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中考翻折问题答案

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翻折问题---解答题综合1．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．（1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是．2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一X边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．4．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．6．如图1，一X菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．（1）求证：四边形ADCB是矩形；（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．7．（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．8．如图，现有一X边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长．9．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x．（1）当BF的最小值等于时，才能使点B落在AD上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求AE的长；（3）当AE=3时，点F离点B有多远？10．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．11．【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？【实践操作】如图．第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到AD∥EF∥BC．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF 相交于点P．连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN．【问题解决】（1）求∠NBC的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠NBC的度数以外）．（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．12．已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F．分别把Rt△BAE 和Rt△DCF沿BE，DF折叠成如图所示位置．（1）若得到四边形BFDE是菱形，求AE的长．（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上，求AE的长．13．如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）GFFD：（直接填写=、＞、＜）（2）判断△CEF的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：①四边形EBCF的面积为4cm2②整个着色部分的面积为5.5cm2运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．14．操作：准备一X长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状，并说明理由．15．1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，求∠1+∠2的度数；（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=；②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．16．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．17．如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．18．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=；（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．19．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．20．把一X矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．21．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时，点P运动的时间．22．在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．如图1，当DH=DA时，（1）填空：∠HGA=度；（2）若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；23．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系．（2）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系．（3）如果一个三角形的最小角是4°，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．答：．24．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）求折痕EF的长．25．如图1，ABCD是一X矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．（1）若∠1=80°，求∠MKN的度数；（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠KON的度数；（3）△MNK的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．26．七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，回答下列问题：（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，BM=厘米；在图④中，BM=厘米．（2）如果信纸折成的长方形纸条宽为2cm，为了保证能折成图④形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？（3）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，假设长方形纸条的宽为x厘米，试求在开始折叠时（图①）起点M与点A的距离（用含x的代数式表示）．（温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）27．将四X形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据．（2）猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状（按边），验证你的猜想．（3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△MEF的形状（按边），验证你的猜想．28．如图，长方形纸片ABCD中，AB=10，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=5时，求AF的长；（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=13时，求AF的长．29．矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的B′处，再沿B′G折叠四边形，使B′D边与B′F重合，且B′D′过点F．已知AB=4，AD=1（1）试探索EF与B′G的位置关系，并说明理由；（2）若四边形EFGB′是菱形，求∠BFE的度数；（3）若点D′与点F重合，求此时图形重叠部分的面积．30．（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC=3，直接写出DE的长．翻折问题---解答题综合参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•某模拟）△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．（1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是（x+3，﹣y）．【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再向右平移3个单位找到对应点位置，然后再连接即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变．【解答】解：（1）如图所示：（2）点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位得到点M1的坐标是（x+3，﹣y）．