江苏省常州市高考数学一轮基础复习:专题11 平面解析几何
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【高中数学】《平面解析几何》知识点一、选择题1.倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ,且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的焦距为( )A .2B .2C 1D 1【答案】B 【解析】 【分析】方法一;由双曲线的对称性可知直线过原点,可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒,根据勾股定理及双曲线的定义可得:1c =.方法二:等腰2Rt QOF △中,可得22b QF a=,且2b c a =.又根据222b a c =-,联立可解得1c =. 【详解】方法一;由双曲线的对称性可知直线过原点,在等腰2Rt QOF △中,245QOF ∠=︒,则122F F c =,2QF c =,1QF =.由双曲线的定义可得:122QF QF a-=,41c c -==,,故22c =.方法二:等腰2Rt QOF △中,22bQF a=,∴2b c a=. 又222b a c =-, ∴2240c c --=,得1c =.∴22c =. 故选:B . 【点睛】本题考查双曲线的性质,解题关键是将题目条件进行转化,建立等量关系求解,属于中等题.2.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5,直线l 经过2:2(0)C y px p =>的焦点,M 为C 上的一个动点,若点N 的坐标为()4,0,则MN 的最小值为( )A .23B .3C .2D .22【答案】A 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程利用弦长公式列方程,结合直线过抛物线的焦点,解方程可得2p =,再利用两点的距离公式,结合二次函数配方法即可得结果.【详解】由22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩, 121222,24b p b x x x x +=-=-,因为直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5,212512x x =-+,所以()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ (1) 又直线l 经过C 的焦点,则,22b pb p -=∴=- (2)由(1)(2)解得2p =,故抛物线方程为24y x =.设()20000,,4M x y y x ∴=.则()()()2222200000||444212MN x y x x x =-+=-+=-+,故当02x =时,min ||23MN =. 故选:A. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查了弦长公式以及配方法的应用,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.3.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论:①曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2;③曲线C 围成区域的面积大于4π;④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A .①③ B .②④ C .①②③ D .②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤,可判断②;224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③;由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭,解得224x y +≤(当且仅当222x y ==时取等号),则②正确; 将224x y +=和()3222216x y x y +=联立,解得222x y ==,即圆224x y +=与曲线C 相切于点()2,2,()2,2-,()2,2--,()2,2-,则①和③都错误;由0xy <,得④正确. 故选:B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.4.如图,O 是坐标原点,过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点,直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ,过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则22||ME NE -=( )A .2pB .2pC .22pD .24p【答案】C 【解析】 【分析】过E (p ,0)的直线分别交抛物线y 2=2px (p >0)于A 、B 两点,不妨设直线AB 为x =p ,分别求出M ,N 的坐标,即可求出答案. 【详解】过E (p ,0)的直线分别交抛物线y 2=2px (p >0)于A 、B ,两点为任意的,不妨设直线AB 为x =p ,由2y 2pxx p ⎧=⎨=⎩,解得y =,则A (p),B (p),∵直线BM 的方程为yx ,直线AM 的方程为y =x , 解得M (﹣p),∴|ME |2=(2p )2+2p 2=6p 2, 设过点M 与此抛物线相切的直线为y=k (x +p ),由()2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩,消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣+2p 2k =0, ∴△=4p 2﹣4k (﹣+2p 2k )=0, 解得k=2, ∴过点M 与此抛物线相切的直线为yp=2(x +p ),由()=2x p x p =⎧⎪⎨+⎪⎩,解得N (p ,2p ), ∴|NE |2=4p 2,∴|ME |2﹣|NE |2=6p 2﹣4p 2=2p 2, 故选C . 【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系,以及直线和直线的交点坐标问题,属于难题.5.已知双曲线22:1124x y C -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q .若POQ ∆为直角三角形,则PQ =( ) A .2 B .4C .6D .8【答案】C 【解析】 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限,90OPQ ∠=︒,解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限,90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒,4OF =,∴OP =POQ n 中,60POQ ∠=︒,90OPQ ∠=︒,OP =∴6PQ ==. 故选C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质,根据双曲线的特征设出P ,Q 位置,以及POQ V 的直角,即可结合条件求解,属于常考题型.6.已知抛物线y 2=4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1,到直线3x -4y +9=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值是( )A .125 B .65C .2D 【答案】A 【解析】试题分析:根据抛物线的定义可知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离,由点到直线的距离公式可知()()122min min125d d MF d +=+==,故选A. 考点:抛物线定义的应用.7.已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上,若4AF BF +=,线段AB 的中点到直线2px =的距离为1,则p 的值为 ( ) A .1 B .1或3C .2D .2或6【答案】B 【解析】4AF BF +=1212442422p px x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2px =的距离为1,所以121132px p p -=∴-=⇒=中或 ,选B. 点睛:1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点,由定义易得02pPF x =+;若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.8.已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ,则b c -r r 的最小值为( )A B C .2-D 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,易知a r 与b r的夹角为60︒,设(=1a r ,()20b =,r ,(),c x y =r ,由()()21a c b c -⋅-=r r r r,可得221202x y x +-+=,所以原问题等价于,圆221202x y x +-+=上一动点与点()20,之间距离的最小值, 利用圆心和点()20,的距离与半径的差,即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ,所以a r 与b r的夹角为60︒,设(=1a r ,()20b =,r ,(),c x y =r,因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ,所以221202x y x +-+=,又b c -=r r所以原问题等价于,圆221202x y x +-+=上一动点与点()20,之间距离的最小值,又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭,所以点()20,与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法,考查向量的数量积的坐标表示,考查学生的转换思想和运算能力,属于中档题.9.如图,12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点,,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点,若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率是( )A 2B 3C .32D .62【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由椭圆与双曲线的定义可知,|AF 2|+|AF 1|=4,|AF 2|-|AF 1|=2a(其中2a 为双曲线的长轴长),∴|AF 2|=a +2,|AF 1|=2-a ,又四边形AF 1BF 2是矩形,∴|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=32,∴a 2,∴e 326考点:椭圆的几何性质.10.