .(本小题共14分) e x (a ax x 2) ( e 是自然对数的底数)i 若a 1，求曲线y f(x)在点(1, f ( 1))处的切线方程若ana 24 1 , a 32 -，则q4,a ij三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 .(本小题共12分)已知函数 f(x) sinx cosx , x R .(i)求f()的值;4(n)如果函数g (x)f (x) f ( x)，求函数g(x)的最小正周期和最大值;16 .(本小题共13分)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5次,绘制成茎叶图如下甲乙 9 7 70 8 1 285 3 0 5I •现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑，你认 n •若将频率视为概率，对乙同学在今后的 3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数ABCD 是 菱 形 , 且PA AB2, ABC600,BC 、PD 的中点分别I .求证BC PEn .求一面 F AC D 的余弦值底 面 为E 、F .PCG ?若在，请说明设a R ，函数f(x)为选派哪位学生参加合适？请说明理由;n •判断f(x)在R上的单调性19 .(本小题共14分)已知两点M(0,1)N(0, 1)，平面上动点P(x,y)满足|i •求动点P(x, y)的轨迹C的方程;n •设Q(0, m) , R(0, m) ( m 0 )是y轴上两点，过Q作直线与曲线C交于A、B两点，试证：直线RA、RB与y轴所成的锐角相等；川•在n的条件中，若m 0,直线AB的斜率为1, 求/'.RAB面积的最大值.L-I20.(本小题共13分)在数列a n、b n 中, 已知a1 6 , b4，且b n、耳、b n 1成等比数列，a n、b. 1、＜右1成等差数列,(n N)i •求a?、a3、a4 及b?、t h、b4,由此猜想a n、b n的通项公式，并证明你的结论；1111 7n •证明：NM| |M P| M N *NP耳E a? b2 a3 b3 a. g 20高三数学试题（理科）参考答案及评分标准i11 14 ., j；（注：14题少解给2分，有错解不给分）22三•解答题（本大题共 6小题，共80分） 15 .（本小题共12分）f ( ) sin cos 22、2 .4 44 2 2 f(x)f( x) (sin x cosx)[sin( x) cos( x)](sin x cosx)( sin x cosx) __________ 6 分cos 2 x sin 2x cos2x __________ 8 分x R T —, g(x)的最小正周期为.10分21 cos2x 1 ,因此，函数g(x)的最大值是1. _______ 12分16 .（本小题共13分）解：I •本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分。

数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 8 页）顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =00数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页）∴sin C =-------------12分 所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin C =所以1cos 3C =±. -------------2分 当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页）又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为sin 3C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页）（II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r =311-∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为311-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页）为6000.8480⨯=人 -------------4分 （II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x-'=， ---------------8分 令()0g x '=得1x =数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分 于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分 又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分 又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。

北京顺义区2020 届高三数学第二次统练测试（文）新人教版doc 高中数学2 23 58.在圆x2 y2 5y 0内，过点$2)作n条弦(n N ),它们的长构成等差数列a n，若a为过该一1 1点最短的弦，a n为过该点最长的弦，且公差d (,)，贝U n的值为5 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二•填空题(本大题共6个小题，每小题5分,共30分，把答案填在题中横线上9.在总体为N的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为值为_________ .(1)函数f (x)是奇函数(2)函数f(X)的值域为(1,1)(3)函数f(x)在R上是增函数(4)函数g(x) f (x) b ( b为常数，b R)必有一个零点其中正确结论的序号为 ____________ (把所有正确结论的序号都填上)三.解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)25%，则N10.已知向量(1,J3)与向量b (1,J3)，贝y a与2b的夹角为11.已知x 、束条件 1 ，贝V z 2x y 的x2, x 012•函数f (x)4cos x, 0 x2，则不等式f(x) 2的解集是13.