数学高考题型预测及题型示例

押新高考卷3题平面向量考点3年考题考情分析平面向量2022年新高考Ⅰ卷第3题2022年新高考Ⅱ卷第4题2021年新高考Ⅰ卷第10题2021年新高考Ⅱ卷第15题2020年新高考Ⅰ卷第7题2020年新高考Ⅱ卷第3题高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2023年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．向量的运算（1）两点间的向量坐标公式：()11,y x A ，()22,y x B ，=AB 终点坐标-始点坐标()1212,y y x x --=（2）向量的加减法()11,y x a =，()22,y x b =()2121y y x x b a ++=+∴，，()2121y y x x b a --=-，（3）向量的数乘运算()y x a ,=，则：()()y x y x a λλλλ,,==（4）向量的模()y x a ,=，则a 22y x +=（5）相反向量已知),(y x a =，则),(y x a --=-；已知（6）单位向量()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22222222,,,y x yy x x y x yy x x y x a 反向单位向量为同向单位向量为（7）向量的数量积[]πθθθ,0,,,cos ∈⋅⋅=⋅且的夹角，记作与为其中b a b a b a b a ()()21212211,,,y y x x b a y x b y x a +=⋅∴==，（8）向量的夹角222221212121cos y x y x y y x x ba b a +⋅++=⋅⋅=θ（9）向量的投影ab a ba b a b b a b b b a b a b a a a b a ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅θθcos cos 上的投影为在上的投影为在（10）向量的平行关系1221//y x y x b a b a =⇔=⇔λ（11）向量的垂直关系02121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a （12）向量模的运算22aa =1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB=（）A ．32m n-B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】的模为2，根据正六边形的特征，AP 在AB方向上的投影的取值范围是结合向量数量积的定义式，AB 等于AB 的模与AP 在ABAB的取值范围是()2,6-，A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.6．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB=（）A ．2CD CA + B ．2CD CA - C ．2CD CA - D ．2CD CA+ 【答案】C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 故选：C【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.所以12m =，56n =，所以43m n +=，故选：D8．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形则λμ+的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]0,1【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点【详解】以B 为坐标原点，AB ，BC 所在直线分别为设1AB =，则()()()(0,0,1,0,0,1,B A C D 当点E 在BC 上时，设()[]0,,0,1E m m ∈则()()()1,1,01,1m λμ-=-+-，即m λ--⎧⎨=⎩当点E 在CD 上时，设()[],1,0,1E t t ∈，则()()()1,11,01,1t λμ-=-+-，即λμ--⎧⎨=⎩故选：B9．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知向量(1,3a = 值为（）A ．219B ．411C 【答案】A【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案【详解】由题意，()14,51b c λλλ+=+- ，由a 即()143510λλ++⨯-=，解得219λ=.故选：A.10．（2023·安徽合肥·校考一模）已知非零向量a ，（）A ．45B ．60CA ．13BE CF --B ．13BE - 【答案】C【分析】确定133222AD BD BE =- 【详解】13BE BD DE BD =+=- 23CF CD DF CD AD =+=- ，则 ①+②两式相加，3322AD CF =- 故选：C.13．（2023·重庆·统考二模）已知点34x y +=（）A ．5B ．6【答案】C【分析】如图，点O 在AB 、AC 根据数量积的定义求出BC BA ⋅ ，最后根据数量积的运算律得到【详解】如图，点O 在AB 、AC∴E 是AM 的中点.分别过C ，N 作CH AM ∥，NF 因为AENF 为平行四边形，所以且12AE AM =，AF EN ==由此可得AN = 1528AM AB + .故选：C.15．（2023·福建泉州·校考模拟预测）理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为A ．4255a b +B ．25【答案】A【分析】根据相似三角形，利用向量的分解可得解【详解】如图所示，过点E 分别作EM AB ⊥，则AME AEB ，AEN ABE ，所以AM AE AE AB = ，AN AE BE AB = ，AM 由已知得2AE BF BE == ，则在Rt AEB 中，tan BE BAE AE ∠== 所以25cos 5BAE ∠=，sin BAE ∠=即255AE AB = ，55BE AB = ，所以45AM AB = ，2255AN AB ==A ．[]28,46B 【答案】C 【分析】利用已知条件，再根据PB 的范围便可求出【详解】如图可知,PE = 因为B 是EF 的中点，所以所以()PE PF PB BE ⋅=+ 即()(PE PF PB BE ⋅=+⋅ 所以22PE PF PB BE ⋅=- 由条件可得，3BE = ，因为P 为AC 边上的一个动点，故当P 为AC 中点时，PB 当P 为A 或C 时，PB 最大，所以[43,8]PB ∈ ，所以2[48,64]PB ∈ ，又因为A ．2,23⎡⎤⎣⎦B ．而ABC 是正三角形，则∠当点P 在弧BD 上时，0θ≤显然3,1,AO OP OAB ==∠所以(AB AP AB AO OP ⋅=⋅+ 32321cos 2θ=⨯⨯+⨯⨯=故选：B。

数学高考常考题型例题
1. 函数与导数：
- 求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

- 求函数的导数，并利用导数研究函数的性质。

- 利用导数求函数的极值、最值问题。

2. 三角函数与解三角形：
- 化简、求值、证明三角函数式。

- 求解三角形的边长、角度等问题。

- 利用三角函数的性质解决实际问题。

3. 数列：
- 等差数列与等比数列的通项公式、求和公式。

- 利用数列的递推关系求解数列的通项公式。

- 数列的求和方法，如分组求和、裂项相消、错位相减等。

4. 不等式：
- 一元二次不等式的解法。

- 利用均值不等式求最值。

- 解不等式组，求参数的取值范围。

5. 立体几何：
- 空间直线、平面的位置关系。

- 空间几何体的体积、表面积计算。

- 利用空间向量求解立体几何问题。

高考数学高考数学题型（推荐5篇）1.高考数学高考数学题型第1篇直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