若圆1C :2224100x y mx ny +---=(m ,0n >)始终平分圆2C :()()22112x y +++=的周长,则12m n+的最小值为( ) A .92B .9C .6D .3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减,得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程,由题意知圆2C 的圆心在直线l 上,可得()123,213m n m n +=∴+=,再利用基本不等式可求最小值.把圆2C :()()22112x y +++=化为一般式,得22220x y x y +++=,又圆1C :2224100x y mx ny +---=(m ,0n >),两圆的方程相减,可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程:()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长,∴圆心()21,1C --在直线l 上,()()12150m n ∴-+-++=,即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时,等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选:D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系,考查基本不等式,属于中档题.11.已知抛物线2:4C y x =,过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若3AF FB =uu u r uu r,则AOF V 的面积(O 为坐标原点)为( )ABCD.【答案】B 【解析】 【分析】首先过A 作111AA A B ⊥,过B 作111BB A B ⊥(11A B 为准线),1BM AA ⊥,易得30ABM ∠=o ,60AFH ∠=o .根据直线AF:1)y x =-与抛物线联立得到12103x x +=,根据焦点弦性质得到163AB =,结合已知即可得到sin 60AH AF ==o AOF S V 即可.【详解】 如图所示:过A 作111AA A B ⊥,过B 作111BB A B ⊥(11A B 为准线),1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r,设BF k =,则3AF k =,11BB A M k ==. 所以2AM k =. 在RT ABM V 中,12AM AB =,所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o .(1,0)F ,直线AF 为3(1)y x =-.223(1)310304y x x x y x⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩,12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=+=,344AF AB ==. 在RT AFH V 中,sin 6023AH AF ==o所以112332AOF S =⨯⨯=V 故选:B 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,同时考查焦点弦的性质,属于中档题.12.过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为3M 的个数为( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程,根据弦长公式,转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】由直线的斜率为tan 60k ︒==y b =+. 圆2240x y y +-=可化为22(2)4x y +-=,圆心为(0,2),半径为2r =, 则由弦长公式得:圆心(0,2)到直线y b =+的距离为1d ===,即|2|12b -+=,解得0b =,4b =,故直线的方程为y =或4y =+.直线y =过坐标轴上的点(0,0),直线4y =+过坐标轴上的点()0,4与⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,故点M 的个数为3.故选:C. 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系,根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.13.在复平面内,虚数z 对应的点为A ,其共轭复数z 对应的点为B ,若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上,且都不与原点O 重合,则OA OB ⋅=u u u v u u u v( )A .-16B .0C .16D .32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ,(4,4)OB =-u u u r,再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内,z 与z 对应的点关于x 轴对称, ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)(舍),即44z i =-, 则44z i =+,(4,4)OA =u u u r ,(4,4)OB =-u u u r, ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算,考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,过点F 作互相垂直的两直线AB ,CD 与抛物线分别相交于A ,B 以及C ,D ,若111AF BF+=,则四边形ACBD 的面积的最小值为( )A .18B .30C .32D .36【答案】C【解析】【分析】【详解】 由抛物线性质可知:112AF BF p +=,又111AF BF+=,∴2p =, 即24y x =设直线AB 的斜率为k (k≠0),则直线CD 的斜率为1k -. 直线AB 的方程为y=k (x ﹣1),联立214y k x y x=⎧⎨=⎩(﹣),消去y 得k 2x 2﹣(2k 2+4)x+k 2=0, 从而242A B x x k+=+,A B x x =1 由弦长公式得|AB|=244k +, 以1k-换k 得|CD|=4+4k 2, 故所求面积为()22221141AB CD 4448222k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥32(当k 2=1时取等号),即面积的最小值为32.故选C15.已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直,则a 的值为( )A .-1B .0C .1D .2【答案】A【解析】分析:对a 分类讨论,利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出. 详解:1a =-时,方程分别化为:10210x y +=+=,, 此时两条直线相互垂直,因此1a =-满足题意.1a ≠-时,由于两条直线相互垂直,可得:11()112a a a -+-⨯-=-+,解得1a =-,舍去.综上可得:1a =-.故选A .点睛:本题考查了两条直线相互垂直的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于基础题16.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ,作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左右两支都相交,则双曲线离心率e 的取值范围为( )A .()1,2B .()1,2C .()2,+∞D .()2,+∞【答案】C【解析】 【分析】 设过双曲线的右焦点F 与渐近线b y x a=垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交,得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式,解之可得22b a >,从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 .【详解】过双曲线的右焦点F 作渐近线b y x a=垂线,设垂足为A , Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交, ∴直线AF 与渐近线b y x a =-必定有交点B , 因此,直线b y x a=-的斜率要小于直线AF 的斜率, Q 渐近线b y x a =的斜率为b a, ∴直线AF 的斜率a k b =-,可得b a a b -<-, 即22,b a b a a b>>,可得222c a >, 两边都除以2a ,得22e >,解得2e >双曲线离心率e 的取值范围为()2,+∞,故选C. 【点睛】 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式,从而求出e 的范围.17.椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程:221169x y +=,点A 、B 是它的两个焦点,当静止的小球放在点A 处,从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后,再回到点A 时,小球经过的最短路程是( ).A .20B .18C .16D .以上均有可能【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的光学性质可知,小球从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点,所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和,进而根据椭圆的定义可求得答案.【详解】依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点,根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16故选:C .【点睛】本题主要考查了椭圆的应用.解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.18.若函数1()ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>的图象在x =1处的切线与圆x 2+y 2=1相切,则a +b 的最大值是( )A .4B .2C .2D .