1．写出下列级数的一般项： ⑴13572468++++；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为212n n u n-=，1,2,3,....n =。
⑵1111112349827++++++；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即122n +，偶数项为3的乘幂，幂指数为项数的一半，即23n ，于是有1222, 213, 2n n n n k u n k +⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，k J ∈，1,2,3,....n =。
也可为1221(1)1(1)2322n nn n n u +--+-=⋅+⋅，1,2,3,....n =。
【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有11123u =+， 21149u =+221123=+，311827u =+331123=+，......于是得1123n n nu =+，1,2,3,....n =。
⑶345622345-+-+-。
【解】分析数列各项的表达规律：各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1(1)n +-，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n于是得11(1)n n n u n++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得 11(1)n n n u n++=-，1,2,3,....n =。
2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴11(21)(21)n n n ∞=-+∑； 【解】级数前n 项和为11(21)(21)nn i S i i ==-+∑1111()22121n n i i ==--+∑1111()22121n n i i ==--+∑11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+11(1)221n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n→∞=-+12=，知级数收敛，收敛于12。
⑵1n ∞=；【解】级数前n 项和为1nn i S==1ni ==1n i==∑(1n =++++1=，由于lim n n S →∞1)n →∞==∞，知级数发散。
⑶11lnn n n∞=+∑； 【解】级数前n 项和为11ln nn i i S i =+=∑1[ln(1)ln ]ni i i ==+-∑ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++-ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，由于lim n n S →∞limln(1)n n →∞=+=∞，知级数发散。
⑷1n ∞=∑。
【解】级数前n 项和为1nn i S ==∑=+++…………+++各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相互抵销为0，按此规律，第一括号中余下-，而第三括号与后面括号抵销完，...，于是，nS =-1=1=由于lim n n S→∞1limn =+1=，知级数收敛，收敛于1-3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：⑴111(1)2n n n -∞-=-∑； 【解】这是等比级数，首项为00(1)12a -==，公比为12q =-，可见112q =<，知级数收敛，其和为1a q -111()2=--23=。
⑵0(ln 3)2nnn ∞=∑； 【解】这是等比级数，首项为00(ln 3)12a ==，公比为ln 32q =，可见2ln 3ln 122e q =<=，知级数收敛，其和为1a q -1ln 312=-22ln 3=-。
⑶1nn e∞=∑；【解】这是等比级数，公比为1q e =>，可知级数发散。
⑷11112()23nn n n ∞--=+∑；【解】11112()23n n n n ∞--=+∑1111122()23n n n n ∞∞--===+∑∑，其中，级数1112n n ∞-=∑为首项1a =，公比12q =的等比级数，其和为1a q -12112==-； 级数112()3n n ∞-=∑为首项1a =，公比23q =的等比级数，其和为1a q -13213==-，由性质7.1.1知，级数1122()3n n ∞-=∑也收敛，其和为236⨯=， 于是由性质7.1.2知，级数11112()23nn n n ∞--=+∑收敛，其和为268+=。
⑸234123444444(1)55555nn n--+-++-+；【解】这是等比级数，首项为45a =，公比为45q =-，可见415q =<，知级数收敛，其和为1aq-4541()5=--49=。
⑹111111()()()2349827++++++。
【解】级数为111()23n n n ∞=+∑111123n n n n ∞∞===+∑∑，为两收敛等比级数的和，是收敛的。
其中112n n ∞=∑的和为121112==-，113n n ∞=∑的和为1131213==-，从而111()23n n n ∞=+∑的和为13122=+=。
4．求级数113()2(1)n n n n ∞=++∑的和． 【解】级数112n n ∞=∑为等比级数，其和为121112==-，级数13(1)n n n ∞=+∑1113()1n n n ∞==-+∑， 其前n 项和为1113()1nn i S ii ==-+∑13(1)1n =-+， 得知其和为1lim lim3(1)31n n n S S n →∞→∞==-=+ 综上知，级数113()2(1)nn n n ∞=++∑的和为134+=。
５．判断下列级数的敛散性：⑴0.0010.001n ++；【解】级数的通项是1(0.001)nn u =，由于10lim lim(0.001)(0.001)10nn n n u →∞→∞===≠，所以该级数发散。
⑵12342345++++；【解】级数的通项是1n nu n =+， 由于lim lim101n n n nu n →∞→∞==≠+，所以该级数发散。
⑶1(1)21n n n n ∞=-⋅+∑。
【解】由于(1)(1)lim lim lim 212n nn n n n n u n →∞→∞→∞-⋅-==+不存在，所以该级数发散。
６．设级数1nn u∞=∑收敛，1nn v∞=∑发散，证明：级数1()nn n uv ∞=+∑发散。
【证明】由级数收敛定义，知1limni n i v →∞=∑不存在，从而由极限运算法则知，1lim()niin i u v →∞=+∑也不存在，可知级数1()nn n uv ∞=+∑发散。
证毕。
7．判别级数21111112102210210n n++++++⨯是否收敛。
【解】级数通项为11210n n u n=+，于是级数为1111()210n nn n u n∞∞===+∑∑， 由于调和级数11n n ∞=∑发散，从而级数1110n n ∞=∑发散，即由上面第6题的结论知，级数1111()210n nn n u n∞∞===+∑∑也发散。
*8．求级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和。
【解】由于111111(1)(2)2122n n n n n n =⋅-+⋅++++1121()212n n n =-+++，得11(1)(2)nn k S k k k ==++∑11121()212n k k k k ==-+++∑ 121331121[(124)()1()222543=-++-++-++ 121211()()()]112211211n n n n n n n n n +-++-++--++++--121121(1)222112n n n =-++-++++ 1111()2212n n =-+++ 111[]22(1)(2)n n =-++， 于是，11lim lim(1)(2)nn n n k S S k k k →∞→∞===++∑111lim[]22(1)(2)n n n →∞=-++14=。
9．已知级数1n n u ∞=∑的前n 项的部分和18178n n n S --=⨯，求这个级数。
【解】由于111281817878n n n n n n n u S S ------=-=-⨯⨯11(81)8(81)78n n n -----=⨯118n -=， 可知这个级数是1118n n ∞-=∑。
10．设级数1n n u ∞=∑的第n 次部分和为21n nS n =-，判断级数21n n u ∞+=∑的敛散性，若级数收敛，求它的和。
【解】由于lim lim 21n n n n S n →∞→∞=-11lim 122n n→∞==-，知级数1n n u ∞=∑收敛于12，而级数21n n u∞+=∑为由级数1nn u∞=∑去掉前面两项得到，即由性质7.1.3知，级数21n n u∞+=∑也收敛，由于11212(1)1n n n n n u S S n n --=-=----12123n n n n -=---1(21)(23)n n -=--， 可知级数1n n u ∞=∑的前两项为1111(1)u -==⨯-，211313u -==-⨯，即得21n n u ∞+=∑11(1)3nn u ∞==--∑11(1)23=--16=-。
11．证明：0.91=。
【证明】234999990.91010101010n =++++++1910nn ∞==∑， 这是首项为910，公比为110的等比数列，其和为1a q -9101110=-1=。
即为0.91=，证毕。
