LMS最小二乘方法.ppt

归一化均方误差性能评估
NMSE越小，说明滤波器的性能越好，信号处理的效 果越接近原始信号。
归一化均方误差（NMSE）是另一种衡量滤波器性能的 指标，它表示信号经过滤波器处理后的误差相对于原始 信号的均方误差的比例。
NMSE的计算公式为：$NMSE = frac{MSE}{MSE_{total}}$，其中$MSE_{total}$为原始 信号的均方误差。
加权最小二乘滤波
加权最小二乘滤波是在线性最小二乘滤波的基础上引入了权重因子，以调整误差的 权重。
通过给不同的误差项赋予不同的权重，加权最小二乘滤波能够更好地适应不同的噪 声分布和信号特性。
加权最小二乘滤波在处理具有不同特性的信号和噪声时能够获得更好的滤波效果。
03
最小二乘滤波的算法实 现
递归最小二乘滤波
04
在控制系统中，最小二 乘滤波用于系统辨识和 参数估计等。
02
最小二乘滤波的数学模 型
线性最小二乘滤波
线性最小二乘滤波是一种常用的 信号处理方法，通过最小化误差 的平方和来估计信号中的未知参
数。
它假设信号和噪声之间存在线性 关系，通过解线性方程组来得到
最优估计值。
线性最小二乘滤波具有简单、稳 定和快速收敛等优点，适用于多
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信噪比性能评估
信噪比（SNR）是衡量滤波器在噪声干扰下性能的重要指标，它表示信 号与噪声的功率比值。
SNR越大，说明滤波器对噪声的抑制能力越强，信号处理的效果越好。
SNR的计算公式为：$SNR = 10log_{10}frac{P_s}{P_n}$，其中$P_s$为 信号功率，$P_n$为噪声功率。
自适应滤波算法优化

§4 曲线拟合的最小二乘法
1 最小二乘法及其计算
在函数的最佳平方逼近中 f (x) C如[a果, b],
f (x)
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,上给, m定}，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 {(xi , yi ),i 0的,1, , m} 曲线拟合.
1
问题为利用 yi f (xi ),i 求0出,1一,个, m函,数 y S * (x) 与所给数据{(xi , yi ),i 0,拟1,合. , m}
7
Ga d ,
其中 a (a0 , a1, , an )T , d (d0 , d1, , dn )T ,
(0 ,0 ) (0 ,1)
G
(1
,
0
)
(1 , 1 )
(0 ,n )
(1
,
n
)
.
n (n ,0 ) (n ,1) (n ,n )
(k , j )a j dk (k 0,1, , n).
6
若记
m
( j ,k ) ( xi ) j ( xi )k ( xi ), i0 m
( f ,k ) (xi ) f (xi )k (xi ) dk i0 (k 0,1, , n).
上式可改写为
n
(k , j )a j dk
j 0
(k 0,1, , n).
这个方程称为法方程，可写成矩阵形式
要使j法0 方程有唯一解， 就要求矩阵 非奇G异，
而 0 (x),1(x),在 ,n上(x线) 性[无a,关b]不能推出
矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
例如
（0 x) sin x,（1 x) sin 2x,显然（0 x)，（1 x)线性无关。 取X {x0,...,x4} {0, ,2 ,3 ,4}, （0 x j ) （1 x j ) 0; j 0,...,4

其中：������������ = ������������ − ������������观测
周期误差的计算
• 测距仪轴向与标准钢卷尺平行，多次移动 棱镜，分别读取测距仪和钢卷尺读数 ������������ , ������0������
• 根据������������ = ������������ − ������0������ 可获得一组 ������������ , ������������ • 根据相位������������ =
最小二乘法
什么是参数估计？
• 最小二乘法是一种参数估计原则 • 参数估计是指从带有误差的观测值中提取我们感兴趣 • 典型的参数估计： 通过测量多条标准基线求得测距仪的加、乘常数 通过三角测量求得被测点的平面坐标 距离交会，求得被测点的坐标
欧式距离最短
• 假设某观测方程为： ������11 ������12 ������1 ������ ������2 = ������21 ������22 ������1 2 ������31 ������32 ������3 • 可写为： ������11 ������12 ������1 ������2 = ������1 ������21 + ������2 ������22 ������31 ������32 ������3
如果我们只知道A有一辆百万级豪车，而不了解 其他任何相关信息，我们更愿意相信，A的年收 入为100万，而不会倾向于相信他的年收入为20 万
• 因此，当我们只有一个观测值x的时候，我 们更愿意相信，真值就等于x，因为此时概 率密度最大
当我们进行了多次观测，得到多个观测值 （ ������1 , ������2 , ⋯ ）由于每次观测相互独立，因此 有联合概率分布（似然函数）：

例3. 用最小二乘法解超定方程组
2 x 4 y 11
3 x 5 y 3

x

2
y

6
2 x y 7
解 欲求（x,y）使得其尽可能使四个等式成
立，即使
Q (x,y)(2x4y1)2 1 (3x5y3)2
(x2y6)2(2xy7)2
达到最小
S1(x)Abx
得法方程
1A 63.380 b77 3.5 26394 3.380A 71.3 584 b31 5.6 82229
解得
A 4 .48,0 b 7 1 .0 2567
从而得到 a e A 1.3 12 15 3 03
y 1 . 3 1 2 1 3 e 5 0 1 . 0t5 3 F 6 ( 2 ) ( t 7 )
则（x,y）应满足
Q ( x,


Q
(
x x
,
y) y)

0 0
y
即 6x y 17
3x 46y 48
解得
x 3.0403

y

1.2408
所以用最小二乘法解得的超定线性方程组
的解为 x 3.0403

y

1.2408
第三章 补充
逼近问题的发展
逼近问题的发展
对基于经验数据估计函数依赖关系的方法的 研究（从实例学习的研究）已经有很长的历 史了。这些研究是由两个伟大的数学家开始 的：他们是高斯（Gauss,1777-1855）和拉普 拉斯（Laplace,1749-1827），他们提出了从 天文学和物理学中的观测结果估计依赖关系 的两种不同方法。