故答案为：（x+3，﹣y）．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换和轴对称变换，关键是掌握点的坐标的变化规律．2．（2016•某模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一X边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【分析】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG 中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．3．（2016•某模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=4；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．【分析】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．【解答】解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案为：4；（2）如图2，连接CC′，∵点C′在AB的垂直平分线上，∴点C′在DC的垂直平分线上，∴CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，设CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的长为2；（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：①当点C′在矩形内部时，如图3，∵点C′在AD的垂直平分线上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，设EC=y，则C′E=y，NE=4﹣y，故NC′2+NE2=C′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②当点C′在矩形外部时，如图4，∵点C′在AD的垂直平分线上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，设EC=z，则C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，综上所述：CE的长为9±3．【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．4．（2015•某）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF==，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．【解答】解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，∵sin∠DMF==，∴设DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x=（舍）或x=2，∴AB=6．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．5．（2015•某）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【分析】（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．6．（2015•某校级模拟）如图1，一X菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．（1）求证：四边形ADCB是矩形；（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．【分析】（1）由对折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，利用等角关系可求出∠BAD=90°，同理可求出∠ADC=∠ABC=90°．即可得出四边形ADCB是矩形．（2）由对折可知S菱形EHGF=2S矩形ADCB即可求出EHGF的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接AC，得FG=AC=BD．利用勾股定理就可得出边长．【解答】（1）证明：由对折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，∴2（∠PAB+∠PAD）=180°，即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°．同理可得，∠ADC=∠ABC=90°．∴四边形ADCB是矩形．（2）解：由对折可知：△AEB≌△APB，△AFD≌△APD，△CGD≌△CQD，△CHB≌△CQB．∴S菱形EHGF=2S矩形ADCB=．又∵AE=AP=AF，∴A为EF的中点．同理有C为GH的中点．即AF=CG，且AF∥CG，如图2，连接AC，∴四边形ACGF为平行四边形，得FG=AC=BD．∴．【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．（2015•某二模）（1）操作发现：如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系AB=AC+CD；（2）问题解决：如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．【分析】（1）如图①，设CD=t，由∠C=2∠B=90°易得△ABC为等腰直角三角形，则AC=BC，AB=AC，再根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C=90°，又可判断△BDE为等腰直角三角形，所以BD=DE，则BD=t，AC=BC=t+t=（+1）t，AB=•（+1）t=（2+）t，从而得到AB=AC+CD；（2）如图②，根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，而∠C=2∠B，则∠AED=2∠B，根据三角形外角性质得∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BDE，则EB=ED，所以ED=CD，于是得到AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE=x，利用（1）的结论得AC=（2+）x，根据等腰三角形的性质由BA=BC，∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°，且CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，利用30度的余弦得cos30°==，即x=（2+2），然后解方程求出x即可．【解答】解：（1）如图①，设CD=t，∵∠C=2∠B=90°，∴∠B=45°，∠BAC=45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC，AB=AC，∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，∴DC=DE，∠AED=∠C=90°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴BD=DE，∴BD=t，∴AC=BC=t+t=（+1）t，∴AB=•（+1）t=（2+）t，∴AB=AC+CD；故答案为AB=AC+CD；（2）AB=AC+CD．理由如下：如图②，∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，∴DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，而∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，∴ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE=x，由（1）的结论得AC=（2+）x，∵BA=BC，∠CBA=120°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，cos30°==，∴x=（2+2），解得x=，即DE的长为．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．8．（2015•潍坊校级一模）如图，现有一X边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长．【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH；（3）设QH=HC=x，则DH=4﹣x．在Rt△PDH中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．【解答】（1）证明：∵PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠BPH=∠PBC．又∵四边形ABCD为正方形∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，由（1）知，∠APB=∠BPH，在△ABP与△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH与Rt△BQH中，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH．（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．