【答案】D【解析】 ()1ln (0,0)a a f x x a b b b+=-->>, 所以()'a f x bx =-,则f ′(1)=-a b为切线的斜率,切点为(1,-1a b +), 所以切线方程为y +1a b +=-a b(x -1), 整理得ax +by +1=0. 因为切线与圆相切,所以22a b +=1,即a 2+b 2=1.由基本不等式得a 2+b 2=1≥2ab ,所以(a +b )2=a 2+b 2+2ab =1+2ab ≤2,所以a +b ≤,即a +b 的最大值为. 故选D.点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率,其求法为:设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点,则以P 的切点的切线方程为:000'()()y y f x x x -=-.若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为0x x =.19.已知椭圆22198x y +=的一个焦点为F ,直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点,则AF BF CF DF +++=( )A .12B .642+C .8D .6【答案】A【解析】【分析】画出图像,根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=,得到答案.【详解】画出图像,如图所示:直线220,220x y x y -+=--=平行,根据对称性知:()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选:A .【点睛】本题考查了椭圆的性质,意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.20.已知抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l ,抛物线的对称轴与准线交于点Q ,P 为抛物线上的动点,PF m PQ =,当m 最小时,点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为( )A .322-B .22-C 32D 21【答案】D【解析】 由已知,(01)(01)F Q ,,,-,过点P 作PM 垂直于准线,则PM PF =.记PQM α∠=,则sin PFPMm PQ PQ α===,当α最小时,m 有最小值,此时直线PQ与抛物线相切于点P .设2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,可得(21)P ,±,所以222PQ PF ,==,则2PF PQ a +=,∴21a =,1c =,∴21c e a ==,故选D .。
数学一轮总复习平面解析几何的解法技巧在数学一轮总复习的过程中,平面解析几何是一个重要的内容。
平面解析几何涉及到点、直线、圆等几何图形与坐标之间的关系,通过采用坐标系和代数运算方法来解决几何问题。
本文将介绍平面解析几何的解法技巧,以帮助同学们更好地应对考试。
一、平面解析几何基本概念复习在开始解析几何的问题之前,我们需要对平面解析几何的基本概念进行复习。
1. 坐标系:平面直角坐标系由两条相互垂直的数轴x轴和y轴构成,其中原点为坐标系的交点,通常表示为O(0,0)。
x轴和y轴的正向分别向右和向上延伸,形成四个象限。
2. 点的坐标:在平面直角坐标系中,点P的坐标表示为P(x,y),其中x表示点在x轴上的投影,y表示点在y轴上的投影。
3. 直线的方程:直线的方程有多种形式,常见的有一般式和斜截式。
一般式方程表示为Ax + By + C = 0,斜截式方程表示为y = kx + b,其中A、B、C、k和b为常数。
4. 圆的方程:圆的方程表示为(x - a)² + (y - b)² = r²,其中(a,b)表示圆心的坐标,r表示圆的半径。
二、平面解析几何解法技巧在解决平面解析几何问题时,我们可以采取以下的解法技巧。
1. 利用直线的性质解题:在平面解析几何中,直线是一个重要的概念。
我们可以根据直线的性质,例如平行、垂直、相交等来解题。
例如,当我们需要证明两条直线平行时,可以比较两条直线的斜率是否相等。
当我们需要判断两条直线是否相交时,可以比较两条直线的方程是否有解。
2. 利用圆的性质解题:圆是平面解析几何中常见的几何图形之一,我们可以根据圆的性质来解题。
例如,当我们求两个圆的交点时,可以将两个圆的方程联立,并求解方程组来找到交点的坐标。
3. 利用坐标系解题:在平面解析几何中,坐标系是非常重要的工具。
我们可以通过建立坐标系,将几何图形转化为代数表达式,从而用代数运算来解决几何问题。
例如,当我们需要证明一个点在一条直线上时,可以通过代入点的坐标到直线的方程中,判断等式是否成立。
高考数学一轮总复习中的立体几何平面题解析立体几何是高考数学中的一个重要部分,其中平面题在考试中也经常出现。
在高考数学一轮总复习中,对立体几何平面题的解析和理解至关重要。
本文将针对高考数学一轮总复习中的立体几何平面题进行详细解析,帮助考生深入理解该知识点。
一、基础概念解析在解析立体几何平面题之前,我们先来了解一些基础概念。
1.1 立体几何的基本概念立体几何是研究物体在三维空间中的形状、位置关系、大小等性质的数学分支。
在立体几何中,最基本的概念是点、线、面和体。
点是没有大小,只有位置的几何对象;线是由无数个点组成的几何对象;面是由无数条线组成的几何对象;体是由无数个面组成的几何对象。
1.2 平面的特点与性质平面是由无数条平行线组成的无厚度的几何对象,具有以下特点和性质:(1)平面上的任意两点可以通过一条直线相连;(2)平面上的任意两线要么相交于一点,要么平行;(3)平面上的任意三点不共线;(4)平面上的任意两个角的和等于180度。
二、立体几何平面题的解析在高考数学一轮总复习中,立体几何平面题主要包括投影、截面、相似比等内容。
我们将针对这些内容进行详细解析。
2.1 投影问题投影是立体几何平面题中常见的考点之一。
在解决投影问题时,首先要确定物体的投影面,然后通过平行关系、相似三角形等方法求解。
例如,已知一个正方体在不同的投影面上的长度比为1:2:3,求正方体的体积。
解析:由于正方体在不同的投影面上的长度比为1:2:3,可以知道正方体在不同投影面上的边长也成比例关系,假设正方体在最小投影面上的边长为x,则在另外两个投影面上的边长分别为2x和3x。
根据正方体体积的计算公式V=a³,可以得到:V = x³ = (2x)³ = (3x)³化简得:1 = 8 = 27显然这个等式不成立,因此题目条件存在矛盾,无解。
2.2 截面问题截面是立体几何平面题中另一个常见的考点。
在解决截面问题时,需要运用截面与立体几何的性质之间的关系进行计算。
第九章 平面解析几何1.平面解析几何初步 (1)直线与方程①在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了解曲线与方程的对应关系. (5)理解数形结合的思想. (6)了解圆锥曲线的简单应用.§9.1 平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ,B 两点的距离:数轴上点A 的坐标为x 1,点B 的坐标为x 2,则A ,B 两点间的距离|AB |=____________.(2)平面直角坐标系中的基本公式:①两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)之间的距离公式为d (A ,B )=|AB |=__________________________.②线段的中点坐标公式:若点P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x = ,y = . 2.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴________或________时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为__________________.(2)斜率:一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率,常用小写字母k 表示,即k =______(α≠______).当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时,k______0;当直线的倾斜角为锐角时,k______0;当直线的倾斜角为钝角时,k______0;倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同,直线的斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.(3)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =.3.直线方程的几种形式(1)截距:直线l 与x 轴交点(a ,0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距,直线l 与y 轴交点(0,b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距.注:截距____________距离(填“是”或“不是”).(2)直线方程的五种形式:名称方程适用范围点斜式①k存在斜截式②k存在两点式③④截距式⑤a≠0且b≠0一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线注:斜截式是________的特例;截距式是________的特例.(3)过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程①若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为____________;②若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为____________;③若x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为____________;④若x1≠x2,且y1=y2=0,直线即为x轴,方程为____________.自查自纠:1.(1)|x2-x1|(2)①()x2-x12+()y2-y12②x1+x22y1+y222.(1)正向平行重合0°≤α<180°(2)正切值tanα90°=> < 90°(3)y2-y1x2-x13.(1)横坐标a纵坐标b不是(2)①y-y0=k(x-x0) ②y=kx+b③y-y1y2-y1=x-x1x2-x1④x1≠x2且y1≠y2⑤xa+yb=1 ⑥Ax+By+C=0(A,B不同时为0)点斜式两点式(3)①x=x1②y=y1③x=0 ④y=0过点M(-1,m),N(m+1,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( )A.1B.12C.2D.13解:由4-mm+2=1,得m=1.故选A.直线3x-3y+1=0的倾斜角是( )A.30°B.60°C.120°D.135°解:直线方程可变形为y=3x+33,tanα=3,∵倾斜角α∈[0°,180°),∴α=60°.故选B.