如图所示，墙上挂有一长为2宽形木板ABCD，它的阴影部分是由5y sinx，x , 的图象和直2 2围成的图形，某人向此板投飞镖，假能击中木板，且击中木板上每一点的为2的矩线y 1设每次都可能性相同，则他击中阴影部分的概率是_________________14 •某同学在研究函数f(x)x|x| 1(x R)时，分别给出下面几个结论:直线l : V kx mm 0与圆O : x 2 y 2 1相切,并与椭圆C 交于不同的两点 A 、B , ( O 为坐标原点)15 .(本小题共12分)已知函数 f(x) sinx cosx , x R .(i)求f()的值；4(n)如果函数g(x) f (x)f ( x)，求函数g(x)的最小正周期和最大值16 .(本小题共13分)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5次,19.(本小题共14分)X 2 V 2血已知：椭圆C ：—221 a b 0过0,1点，离心率e - ab2甲乙 9 7 70 8 1 285 3 0 5I •从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个， 用列举法计算甲的成绩比乙高的概率;n •现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由17 .(本小题共14分)一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，(其中AB j 的中点)I •求证：C 1D 平面ABRAn .当点F 在棱BB 1上的什么位置时，有 AB, 平GDF ,请证明你的结论『对(2)中确定的点F ，求三棱锥B, GDF 的18 .(本小题共14分) 已知函数 f(x) ln x a(x 1)( a 为常数，i 若x 1时，函数f (x)取得极大值，求实数 a 的D 为面体积.a R )值；n •若不等式f'(x) 2x 在函数定义域上恒成立,(其中f '(x)为f (x)的导函数)求a 的取值范围B1I .求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式m f (k)；求直线l 的方程；川•在n •的条件下，求三角形 AOB 的面积. 20 .(本小题共13分)设数列a n 的前n 项和为S n ，点P(S n ,a n )在直线(2 m)x 2my m 2 m 0. I •求证：a n 是等比数列，并求其通项 a n ；n 若数列a n 的公比q f(m)，数列b n 满足b i a 1, b n f(b n1), (nN , n 2),1求证：匸是等差数列，并求bn ；川.设数列q 满足c n b n b n1, T n 为数列c n 的前n 项和，且存在实数T 满足T n T ,(n N )求T 的 最大值.高三数学试题(文科)参考答案及评分标准题号123456 7 8 答案 A C C B A BDB9. 160 ; 10. ;11.33 ; 12. ,、、2 II0, ; 13. 311； 14. 1,2,32(注：14题少解给2 分 讥有错解不给分)三.解答题(本大题共 6小题，共80分)15.(本小题共12分)厂解：(I) f( ) sin—cos_V 2 . 4分4 4 4 2 2(n) g(x) f(x)f ( x) (sin x cosx)[sin( x) cos( x)](sin x cosx)( sinx cosx) __________ 6 分 cos 2 x sin 2 x cos2x _________ 8 分，且满足|OA|,10 ,cos30上，其中m 为常数，且n .设< Ix RiT 2—, g(x)的最小正周期为1 cos2x 1 ,因此，函数g(x)的最大值是1. _______ 12分 16. 解:(本小题共13分) I •由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：甲: 82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 2 分记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为 (x,y),用列举法表示如下：(82,85) (82,77)(82,83)(82,80)(82,85) (81.85) (81,77)(81,83)(81,80)(81,85) (79.85) (79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85) (88,77)(88,83)(88,80)(88,85) (80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) 4 分n •本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分(1)派乙参赛比较合适， _______ 9分. 理由如下: 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙 82，甲乙平均分相同; 又甲的标准差的平方(即方差) S 甲 10 , 乙的标准差的平方(即方差)S 乙 9.6 ,S 甲S 乙 _______11分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 派乙去比较合适； ________ 13分 (2)派乙去比较合适，理由如下：1从统计学的角度看，甲获得 85分以上(含85分)的概率P -152乙获得85分以上(含85分)的概率F 2 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙82，平均分相同;甲的成绩比乙高的概率为11 25______ 10分派乙去比较合适•若学生或从得82分以上（含82分）去分析：2甲获得82分以上（含82分）的概率R -,5 3乙获得82分以上（含82分）的概率P 25甲的平均分X 甲82，乙的平均分X 乙82，平均分相同;派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17 .（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 , A 1C 1B 1 —,2分n .