设QH=HC=x，则DH=4﹣x．在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，即32+（4﹣x）2=（x+1）2，解得x=2.4，∴PH=3.4．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．9．（2015•某样卷）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC 上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x．（1）当BF的最小值等于6时，才能使点B落在AD上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求AE的长；（3）当AE=3时，点F离点B有多远？【分析】（1）当点G与点A重合时，BF的值最小，即可求出BF的最小值等于6；（2）在RT△CDE中运用勾股定理求出DE，再利用AE=AD﹣DE即可求出答案；（3）作FH⊥AD于点H，设AG=x，利用勾股定理可先求出AG，可得EG，利用△AEG∽△HFE，由=可求出EF，即得出BF的值．【解答】解：（1）点G与点A重合时，如图1所示，四边形ABFE是正方形，此时BF的值最小，即BF=AB=6．当BF的最小值等于6时，才能使B点落在AD上一点E处；故答案为：6．（2）如图2所示，∵在Rt△CDE中，CE=BC=10，CD=6，∴DE===8，∴AE=AD﹣DE=10﹣8=2，（3）如图3所示，作FH⊥AD于点H，AE=3，设AG=y，则BG=EG=6﹣y，根据勾股定理得：（6﹣y）2=y2+9，解得：y=，∴EG=BG=，又△AEG∽△HFE，∴=，∴，∴EF=，∴BF=EF=．【点评】本题主要考查了翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．（2015秋•苍溪县期末）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．【解答】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，∴DE=CD，BE=BC，∵AB=8cm，BC=6cm，∴AE=AB﹣BE=AB﹣BC=8﹣6=2cm，∴△ADE的周长=AD+DE+AE，=AD+CD+AE，=AC+AE，=5+2，=7cm．【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．11．（2015春•无棣县期末）【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？【实践操作】如图．第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到AD∥EF∥BC．第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF 相交于点P．连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN．【问题解决】（1）求∠NBC的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠NBC的度数以外）．（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到点P为BM的中点，即BP=PM，再根据矩形性质得∠BAM=90°，∠ABC=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得PA=PB=PM，再根据折叠性质由折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM得到PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，利用等要三角形的性质得∠2=∠4，利用平行线的性质由EF∥BC得到∠4=∠3，则∠2=∠3，易得∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°；（2）利用互余得到∠BMN=60°，根据折叠性质易得∠AMN=120°；（3）把30度的角对折即可．【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴点P为BM的中点，即BP=PM，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAM=90°，∠ABC=90°，∴PA=PB=PM，∵折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM，∴PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，∴∠2=∠4，∵EF∥BC，∴∠4=∠3，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°，即∠NBC=30°；（2）通过以上折纸操作，还得到了∠BMN=60°，∠AMN=120°等；（3）折叠纸片，使点A落在BM上，则可得到15°的角．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．12．（2015春•某期末）已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F．分别把Rt△BAE和Rt△DCF沿BE，DF折叠成如图所示位置．（1）若得到四边形BFDE是菱形，求AE的长．（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上，求AE的长．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=90°，设AE=xcm，则ED=（4﹣x）cm，由菱形的性质得出EB=ED=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由勾股定理求出BD，由折叠的性质得出A′E=AE，∠EA′B=∠A=90°，A′B=AB=3cm，求出A′D，设AE=A′E=x，则ED=（4﹣x）cm，在Rt△EA′D中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，设AE=xcm，则ED=（4﹣x）cm，∵四边形EBFD是菱形，∴EB=ED=4﹣x，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，∴AE=cm；（2）根据勾股定理得：BD==5cm，由折叠的性质得：A′E=AE，∠EA′B=∠A=90°，A′B=AB=3cm，∴∠EA′D=90°，A′D=5﹣3=2（cm），设AE=A′E=x，则ED=（4﹣x）cm，在Rt△EA′D中，A′E2+A′D2=ED2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=，∴AE=cm．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．（2015春•某期末）如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）GF=FD：（直接填写=、＞、＜）（2）判断△CEF的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：①四边形EBCF的面积为4cm2②整个着色部分的面积为5.5cm2运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．【分析】（1）根据翻折的性质解答；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠CFE，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠FEC，从而得到∠CFE=∠FEC，根据等角对等边可得CE=CF，从而得解；（3）①根据翻折的性质可得AE=EC，然后求出AE=CF，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；②设GF=x，表示出CF，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理列式求出GF，根据三角形的面积公式求出S GFC，然后计算即可得解．【解答】解：（1）由翻折的性质，GD=FD；（2）△CEF是等腰三角形．∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AEF=∠CFE，由翻折的性质，∠AEF=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，∴CF=CE，故△CEF为等腰三角形；（3）①由翻折的性质，AE=EC，∵EC=CF，∴AE=CF，∴S四边形EBCF=（EB+CF）•BC=AB•BC=×4×2×=4cm2；②设GF=x，则CF=4﹣x，∵∠G=90°，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=1.5，∴S GFC=×1.5×2=1.5，S着色部分=1.5+4=5.5；综上所述，小明的结论正确．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．14．（2015春•某期末）操作：准备一X长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得Rt△AEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．探究：△EBF的形状，并说明理由．【分析】由（1）得出M、N分别是AB、DC的中点，由（2）得出BE=2AP，再由（3）得出BF=2AP，证出BE=BF，因此∠1=∠2，由角的关系求出∠1=60°，即可证出△EBF为等边三角形．【解答】解：△EBF是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是AB、DC的中点，∴在Rt△ABE中，P为BE的中点，AP是斜边上的中线，∴AP=BP=BE，即BE=2AP，在△EBF中，A是EF的中点，∴AP=BF，即BF=2AP，∴BE=BF，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，∴3∠1=180°，∴∠1=60°，∴△EBF为等边三角形．。

