数值分析3-4(最小二乘法)

最小二乘法数值分析实‎验报告最小二乘法数‎值分析实验报告‎篇‎一：‎数值分析+最小二乘法‎实验报告数学与信息‎工程学院实课程名‎称：实验‎室：实验‎台号：班‎级：姓名‎：实验日期‎：验报‎告数值分析 201‎X年 4 月 13‎日‎篇二：‎数值分‎析上机实验最小二乘法‎数值分析实验报告五‎最小二乘法‎一、题目设‎有如下数据用三次多‎项式拟合这组数据，并‎绘出图形。

二‎、方法最小二乘法‎三、程序‎M文件：s‎y ms x f; x‎x=input( 请‎输入插值节点 as ‎[x1,x2.‎..]\n ff=‎i nput( 请输入‎插值节点处对应的函数‎值 as [f1,f‎ 2...]\n‎ m=input(‎请输入要求的插值次‎数m= n=len‎g th(xx); f‎r i=1:(m+1‎) syms fai‎x; fai=x^‎(i-1); fr ‎j=1:n x=xx‎(j);H(i,j‎)=eval(fai‎); end end‎A=ff*(H) ‎*inv(H*(H)‎ syms x; ‎f=0; fr i=‎1:(m+1) f=‎f+A(i)*x^(‎i-1); end ‎f plt(xx,f‎f, * ) hld‎nezplt(f‎,[xx(1)‎,xx(n)])‎四、结果 sa‎v e and run‎之后：请‎输入插值节点 as ‎[x1,x2.‎..] [-3 -2‎-1 0 1 2 ‎3] 请输入插值节点‎处对应的函数值 as‎[f1,f2‎...] [-‎1.76 0.42 ‎1.2‎1.341.‎432.25‎4.38]‎请输入要求的插值次‎数m=3 f =1‎33/100+121‎469856021/‎3518437208‎8832*x-804‎2142191733‎/450359 96‎27370496*x‎^2+1020815‎915537309/‎9007199254‎740992*x^3‎五、拓展：‎最小二乘法计‎算方法比较简单，是实‎际中常用的一种方法，‎但是必须经计算机来实‎现，如果要保证精度则‎需要对大量数据进行拟‎合，计算量很大。

一个最小二乘问题的三种解法发布时间：2022-08-30T01:58:08.890Z 来源：《教学与研究》2022年第4月第8期作者：肖燏[导读] 线性非齐次方程组无解时，寻找，使得达到极小，此处，实矩阵、向量均已给定. 这是一个高等数学和线肖燏湖南中医药大学信息科学与工程学院湖南长沙 410208）摘要线性非齐次方程组无解时，寻找，使得达到极小，此处，实矩阵、向量均已给定. 这是一个高等数学和线性代数的综合性问题.本文分别从多元函数、向量函数、和向量射影出发，得出这个最小二乘问题的三种解法。

关键词最小二乘多元函数极值向量函数极值向量射影Abstract When there is no solution to the linear non-homogeneous equation system , find , so that reaches the minimum. Here, the real matrix and vector have been given. This is a comprehensive problem of advanced mathematics and linear algebra. Starting from multivariate function, vector function and vector projection, this paper obtains three solutions to the least square problem.Key words least square; extremum of multivariate function; extremum of vector function; projection of vector参考文献[1] 蔡大用，白峰杉. 高等数值分析[M]. 北京：清华大学出版社，1996.[2] 方保镕，周继东，李医民. 矩阵论[M]. 北京：清华大学出版社，2013.[3] 吴赣昌. 高等数学[M]. 北京：中国人民大学出版社，2017.[4] 同济大学数学系. 工程数学.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社，2014.作者简介：肖燏（1974—），女，硕士，讲师，研究方向为计算数学.。

算法1、 （，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需%2、（，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分【误差1．（，题8）已知e=…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=，718.23=x 各有几位有效数字并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