当点F 在棱BR 上的中点时，有 ABj 平面C 1DF ____ 7 分证明：连结 DF , AB , DF||AB ，: AA A 1B 1 血, 四边形ABBA 为正方形，AB 1 A B , AB 1 DF ，由i 知 C 1D A,B , DF || GD DAB 1 平面 C 1DF _______ 10 分『设AB 「|DF G , B,G 为三棱锥B C 1DF 的高,1B 1G -,12 分2棱AA平面 ABG ,AA2 ,AC 1 B C 1 1, A 1B 1、2 ；2分i .■ iD+为AB 1的中点，GD AB ,平面A 1B 1C 1GD 平 面 A B 1C 1,GD AA ,AA 伽A ,GD 平面ABBA可求得S C 1DF2，体积V14分42418.(本小题共 14分)解：:f(x)In x a(x 1) 定义域0, ，f'(x)-a 2分xI ( f(x)在 x 1处取得极值，f'(1) 0 a 1 4分f (x) lnx (x 1) f '(x)—1 x1J，令 f '(x)0，解得0 xxxf(x)在0,1上单调递增，在1, 上单调递减,满足在x 1处取得极大值，a 2 2.19 .(本小题共14分)It 2 2解：i .,椭圆C:令占1，过0,1点，b 1, _________________ 1分a bc 、a 2 b 2 ■■、2ea a 2a 2 2, _____ 2 分n .方法1 ：若不等式 f '(x)2x 在函数定义域上恒成立即1a 2x 在0,x 上恒成立,a — 2x 在 0, x上恒成立2x 2 2，“x”当且仅当 12分(不验证“成立扣1分) a 22.14分方法 2 :令 g(x)12x ，xg'(x)务」，易知g(x)在x递减，在■12 递增;g(x)有最小值(即极小值)为g (弓2迁，2 2x2椭圆C 方程为：一 y 21 ；3分2"直线 l : y kx m m 0 与圆 x2y 21 相切，—|m|— 1,m 1 k 2，即 m f (k) . 1 k2V 1 k 28k 2 0，k 2 1，k 1f(k).1 k 2直线I 的方程为:设 A% yj , BXy)，则 x X4km2k 2xi X ，2m 2 2 2k 2 1，|cos 2；10 53 5I又 (X i ,y i )(X 2, y ,) NX , y 』2k 2 1 2k 2y 得 3x 24.2x 2 0， xX24「2T ，x 1x 2-由弦长公式:34 1|AB|4，SAOB21|AB|14分sin I OB : 即B 1(方法2 : A （、、2,0），k oB tan52x 2y 2x ，与 y直线AB 过（、.2,0）点v>，且 cos1联立解得：x 辽，y 辽或x 3 32.23楽），由两点得AB 的方程为：y3n •方法1:y 2x Tkx m消去y 得(2k 21)x 2 14kmx 2m 2 2 0，10分由前面解知：|0A|为三角形的底边，|y B |为三角形的高,,,2迈 c . 1/7； 2^2 2\yB13 ，S AOB|0A|1 y B1223 320 .(本小题共13分)解：解：i •(点 P(S n ，a n )在直线(2 m)x 2my m 20上,(2 m)S n 2mq m 20 * ______ 1 分2T n T 1 C 1 -,要满足T n T 对任意n N 都成立，32 2 T - . T 的最大值为一. 13分1时, a S ,(2 m)a 1 2maia 1(m 2) ma 12时, 由*式知 (2 m)S n 12mq 1 0 ** 两式相减得(2 m)a n 2ms n 12m旦a n 1 m 2a nT )n1m 22m n 1(m^)，又当 n 1时也适合，a n 是等比数列，通项a nn .由1知qf (m)f(b n 1)2bu b n 1 2，1 丄 b n b n 1即丄 b n 1b n 11 b11也适合,1—成等差数列,b n其通项1 b nb n满足c nb n b n(n 1)(n 2)T n 为数列c n 的前n 项和， T n 递增; _____ 11分3 3 -。

顺义区 2020 届高三第二次统练数学（理科）测试一．选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1.设会合 Mx | x 21 0，Nx | lg x 0 ，则 MN 等于Ax | 1 x 1Bx | 0 x 1C x | 1 x 0D x | x 02.已知 e 1 , e 2 是不共线向量， a2e 1 e 2 ， be 1e 2 ，当 a ∥ b 时，实数等于A1BC1D223.设 m,n 是两条不一样的直线，,, 是三个不一样的平面，则以下命题正确的选项是A 若 mn, n，则 mB 若 m, n // m ，则 nC 若 m // , n //，则 m// nD若,，则//1a 6 a 7等于4.已知等比数列 a n 中，各项都是正数，且a 1 ,2 a3 ,2a 2 成等差数列，则a 8 a 9A1 2B1 2C 3 2 2D3 2 25.设抛物线 y 28x 的焦点为 F,准线为 l ，P 为抛物线上一点， PAl ，A 为垂足，假如直线AF 的斜率为 3 ，那么 PFA4 3B8 3C 8D 166.极坐标方程2sin和参数方程x 2 3t （ t 为参数）所表示的图形分别为y1tA 圆，圆B圆，直线 C 直线，直线D直线，圆x 17.已知点 P( x, y) 的坐标知足条件yx ，那么点 P 到直线 3x4 y 9 0 的距离的x 2 y 3 0最小值为14B6C 2D 1A5 58.已知定义在区间 0,3上的函数 yf ( x) 的图像对于直线3 对称，当 x3x时，244f ( x) cos x，假如对于 x 的方程 f ( x) a有解，记全部解的和为 S,则 S．．．为不行能53 9 D 3ABC424二．填空题（本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分）9.在复平面内，复数1 2i对应的点的坐标为 ________________________.1i1 510.在二项式 x 2的睁开式中，含 x 4 项的系数为 ______________________. (用数字作 x答）11.如图，AB,CD 是半径 a 的圆 O 的两条弦，它们订交于 AB 的中点 P ，CP9a ， AOP 60 , 8则PD ________________.aAD2 3正视图侧视图oP12.如图B 俯视图3 ， 则C是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是8 a ____________________.13.某棉纺厂为认识一批棉花的质量，从中随机抽测100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量频次组距0.06a 0.04 0.03 0.02 0.01o长度（ mm)的重要指标） 。