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中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)

中考数学点对点-几何折叠翻折类问题(解析版)

专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解

2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD 与BC 交于点O ，ABO 和CDO 关于直线PQ 对称，点A ，B 的对称点分别是点C ，D ．下列不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．24．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在反比例函数(0)ky x x =>的图像上，BC x ⊥轴于点C ，30BAC ∠=︒，将ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上，则k 的值为 ．25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知50AOB ∠=︒，点P 为AOB ∠内部一点，点M 为射线OA 、点N 为射线OB 上的两个动点，当PMN 的周长最小时，则MPN ∠= ．26．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,0A ，()0,2B ，过点B 作y 轴的垂线l ，P 为直线l 上一动点，连接PO ，PA ，则PO PA +的最小值为 ．27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点()0,2A −，()1,0B ，将线段AB 平移得到线段DC ，若90ABC ∠=︒，2BC AB =，则点D 的坐标是 ．28．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，53AC BD =．线段AB 与A B ''关于过点O 的直线l 对称，点B 的对应点B '在线段OC 上，A B ''交CD 于点E ，则B CE '与四边形OB ED '的面积比为29．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD = ．三、解答题30．（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象．(3)将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 31．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE FB =），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．图1 图2 图3(1)直接写出AD AB的值； (2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）图4A．B．C．D．(3)现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm 的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）32．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A −，()2,3B −，()5,2C −．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π） 34．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中，面出四边形ABCD 的一条对称轴．(2)在图②中，画出经过点E 的O 的切线．35．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 36．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线y =且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题25 图形的平移翻折对称+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．【详解】解：A.不是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.不是轴对称图形；故选C．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（）A．440cm B．320cm C．280cm D．160cm【答案】A【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，由此解答即可．【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去220cm⨯，∴阴影图形的周长是：480280220440cm⨯+⨯−⨯=，故选：A．6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．7．（2024·河北·中考真题）如图，AD与BC交于点O，ABO和CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AC PQ ⊥ C ．ABO CDO △≌△D ．AC BD ∥ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B 、C 选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D ．【详解】解：由轴对称图形的性质得到ABO CDO △≌△，,AC PQ BD PQ ⊥⊥，∴AC BD ∥，∴B 、C 、D 选项不符合题意，故选：A ．8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．菱形的对角线相等C ．正五边形的外角和为720︒D ．直角三角形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B．11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；故选：C ．15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数23y x =−的图象与x 轴相交于点A ，则点A 关于y 轴的对称点是（ ）A ．3,02⎛⎫− ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,3D ．()0,3−【答案】A【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中OAB 与ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E ，F 分别是底边AB ，CD 的中点，OE OF ⊥．下列推断错误的是（ ）A ．OB OD ⊥B ．BOC AOB ∠=∠ C ．OE OF =D ．180BOC AOD ∠+∠=︒ 由对称的性质得OAB ODC ≌，由全等三角形的性质即可判断；OH ，可得 GOD ∠=，即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键．A.OE OF ⊥，90︒，点的中点，OAB 与ODC 都是等腰三角形，由对称得OAB ODC ≌，F 分别是底边AB ，，结论正确，故不符合题意；O 作GM OH ⊥，90GOD DOH ∴∠+∠=︒，90BOH DOH ∠+∠=︒，GOD BOH ∴∠=∠，由对称得GOD COH ∴∠=∠，同理可证AOD ∠∴故选：B 17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则点Q 的坐标为（ ）A ．()6,1或()7,1B ．()15,7−或()8,0C ．()6,0或()8,0D ．()5,1或()7,1【答案】D【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照16Q 的反向运动理解去分类讨论：①16Q 先向右1个单位，不符合题意；②16Q 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1．