过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上截距2倍的直线方程是( )A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x-2y-1=0或2x-5y=0解:当直线过原点时所求方程为2x-5y=0;当直线不过原点时,可设其截距式为xa+y2a=1,由该直线过点(5,2)即可解得a=6,对应方程为x6+y12=1,即2x+y-12=0,故选B.若直线斜率的绝对值为3,则直线的倾斜角为________.解:∵|k|=|tanα|=3,α∈[0,π).∴tanα=±3,α=π3或2π3.故填π3或2π3.下列四个命题中真命题有______个.①经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示;④经过定点(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.解:①当k不存在时,直线方程为x=x0,不正确;②正确;③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示,不正确;④k可能不存在,不正确.故填1.类型一直线的倾斜角和斜率(1)已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜角的取值范围.解:当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.∴cosθ≠0.∴k=1-sin2θ0-cosθ=-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π,π.(2)如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l 1与l 2垂直,则直线l 1的斜率k 1=________,直线l 2的斜率k 2=________.解:由图可知,α2=α1+90°=120°,则直线l 1的斜率k 1=tan α1=tan30°=33,直线l 2的斜率k 2=tan α2=tan120°=-3,故填33;-3.点拨:①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量.倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度,而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度,两者由公式k =tan α联系.②在使用过两点的直线的斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1时,注意同一直线上选取的点不同,直线的斜率不会因此而发生变化,同时还要注意两点横坐标是否相等,若相等,则直线的倾斜角为90°,斜率不存在,但并不意味着直线的方程也不存在,此时直线的方程可写为x =x 1.③在已知两点坐标,求倾斜角α的值或取值范围时,用tan α=k =y 2-y 1x 2-x 1转化,其中倾斜角α∈[0,π),此时依然要注意斜率不存在的情形,同时注意运用数形结合思想解题.(1)设直线ax +by +c =0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a ,b 满足( )A.a +b =1B.a -b =1C.a +b =0D.a -b =0 解:由题意得sin α=-cos α,显然cos α≠0,则tan α=-1,∴-a b=-1,a =b ,a -b =0.故选D.(2)已知直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)两点,求直线l 的倾斜角的取值范围.解:∵直线l 经过A (2,1),B (1,m 2)两点,∴k AB =m 2-11-2=1-m 2.又∵m ∈R ,∴k AB ∈(-∞,1],其倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π.类型二 求直线方程根据所给条件求直线的方程.(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等;(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5. 解:(1)由题意知,直线的斜率存在,设倾斜角为α,则sin α=1010(α∈[0,π)),从而cos α=±31010,则k =tan α=±13.故所求直线的方程为y =±13(x +4),即x ±3y+4=0.(2)若截距不为0,设直线的方程为x a +ya=1,∵直线过点(-3,4),∴-3a +4a=1,解得a =1.此时直线方程为x +y -1=0.若截距为0,设直线方程为y =kx ,代入点(-3,4),有4=-3k ,解得k =-43,此时直线方程为4x+3y =0.综上,所求直线方程为x +y -1=0或4x +3y =0.(3)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x -5=0.当直线斜率存在时,设其方程为y -10=k (x -5),即kx -y +(10-5k )=0.由点到直线的距离公式,得||10-5k 1+k2=5,解得k =34.此时直线方程为3x -4y +25=0.综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.点拨:本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程,难度虽不大,但每小题都有陷阱.(1)给出了倾斜角的正弦值,求正切值时,应注意倾斜角的范围;(2)截距相等包括经过原点的直线,还要注意截距不是距离;(3)应用点斜式求直线方程时,注意点斜式的局限性,它不能表示平面内所有直线.求倾斜角是直线y =-3x +1的倾斜角的14,且分别满足下列条件的直线方程:(1)经过点(3,-1); (2)在y 轴上的截距是-5. 解:∵直线y =-3x +1的倾斜角α=120°.∴所求直线的倾斜角为30°.(1)所求直线方程是:y+1=tan30°(x-3),即3x-3y-6=0.(2)所求直线方程为:y=33x-5,即3x-3y-15=0.类型三直线方程的应用已知点A(4,-1),B(8,2)和直线l:x-y-1=0,动点P(x,y)在直线l上,求||PA+||PB的最小值.解:设点A1(x1,y1)与A(4,-1)关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,∴||P0A1=||P0A,||PA1=||PA.∴||PA+||PB=||PA1+||PB≥||A1B=||A1P0+||P0B=||P0A+||P0B.当P点运动到P0点时,||PA+||PB取到最小值||A1B.∵点A,A1关于直线l对称,∴由对称的充要条件知,⎩⎪⎨⎪⎧y1+1x1-4×1=-1,x1+42-y1-12-1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x1=0,y1=3,即A1(0,3).∴(||PA+||PB)min=||A1B=82+(-1)2=65.点拨:平面内,两点间连线中直线段最短,这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础.求A关于l的对称点是关键一步,而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据.(2013·湖南)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP等于( )A.2B.1C.83D.43解:以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC的重心D⎝⎛⎭⎪⎫43,43,设P(m,0),m∈(0,4),则点P关于直线BC,AC的对称点分别为P1(4,4-m),P2(-m,0),由于D,P1,P2三点共线,∴kP1D=kP2D,即43-(4-m)43-4=4343+m,解得m=43或0.又∵m∈(0,4),∴m=43.故选D.1.直线的倾斜角和斜率的关系,可借助k=tanα的图象(如图)来解决.这里,α∈[0,π),k的范围是两个不连续的区间.在求直线方程时,若不能确定直线的斜率是否存在,则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标,它不是距离,它可正、可负、可为0,在用截距式求直线方程时,不可忽视截距可能为0.3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时,应用截距式方程比较简单.4.对于直线方程来说,要注意的是:每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的,具体可参看本节“考点梳理”栏目.在解决关于直线方程的问题中,要把握限制的条件,在求解时要细心处理,否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解;利用直线的截距式解题时,要注意防止忽视零截距而造成漏解;利用直线的一般式解题时,要注意防止忽视隐含条件A2+B2≠0而出现增解.5.求直线方程的方法主要有以下两种:(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,求出直线方程;(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,从而写出直线方程.1.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是αB.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan αC.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大D.直线的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增解:因为直线的斜率k =tan θ,且θ∈[0,π)时,θ才是直线的倾斜角,所以A 不对;因为任一直线的倾斜角α∈[0,π),而当α=π2时,直线的斜率不存在,所以B 不对;当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,斜率大于0;当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时,斜率小于0,C 不对.故选D.2.已知直线的倾斜角为120°,在y 轴上的截距为-2,则此直线的方程为( )A.y =3x +2B.y =-3x +2C.y =-3x -2D.y =3x -2解:∵k =tan120°=-3,且直线在y 轴上的截距为-2,∴由斜截式得y =-3x -2.故选C.3.已知直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则实数a 的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1解:显然a ≠0,由题意得a +2=a +2a,解得a=-2或1.故选D.4.