最小二乘法的基本原理最小二乘法是一种常用的数学工具，用于拟合数据和估计参数。

它在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、经济学、工程学等。

最小二乘法的基本原理是通过最小化观测数据的残差平方和来找到最佳拟合曲线或估计参数。

在本文中，我们将介绍最小二乘法的基本原理及其在实际问题中的应用。

首先，让我们来了解最小二乘法的基本思想。

假设我们有一组观测数据，表示为(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)，我们希望找到一个模型来描述这些数据。

通常情况下，我们会选择一个函数形式来拟合这些数据，比如线性函数、多项式函数等。

我们的目标是找到最佳的函数参数，使得该函数与观测数据的残差平方和最小。

为了实现这一目标，我们首先定义拟合函数的形式，比如线性函数y = ax + b。

然后，我们需要定义一个衡量拟合效果的指标，通常选择残差平方和作为衡量标准。

残差即观测数据与拟合函数值之间的差异，将每个观测数据的残差平方求和，得到残差平方和。

最小二乘法的核心思想就是通过调整函数参数，使得残差平方和达到最小。

在实际应用中，最小二乘法可以用于拟合数据、估计参数以及解决最优化问题。

比如在统计学中，我们可以利用最小二乘法来拟合回归模型，估计回归系数；在工程学中，最小二乘法可以用于信号处理、滤波器设计等领域。

总之，最小二乘法是一种非常强大的工具，可以帮助我们处理各种数据分析和建模问题。

最小二乘法的优点在于它简单易用，计算效率高，而且有较好的数学性质。

但是，最小二乘法也有一些局限性，比如对异常值比较敏感，对数据分布有一定的要求等。

在实际应用中，我们需要结合具体问题的特点来选择合适的拟合方法，有时候可能需要借助其他工具来处理特殊情况。

总之，最小二乘法是一种非常重要的数学工具，它在数据分析、参数估计、模型拟合等方面都有着广泛的应用。

通过对最小二乘法的基本原理和应用进行深入理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，提高数据分析和建模的效率和准确性。

最小二乘法曲线拟合原理最小二乘法曲线拟合是一个重要的数值分析方法，它是通过最小二乘法对样本点与直线或曲线之间的关系进行拟合和分析，从而估算出一个函数的一组参数。

最小二乘法曲线拟合是一种经典的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线，估算出参数，预测数据，分析函数，优化模型，甚至可以分析复杂多变量函数。

最小二乘法曲线拟合的核心方法是使用最小二乘法把拟合的曲线拟合到观察到的数据，通过求解方程的最小二乘法，把一系列的观察数据点拟合为最小二乘法曲线，计算出拟合曲线的最佳系数，满足拟合效果的最佳拟合曲线。

最小二乘法曲线拟合的核心目标是通过计算拟合曲线的最小均方误差(SSE)、平均均方误差(MSE)、最大均方误差(MAXE)等方法，使拟合曲线与观察数据点之间的差距最小，从而求解出最佳拟合曲线系数。

最小二乘法曲线拟合具有很强的解析性，可以用数学计算方法快速求解，可以满足各种不同应用场景的需求，因而被广泛应用于科学研究、工程设计、市场分析等领域。

最小二乘法曲线拟合最常见的应用场景有：根据观察数据拟合和估计函数的参数；分析函数的性质；优化模型的能力；预测数据等等。

当应用最小二乘法拟合函数时，首先需要把观察数据用直线或曲线拟合，然后使用极小化残差平方和的方法，来求解参数，这是一个典型的最优化问题，利用一般最优化算法来求解，如梯度下降算法、牛顿法等。

此外，在应用最小二乘法曲线拟合的过程中，还可以考虑几种情况，比如样本数据受到误差的影响，具有某种偏差性；偏差是否服从正态分布；样本数据的分布是否同分布；拟合曲线的拟合是否收敛，参数计算是否准确等等。