【详解】解：由点()32,2P 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到()42,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到()41,3P ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q 按上述规则连续平移16次后，到达点()161,9Q −，则按照“和点”16Q 反向运动16次求点Q 坐标理解，可以分为两种情况：①16Q 先向右1个单位得到()150,9Q ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是15Q 向右平移1个单位得到16Q ，故矛盾，不成立；②16Q 先向下1个单位得到()151,8Q −，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到16Q ，故符合题意，那么点16Q 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为()17,98−+−，即()6,1，那么最后一次若向右平移则为()7,1，若向左平移则为()5,1，故选：D ．二、填空题18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为 ．【答案】()3,4【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵点()1,1A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B ， ∴点B 的坐标为()12,13++，即()3,4．故答案为：()3,4．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()4,1，点C 的坐标为()3,4，点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是 ．【答案】()1,4【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出()1,4D ．【详解】解：∵点D 在第一象限（不与点C 重合），且ABD △与ABC 全等，∴AD BC =，AC BD =，∴可画图形如下，由图可知点C 、D 关于线段AB 的垂直平分线2x =对称，则()1,4D ．故答案为：()1,4．20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，4BC =，折叠ABC ，使点A 与点B 重合，折痕DE 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则CE 的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设CE x =，则8AE BE x ==−，根据勾股定理求解即可．【详解】解：由折叠的性质，得AE BE =，设CE x =，则8AE BE x ==−，由勾股定理，得222BC CE BE +=，∴()22248x x +=−，解得3x =.故答案为：3．21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰ABC 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，将ABC 沿其底边中线AD 向下平移，使A 的对应点A '满足13AA AD '=，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．出A EF A B C ''''∽，根据对应边上的中线比等于相似比，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，30ABC ∠=︒，AD 为中线，AD BC ⊥，BD CD =，∵将ABC 沿其底边中线,C BC B '∥∴A EF A B C ''''∽，EF A D B C A G'='''， 13AA AD '=，3223DA AD A G '='=2EF A D '22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在ABCD Y 中，4AB =，5AD =，30ABC ∠=︒，点M 为直线BC 上一动点，则MA MD +的最小值为 ．∵4AB =，30ABC ∠=︒，在ABCD Y ∴122AH AB ==，AD BC ∥，∴24AA AH '==，AA AD '⊥，∵5AD =，23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为 ．【答案】()3,10【分析】设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，先判断四边形AOGD 是矩形，得出OG AD a ==，DG AO =，90EGF ∠=︒，根据折叠的性质得出BF BC a ==，CE FE =，在Rt BOF △中，利用勾股定理构建关于a 的方程，求出a 的值，在Rt EGF 中，利用勾股定理构建关于CE 的方程，求出CE 的值，即可求解．【详解】解∶设正方形ABCD 的边长为a ，CD 与y 轴相交于G ，。

备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)

备战中考--第39讲几何图形折叠问题--(附解析答案)

备战2019 中考初中数学导练学案50 讲第39 讲几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD 于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=2. （2017 山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F 是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π -108 B ．108-32 π C．2π D．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ ABC沿AC折叠，使点B 落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）A．B．3 2 C． 3 D．3 3D．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，点 E 在 BC 上，把这个矩形沿 EF 折叠后，使点 D 恰好落在 BC 边上的 G 点处，若矩形面积为 4 且∠AFG=60°， GE=2BG ， 则折痕 EF 的长为（）A ．1B ．C ． 2D ．、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知 Rt △ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2 +4，点 M 、N 分别在线段 AC.AB 上，将△ANM 沿直线 MN 折叠， 使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当△ DCM 为直角三角形时，折痕 MN 的长为．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形 ABCD （纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点C 与AD 边上的点 K 重合， FH 为折痕．已知∠ 1=67.5°， ∠2=75°， EF=+1，则 BC 的长．处，点 C 落在点 H 处，已知∠ DGH=3°0，连接8. （2018·湖南省常德 ·3 分）如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 GBG ，则∠ AGB=三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．10. （2018?山东枣庄?10 分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ）12. （ 2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩 形 ABCD ，使 B 点落在点 P 处，折痕为 EC ，连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点，连结 CP 并延长 CP 交 AD 于 Q 点．给出以下结论：① 四边形 AECF 为平行四边形；② ∠PBA=∠APQ ；③ △FPC 为等腰三角形；④ △APB ≌△EPC ．其中正确结论的个数为（ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 AD ．7A ．1B ． 2C ．3D ．413.2018·湖北省武汉 3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过AB 的中点D．若⊙ O的半径为，AB=4，则BC的长是（）C．、填空题：14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△ BCE沿BE折叠后得到△ BEF、将BF 延长交AD 于点G ．若=，则且点 F 在矩形ABCD的内部，15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△ CBE沿CE折叠，使点B 落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③ （写出所有正确结论的序号）①当E 为线段AB中点时，AF∥CE；②当E 为线段AB中点时，AF=9；5③当A、F、C三点共线时，AE=④当A、F、C三点共线时，△ CEF≌△．