已知直线l 过点(0,2),且其倾斜角的余弦值为45,则直线l 的方程为( )A.3x -4y -8=0B.3x +4y -8=0C.3x +4y +8=0D.3x -4y +8=0解:∵cos α=45,α∈[0,π),∴sin α=35,k =tan α=34.∴直线l 的方程为y -2=34x ,即3x-4y +8=0.故选D.5.若A (a ,b ),B (c ,d )是直线y =mx +n 上的两点,那么A ,B 间的距离为( )A.||a -c 1+m 2B.||a -c (1+m 2) C.||a -c 1+m2D.||a -c ·||m 解:||AB =(a -c )2+(b -d )2=(a -c )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b -d a -c 2 =(a -c )2(1+m 2)=||a -c ·1+m 2.故选A.6.(2013·北京海淀模拟)已知点A (-1,0),B (cos α,sin α),且||AB =3,则直线AB 的方程为( )A.y =3x +3或y =-3x - 3B.y =33x +33或y =-33x -33C.y =x +1或y =-x -1D.y =2x +2或y =-2x - 2解:∵||AB =(cos α+1)2+sin 2α=2+2cos α=3,∴cos α=12,sin α=±32.当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32时,直线AB 的方程为y =33x +33;当点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-32时,直线AB 的方程为y =-33x -33.故选B. 7.直线l :x sin30°+y cos150°+1=0的斜率是____________.解:由题意得直线l 的斜率k =-sin30°cos150°=tan30°=33,∴直线l 的斜率为33.故填33. 8.(2013·四川)在平面直角坐标系内,到点A (1,2),B (1,5),C (3,6),D (7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.解:在四边形ABCD 所在平面内任取一点P ,则PA +PC ≥AC ,PB +PD ≥BD ,∴PA +PB +PC +PD ≥AC +BD ,当且仅当P 为AC 与BD 的交点时取等号,此时点P 到点A ,B ,C ,D 的距离之和最小.易知直线AC 的方程为y =2x ,直线BD 的方程为y =-x +6,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =2x ,y =-x +6,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,即所求点P 的坐标为(2,4).故填(2,4).9.设直线l 的方程为x +my -2m +6=0,根据下列条件分别确定m 的值:(1)直线l 在x 轴上的截距是-3; (2)直线l 的斜率是1.解:(1)令y =0,得x =2m -6.由题意知2m -6=-3,解得m =32.(2)∵直线l 的斜率存在, ∴m ≠0.于是直线l 的方程化为y =-1m x +2m -6m. 由题意知-1m=1,解得m =-1.10.若三点A (2,2),B (a ,0),C (0,b )(ab ≠0)共线,求1a +1b的值.解:∵k AB =0-2a -2=-2a -2,k AC =b -20-2=-b -22,且A ,B ,C 三点共线,∴k AB =k AC ,即-2a -2=-b -22,整理得ab =2(a +b ),将该等式两边同除以2ab 得1a+1b =12. 11.已知直线l 的斜率为16,且和坐标轴围成面积为3的三角形,求直线l 的方程.解:设所求直线l 的方程为x a +y b=1. ∵k =16,∴-b a =16,得a =-6b.又S △ABC =12|a |·|b |=3,∴|ab |=6.联立⎩⎨⎧a =-6b ,||ab =6,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =-1.∴所求直线方程为:x -6+y 1=1或x 6+y-1=1, 即x -6y +6=0或x -6y -6=0.已知△ABC 中,顶点A (4,5),点B 在直线l :2x -y +2=0上,点C 在x 轴上,求△ABC 周长的最小值.解:设点A 关于直线l :2x -y +2=0的对称点为A 1(x 1,y 1),点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2,y 2),连接A 1A 2交l 于B ,交x 轴于C ,则此时△ABC 的周长取最小值,且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l :2x -y +2=0对称,∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1-5x 1-4×2=-1,2×x 1+42-y 1+52+2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=7.∴A 1(0,7).易求得A 2(4,-5),∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2=(4-0)2+(-5-7)2=410.§9.2 两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系(1)平行:对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2,有l 1∥l 2⇔____________,特别地,当直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2的关系为____________.(2)垂直:如果两条直线l 1,l 2的斜率都存在,且分别为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔____________,特别地,若直线l 1:x =a ,直线l 2:y =b ,则l 1与l 2的关系为____________.2.两条直线的交点坐标一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0. 若方程组有惟一解,则两条直线__________,此解就是__________;若方程组无解,则两条直线____________,此时两条直线____________;若方程组有无穷多解,则两条直线____________.3.距离公式(1)点到直线的距离:点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d = .(2)两条平行直线间的距离:两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0(C 1≠C 2)间的距离d =____________________.4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交,则方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(其中λ∈R ,这条直线可以是l 1,但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程.自查自纠:1.(1)k 1=k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2=-1 l 1⊥l 22.相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合3.(1)||Ax 0+By 0+C A 2+B 2(2)||C1-C 2A 2+B 2若直线l 过点(-1,2),且与直线y =23x垂直,则直线l 的方程是( )A.3x +2y -1=0B.3x +2y +7=0C.2x -3y +5=0D.2x -3y +8=0解:由条件知,直线l 的斜率k =-32,∴其方程为y -2=-32(x +1),即3x +2y -1=0.故选A.若直线2ay -1=0与直线(3a -1)x +y -1=0平行,则实数a 等于( )A.12B.-12C.13D.-13解:因为两直线平行,所以3a -1=0,即a =13.故选C.“a =1”是“直线x +y =0和直线x -ay =0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:充分性显然成立,若“直线x +y =0和直线x -ay =0互相垂直”,则(-1)×1a=-1,解得a =1,必要性也成立.故选C.点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (-2,7),则l 的方程是____________.解:由题意得k AB =7-5-2-4=-13,∵k l ⊥k AB ,∴k l =3.又线段AB 的中点在直线l 上,∴直线l 过点(1,6).∴直线l 的方程为y -6=3(x -1),即3x -y +3=0.故填3x -y +3=0.已知直线l 1的方程为3x +4y -7=0,直线l 2的方程为6x +8y +1=0,则直线l 1与l 2的距离为____________.解:l 2可以化为3x +4y +12=0,两直线平行,由两平行直线间的距离公式得d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪-7-125=32.故填32.类型一 两条直线平行、重合或相交已知两条直线:l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,当m 为何值时,l 1与l 2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.解:联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x +my +6=0,(m -2)x +3y +2m =0.当m =0或m =2时两直线相交;当m ≠0或2时,此时A 1A 2=1m -2,B 1B 2=m 3,C 1C 2=62m,当A 1A 2=B 1B 2时,即1m -2=m 3,解得m =-1或m =3; 当A 1A 2=C 1C 2时,即1m -2=62m ,解得m =3. (1)当m ≠-1且m ≠3时,A 1A 2≠B 1B 2,方程组有唯一一组解.∴l 1与l 2相交.(2)当m =-1时,A 1A 2=B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2,方程组无解. ∴l 1与l 2平行.(3)当m =3时,A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2,方程组有无穷多组解.∴l 1与l 2重合.点拨:由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时,可直接应用本题的结论,即:若A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2,则直线A 1x +B 1y +C 1=0与A 2x +B 2y +C 2=0平行,这是一个很实用的结论,但要注意分母不能为零.