【解答题答题模板】专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。

2、构建答题模板①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

④反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。

专题二、解三角形问题1、解题路线图(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

2、构建答题模板①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

专题三、数列的通项、求和问题1、解题路线图①先求某一项，或者找到数列的关系式。

②求通项公式。

③求数列和通式。

2、构建答题模板①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

专题四、利用空间向量求角问题1、解题路线图①建立坐标系，并用坐标来表示向量。

②空间向量的坐标运算。

全国高考数学题型预测及答案详解第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设A ，B 是两个非空集合，定义A ×B=}|{B A x B A x x ∉∈且，已知},0,2|{},4|{2>==-==x y y B x x y y A x 则A ×B=（ ）A ．),2(]1,0[+∞B ．),2()1,0[+∞C ．[0，1]D ．[0，2]2．23(1)i -的值为（ ）A ．32iB ．32i - C ．i D ．i - 3．若nxx )1(+的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．1204．若221()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-=≠，则1()2f = （ ）A ．1B ．3C ．7D ．155．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= （ ）A ．12p + B ．1p - C ．12p -D ．12p - 6．已知A （－1，2），B （2，1），则)1,1(-=按平移后得到的向量的坐标为 （ ） A ．（3，－1） B ．（－3，1） C ．（4，－2） D ．（－2，0）7．把函数sin(2)4y x π=+的图象向右平移8π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到 原来的12，则所得图象的解析式为（ ）A ．3sin(4)8y x π=+B ．sin(4)8y x π=+C ．sin 4y x =D ．sin y x =8．设e <x <10，记a =ln(ln x )，b =lg(lg x )，c =ln(lg x )，d =lg(ln x )，则a ，b ，c ，d 的大小关系（ ） A ．a <b <c <d B ．c <d <a <b C ．c <b <d <a D ．b <d <c <a 9．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有2)()()(111=⋅---b fa fx f若a ，b>0则ba 41+的最小值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．910．两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10}，若从A 到B 的是映射f 使B中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10)<f (a 11)<…<f (a 15), 则这样的映射共 有 （ ）A ．510C 个B ．49C 个C ．1015个D ．1015105A ⋅11.已知二面角βα--l 的大小为60°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所成的角为( )（A ）30°（B ）60°（C ）90°（D ）120°12．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．5B ．25 C ．3 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编09一、单选题1(2024·广东梅州·二模)已知点F 为双曲线C ：x 23-y 2=1的右焦点，点N 在x 轴上(非双曲线顶点)，若对于在双曲线C 上(除顶点外)任一点P ，∠FPN 恒是锐角，则点N 的横坐标的取值范围为()A.2,143B.2,173C.3,143D.3,173【答案】C【解析】由题意可得c =a 2+b 2=2，所以F (2,0)，设N (x 0，0)，P (x ,y )，则PF =(2-x ,-y )，PN =(x 0-x ，-y )，由∠FPN 恒是锐角，得PF ⋅PN=(2-x )(x 0-x )+y 2>0，又x 23-y 2=1，∴y 2=x 23-1，∴不等式可化为：(2-x )(x 0-x )+x 23-1>0，整理得：4x 23-(x 0+2)x +(2x 0-1)>0，∴只需Δ=(x 0+2)2-163(2x 0-1)<0，解得2<x 0<143．故选：C ．2(2024·广东·二模)已知球O 与圆台O 1O 2的上、下底面和侧面均相切，且球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则球O 与圆台O 1O 2的表面积之比为()A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】由题意，作出圆台的轴截面ABCD ，设圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，球的半径OO 1=r ，则AE =r 1,BE =r 2，过A 作AD ⊥BC 于点H ，由AH 2+BH 2=AB 2，得2r 2+r 2-r 1 2=r 1+r 2 2，化简得r 2=r 1r 2，由球的体积公式V 球=43πr 3，圆台的体积公式V 圆台=132r ⋅πr 21+πr 22+πr 21⋅πr 22 =23πr r 21+r 22+r 1r 2 ，已知球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则2r 2r 21+r 22+r 1r 2=12，化简得4r 2=r 21+r 22+r 1r 2，则4r 1r 2=r 21+r 22+r 1r 2，得3r 1r 2=r 21+r 22，又球的表面积S 球=4πr 2，圆台的表面积S 圆台=πr 1+r 2 2+r 21+r 22 ，所以S 球S 圆台=4r 22r 21+r 22+r 1r 2 =2r 2r 21+r 22+r 1r 2=2×14=12，故选：D ．3(2024·广东·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，若等腰直角△ABC 的直角边AC 为圆O 的一条弦，且圆心O 在△ABC 外，点B 在圆O 外，则四边形OABC 的面积的最大值为()A.52+1 B.2+1C.62+1 D.3+1【答案】A【解析】如图所示，设∠OAC =∠OCA =α，则∠AOC =π-2α，故S AOC =12OA ⋅OC sin ∠AOC =12sin π-2α =12sin2α，由余弦定理得AC 2=OA 2+OC 2-2OA ⋅OC cos ∠AOC =1+1-2cos π-2α =2+2cos2α，故等腰直角三角形△ABC 的面积为12AC ⋅BC =12AC 2=1+cos2α，故四边形OABC 的面积为12sin2α+cos2α+1=52sin 2α+φ +1，其中tan φ=2，0<φ<π2，其中α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ⊇π2,π，则当2α+φ=π2时，52sin 2α+φ +1取得最大值，最大值为52+1．故选：A4(2024·湖南益阳·模拟预测)已知f x 的定义域为0,+∞ ,f x 是f x 的导函数，且x 2f x +2xf x =ln x ，2ef e =1，则f 13,f sin 14 ,f tan 12的大小关系是()A.f 13 <f sin 14 <f tan 12 B.f sin 14 <f 13 <f tan12C.f tan 12 <f 13 <f sin 14D.f sin 14 <f tan 12 <f 13【答案】C【解析】因为x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，即[x 2f (x )] =ln x ，构造函数g (x )=x 2f (x )，则g (x )=ln x ，f (x )=g (x )x2．将f (x )=g (x )x2代入x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，得f (x )=x ln x -2g (x )x 3．再构造函数h (x )=x ln x -2g (x )，则h (x )=ln x +1-2g (x )=1-ln x ，易知，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，函数h (x )单调递减，所以h (x )max =h (e )=e -2g (e )=e -2e 2f (e )，由于2ef (e )=1，所以h (e )=0，所以h (x )≤0，所以当x ∈(0,e )时，f (x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )在(0,+∞)单调递减．又根据单位圆可得三角不等式sin 13<13<tan 13，又sin 14<sin 13，tan 13<tan 12，所以f tan 13<f 13 <f sin 13 ，故f tan 12 <f 13 <f sin 14 ．故选：C ．5(2024·湖南益阳·模拟预测)如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为r A ，另一种金属晶体的原子半径为r B ，则r A 和r B 的关系是()A.2r B =3r AB.2r B =6r AC.2r B =3-1 r AD.2r B =6-2 r A【答案】D【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体P -ABC ，设正四面体的棱长为a a >0 ，高为h h >0 ，外接球球心为O ，D 为正三角形ABC 的中心，则必有PD ⊥平面ABC 且P ，O ，D 三点共线，在正三角形ABC 中，易求得DB =32a ×23=33a ，在△PDB 中，由PB 2=PD 2+DB 2，可得h =PD =a 2-33a 2=63a ，在△OBD 中，由OB 2=OD 2+DB 2，得R 2=(h -R )2+33a2，解得R =64a ，由题意得a =2rA64a =r A +r B，所以64×2r A =r A +r B ，所以2r B =6-2 r A ．故选：D ．6(2024·湖北武汉·模拟预测)若函数f x =3cos ωx +φ ω<0，-π2<φ<π2的最小正周期为π，在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6上存在零点，则φ的取值范围是()A.π6,π2B.-π2,-π3C.π3,π2D.0,π3 【答案】B【解析】由函数f (x )的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而ω<0，解得ω=-2，则f (x )=3cos (-2x +φ)=3cos (2x -φ)，由2k π≤2x -φ≤2k π+π,k ∈Z ，得2k π+φ≤2x ≤2k π+π+φ,k ∈Z ，又f (x )在-π6,π6上单调递减，因此2k π+φ≤-π3，且π3≤2k π+π+φ,k ∈Z ，解得-2π3-2k π≤φ≤-π3-2k π,k ∈Z ①，由余弦函数的零点，得2x -φ=n π+π2,n ∈Z ，即2x =n π+π2+φ,n ∈Z ，而f (x )在0,π6 上存在零点，则0<n π+π2+φ<π3,n ∈Z ，于是-n π-π2<φ<-n π-π6,n ∈Z ②，又-π2<φ<π2，联立①②解得-π2<φ≤-π3，所以φ的取值范围是-π2,-π3．故选：B7(2024·湖北武汉·模拟预测)如果a <x <b ，记x 为区间a ,b 内的所有整数．