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11 分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC 沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD 上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD 的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，① 求证：BP=BF；② 当AD=25，且AE< DE 时，求cos∠ PCB的值；③ 当BP=9 时，求BE?EF的值．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、. 将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使. 求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.探究篇】19. （2018 年江苏省泰州市?12 分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE 折叠，使点B 落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E 恰好与点D重合（如图②）1）根据以上操作和发现，求的值；2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H 重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠ HPC=9°0 ；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P 点，要求只有一条折痕，且点P 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20. （2018 年江苏省宿迁）如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，动点E、F 分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B 的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，1）当AM= 时，求x 的值；2）随着点M 在边AD上位置的变化，△ PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x 之间的函数表达式，并求出S的最小值.第39 讲几何图形折叠问题疑难点拨】1. 折叠（翻折）问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2. 折叠（翻折）意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角” 的模型（如图），从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1. 常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆. 2. 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1. . （2018?四川凉州?3 分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′ B．∠ EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin ∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴ AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠ EBD=∠EDB 正确．∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE ∴sin ∠ABE= ．故选： C ．点评】本题主要用排除法，证明 A ，B ，D 都正确，所以不正确的就是 C ，排除法也是数学 中一种常用的解题方法．2. （2017 山东烟台） 如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB ．已知 OA=6，取 OA 的中点 C ，过点 C 作 CD ⊥OA 交 于点 D ，点 F 是 上一点．若将 扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合，用剪刀沿着线段 BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下 的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）．A ．36π -108B ． 108-32 πC ．2πD ．π【考点】 MO ：扇形面积的计算； P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ ODC ∠= BOD=3°0 ，作 DE ⊥OB 可得 DE= OD=3，先根据 S 弓形 BD =S 扇形BOD ﹣ S △ BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．解答】解：如图，∵ CD ⊥ OA ，∴∠ DCO=∠AOB=9°0 ，D 、∵ sin ∠ABE= ，∴∠ ODC=∠BOD=3°0 ，作 DE ⊥ OB 于点 E ，则 DE= OD=3，则剪下的纸片面积之和为 12×（ 3π﹣ 9）=36π﹣ 108，故答案为： 36π﹣ 108．故选 A3. （2017浙江衢州） 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4，BC=6，将△ ABC 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处， CE 交 AD 于点 F ，则 DF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点】 PB ：翻折变换（折叠问题） ； LB ：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到 AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证 Rt △AEF ≌Rt △ CDF ，即可得到结 论 EF=DF ；易得 FC=FA ，设 FA=x ，则 FC=x ，FD=6﹣ x ，在 Rt △CDF中利用勾股定理得到关于∴S 弓形 BD =S 扇形 BOD ﹣ S △ BOD =×6×3=3π 9，∵OA=OD=OB=，6OC= OA= OD ，x 的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ ABC落在△ ACE的位置，∴AE=AB，∠ E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠ AFE=∠DFC，∵在△ AEF与△ CDF中，，∴△ AEF≌△ CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=，4∵Rt △AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）则FD=6﹣x=实用文档20故选：B ．4. （2018·山东青岛· 3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF= ，则BC的长是（）分析】由折叠的性质可知∠ B=∠EAF=45°，所以可求出∠ AFB=90°，再直角三角形的性质解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A 重合，∴∠ B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E 为AB中点，∴EF= 1 AB，EF= 3，22∵∠BAC=90°，AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．D． 3 3可知EF∴AB=AC=3，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF 的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠ DFE=∠ GFE，结合∠ AFG=60°即可得出∠ GFE=60°，进而可得出△ GEF为等边三角形，在Rt △GHE中，通过解含30 度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4 ，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠ DFE=∠GFE．∵∠ GFE+∠DFE=180°﹣∠ AFG=12°0 ，∴∠GFE=60°．∵AF∥ GE，∠ AFG=60°，∴∠ FGE=∠AFG=60°，∴△ GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠ FGE=60°，∠ FGE+∠HGE=9°0 ，∴∠ HGE=3°0 ．在Rt△GHE中，∠HGE=3°0 ，∴GE=2HE=C，E∴GH= = HE= CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4．