总之，最小二乘法曲线拟合是一种重要的数值分析方法，可以用来拟合函数和曲线、估算参数、预测数据、优化模型等。

在应用最小二乘法曲线拟合时，需要考虑一些影响因素，比如样本数据受到误差的影响、偏差是否服从正态分布等，因此，它是一种有效的数值分析方法。

常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。

常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。

2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。

数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。

常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。

3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。

常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。

这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。

4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。

常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。

这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。

5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。

它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。

最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。

6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。

常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。

这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。

7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。

常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。

总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。

通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。

最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x. +1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0. );>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学院：专业：年级：学生姓名：学号：日期：曲线拟合的最小二乘法xxxx学院xxxxxxx xxxx级xxx xxx 2014年12月24日课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题的提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘拟合求得拟合曲线在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求出含碳量y与时间t的拟合曲线0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55t(分)y(x10?4)0 二、要求1、用最小二乘法进行曲线的拟合；2、近似表达式为：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3；?(t)，3、打印出拟合函数：并打印出?(tj)与y(tj)的误差，其中j?1,2,3,?,12；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、*绘制出拟合曲线图；三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线性方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合进精度间的关系；四、MATLAB2011a简介及算法介绍MATLAB2011a本实验是基于MATLAB2011a软件平台进行程序设计MATLAB2011a是一款将数据结构、程序特性以及图形用户界面完美地结合在一起的一款强大的软件MATLAB的核心是矩阵和数组，在MATLAB2011a中，所有的数据都是以矩阵或数组的形式来表示和存储的MATLAB2011a提供了常用的矩阵代数运算功能，同时还提供了非常广泛的、灵活的数组运算功能，用于数据集的处理MATLAB的编程特性与其他高级语言类似，同时它还可以与其他语言(如Fortran和C语言)混合编程，进一步扩展了自身的功能这次作业课题，主要采用了MATLAB语言进行程序的编写，误差计算，拟合函数的输出，以及拟合曲线(1)和拟合曲线(2)与原离散数据点在一个图形界面中的现实的显示最小二乘拟合法在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b],如果f(x)只在一组离散的点集?xi,i?0,1,2,3,?,m?上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?的曲线拟合，这里yi?f(xi)(i?0,1,2,3,?,m)，要求一个函数y?S*(x)与所给数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?拟合若记误差?i?S(xi)?yi(i?0,1,2,3,?,m),??(?0,?1,?2,?3,??m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是*?C[a,b]上线性无关的函数族，在??span??0(x),?1(x),?,?n(x)?中找一个函数S*(x)使误差平方和??这里22[S(xi)?yi]?min?[S*(xi)?yi]2, ()2i*2i?0i?0s(x)??i?0mmmS(x)?a0?0(x)?a1?1(x)?a2?2(x )?a3?3(x)??an?n(x) (n?m). () 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法. 用最小二乘法拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式，这不是单纯的数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得到的观测数据(xi,yi)有关；通常要从问题的运动规律或给定的数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出最好的结果——这点将从下面的例题得到说明. S(x)的一般表达式为()式表示的线性形式.若?k(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中都考虑加权平方和2?2??22(xi)[S*(xi)?yi]2. ()i?0m 这里?(x)?0 (i?0,1,2,3,?m)是[a,b]上的权函数它表示不同的点(xi,yi)处的数据比重不同，列如：?(xi)可以表示点(xi,yi)处的重复观测次数用最小二乘法拟合曲线的问题，就是在形如()式的S(x)中求一函数y?S(x),使()式取得最小值它转化为求取多元函数*I(a0,a1,?an)(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]2i?0j?0mn***的极小点(a0,a1,?,an)的问题这与多元函数求极值的必要条件的问题一样，则有：mn?I?2??(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]?k(xi)?0k?0,1,2,?,n. ?aki?0j?0若记(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi),()i?0mm(f,?k)(xi)f(xi)?k(xi)?dk,k?0,1,2,3?,n, ()i?0上式可以改写为：?(?j?0mk,?j)aj?dk, k?0,1,2,3?,n, ()线性方程组()称为法方程，可以将其写成：Ga?d其中??Ta?(a0,a1,?a2),d?(d0,d1,?dn)T,(0,0)(0,1)(,)(,)11G10(n,0)(n, 1)(0,n)(n,1)() (?n,?n)?五、课题分析拟合近似表达式：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3的最高次数为三次，我们知道当拟合多项式的最高次数n?3时，与连续的情形一样，在求解法方程Ga?d的过程中，会出现系数矩阵(格拉姆矩阵)G为病态的问题但是如果?0(x),?1(x),?2(x),?,?n(x)是关于点集?xi?(i?0,1,2,?,m)带权?(xi)(i?0,1,2,?,m)正交的函数族，即：0,jk,()(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi)??i?0?Ak?0,j?k,m则法方程的解为：(f,?k)?(?k,?k)*ak(x)f(x)?iii?0mk(xi),k?0,1,2,?,n ()??(x)?ii?0m2k(xi)这样就能避免求解格拉姆矩阵，也不会在求解线性方程组是就不会出现病态问题现在我们需要根据给定的节点x0,x1,?xm及权函数?(xi)?0,造出带权?(xi)正交的多项式?Pn(x)?.注意n?m，用递推公式表示Pk(x),即：?P0(x)?1,?() ?P1(x)?(x??1)P0(x),?P(x)?(x??)P(x) P(x),k?1,2,3,?,n?1.k?1kkk?1?k?1这里Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，根据Pk(x)的正交性，得：m??(xi)xiPk2(xi)??(xPk(x),Pk(x))??k?1?i?0?m?(Pk(x),Pk(x))2?(x)P(x)?iki?i?0??(xPk,Pk),k?0,1,2,3,?,n?1, () ??(P,P)kk?m??(xi)Pk2(xi)??(Pk,Pk)i?0?,k?1,2,3 ,?,n??k(Pk?1,Pk?1)?(xi)Pk2?1(xi)??i?0?用正交多项式?Pk(x)?的线性组合做最小二乘曲线拟合，只要根据公式()和()逐步求Pk(x)得同时，相应计算出系数(f,Pk)*ak??(Pk,Pk)??(x)f(x)P(x)iikii?0m??(x)Pii?0m, k?0,1,2,?,n，()2k(xi)*并逐步把ak,Pk(x)累加到S(x)中去，最后就会得到所求的拟合曲线。