当实数m 为何值时,三条直线l 1:3x+my -1=0,l 2:3x -2y -5=0,l 3:6x +y -5=0不能围成三角形.解:记l 1,l 2,l 3三条直线的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则k 2=32,k 3=-6.若l 1∥l 2,或l 1∥l 3,则k 1=k 2=32,或k 1=k 3=-6,解之得m =-2或m =12;若三条直线交于一点,由⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y -5=0,6x +y -5=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-1, l 2与l 3交于点(1,-1),将点(1,-1)代入3x +my -1=0,得m =2.∴当m =±2或12时,l 1,l 2,l 3不能围成三角形.类型二 两条直线垂直直线l 1:x +3y =7与直线l 2:kx -y=2,以及与x ,y 轴围成的凸四边形有外接圆,求实数k 的值.解:结合图形分析,如图所示,由直线l 1,l 2及x ,y 轴所围成四边形为OABC ,其有外接圆的充要条件是对角互补.∵∠COA =90°,∴∠CBA =90°, 即l 1⊥l 2.∴k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1,解得k =3.点拨:(1)给定两直线:l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(或y =k 1x +b 1);l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(或y =k 2x +b 2).直线l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0(或k 1k 2=-1).认识此充要条件请把握好以下两点:①k 1k 2=-1是A 1A 2+B 1B 2=0在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式;②A 1A 2+B 1B 2=0含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形,此时两直线也垂直.(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题,所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快,这里应用了四边形有外接圆的充要条件:对角互补.(2013·北京一模)已知直线l 1:ax +(a +1)y +1=0,l 2:x +ay +2=0,则“a =-2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:当a =-2时,l 1:2x +y -1=0,l 2:x -2y +2=0,k 1=-2,k 2=12,∵k 1k 2=-1,∴l 1⊥l 2,充分性成立;反之,由l 1⊥l 2得a ·1+(a +1)·a =0,解得a =-2或0,必要性不成立.综上知,故选A.类型三 对称问题求直线l :x -2y +6=0关于点M (-1,1)对称的直线l ′的方程.解法一:取l 上的两点A (0,3),B (-6,0),求出它们关于点M 的对称点,A ′(-2,-1),B ′(4,2),再用两点式求出l ′的方程为x -2y =0.解法二:设点P ′(x ′,y ′)为所求直线l ′上的任意一点,则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ,y ).由⎩⎪⎨⎪⎧-1=x +x ′2,1=y +y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x =-2-x ′,y =2-y ′, 代入直线l 的方程得:(-2-x ′)-2(2-y ′)+6=0,得x ′-2y ′=0,即x -2y =0为所求直线l ′的方程.点拨:利用点关于点对称列式,再用相关点间的代换法求l ′,此解法适用于求曲线F (x ,y )=0关于点对称的曲线方程,具有普遍意义.有关直线与点的对称问题可分为四类:两点关于一点成中心对称;两线关于一点成中心对称;两点关于一直线成轴对称;两线关于一直线成轴对称,前两类较简单,后两类主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是:①在已知曲线上任取一点M (x ,y );②求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M ′(x ′,y ′);③已知曲线方程用x ′,y ′表示,求出所求曲线的方程G (x ′,y ′)=0.已知三角形的一个顶点A (4,-1),它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1:x -y -1=0和l 2:x -1=0,求BC 边所在直线的方程.解:A 不在这两条角平分线上,因此l 1,l 2是另两个角的角平分线.点A 关于直线l 1的对称点A 1,点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上.设A 1(x 1,y 1),则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1+1x 1-4×1=-1,x 1+42-y 1-12-1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0,y 1=3,∴A 1(0,3).同理设A 2(x 2,y 2),易求得A 2(-2,-1). ∴BC 边所在直线方程为2x -y +3=0.类型四 距离问题已知点A (-2,0),B (0,4)到直线l的距离均为5,求直线l 的方程.解:当点A ,B 在直线l 的同侧时,有AB ∥l , 易得直线AB 的方程为2x -y +4=0,则可设直线l 的方程为2x -y +t =0,∵两平行直线间的距离为5,∴d =|t -4|5=5,解得t =9或-1.直线l 的方程为2x -y +9=0或2x -y -1=0. 当点A ,B 分居直线l 的两侧时,线段AB 的中点在直线l 上,即点(-1,2)在直线l 上,且直线l 的斜率存在,可设直线l :y =k (x +1)+2,由点到直线的距离公式得d =|k -2|k 2+1=5,解得k =-12,直线l 的方程为x +2y -3=0.综上,直线l 的方程为2x -y +9=0或2x -y -1=0或x +2y -3=0.点拨:两点到直线的距离相等,可分为两点在直线同侧和两侧,其中位于直线两侧的情形极易遗漏,应引起注意.对于A ,B 两点在直线l 的两侧,若由|AB |=25,发现直线l 即线段AB 的中垂线,则更易求解.(2013·武汉四月调研)已知直线l :Ax +By +C =0(A ,B 不全为0),两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),若(Ax 1+By 1+C )·(Ax 2+By 2+C )>0,且||Ax 1+By 1+C <||Ax 2+By 2+C ,则直线l ( )A.与直线P 1P 2不相交B.与线段P 2P 1的延长线相交C.与线段P 1P 2的延长线相交D.与线段P 1P 2相交解:由(Ax 1+By 1+C )(Ax 2+By 2+C )>0,得点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线l :Ax +By +C =0的同侧,设d 1=||Ax 1+By 1+C A 2+B 2,d 2=||Ax 2+By 2+C A 2+B 2,由||Ax 1+By 1+C <||Ax 2+By 2+C 得d 1<d 2,即点 P 1(x 1,y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2,y 2)到直线l 的距离,数形结合知直线l 与线段P 2P 1的延长线相交.故选B.类型五 直线系及其应用求证:动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0(其中m ∈R )恒过定点,并求出定点坐标.证法一:令m =0,则直线方程为3x +y +1=0,①再令m =1时,直线方程为6x +y +4=0,②①②联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y +1=0,6x +y +4=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.将点A (-1,2)代入动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0中,(m 2+2m +3)×(-1)+(1+m -m 2)×2+3m 2+1=(3-1-2)m 2+(-2+2)m +2+1-3=0, 故点A (-1,2)的坐标恒满足动直线方程,所以动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0恒过定点A.证法二:将动直线方程按m 降幂排列整理得, m 2(x -y +3)+m (2x +y )+3x +y +1=0,① 不论m 为何实数,①式恒为零,∴有⎩⎪⎨⎪⎧x -y +3=0,2x +y =0,3x +y +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.故动直线恒过点A (-1,2).点拨:此题属于数学中恒成立问题,所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线,那么这两条直线的交点就是那个定点,但m 只是取两个特殊值,是否m ∈R 时都成立,则要进行代入检验;证法二是将动直线方程按m 的降幂排列,由于∀m ∈R 恒成立,所以得关于x ,y 的方程组,解此方程组便得定点坐标.直线系也称直线束,是具有某一共同性质的直线的集合.常见直线系方程有:(1)过定点(x 1,y 1)的直线系:y -y 1=k (x -x 1)和x =x 1.(2)平行于直线Ax +By +C =0的直线系:Ax +By +λ=0(λ≠C ).(3)垂直于直线Ax +By +C =0的直线系:Bx -Ay +λ=0.(4)过A 1x +B 1y +C 1=0与A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系:A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(不包括直线A 2x +B 2y +C 2=0).已知直线l :(a +b )x +(a -b )y +2=0,其中a ,b 满足3a -b +2=0.求证:直线l 恒过一定点.证明:由已知得b =3a +2,则直线l 的方程可化为(4a +2)x -(2a +2)y +2=0,整理得 a (4x -2y )+2x -2y +2=0. 