例如，如果2<x <3.5，则x =3；如果1.2<x <3.5，则x =2或3；如果2.3<x <2.7，则x 不存在．已知T =1+142+143+⋯+1481，则T =()A.36B.35C.34D.33【答案】B【解析】令函数f (x )=43x 34(x >0)，求导得f (x )=x -14=14x，则14n(n ∈N ∗)可视为函数f (x )=43x 34(x >0)在x =n 处的切线斜率，设A (n ,f (n )),B (n +1,f (n +1))，则直线AB 的斜率k AB =f (n +1)-f (n )n +1-n=f (n +1)-f (n )，由导数的几何意义有f (n +1)<k AB <f (n )，因此14n +1<43(n +1)34-n 34 <14n，而43234-134 +334-234 +434-334 +⋯+8234-8134 <141+142+143+⋯+1481=T ，即有T >438234-1 >438134-1 =43×26=34+23，又T =1+142+143+⋯+1481<1+438134-1 =35+23，因此34+23<T <35+23，所以[T ]=35．故选：B8(2024·山东·二模)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6 对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23．故选：A9(2024·山东·二模)已知f x 为定义在R 上的奇函数，设f x 为f x 的导函数，若f x =f 2-x +4x -4，则f 2023 =()A.1B.-2023C.2D.2023【答案】C【解析】因为f x =f 2-x +4x -4，所以两边求导，得f (x )=-f (2-x )+4，即f (x )+f (2-x )=4①因为f x 为定义在R 上的奇函数，则f (-x )=-f (x )，所以两边求导，得f (x )=f (-x )，所以f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2-x )=f (x -2)，结合①式可得，f (x )+f (x -2)=4，所以f (x -2)+f (x -4)=4，两式相减得，f (x )=f (x -4)，所以f (x )是周期为4的偶函数，所以f (2023)=f (-1)=f (1)．由①式，令x =1，得f (1)=2，所以f (2023)=f (1)=2．故选：C ．10(2024·河南信阳·模拟预测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 为BD 1上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为()A.33B.63C.66D.32【答案】C【解析】由题意可得OP 的最小值为点O 到线段BD 1的距离，在平面D 1DB 内过点O 作OP ⊥BD 1于点P ，由题意可得DD 1=1，DB =2，BD 1=3，DD 1⊥平面ABCD ，因为DB ⊂平面ABCD ，则DD 1⊥DB ，因为△OPB ∽△D 1DB ，故OP DD 1=OB BD 1，即OP =OB ⋅DD 1BD 1=22×13=66．故选：C ．11(2024·河南信阳·模拟预测)若直线y =ax +b 与曲线y =e x 相切，则a +b 的取值范围为()A.(-∞,e ]B.[2,e ]C.[e ,+∞)D.[2,+∞)【答案】A【解析】对于y =e x ，有y =e x ，令切点为m ,e m ，则切线方程为y =e m x -m +e m ，即y =e m x +1-m e m ，即有a +b =e m +1-m e m =2-m e m ，令f x =2-x e x ，则f x =1-x e x ，当x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，故f x 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，故f x ≤f 1 =2-1 e 1=e ，又当x 趋向于正无穷大时，f x 趋向于负无穷，故f x ∈(-∞,e ]，即a +b ∈(-∞,e ]．故选：A ．12(2024·福建福州·模拟预测)函数f x =2sin ωx 3sin ωx +cos ωx (ω>0)在0,π3上单调递增，且对任意的实数a ，f x 在(a ,a +π)上不单调，则ω的取值范围为()A.1,52B.1,54C.12,52D.12,54【答案】D【解析】因为f (x )=2sin ωx (3sin ωx +cos ωx )=23sin 2ωx +2sin ωx cos ωx=sin2ωx -3cos2ωx +3=2sin 2ωx -π3 +3，又因为x ∈0,π3 ，且ω>0，则2ωx -π3∈-π3,2ωπ3-π3 ，若f (x )在0,π3上单调递增，所以2ωπ3-π3≤π2，所以0<ω≤54，因为对任意的实数a ，f (x )在(a ,a +π)上不单调，所以f (x )的周期T =2π2ω<2π，所以ω>12，所以12<ω≤54．故选：D ．13(2024·浙江嘉兴·二模)6位学生在游乐场游玩A ,B ,C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有()A.180种B.210种C.240种D.360种【答案】C【解析】若A 有2人游玩，则有C 26C 34C 11A 22+C 24C 22A 22A 22=15×8+6 =210种；若A 有4人游玩，则有C 46A 22=15×2=30种；所以共有240种，故选：C ．14(2024·浙江嘉兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足xf x =1-x f x ，且f 1 >0，则()A.f 12<f 1 <f 2 B.f 2 <f 1 <f 12C.f 12<f 2 <f 1D.f 2 <f 12<f 1 【答案】D【解析】由xfx =1-x f x 变形得f x -xf x f x=x ，从而有f x -xf x f 2x=x f x ，x f x =x f x ，所以xf x=k ⋅e x ，因为f 1 >0，所以k =1f 1 e1>0，则f x =xk ⋅e x ，则fx =ke x -kx ⋅e x k 2e x =ke x 1-x k 2e x，故当0<x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，所以f x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 单调递减，所以f 12<f 1 ，f 2 <f 1 ，又f 12 -f 2 =12k e -2ke 2=e 32-42ke2，而e 3>2.73≈19.7>16，所以e 32>4，所以f 2 <f 12<f 1 ．故选：D ．15(2024·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,A 1B 1=2,AA 1=3，若球O 与上底面A 1B 1C 1D 1以及棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切，则球O 的表面积为()A.9π B.16π C.25πD.36π【答案】C【解析】设棱台上下底面的中心为N ,M ，连接D 1B 1,DB ，则D 1B 1=22,DB =42，所以棱台的高MN =B 1B 2-MB -NB 1 2=3 2-22-2 2=1，设球半径为R ，根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A 1B 1C 1D 1相切于N ，与棱AB ,BC ,CD,DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接OE ,OM ,ME ，所以OE 2=OM 2+ME 2⇒R 2=R -1 2+22，解得R =52，所以球O 的表面积为4πR 2=25π，故选：C16(2024·浙江宁波·二模)已知集合P =x ,y |x 4+ax -2024=0 且xy =2024 ，若P 中的点均在直线y =2024x 的同一侧，则实数a 的取值范围为()A.-∞,-2023 ∪2023,+∞ B.2023,+∞ C.-∞,-2024 ∪2024,+∞ D.2024,+∞【答案】A【解析】依题意集合P 即为关于x 、y 的方程组x 4+ax -2024=0xy =2024 的解集，显然x ≠0，所以a =-x 3+2024xy =2024x，即y =-x 3+2024x y =2024x y =a，令f x =-x 3+2024x ，由y =2024x y =2024x，解得x =1y =1 或x =-1y =-1 ，即函数y =2024x 与y =2024x的交点坐标为1,1 和-1,-1 ，又f -x =-x 3+2024x =--x 3+2024x =-f x ，所以f x 为奇函数，因为y =-x 3与y =2024x 在0,+∞ 上单调递减，所以f x =-x 3+2024x 在0,+∞ 上单调递减，则f x =-x 3+2024x在-∞,0 上单调递减，依题意y =a 与y =-x 3+2024x 、y =2024x的交点在直线y =2024x 的同侧，只需a >f 1 或a <f -1 ，即a >2023或a <-2023，所以实数a 的取值范围为-∞,-2023 ∪2023,+∞ ．故选：A17(2024·浙江杭州·二模)在△ABC 中，已知sin A sin B =n sin C ,cos A cos B=n cos C ．若tan A +π4 =-3，则n =()A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】由tan A +π4 =1+tan A1-tan A=-3，即tan A =2，则cos A ≠0，由sin A sin B =n sin C ,cos A cos B =n cos C ，知cos C ≠0，则tan A tan B=tan C ，则tan A =tan B ⋅tan C =2，又tan A =tan π-B -C =-tan B +C =-tan B +tan C1-tan B ⋅tan C=tan B +tan C ，故tan B +tan C =2，设tan B =t ，则tan C =2-t ，有t 2-t =2，即t 2-2t +2=0，Δ=4-8=-4<0，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解．故选：A ．18(2024·浙江杭州·二模)设集合M ={-1,1}，N ={x |x >0且x ≠1}，函数f x =a x +λa -x (a >0且a ≠1)，则()A.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为增函数B.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为减函数C.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为奇函数D.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为偶函数【答案】D【解析】当λ=1时，f x =a x +a -x ，a >1时，f (x )在(-∞,0)上不是增函数，故A 不正确；当λ=-1时，f x =a x -a -x ，a >1时，f (x )在(0,+∞)上为增函数，B 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故C 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故D 正确；故选：D ．