最小二乘法应用探讨最小二乘法是运用线性代数，结合非线性空间中的标量函数，选取其某类解的一种常用方法。

它充分利用了函数参数估计的所有已知参数，以达到最优解，从而解决数据拟合、参数估计和最优化问题。

最小二乘法应用于物理、工程、医学、经济等许多领域，用科学的计算方法对现实问题进行数值分析，有着极大的应用价值。

一、最小二乘法概述最小二乘法是用来解决常见的基于概率模型的最优问题而产生的。

它把复杂的常微分植的参数估计问题转化成线性方程组的解析求解，这极大地简化了估计的过程，也提高了计算效率和精度。

它是克服大量非线性、非确定性、高维度等不足的一种有效方法。

二、最小二乘法的优点1、它加速了解法的求解速度，可以很快地确定出参数的估计值，节省了求解时间。

2、它可以提高拟合的精度，把误差降低到最小，用以描述实际情况的更精确和更符合实际。

3、它可以拟合一般的复杂的不可线性函数，因此在复杂场合得到广泛的应用。

4、它具有完善的可操作性，即使在有噪声的、存在随机误差的数据上，也能较好地利用参数进行拟合。

三、最小二乘法的应用1、最小二乘法可以用于统计分析，对于回归分析、效用函数拟合和差分分析都有重要的应用。

2、最小二乘法在线性优化和非线性优化问题的求解上也有重要的应用。

3、最小二乘法能够把未知的函数和数据之间的关系更加清楚地描绘出来，有助于理解函数的变化规律。

4、最小二乘法在偏微分方程求解上也有重要应用，因为它对偏微分方程有很好的拟合能力。

最小二乘法是求解多元非线性方程、数值分析与非线性规划问题最有效的一种算法，它在物理、工程、医学、经济等领域有着重要的应用价值。

它的优点在于可以很好地处理大量的参数，把它们的关系进行描述，从而达到最优解析，对于精确的计算有着重要的价值。