令⎩⎪⎨⎪⎧4x -2y =0,2x -2y +2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2. ∵点(1,2)恒满足直线l 的方程,∴直线l 恒过定点(1,2).1.无论是判断两条直线平行还是垂直,都是从两方面来讨论的,即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况.2.两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数,需分类讨论及数形结合.3.如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关系),并记住结论,往往会使问题更易于解决.4.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组,利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系,即将几何问题转化为代数问题.5.运用公式d =||C 1-C 2A 2+B 2求两平行直线间的距离时,一定要将两条直线方程中x ,y 的系数化成相等的系数,求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离,即在一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离.这一方法体现了化归思想的应用.6.点(x 0,y 0)到直线y =kx +b (即y -kx -b =0)的距离公式d =||y 0-kx 0-b 1+k2记忆容易,对于知d 求k ,b 很方便.7.对称主要分为中心对称和轴对称两种,中心对称仅用中点坐标公式即可,轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴,所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决.1.过点A (2,3)且垂直于直线2x +y -5=0的直线方程为( )A.x -2y +4=0B.2x +y -7=0C.x -2y +3=0D.x -2y +5=0解:由点斜式得所求直线方程为y -3=12(x -2),即x -2y +4=0.故选A.2.(2013·山东模拟)已知两条直线y =ax -2和3x -(a +2)y +1=0互相平行,则a 等于( )A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-3解:∵直线y =ax -2的斜率存在且为a ,∴a+2≠0,直线3x -(a +2)y +1=0可化为y =3a +2x+1a +2.∵两条直线平行,∴3a +2=a 且1a +2≠-2,解得a =1或-3.故选A.3.若直线l 1:y =k (x -4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( )A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)解:∵直线l 1与l 2关于点(2,1)对称,且直线l 1过点(4,0),∴直线l 2必过点(4,0)关于点(2,1)的对称点(0,2).故选B.4.(2013·长春调研)已知直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行,则它们之间的距离是( )A.1710B.175C.8D.2 解:由题意得36=4m ≠-314,解得m =8.∴直线6x +my +14=0可化为3x +4y +7=0.∴两平行线间的距离为d =||-3-732+42=2.故选D. 5.如果直线(m +2)x +(m 2+3m +2)y =m +2与y 轴平行,则m =( )A.-1或-2B.-1C.-1或2D.-2 解:∵直线与y 轴平行, ∴m 2+3m +2=0,解得m =-1或-2. 当m =-1时,直线方程为x =1;当m =-2时,方程(m +2)x +(m 2+3m +2)y =m +2不表示直线,舍去.综上知m =-1.故选B.6.已知直线l 1:ax +4y =2与直线l 2:2x -5y +b =0垂直,点(1,c )为垂足,则a +b +c 等于( )A.-4B.20C.0D.24解:∵l 1⊥l 2,∴2a -20=0,a =10.∴直线l 1的方程为5x +2y -1=0.又∵点(1,c )为垂足,∴点(1,c )在直线l 1,l 2上,有⎩⎪⎨⎪⎧5+2c -1=0,2-5c +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-12,c =-2.∴a +b +c =10-12-2=-4.故选A. 7.过圆x 2+y 2+2x -4y =0的圆心,且与直线2x +3y =0垂直的直线方程为____________.解:设与直线2x +3y =0垂直的直线方程为3x -2y +m =0,由于其过圆心(-1,2),所以有3×(-1)-2×2+m =0,得m =7,所求直线方程为3x -2y +7=0.故填3x -2y +7=0.8.(2013·北京模拟)l 1,l 2是分别经过A (1,1),B (0,-1)两点的两条平行直线,当l 1,l 2间的距离最大时,直线l 1的方程是____________.解:当两条平行直线与A ,B 两点连线垂直时,两条平行直线间的距离最大,∵A (1,1),B (0,-1),∴k AB =-1-10-1=2,两平行线的斜率为k =-12.∴直线l 1的方程是y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.故填x +2y -3=0.9.已知△ABC 的顶点B (2,1),C (-6,3),其垂心为H (-3,2),求顶点A 的坐标.解:设顶点A 的坐标为(x ,y ).∵AC ⊥BH ,AB ⊥CH ,∴⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BH =-1,k AB ·k CH =-1,即⎩⎪⎨⎪⎧y -3x +6×⎝ ⎛⎭⎪⎫-15=-1,y -1x -2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1,化简为⎩⎪⎨⎪⎧y =5x +33,y =3x -5,解之得⎩⎪⎨⎪⎧x =-19,y =-62.∴A 的坐标为(-19,-62).10.设一直线l 经过点(-1,1),此直线被两平行直线l 1:x +2y -1=0和l 2:x +2y -3=0所截得线段的中点在直线x -y -1=0上,求直线l 的方程.解法一:设直线x -y -1=0与l 1,l 2的交点为C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -1=0,x -y -1=0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C =1,y C =0, ∴C (1,0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -3=0,x -y -1=0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D =53,y D =23,∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,23.∴CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13. 又l 过点(-1,1),由两点式得l 的方程为: y -131-13=x -43-1-43,即2x +7y -5=0为所求方程. 解法二:∵与l 1,l 2平行且与它们距离相等的直线方程为:x +2y +-1-32=0,即x +2y -2=0,∴由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -2=0,x -y -1=0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43,13.(以下同解法一)解法三:过中点且与两直线平行的直线方程为x +2y -2=0,设所求方程为:(x -y -1)+λ(x +2y -2)=0,①∵(-1,1)在此直线上,∴-1-1-1+λ(-1+2-2)=0,解得λ=-3,代入①得2x +7y -5=0.解法四:设所求直线与两平行线l 1,l 2的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1+2y 1-1=0,x 2+2y 2-3=0得(x 1+x 2)+2(y 1+y 2)-4=0.①又AB 的中点在直线x -y -1=0上, ∴x 1+x 22-y 1+y 22-1=0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 22=43,y 1+y 22=13.(以下同解法一)11.证明直线(a -2)y =(3a -1)x -1对任意a ∈R 都通过第一象限,并求出直线不通过第二象限时a 的取值范围.证明:原直线方程可变形为x -2y +1+a (y -3x )=0,①由⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +1=0,y -3x =0 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x =15,y =35. ∴方程①表示恒过点(15,35)的一条直线.又点(15,35)在第一象限,∴无论a 为何实数,此直线均过第一象限.解:当a ≠2时,直线方程可化为:y =3a -1a -2x-1a -2. 若要此直线不通过第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧3a -1a -2>0,-1a -2<0,解得a >2. 又当a =2时,原方程可化为:x =15,也不经过第二象限.∴当a ≥2时,直线不通过第二象限.(2014·上海)已知P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)是直线y =kx +1(k 为常数)上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x +b 1y =1,a 2x +b 2y =1的解的情况是( )A.无论k ,P 1,P 2如何,总是无解B.无论k ,P 1,P 2如何,总有唯一解C.存在k ,P 1,P 2,使之恰有两解D.存在k ,P 1,P 2,使之有无穷多解解:∵点P 1(a 1,b 1)与P 2(a 2,b 2)在直线y =kx +1(k 为常数)上且斜率存在,∴k =b 2-b 1a 2-a 1(a 1≠a 2),b 1=b 2-b 1a 2-a 1·a 1+1,得a 2b 1-a 1b 2=a 2-a 1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1x +b 1y =1,a 2x +b 2y =1得(a 1b 2-a 2b 1)x =b 2-b 1,即 (a 1-a 2)x =b 2-b 1.∴方程组总有唯一解.故选B.§9.3 圆的方程1.圆的定义 在平面内,到_________的距离等于__________的点的__________叫圆.