19(2024·浙江台州·二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点M ,N 分别在双曲线C 的左、右两支上，且满足∠MF 2N =π3，NF 2=2MF 1 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.73C.3D.52【答案】B【解析】如图，设NF 1与MF 2的交点为P ，MF 1 =x ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2 =2MF 1 =2x ，所以，由双曲线的定义可知：MF 2 =MF 1 +2a =2a +x ，NF 1 =2a +NF 2 =2x +2a ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2⎳MF 1，所以△NF 2P ∽△F 1MP ，∠F 1MF 2=∠MF 2N =π3，所以PF 2 =23MF 2 =232a +x ，PN =23NF 1 =232a +2x ，所以，在△PNF 2中，∠PF 2N =∠MF 2N =π3，所以，由余弦定理有：cos ∠PF 2N =PF 2 2+F 2N 2-PN 22PF 2 ⋅F 2N=cos π3=12，代入PF 2 =232a +x ，PN =232a +2x ，NF 2 =2x ，整理得3x 2-10ax =0，解得x =103a ，x =0(舍)，所以，MF 1 =x =103a ，MF 2 =2a +x =163a ，F 1F 2 =2c ，所以，在△F 1MF 2中，由余弦定理有：cos ∠F 1MF 2=F 1M 2+F 2M 2-F 1F 2 22F 1M ⋅F 2M =12，代入数据整理得：7a =3c ，所以，双曲线的离心率为：e =c a =73．故选：B20(2024·江苏扬州·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =60°，动点P 在BC 边上(包括端点)，则AD ⋅AP的取值范围是()A.0,1 B.-1,2C.-2,2D.-1,1【答案】C【解析】如图，作Cy ⊥CB ，以C 为原点，建立平面直角坐标系，易知C (0,0)，A (1,3)，D (-1,3)，设P (x ,0)，且x ∈0,2 ，故AD =(-2,0)，AP=x -1,-3 ，故AD ⋅AP=-2(1-x )=2-2x ，而-2x ∈-4,0 ，2-2x ∈-2,2 ．故选：C21(2024·江苏扬州·模拟预测)设方程2x +x +3=0和方程log 2x +x +3=0的根分别为p ,q ，设函数f x =x +p x +q ，则()A.f 2 =f 0 <f 3B.f 0 =f 3 >f 2C.f 3 <f 2 =f 0D.f 0 <f 3 <f 2【答案】B【解析】由2x +x +3=0得2x =-x -3，由log 2x +x +3=0得log 2x =-x -3，所以令y =2x ,y =log 2x ,y =-x -3，这3个函数图象情况如下图所示：设y =2x ,y =-x -3交于点B ，y =log 2x ,y =-x -3交于点C ，由于y =2x ,y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称，而y =-x -3,y =x 的交点为A -32,-32 ，所以p +q 2=-32，注意到函数f x =x +p x +q =x 2+p +q x +pq 的对称轴为直线x =-p +q 2，即x =32，且二次函数f x 的图象是开口向上的抛物线方程，从而f 0 =f 3 >f 2 ．故选：B ．22(2024·河北邢台·一模)如图，正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()A.31πcmB.32πcm C.33πcm D.34πcm 【答案】A【解析】正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，正四棱台容器内水的高度为6cm ，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为122+10 =6，其体积为V 1=1362+102+62×102 ×6=392cm 3；放入铁球后，水位高为9cm ，沿A 1B 1作个纵截面，从A 1,B 1分别向底面引垂线，如图，其中EF 是底面边长10cm ，B 1H 是容器的高为12cm ，GH 是水的高为9cm ，由截面图中比例线段的性质GN HF =B 1G B 1H=14，可得GN =1，此时水面边长为4cm ，此时水的体积为V 2=1342+102+42×102 ×9=468cm 3，放入的57个球的体积为468-392=76cm 3，设小铁球的半径为r ，则57×43πr 3=76，解得r =31πcm ．故选：A 23(2024·河北邢台·一模)倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=16x 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．若θ∈π6,π4，则AF BF 的取值范围为()A.128,256 B.64,256 C.64,1963 D.1963,128 【答案】A【解析】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线y 2=2px ，倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．作准线的垂线AA ,BB ，过F 作FM ⊥AA ，则AF =AA =MA +AM =p +AF cos θ，解得AF =p 1-cos θ，同理可得BF =p1+cos θ，如图，不妨设A 在第一象限，由焦半径公式得AF =81-cos θ，AF =81+cos θ，则AF BF =81-cos θ×81+cos θ=64sin 2θ，而θ∈π6,π4 ，可得sin 2θ∈14,12 ，故64sin 2θ∈128,256 ，故A 正确，故选：A 二、多选题24(2024·广东梅州·二模)已知数列a n 的通项公式为a n =3n ，n ∈N *，在a n 中依次选取若干项(至少3项)a k 1，a k 2，a k 3，⋅⋅⋅，a k n，⋅⋅⋅，使a k n成为一个等比数列，则下列说法正确的是()A.若取k 1=1，k 2=3，则k 3=9B.满足题意的k n 也必是一个等比数列C.在a n 的前100项中，a k n的可能项数最多是6D.如果把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n总是无穷数列【答案】AB【解析】因为数列a n 的通项公式为a n =3n ，对于A ，取k 1=1，k 2=3，则a k 1=a 1=3，a k 2=a 3=9，由于a k n为等比数列，则a k 3=27，则有3k 3=27，即k 3=9，故A 正确；对于B ，数列{a n }的通项公式为a n =3n ，则a k n=3k n ，若a k n为等比数列，即3k 1，3k 2，3k 3，⋯，3k n ，⋯是等比数列，则k 1，k 2，k 3，⋯，k n ，⋯，是等比数列，故满足题意的{k n }也必是一个等比数列，故B 正确；对于C ，在a n 的前100项中，可以取k 1=1，k 2=2，k 3=4，k 4=8，k 5=16，k 6=32，k 7=64，可以使a k n成为一个等比数列，此时a k n为7项，故C 错误；对于D ，取k 1=4，k 2=6，则a k 1=12,a k 2=18，则a k 3=27,a k 4=812，a k 4=812不是数列a n 的项，所以把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n不总是无穷数列，故D 错误．故选：AB ．25(2024·广东梅州·二模)如图，平面ABN ⊥α，AB =MN =2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则()A.以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB.若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C.若P 到直线MN 的距离为1，则∠APB 的最大值为π2D.满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】对于A ，由于MN 与平面α的所成角大小为30°，所以点N 到平面α的距离d =MN sin30°=1，故半径为R =2的球面在平面α上截面圆的半径为r =R 2-d 2=3，故截痕长为2πr =23π，A 错误，对于B ，由于平面ABN ⊥α，所以以AB 为y ，在平面α内过M 作x ⊥AB ，平面ABN 内作z ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则M 0,0,0 ,B 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,N 0,3,1 ，设P x ,y ,0 ，则PM =PN ⇒x 2+y 2=x 2+y -3 2+1，化简得y =23，故P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线，B 正确，MN =0,3,1 ,MP =x ,y ,0 ，所以P 到直线MN 的距离为MP 2-MP ⋅MNMN2=x 2+y 2-3y 22=1，化简可得x 2+y 24=1，所以点P 的轨迹是平面α内的椭圆x 2+y 24=1上一点，如图，当P 在短轴的端点时，此时∠APB 最大，由于BM =MP =1，故∠BPM =π4，因此∠APB =2∠BPM =π2，C 正确，对于D ，NM =0,-3,-1 ,NP =x ,y -3,-1 ，MP=x ,y ,0 ，若∠MNP =45°，则cos ∠MNP =cos NM ,NP =NM ⋅NPNM ⋅NP =-3y +42x 2+y -3 2+1=22，化简得y -2324-x 22=1且y <433，故满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是双曲线的一部分，D 错误，故选：BC26(2024·广东·二模)设O 为坐标原点，抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为F 1，过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点，过点A ,B 分别作l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则下列说法正确的有()A.A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2B.A 1B 1 ≤2FF 1C.OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1D.OA +OB ≥OA 1 +OB 1【答案】ACD【解析】由已知F (1,0)，F 1(-1,0)，设过点F 的直线方程为：x =my +1，设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则A 1(-1,y 1)，B 1(-1,y 2)，由y 2=4x x =my +1，得y 2-4my -4=0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2,x 1x 2=y 1y 2216=1，A 1F 1 ⋅B 1F 1 =-y 1y 2=4,FF 1 2=22=4，所以A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2，故A 正确，A 1B 1 =y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16m 2+16≥4=2FF 1 ，故B 错误，OA2⋅OB 2=x 21+y 21 x 22+y 22 =x 21x 22+x 21y 22+x 22y 21+y 21y 22=17+x 22y 21+x 21y 22=17+4x 22x 1+4x 21x 2=17+4x 1x 2x 1+x 2 =25+16m2，O 1A2⋅O 1B 2=1+y 21 1+y 22 =1+y 22+y 21+y 21y 22=17+y 21+y 22=17+y 1+y 2 2-2y 1y 2=25+16m 2，故OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，C 正确，OA +OB2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2+2OA ⋅OB -2OA 1 ⋅OB 1 ，由选项C 可知OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，所以OA +OB 2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2=x 21+y 21 +x 22+y 22 -1+y 21 -1+y 22 =x 21+x 22 -2=x 1+x 2 2-2x 1x 2-2=4m 2+2 2-4≥0，故OA +OB ≥OA 1 +OB 1 ，D 正确；故选：ACD27(2024·湖南益阳·模拟预测)如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆OP 与横杆PQ 组成，P ,Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ 始终保持水平．