EC∵矩形ABCD的面积为4 ，∴4EC? EC=4 ，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6. （2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4，点M、N分别在线段AC.AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A 的对应点D恰好落在线段BC 上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．解答】解：分两种情况：①如图，当∠ CDM=9°0 时， △CDM 是直角三角形，∵在 Rt△ABC 中，∠ B=90°，∠ A=60°，AC=2 +4 ，∴∠ C=30°，AB= AC= 叠可得：∠ MDN= ∠ A=60°，∴∠ BDN=3°0 ，∴ BN= DN= AN ，∴ BN= AB=，∴∠ ANM= ∠ DNM=6°0 ，∴∠ AMN=6°0 ，∴ AN=MN=DN= AN ， BD\1AB= ，∴ AN=2 ，BN= ，过 N 作 NH ⊥AM 于 H ，则∠ ANH=30° ，∴AH=AN=1 ， HN= ，由折叠可得：∠ AMN= ∠DMN=45° ，∴△ MNH 是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴ MN= ．，由折 ∵∠ DNB=6°0 AN=2BN= ②如图，当∠ CMD=9°0 时， △CDM 是直角三角形，由题可得： ∠CDM=6°0 ，∠ A= ∠ MDN=6°0 ，∴∠ BDN=6°0 ，∠BND=3°0 ，∴BD= BN故答案为：或．7. （2018·山东威海· 8 分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B 与AD边上的点K 重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠ 1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．【分析】由题意知∠ 3=180°﹣2∠1=45°、∠ 4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF= x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K 作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF= x，∴ x+ x= +1，解得：x=1，∴EK= 、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ + ，∴BC的长为3+ + ．点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8. （2018·湖南省常德·3 分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G 处，点C落在点H处，已知∠ DGH=3°0 ，连接BG，则∠ AGB= 75° ．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠ EBG=∠EGB．，然后再根据∠ EGH﹣∠ EGB=∠ EBC﹣∠ EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠ AGB=∠ BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠ EGH=∠ABC=90°，∴∠ EBG=∠EGB．∴∠ EGH﹣∠ EGB=∠EBC﹣∠ EBG，即：∠ GBC=∠BGH．又∵ AD∥ BC，∴∠ AGB=∠GBC．∴∠ AGB=∠BGH．∵∠DGH=3°0 ，∴∠ AGH=15°0 ，∴∠ AGB= ∠AGH=7°5 ，故答案为：75【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9. （2018·广东· 7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠ DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： 1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．10. （2018?山东枣庄 ?10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处， 过点 E 作 EG ∥CD 交 AF 于点 G ，连接 DG ．（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；（2）探究线段 EG 、GF 、 AF 之间的数量关系，并说明理由；（3）若 AG=6， EG=2 ，求 BE 的长．【分析】（ 1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠ DGF=∠DFG ，从而得到 GD=DF ，接下 来依据翻折的性质可证明 DG=GE=DF=E ；F（2）由（ 1）得△ ADE ≌△（2）连接DE，交AF 于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△ DOF ∽△ ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△ FGH∽△ FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵ GE∥DF，∴∠ EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=G，E DF=EF，∠ DGF=∠EGF，∴∠ DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=E．F∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2= GF?AF．理由：如图1 所示：连接DE，交AF 于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥ DE，OG=OF= GF．∵∠ DOF=∠ADF=90°，∠ OFD=∠ DFA，∴△ DOF∽△ ADF．，即DF2=FO?AF．∵FO= GF，DF=EG，∴EG2= GF?AF．3）如图2 所示：过点G作GH⊥ DC，垂足为H．∵EG2= GF?AF，AG=6，EG=2 ，∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）∵DF=GE=2 ，AF=10，∴AD= =4 ．∵GH⊥ DC，AD⊥ DC，∴GH∥ AD．∴△ FGH∽△ FAD．∴GH=∴BE=AD ﹣ GH=4 ﹣ =【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、 菱形的判定和性质、 相似三角形的性质和判定、 勾股定理的应用， 利用相似三角形的性质得 到DF 2=FO?AF 是解题答问题 （ 2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题 （3）的关键．能力篇】、选择题：11. （ 2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形 ABC （∠ B=90°）沿 EF 折叠，使点 A落在 BC 边的中点 A 1处， BC=8，那么线段 AE 的长度为 （ ） ．解答】解： 由折叠的性质可得 AE=A 1E ．∵△ ABC 为等腰直角三角形， BC=8，∴ AB=8．2∵A 1为 BC 的中点， ∴A 1B=4，设 AE=A 1E=x ，则 BE=8﹣ x ．在 Rt △A 1BE 中， 由勾股定理可得 42+（8﹣ x ） 2=x 2，解得 x=5．故答案为： 5．故选 BA ．4B ． 5C ． 6D ．7∴ ，即 = ．12. （2018·四川省攀枝花·3 分）如图，在矩形ABCD中，E 是AB 边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F 点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴ EC 垂直平分BP，∴ EP=EB，∴∠ EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴ AE=EB，∴ AE=EP，∴∠ PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠ PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴ AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ ABP=∠APQ ，故②正确；③∵AF ∥EC ，∴∠ FPC=∠PCE=∠BCE ．∵∠PFC 是钝角，当△BPC 是等边三角形， 即∠BCE=30°时， 才有∠ FPC=∠FCP ，如右图，△PCF 不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC ， AD=BC=P ，C ∠ADF=∠EPC=90°，∴ Rt △EPC ≌△FDA （ HL ）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠ FAD=∠AB P ，当 BP=AD 或△BPC 是等边三角形时，△ APB ≌△ FDA ， ∴△APB ≌△EPC ，故④不正确； 其中正确结论有①②， 2 个．故选 B ．