确定一个圆最基本的要素是__________和__________.2.圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程:方程(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)叫做以点____________为圆心,__________为半径长的圆的标准方程.(2)圆的一般方程:方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(____________)叫做圆的一般方程.注:将上述一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x +D 22+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +E 22=D 2+E 2-4F 4,此为该一般方程对应的标准方程,表示的是以____________为圆心,____________为半径长的圆.3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),点M (x 0,y 0),(1)点M 在圆上:________________________; (2)点M 在圆外:_______________________; (3)点M 在圆内:_________________________.自查自纠:1.定点 定长 集合 圆心 半径长2.(1)(a ,b ) r(2)D 2+E 2-4F >0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-D 2,-E 2 12D 2+E 2-4F3.(1)(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2(2)(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2(3)(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2若直线3x +y +a =0过圆x 2+y 2+2x -4y =0的圆心,则a 的值为( )A.-1B.1C.3D.-3解:圆的方程可化为(x +1)2+(y -2)2=5,∵直线经过圆的圆心(-1,2),∴3×(-1)+2+a =0,得a=1.故选B.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的取值范围是( )A.a <-2或a >23B.-23<a <0C.-2<a <0D.-2<a <23解:∵方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,∴D 2+E 2-4F >0,即a 2+(2a )2-4(2a 2+a -1)>0,解得-2<a <23.故选D.当a 为任意实数时,直线(a -1)x -y +a +1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,半径长为5的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x +4y =0B. x 2+y 2+2x +4y =0 C.x 2+y 2+2x -4y =0 D. x 2+y 2-2x -4y =0 解:由(a -1)x -y +a +1=0变形得y -2=(a -1)(x +1),∴该直线恒过点C (-1,2).∴所求圆的方程为(x +1)2+(y -2)2=5,即x 2+y 2+2x -4y=0.故选C.(2014·陕西)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为____________.解:∵点(1,0)关于直线y =x 的对称点为(0,1),∴圆心为(0,1).∴圆C 的标准方程为x 2+(y-1)2=1.故填x 2+(y -1)2=1.圆心在y 轴上,半径长为1,且过点(1,2)的圆的方程是________________.解法一(直接法):设圆心坐标为(0,b ),则由题意知(0-1)2+(b -2)2=1,解得b =2,故圆的方程为x 2+(y -2)2=1.解法二(数形结合法):作图,根据圆上的点到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为x 2+(y -2)2=1.故填x 2+(y -2)2=1.类型一 求圆的方程已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3),求以P 1P 2为直径的圆的方程,并且判断点M (6,9),N (3,3),Q (5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外.解法一(待定系数法):根据已知条件,圆心C (a ,b )是P 1P 2的中点,那么它的坐标为a =4+62=5,b=9+32=6.再根据两点的距离公式,得圆的半径长是 r =|CP 1|=(4-5)2+(9-6)2=10.因此所求圆的方程是(x -5)2+(y -6)2=10.。
江苏省常州市高考数学一轮基础复习:专题11 平面解析几何
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共13题;共26分)
1. (2分)双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r= ()
A .
B . 2
C . 3
D . 6
2. (2分)已知抛物线:的焦点为,是抛物线的准线上的一点,且的纵坐标为正数,是直线与抛物线的一个交点,若,则直线的方程为()
A .
B .
C .
D .
3. (2分)(2017·长春模拟) 已知椭圆的左右焦点分别为,,过且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则的周长为
A . 4
B . 6
C . 8
D . 16
4. (2分)(2019·贵州模拟) 在直角坐标系中,抛物线:与圆:
相交于两点,且两点间的距离为,则抛物线的焦点到其准线的距离为()
A .
B .
C .
D .
5. (2分) (2018高二上·淮北月考) 是抛物线上任意一点,,,则
的最小值为()
A .
B . 3
C . 6
D . 5
6. (2分) (2020高二下·浙江期末) 过原点的一条直线与椭圆交于A,B两点,为椭圆右焦点,且AB长度等于焦距长,若,则该椭圆离心率的取值范围为()
A .
B .
C .
D .
7. (2分)下面说法正确的是()
A . 若不存在,则曲线在点处没有切线
B . 若曲线在点处有切线,则必存在
C . 若不存在,则曲线在点处的切线斜率不存在
D . 若曲线在点处没有切线,则有可能存在
8. (2分)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A0,4,则|PA|+|PM|的最小值是()
A . 5
B .
C . 4
D . AD
9. (2分)(2020·银川模拟) 设 , 分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 ,满足 ,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为().
A .
B .
C .
D .
10. (2分)(2017·山西模拟) 已知F1 , F2分别是椭圆mx2+y2=m(0<m<1)的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,若的最小值为,则椭圆的离心率是()
A .
B .
C .
D .
11. (2分)若θ是任意实数,则方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲线一定不是()
A . 圆
B . 双曲线
C . 直线
D . 抛物线
12. (2分)方程x2﹣xy﹣2y2=0表示的曲线为()
A . 椭圆
B . 双曲线
C . 圆
D . 两直线
13. (2分) (2016高二上·黑龙江期中) 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 =4 ,则|QF|=()
A .
B . 5
C .
D . 2
二、填空题 (共4题;共4分)
14. (1分) (2017高二上·靖江期中) 双曲线与双曲线的离心率分别为e1和e2 ,则 =________.
15. (1分) (2017高一上·西安期末) 若点P在坐标平面xOy内,点A的坐标为(0,0,4)且|PA|=5,则点P的轨迹方程为________
16. (1分) (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的左右焦点为,离心率为,过的直线交于两点.若的周长为,则的方程为________.
17. (1分)(2018·曲靖模拟) 抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于
两点,若,则 ________.
三、综合题 (共5题;共45分)
18. (10分) (2015高二下·集宁期中) 已知双曲线,P为双曲线上一点,F1 , F2是双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
19. (10分)已知抛物线上的一点的横坐标为,焦点为,且,直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若是轴上一点,且△ 的面积等于,求点的坐标.
20. (10分)已知椭圆C:的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设,是椭圆C的左右焦点,若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点和,求这个平行四边形的面积最大值.
21. (5分)已知椭圆:,离心率,是椭圆的左顶点,是椭圆的左焦点,,直线: .
(1)求椭圆方程;
(2)直线过点与椭圆交于、两点,直线、分别与直线交于、两点,试问:以为直径的圆是否过定点,如果是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.
22. (10分)已知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切,且圆心C在直线2x+y﹣1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过点(0,1),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
参考答案一、单选题 (共13题;共26分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
二、填空题 (共4题;共4分)
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、综合题 (共5题;共45分)
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、22-1、22-2、
第11 页共11 页。