如图2所示，以点O 为原点，水平方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点O 距水平地面的高度为1米，转动杆OP 的长度为1．6米，横杆PQ 的长度为2米，OP 绕点O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角θ∈30°,90° ()A.则点P 运动的轨迹方程为x 2+(y +1)2=6425(其中x ∈0,435,y ∈45,85)B.则点Q 运动的轨迹方程为(x -2)2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)C.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则横杆PQ 距水平地面的高度为135米D.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则点Q 运动轨迹的长度为135米【答案】BC【解析】对于A ：点P 的轨迹显然是以O 为原点，OP 为半径的圆，故点P 运动轨迹方程为x 2+y 2=6425(其中x ∈0,435 ,y ∈45,85)，故A 错误；对于B ：设Q x ,y ,P x 0,y 0 ，因为PQ 平行于x 轴，所以x =x 0+2y =y 0，所以x 0=x -2y 0=y ，又因为P 在加圆x 2+y 2=6425上，所以点Q 的运动轨迹是以(2,0)为圆心，1．6为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为x -2 2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)，故B 正确；对于C ：若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ 达到最高点，此时横杆PQ 距水平地面的高度为1+1.6=135，故C 正确；对于D ：因为OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故Q 绕点2,0 转动的角度与点P 绕点0,0 转动的角度一样为90°-30°=π3，所以点Q 运动轨迹的长度即为圆(其中)的弧长，等于1.6×π3=8π15，故D 错误．故选：BC ．28(2024·湖南益阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，已知sin A :sin B :sin C =2:3:4，则下列结论中正确的是()A.a +b :b +c :c +a =5：6：7B.△ABC 为钝角三角形C.若a +b +c =18．则△ABC 的面积是615D.若△ABC 的外接圆半径是R ，内切圆半径为r ，则5R =16r 【答案】BD【解析】因为sin A :sin B :sin C =2:3:4，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R ，可得a :b :c =2:3:4，设a =2x x >0 ，b =3x ，c =4x ，则(a +b ):(b +c ):(c +a )=5x :7x :6x =5:7:6，故A 错误；由题意可知，C 为最大角，因为cos C =a 2+b 2-c 22ab =4x 2+9x 2-16x 212x 2=-14<0，故C 为钝角，故B 正确；若a +b +c =18，则a =4，b =6，c =8，又cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154，所以△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =12×4×6×154=315，故C 错误；由正弦定理得，2R =c sin C =4x 154=16x 15，即R =8x15，由面积公式可得12(a +b +c )r =12ab sin C ，即12×9x ⋅r =12×2x ×3x ×154，所以r =156x ，所以R r =165，故5R =16r ，故D 正确．故选：BD ．29(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =a n 2+12a n，则下列结论正确的是()A.当m >n m ，n ∈N * 时，a m >a nB.S n +S n +2<2S n +1C.数列S 2n 是等差数列D.S n -1S n≥ln n 【答案】BCD【解析】对A ，由题意可知a 1=a 12+12a 1⇒a 21=1，所以a 1=1，则a 1+a 2=a 22+12a 2⇒a 22+2a 2-1=0，所以a 2=2-1<a 1，故A 错误；对C ，由S n =a n 2+12a n ⇒S n =S n -S n -12+12S n -S n -1⇒S 2n -S 2n -1=1n ≥2 ，故C 正确；对C ，所以S 2n =1+n -1 =n ⇒S n =n ，则S n +S n +2=n +n +2<2n +n +22=2S n +1，故B 正确；对D ，易知S n -1S n =n -1n，令f x =x -1x -2ln x x ≥1 ，则f x =1+1x2-2x =1x -1 2≥0，则f x 单调递增，所以f x ≥f 1 =0⇒n -1n≥ln n ，即S n -1S n ≥ln n ，故D 正确．故选：BCD 30(2024·湖北武汉·模拟预测)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，点C 是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A 1C 交直线x =2于点P ，连接A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k A 1C ⋅k A 2C 为定值B.2k A 1C =k OPC.当四边形OA 2CB 1的面积最大时，直线OC 的斜率为1D.点M 的纵坐标没有最大值【答案】ABD【解析】依题意，A 1(-2,0),A 2(2,0)，设C (2cos θ,sin θ),0<θ<2π,θ∉π2,π,3π2，对于A ，k A 1C ⋅k A 2C =sin θ2cos θ+2⋅sin θ2cos θ-2=-14，A 正确；对于B ，直线A 1C 的方程为y =sin θ2cos θ+2(x +2)，它与直线x =2的交点P 2,2sin θcos θ+1，因此k OP =sin θcos θ+1=2k A 1C ，B 正确；对于C ，不妨令0<θ<π2，四边形OA 2CB 1的面积S =S △OA 2C +S △OB 1C=sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ≤2，当且仅当θ=π4时取等号，此时点C 2,22 ，直线OC 的斜率为12，C 错误；对于D ，当点C 无限接近点B 1时，点M 的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，因此没有最大值，D 正确．故选：ABD31(2024·山东·二模)将正四棱锥P -ABCD 和正四棱锥Q -ABCD 的底面重合组成八面体Ω,AB =PA =2,QA =10，则()A.PQ ⊥平面ABCDB.PA ⎳QCC.Ω的体积为42D.二面角P -AB -Q 的余弦值为-13【答案】AC【解析】令正方形ABCD 的中心为O ，连接PO ,QO ，对于A ，由正四棱锥P -ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，同理QO ⊥平面ABCD ，则P ,O ,Q 共线，因此PQ ⊥平面ABCD ，A 正确；对于B ，连接AC ，显然O 是AC 的中点，AO =12AC =2，PO =PA 2-AO 2=2，QO =QA 2-AO 2=22，O 不是PQ 的中点，因此四边形APCQ 不是平行四边形，PA ,QC 不平行，B 错误；对于C ，Ω的体积V =V P -ABCD +V Q -ABCD =13S ABCD ⋅(PO +QO )=13×4×32=42，C 正确；对于D ，取AB 中点M ，连接PM ,QM ，则PM ⊥AB ,QM ⊥AB ，∠PMQ 是二面角P -AB -Q 的平面角，而PM =PA 2-AM 2=3,QM =QA 2-AM 2=3，则cos ∠PMQ =(3)2+32-(32)22×3×3=-33，D 错误．故选：AC32(2024·山东·二模)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)焦点为F ，过点M 2,0 (不与点F 重合)的直线交E 于P ,Q 两点，O 为坐标原点，直线PF ,QF 分别交E 于A ,B 两点，∠POQ =90°，则()A.p =1B.直线AB 过定点14,0C.FP ⋅FQ 的最小值为254D.PA +QB 的最小值为254【答案】ACD【解析】设直线PQ :x =my +2与抛物线联立可得：y 2-2pmy -4p =0，设P y 212p ,y 1 ,Q y 222p ,y 2，则y 1y 2=-4p ，因为∠AOB =90°∠AOB =90°，所以OP ⋅OQ =y 1y 2 24p 2+y 1y 2=4-4p =0，解p =1，故A 正确；由A 可知，F 12,0 ，设直线PF :x =m 1y +12，与抛物线联立可得，y 2-2m 1y -1=0，设A x A ,y A ,B x B ,y B ，所以y A =-1y 1，同理可得y B =-1y 2，所以y A y B =1y 1y 2=-14，直线AB :2x -y A +y B y +y A y B =0，即2x -18 -y A +y B y =0，所以直线AB 过定点18,0 ，故B 错误；FP ⋅FQ =y 212+12 y 222+12=y 21y 224+y 21+y 224+14≥y 21y 22+2y 1y 2 +14=254，故C 正确；PA =y 21+1+1y 21+12,QB =y 22+1+1y 22+12，所以PA +QB =y 21+y 22+1y 21+1y 22+42=1716y 21+y 22 +42≥1716×2y 1y 2 +42=254，故D 正确．故选：ACD ．33(2024·福建福州·模拟预测)定义在R 上的函数f x 的值域为-∞,0 ，且f 2x +f x +y f x -y =0，则()A.f 0 =-1B.f 4 +f 1 2=0C.f x f -x =1D.f x +f -x ≤-2【答案】ACD【解析】令x =y =0，则有f 0 +f 0 2=0，解得f 0 =0或f 0 =-1，因为函数f x 的值域为-∞,0 ，所以f 0 =-1，A 正确；令x =1,y =0，则有f 2 +f 1 2=0，即f 2 =-f 1 2令x =2,y =0，则有f 4 +f 2 2=0，即f 4 +f 1 4=0，B 不正确；令x =0，则有f 0 +f y f -y =0，所以f y f -y =1，即f x f -x =1，C 正确；因为f x <0，所以-f x >0，-f -x >0，所以-f x +-f -x ≥2f x f -x =2，当且仅当f x =f -x 时，取到等号，所以f x +f -x ≤-2，D 正确．故选：ACD34(2024·福建福州·模拟预测)投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量X n =1,第n 次投出正面,-1,第n 次投出反面, (n =1,2,3)．记A 表示事件“X 1+X 2=0”，B 表示事件“X 2=1”，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，则()A.B 和C 互为对立事件B.事件A 和C 不互斥C.事件A 和B 相互独立D.