13. （2018·湖北省武汉 ·3 分）如图，在⊙ O 中，点 C 在优弧 上，将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D ．若⊙ O 的半径为 ， AB=4，则 BC 的长是（）②∵∠ APB=90°，∴∠ APQ+∠BPC=90°，由折叠得： BC=PC ，∴∠ BPC=∠PBC ．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥ CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥ AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到= ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2 ．【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥ AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D 为AB的中点，∴OD⊥ AB，∴AD=BD= AB=2，在Rt△OBD中，OD= ( 5)2 22=1，∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴=，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，∴CE=CF+EF=2+1=，3而 BE=BD+DE=2+1=，3∴BC=3 ．故选： B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线， 必连 过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．二、填空题：∵点 E 是 CD 的中点，∴ EC=DE∵将△BCE 沿BE 折叠后得到 △BEF 、且点 F 在矩形 ABCD 的内部， ∴EF=DE ，∠ BFE=90° ．在14. （2018 ·辽宁省葫芦岛市 ） 如图，在矩形 折叠后得到△BEF 、 且点 F 在矩形 ABCD 的内将 BF 延长交 AD 于点 G ．若 = ，则在Rt △OCF 中，CF= ( 5)2 12 =2，ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将△ BCE 沿BE解答】 解：连接GE ．，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵ = ，∴设 DG=FG=a ，则 AG=7a ，故 AD=BC=8a ，则 BG=BF+FG=9a ，∴ AB=15. （2018·四川宜宾· 3分）如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，CB=2，点 E 为线段 AB 上的动点，将△ CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ （写出 所有正确结论的序号） ①当 E 为线段 AB 中点时， AF ∥CE ；②当E 为线段 AB 中点时， AF=9；5③当 A 、 F 、C 三点共线时， AE=④当 A 、 F 、 C 三点共线时，△ CEF ≌△ AEF ．=4 a ，故故答案为：考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．分析】分两种情形分别求解即可解决问题；解答】解：如图1 中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠ EAF=∠EFA，∵∠ CEF=∠CEB，∠ BEF=∠ EAF+∠EFA，∴∠ BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥ AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC= = ，∵∠ AME=∠B=90°，∠ EAM=∠ CEB，∴△ CEB∽△ EAM，=，∴AM= ，9∴AF=2AM= ，故②正确，5如图2 中，当A、F、C 共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF= 13 ﹣2，在Rt △ AEF中，∵ AE2=AF2+EF2，∴x =（﹣2）+（3﹣x）∴x=∴AE= ，故③正确，如果，△ CEF≌△ AEF，则∠ EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.（2018·湖北省宜昌 ·11 分）在矩形 ABCD 中，AB=12，P 是边 AB 上一点，把△PBC沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G ，过点 B 作 BE ⊥CG ，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交 PC 于点 F ．（1）如图 1，若点 E 是 AD 的中点，求证： △AEB ≌△DEC ； （2）如图 2，① 求证： BP=BF ；② 当 AD=25，且 AE < DE 时，求 cos ∠ PCB 的值；【分析】（1）先判断出 ∠ A=∠D=90°，AB=DC 再判断出 AE=DE ，即可得出结论；（2） ① 利用折叠的性质，得出 ∠PGC=∠PBC=9°0，∠BPC=∠GPC ，进而判断出 ∠GPF=∠PFB 即可得出结论；② 判断出 △ABE ∽ △DEC ，得出比例式建立方程求解即可得出 AE=9， DE=16，再 判断出 △ECF ∽△GCP ，进而求出 PC ，即可得出结论； ③ 判断出 △GEF ∽ △EAB ，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形 ABCD 中， ∠A=∠D=90°，AB=DC ， ∵E 是 AD 中点，∴AE=DE ， 在△ABE 和△DCE 中，三、解答与计算题：③ 当 BP=9 时，求 BE?EF 的值．∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）① 在矩形ABCD，∠ABC=9°0，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90，°∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；② 当AD=25 时，∵∠BEC=90，°∴∠AEB+∠CED=90，°∵∠AEB+∠ABE=90，°∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90 ，° ∴△ABE∽△DEC，∴，∴，设AE=x，∴ DE=25﹣x，∴，∴，∴x=9 或x=16，∵AE<DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，设BP=BF=PG=，y∴，∴y=在Rt△PBC中，PC= ，cos∠PCB= = ；③ 如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90，∵BF∥PG，BF=PG，∴?BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴ BE?EF=AB?GF=12 × 9．=108【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17. （2018·广东·7 分）如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ ADE≌△ CED；（2）求证：△ DEF是等腰三角形．分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ ADE≌△ CED（SSS）；2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠ EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△ DEF是等腰三角形．解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ ADE和△ CED中，，∴△ ADE≌△ CED（SSS）．2）由（1）得△ ADE≌△ CED，∴EF=DF ，∴△ DEF 是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是： （1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出 AD=CE 、 AE=CD ；（ 2）利用全等三角形的性质找出 ∠DEF=∠EDF ．18. （2018?江苏盐城? 10 分）如图，在以线段为直径的 上取一点，连接 、. 将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上；（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 . 求证： 为 的切线； （3）在（ 2）的条件下，分别延长线段、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长 . 【答案】（ 1）解：连接 OC ，OD，∴∠ DEA=∠EDC ，即∠ DEF=∠EDF ，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙ O的半径，∴点D在⊙ O上。

中考数学折叠,旋转问题专题含答案

中考数学折叠,旋转问题专题含答案

【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。