事件B 和C 相互独立【答案】BC【解析】根据题意，A 表示事件“X 1+X 2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P A =C 12122=12，B 表示事件“X 2=1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P B =12，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P C =C 13×12×122=38，依次分析选项：对于A ，事件B 、C 可能同时发生，则事件B 、C 不是对立事件，A 错误；对于B ，事件A 、C 可能同时发生，则事件A 和C 不互斥，B 正确；对于C ，事件AB ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P (AB )=12×12=14，由于P A P B =P (AB )，则事件A 和B 相互独立，C 正确；对于D ，事件BC ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，P (BC )=12×12×12=18，P B P C ≠P (BC )，事件B 、C 不是相互独立事件，D 错误．故选：BC ．35(2024·浙江嘉兴·二模)已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点A a ,b ab ≠0,a ≠b ，定义：Ti α =a +ba -b．对于函数f x =Ti x ，则()A.函数f x 的图象关于点π4,0 对称B.函数f x 在区间π4,π2上单调递增C.将函数f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程f x =12在区间0,π 上有两个不同的实数解【答案】AB【解析】根据题意，tan x =b a ，∴f x =a +b a -b =1+ba 1-b a=1+tan x 1-tan x =tan π4+tan x 1-tan π4⋅tan x =tan x +π4 ，对于A ，由正切函数的性质得x +π4=k π2，k ∈Z ，解得x =-π4+k π2，所以函数f x 的对称中心为-π4+k π2,0，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，x ∈π4,π2 ，∴x +π4∈π2,3π4 ，由正切函数的性质可知f x 在π4,π2上单调递增，故B 正确；对于C ，将f x 的图象向左平移π4个单位可得y =tan x +π4+π4 =tan x +π2=1tan x，为奇函数，故C 错误；对于D ，∵x ∈0,π ，∴x +π4∈π4,3π4，令α=x +π4，由正切函数y =tan α的性质可知在π4,π2 上单调递增，且y ≥1，在π2,π上单调递增，且y ≤0，所以方程f x =tan x +π4 =12在区间0,π 上无实数解，故D 错误．故选：AB ．36(2024·浙江嘉兴·二模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，已知抛物线Ω:y 2=2px (p >0)的准线为l ,O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线l 1和l 2，分别经Ω上的点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线l 3和l 4射出，且l 1与l 2之间的距离等于l 3与l 4之间的距离．则下列说法中正确的是()A.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则A ,O ,P 三点共线B.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则PF 平分∠APCC.y 1y 2=p 2D.若直线l 1的方程为y =2p ，则cos ∠AFB =725【答案】ACD【解析】对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线AC :x =ty +p 2，与抛物线y 2=2px 联立得y 2-2pty -p 2=0，∴y 1+y 3=2pt ,y 1y 3=-p 2，由题意得P -p 2,y 3 ,A y 212p ,y 1,k OP =-2y 3p ，k AO =2p y 1=2p -p 2y3=-2y 3p ，所以k OP =k AO ，即A ､O ､P 三点共线，故A 正确；对于选项B ，假设∠APF =∠CPF ，又∠CFP =∠CPF ，所以∠APF =∠CFP ，所以AP ⎳CF ，这与AP 和CF 相交于A 点矛盾，故B 错误；对于选项C ，l 1与l 2距离等于l 3与l 4距离，又结合A 选项，则y 1-y 2=y 3-y 4=-p 2y 1+p 2y 2=p 2⋅y 1-y 2y 1y 2，所以y 1y 2=p 2，故C 正确；对于选项D ，由题意可得，A 2p ,2p ,B p 8,p 2,F p 2,0 ,FA =3p 2,2p ,FB =-3p 8,p2，FA ⋅FB =3p 2⋅-3p 8 +2p ⋅p 2=7p 216，FA ⋅FB =3p 2 2+(2p )2⋅-3p 8 2+p 2 2=25p 216，∴cos ∠AFB =FA ⋅FB FA ⋅FB =725，故D 正确．故选：ACD ．37(2024·浙江宁波·二模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b =1,c =3且a ⋅c =b ⋅c，则()A.a +b +c的最小值为2B.a +b +c的最大值为5C.a -b +c的最小值为2 D.a -b +c的最大值为13【答案】BD【解析】当向量a ,b 方向相同，与c 方向相反时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最小值c -a+b =1，A 选项错误；当向量a ,b ,c 方向相同时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最大值a +b +c=5，B 选项正确；a ⋅c =b ⋅c ，有a -b ⋅c =0，即a -b ⊥c ，则a -b +c =a -b 2+c 2，向量a ,b 方向相同时，a -b 的最小值为0，a -b +c 的最小值为3，C 选项错误；向量a ,b 方向相反时，a -b 的最大值为2，a -b +c 的最大值为13，D 选项正确．故选：BD38(2024·浙江宁波·二模)已知函数f x =sin ωx +φ (ω>0)，()A.若ω=2,φ=π2，则f x 是最小正周期为π的偶函数B.若ω=2,x 0为f x 的一个零点，则x 0+π4必为f x 的一个极大值点C.若φ=-π4,x =π2是f x 的一条对称轴，则ω的最小值为32D.若φ=-π4,f x 在0,π6上单调，则ω的最大值为92【答案】ACD【解析】若ω=2,φ=π2，则f x =sin2x+π2=cos2x，所以f x 是最小正周期为2π2=π的偶函数，A正确；若ω=2，则f x 是最小正周期为2π2=π，若x0为f x 的一个零点，则x0+π4为f x 的一个极大值点或极小值点，B错误；若φ=-π4,x=π2是f x 的一条对称轴，则fπ2=sinπ2ω-π4=±1，所以π2ω-π4=π2+kπ,k∈Z，即ω=32+2k,k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为32，C正确；若φ=-π4, 则f x =sinωx-π4(ω>0)，由正弦函数的单调性，令-π2+2kπ≤ωx-π4≤π2+2kπ，解得-π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，又f x 在0,π6上单调，所以当k=0时，0,π6⊆-π4ω,3π4ω，即π6≤3π4ω，解得ω≤92，则ω的最大值为92，D正确．故选：ACD．39(2024·浙江宁波·二模)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知U为全集且元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x =1,x∈S0,x∈∁U S若A,B,C⊆U，则()注：x∈M f(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f x 之和(其中M是f x 定义域的子集)．A.x∈A 1A(x)<x∈U 1A(x)B.1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)C.x∈U 1A∪B(x)=x∈U1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)D.x∈U1-1A(x)1-1B(x)1-1C(x)=x∈U 1U(x)-x∈U 1A∪B∪C(x)【答案】BCD【解析】对于A，由于A⊆U，所以x∈U 1A(x)=x∈A 1A(x)+x∈∁u A 1A(x)=x∈A 1A(x),故x∈A 1A(x)=x∈U 1A(x)，故A错误，对于B，若x∈A∩B，则1A∩B(x)=1,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，此时满足1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)，若x∈A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，若x∈B且x∉A时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=1，若x∉A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=0，综上可得1A ∩B (x )≤1A (x )≤1A ∪B (x )，故B 正确，对于C ，x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) =x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B=x ∈A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )而x ∈U1A ∪B (x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )+x ∈∁U A ∪B1A ∪B(x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )，由于1A ∪B x =1,x ∈A ∪B0,x ∈∁U A ∪B，所以1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=1A ∪B (x )故x ∈U1A ∪B (x )=x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) ，C 正确，x ∈U1U (x )-x ∈U1A ∪B ∪C (x )=x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，当x ∈A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )中至少一个为1，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =0，当x ∉A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )均为0，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =1，故x ∈U1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1-1A (x )1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，故D 正确，故选：BCD40(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x 对任意实数x 均满足2f x +f x 2-1 =1，则()A.f -x =f xB.f 2 =1C.f -1 =13 D.函数f x 在区间2,3 上不单调【答案】ACD【解析】对于A ，令x 等价于-x ，则2f -x +f x 2-1 =1，所以f -x =f x =1-f x 2-1 2，故A 正确；对于B ，令x =1，则2f 1 +f 0 =1，令x =0，则2f 0 +f 1 =1，解得：f 0 =f 1 =13，令x =2，2f 2 +f 1 =1，则f 2 =13，故B 错误；对于C ，由A 知，f -x =f x ，所以f -1 =f 1 =13，故C 正确；对于D ，令x =x 2-1，所以x 2-x -1=0，解得：x =1±52，令x =1+52，则2f 1+52+f 1+52 =1，所以f 1+52 =13，因为1+52∈2,3 ，f 1+52 =f 2 =13，所以函数f x 在区间2,3 上不单调，故D 正确．故选：ACD ．。

高考数学必考题型展望1摆列组合1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们剖析和解决一些简单的应用问题。

2.理解摆列的意义，掌握摆列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。

4.掌握二项式定理和二项睁开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。

5.认识随机事件的发生计在着规律性和随机事件概率的意义。

6.认识等可能性事件的概率的意义，会用摆列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

7.认识互斥事件、互相独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与互相独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

8.会计算事件在 n 次独立重复试验中恰巧发生 k 次的概率。

2立体几何篇高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道，解答题 1 道)，合计总分 27 分左右，观察的知识点在20 个之内。

选择填空题查核立体几何中的计算型问题，而解答题侧重观察立体几何中的逻辑推理型问题，自然，两者均应以正确的空间想象为前提。

跟着新的课程改革的进一步实行，立体几何考题正朝着“多一点思虑，少一点计算”的发展。

从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面地点关系的论证，角与距离的探究是常考常新的热点话题。

知识整合2.判断两个平面平行的方法：(1)依据定义 --证明两平面没有公共点 ;(2)判断定理 --证明一个平面内的两条订交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。

3.两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。

(2)由定义推得：“两个平面平行，此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

(3)两个平面平行的性质定理：”假如两个平行平面同时和第三个平面订交，那么它们的交线平行“。

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。

(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

新数学高考六道大题题型一、解析几何1. 平面几何定理题目：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，且AC=5，BC=12。

求AB 的长度。

解题思路：根据勾股定理，可以得到AB的长度。

即AB=√(AC²+BC²)=√(25+144)=√169=13。

2. 空间几何定理题目：已知四棱锥的底面是一个菱形，底面边长为6，四个脚顶点在菱形对角线的两端，且离底面中心的距离都是3。

求这个四棱锥的体积。

解题思路：根据四棱锥的体积公式，可以得到体积V=(1/3)*底面面积*高。

由菱形的对角线长和底面边长可求得底面面积为18，而高等于脚顶点到底面中心的距离，即3。

带入公式可得V=(1/3)*18*3=18。

二、函数与方程3. 函数求值题目：设函数f(x)满足f(x+2)-2f(x+1)+f(x)=x，且f(1)=1，f(2)=4。

求f(3)的值。

解题思路：将x分别取1和2代入已知的方程，可以得到两个方程：f(3)-2f(2)+f(1)=1 和f(4)-2f(3)+f(2)=2。

再结合已知条件f(1)=1和f(2)=4，可以得到一个关于f(3)的一元二次方程，解方程可得f(3)=2。

4. 方程求根题目：解方程x²-5x+6=0。

解题思路：这是一个一元二次方程，可以使用求根公式进行求解。

根据求根公式，方程的根分别是x=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)。

带入公式可得x₁=3，x₂=2。

三、概率与统计5. 概率计算题目：甲、乙、丙三个人独立地制作产品A的过程中，每个人的失误率分别是0.1、0.2和0.3。

其中甲独立制作30件，乙制作50件，丙制作20件。

现从中随机抽取一件产品，求抽出的产品是失误的概率。

解题思路：根据独立事件的概率公式，可以将问题化简为分别求甲、乙、丙制作的产品中出现失误的概率，然后将三个概率相加。

甲独立制作30件，失误的概率是0.1，所以甲制作的产品中失误的数量是30*0.1=3；同理，乙和丙的失误数量分别是10和6。

数学-2023年高考终极押题猜想（新高考专用）（解析版）引言随着新高考改革的不断推进，数学科目在高考中的重要性日益凸显。

为了帮助广大考生更好地备战2023年高考数学科目，本文将提供一份终极押题猜想，以帮助考生有针对性地进行复习。

本文将从数学的各个知识点出发，进行解析和分析，为考生提供高分答题思路和解题方法。

一、代数与函数1.1 一次函数和二次函数今年的高考数学中，一次函数和二次函数的题目出现频率较高。

根据分析，2023年高考数学中的代数与函数部分可能会继续保持相对较高的比重。

1.1.1 一次函数关于一次函数的题目，以函数的性质、图像以及解析式为主要触点进行考查。

考生在复习一次函数时，应重点掌握一次函数的性质和变化规律，能够灵活应用解析式求解相关问题。

1.1.2 二次函数二次函数是一种重要的函数类型，其在数学中的应用广泛。

考生在复习二次函数时，应重点关注二次函数的图像与性质，能够根据图像特点确定函数的相关信息。

此外，应重点掌握二次函数的顶点坐标、轴对称与零点等重要概念，以及利用配方法、因式分解和求导等方法解题的技巧。

1.2 幂函数和对数函数幂函数和对数函数也是高考中的常见考点，这两种函数之间存在一定的对应关系。

考生在复习这部分内容时，应熟悉幂函数和对数函数的性质，能够掌握幂函数和对数函数图像的基本形状和特点，理解它们之间的对应关系。

1.3 组合与复合函数组合与复合函数是数学中的重要概念，几乎每年都会在高考中出现相关题目。

考生在复习这部分内容时，应掌握组合与复合函数的定义和性质，能够理解并运用组合与复合函数的概念解决相关问题。

二、数与空间2.1 数列数列是高考中常见的考点，涉及到数列的性质、通项公式、极限及求和等知识点。

考生在复习数列时，应掌握数列的定义和常见的数列类型，能够利用通项公式、递推关系式和求和公式解决相关问题。

此外，考生还要重点关注等差数列与等比数列的性质和特点。

2.2 空间几何空间几何是数与空间模块中的重要部分，主要考察空间图形的性质、直线与平面的关系以及立体图形的计算等。

押新高考卷6题立体几何考点3年考题考情分析立体几何2022年新高考Ⅰ卷第8题2022年新高考Ⅱ卷第7题2021年新高考Ⅰ卷第3题2021年新高考Ⅱ卷第5题2020年新高考Ⅰ卷第16题2020年新高考Ⅱ卷第13题立体几何会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度一般或较难，纵观近几年的新高考试题，分别考查棱锥的体积问题，圆锥的母线长问题，球体的内切外接及表面积体积问题，棱台的体积问题。

可以预测2023年新高考命题方向将继续以表面积体积问题、球体等问题展开命题．1.立体几何基础公式（1）所有椎体体积公式：sh V 31=（2）所有柱体体积公式：shV =（3）球体体积公式：334R V π=（4）球体表面积公式：24R S π=（5）圆柱：rh r s s s sh V ππ22,2+=+==侧底表（6）圆锥：rl r s s s sh V ππ+=+==2,31侧底表2.长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式（1）已知长宽高求体对角线：2222c b a l ++=（2）已知共点三面对角线求体对角线：22322212l l l l ++=3.棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a .4.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =.[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）已知圆锥的底面半径为长为（）A．2B．22C．4【答案】B【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则故选：B.4．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为A．20123+B．282C．56 3【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为所以该棱台的高()2222222h =--=，下底面面积116S =，上底面面积24S =，所以该棱台的体积()12121133V h S S S S =++=故选：D.5．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）已知直四棱柱5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________【答案】22π.【分析】根据已知条件易得1D E 3=，1D E ⊥离为2，可得侧面11B C CB 与球面的交线是扇形取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为因为BAD ∠=60°，直四棱柱ABCD 111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以因为1111BB B C B = ，所以1D E【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为111111232NMD D AMN V -==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些A ．10πB ．20π【答案】A【分析】新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，列出方程求解即可【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则所以圆柱的侧面积为2π10πrh =．故选：A.3．（2023·浙江台州·统考二模）如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体圆柱部分的高为2米,底面圆的半径为A ．3π立方米B ．2π立方米【答案】C+A．241639+C．12839【答案】B【分析】过点P作底面ABCQ Q Q QP ABC与平面123-P【详解】因为三棱锥-===.2AB AC BCP ABC为正三棱锥，因此过点又因为-过B作AC的垂线于H.由三角形在直角三角形AHO中，AOPO=，在直角三角形又因为2P ABC为正三棱锥，因此因为三棱锥-又M到平面ABC距离为点Q Q AC交PC于过点M作12//【详解】3A D CD '===.()2222229C CD A C CD A C CD A D A C CD ''''⋅=+--=--=-.3,5CD BD ===.222222()99257CD CB CD CB CD CB CD DB ⋅=+--=+-=+-=- .()97822CD A C CB CD A C CD CB CD ''⋅=+⋅=⋅+⋅=--=- .A ．15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13⎛ ⎝【答案】A【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面水最多的临界情况为多面体ABCDA 因为111111132A A BD V -=⨯⨯⨯⨯=11111111ABCDA B D ABCD A B C D C B V V V --=-所以1566V <<，即15,66V ⎛∈ ⎝故选：A.故选：C9．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）线MN与平面BCD所成角的正切值是（A．2147B【答案】C【分析】作出图形，找出直线【详解】如图，过点A向底面作垂线，垂足为过点M作⊥MG OC于G由题意可知：//MG AO且MG因为AO⊥平面BCD，所以则MNG∠即为直线MN与平面设正四面体的棱长为2，则所以222AO AN ON=-=在MNC中，由余弦定理可得：A ．2B ．12【答案】B【分析】连接PO ，O 为AD 的中点，再由面面垂直性质定理证明CPD ∠，解三角形求其正切值【详解】取AD 的中点O ，连接由已知PAD 为等边三角形，所以又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设PD x =，则32PO x =，所以矩形ABCD 的面积ABCD S 所以四棱锥P ABCD -的体积11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（A ．12πB ．24π【答案】C【分析】设ABC 为等腰直角三角形的直角边为的体积得264a h ⋅=，根据直三棱柱外接球半径的求法可求出最小值，即可得到该三棱柱外接球表面积的最小值【详解】设ABC 为等腰直角三角形的直角边为则111212ABC A B C ABC V S h a -=⋅=⋅故选：A13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）当过A ，C ，P 三点的平面截球O A ．()222a +C ．()23a +【答案】A【分析】由球的截面性质结合条件确定截面的位置，的截线的长度.【详解】设底面正方形ABCD 的中心为当过A ，C ，P 三点的平面截球O 的截面面积最大时，截面圆为大圆，截面过球心O ，故点P ，O ，1O 三点共线，因为1OO ⊥平面ABCD ，所以1PO ⊥平面ABCD ，此平面截正方体的截面即为正方体的面所以()222L a =+．故选：A ．14．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，求出球心的位置，再求球的半径15．（2023·湖南·校联考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体直于底面的四棱锥”，现有阳马P ABCD -在,AB BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥A ．9πB ．11π【答案】B【分析】把,AP PB 剪开，使得PAB P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，PE 122CF PD ==，∴1BF =.∴点E 为AB 利用勾股定理进而得出结论.【详解】如图所示，把,AP PB 剪开，使得延长DC 到M ，使得CM DC =，则四点间四边形PEFD 的周长取得最小值.可得如图所示，设AFD △的外心为1O ，外接圆的半径为则210sin45==︒AFr .设三棱锥P ADF -外接球的半径为R ，球心为O ，连接1OO ，则则22210111224R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴三棱锥P ADF -外接球的表面积故选：B.16．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为则可雕刻成的最大球体积是（）A ．18πB ．92πC ．6π【答案】D【分析】先利用条件求出正多形的边长，再将求最大球的体积转化成求金刚石的内切球体积，进而转化成求截面EMFH 内切圆的半径，从而求出结果.【详解】如图，设底面ABCD EM ,设金刚石的边长为a ，则由题知，在等边EBC 中，BC 边上的高在Rt EOH △中，EO EH =由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在球的半径即为截面EMFH 内切圆的半径，设内切圆半径为17．（2023·广东深圳·统考二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为A ．123V V V <<B ．21<<V V 【答案】B 【分析】设正方体棱长为a ，正四面体棱长为出,,a b R ，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案【详解】设正方体棱长为a ，正四面体棱长为正方体表面积为26S a =，所以2a =所以，()()3232321216S V a a ===；则三棱锥A M BC -的外接球的球心由题意可得3sin 60CO = 直线CM 与平面ABC 故N 的轨迹是以C 为圆心，当球心H 到CM 的距离最大时，三棱锥所以N 在O C 延长线上时，三棱锥设CM 的中点为G ，连接又3CO =，OH OC ⊥所以Rt Rt HOC HGC ≌∴223HC OC ==，∴三棱锥A M BC -的外接球体积最大为故选：C ．19．（2023·浙江·统考二模）MN 折起，使点A 到达点球O 表面积的最小值为（A ．8π3B 【答案】D【分析】由题设,,B C M如上图，△ANM 、△BNM 、△由平面图到立体图知：MN A N ⊥'又面A MN '⊥面BCMN ，面A MN '所以A N '⊥面BCMN ，同理可得将AMN 翻折后，,A M BM '的中点过D 作DO ⊥面A NM '，过E 作EO 再过D 作DF ⊥面BCMN ，交NM 综上，//DF A N '，//DO BN ，则所以12DO EF BN ==，而A C '=令A N x '=且01x <≤，则BN =所以球O 半径2()2A M r DO =+'当23x =时，min 13r =，故球O点H 恰好是正DAC △的中心（外心），故球心O 必在BH 上，Rt BAC 的外心为E ，连接OE ,则OE ⊥平面ABC ，OE BE ⊥,设三棱锥在Rt BEO △中，由射影定理可得2BE BH BO =⨯，即2323R =，解得∴三棱锥D ABC -外接球的表面积24π12πS R ==．故选：B.。

2023高考数学热门题型解析随着时间的推移，高考数学的题型也在不断变化和演进。

为了帮助同学们更好地应对2023高考数学题目，本文将围绕数学考试中的热门题型展开解析。

一、选择题解析选择题在高考数学中占据相当重要的比重。

其中，常见的选择题题型有单项选择题和多项选择题。

有效解题方法是对选项进行逐一排除，并结合题目的条件进行逻辑推理。

例如，下面是一道常见的单项选择题：题目：已知函数f(x) = 3x² + 2x + 1，求f(-1)的值。

A. 8B. 5C. 4D. 2解析：将x替换为-1，得到f(-1) = 3(-1)² + 2(-1) + 1 = 3 + (-2) + 1 = 2。

因此，选项D为正确答案。

二、填空题解析填空题在高考数学中也具有一定的考查比重。

解答填空题的关键是正确运用所学的数学知识和解题方法。

例如，下面是一道常见的填空题：题目：已知直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边长为3cm，求另一条直角边的长。

解析：利用勾股定理求解。

设另一条直角边的长为x，则有3² + x²= 5²。

化简得到x² = 25 - 9 = 16，解得x = 4。

因此，另一条直角边的长为4cm。

三、解答题解析解答题是高考数学中的重点和难点。

解答题一般包括证明、计算和应用题等。

解答题要求同学们充分理解问题，并运用适当的解题方法进行推导和计算。

例如，下面是一个常见的解答题：题目：已知平面直角坐标系中，直线L上有两点A(3, 1)和B(-2, 4)。

求直线L的方程。

解析：利用两点式方程可以求解直线L的方程。

设L的方程为y =kx + b。

由A(3, 1)和B(-2, 4)可得两个方程: 1 = 3k + b 和 4 = -2k + b。

解这个方程组可得k = -1/5，b = 8/5。

因此，直线L的方程为y = -1/5x +8/5。

综上所述，选择题、填空题和解答题是2023高考数学中的热门题型。