1985年全国统一高考数学试卷理科

高考数学普通高等学校招生全国统一考试85数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间1.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A).2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23解：(cossin)(cossin)cos1212121262πππππ-+==,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于 （ ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2） 解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B) 5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π就是一个反例,选(C)7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①③是真命题,选(B)8．若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11解：3x 的项的系数为332n C ,x 的项的系数为12n C ,由题意得332n C =812n C 解之得n=5,选(A)一了9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 2解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下：由上表可以看出要使塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A.解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=1416842363⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 . 解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α=2sin(4πα-)≤2,∴若y x y x -=+则,422的最大值是15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .解；P=1128222101745C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(12,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13422=+y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小. 21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 22．（本小题12分）解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n nn b b b n n n 解法二： （Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n n n b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即 解法三：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nn n n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b ;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b ).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+ ,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---n n n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由。

1985年全国统一高考数学试卷〔理科〕一、选择题〔共5小题，每一小题3分，总分为15分〕的体积是〔〕π为周期的偶函数？〔〕5．〔3分〕用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复二、解答题〔共13小题，总分为90分〕6．〔4分〕求方程解集．7．〔4分〕设|a|≤1，求arccosa+arccos〔﹣a〕的值．8．〔4分〕求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．〔4分〕设〔3x﹣1〕6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．〔4分〕设函数f〔x〕的定义域是[0，1]，求函数f〔x2〕的定义域．11．〔7分〕解方程log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕．12．〔7分〕解不等式13．〔15分〕如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC的一点，Q为面BD的一点，直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD 所成的角为β，∠CMQ=θ〔0°＜θ＜90°〕，线段PM的长为a，求线段PQ的长．14．〔15分〕设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面的两动点，并且满足：〔1〕Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；〔2〕△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．15．〔15分〕两点P〔﹣2，2〕，Q〔0，2〕以与一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．〔要求把结果写成普通方程〕16．〔14分〕设，〔1〕证明不等式对所有的正整数n都成立；〔2〕设，用定义证明17．〔12分〕设a，b是两个实数，A={〔x，y〕|x=n，y=na+b，n是整数}，B={〔x，y〕|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={〔x，y〕|x2+y2≤144}，是平面XOY的点集合，讨论是否存在a和b使得〔1〕A∩B≠φ〔φ表示空集〕，〔2〕〔a，b〕∈C同时成立．18．曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．1985年全国统一高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共5小题，每一小题3分，总分为15分〕的体积是〔〕A．B．C．D．2．〔3分〕的〔〕A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件π为周期的偶函数？〔〕5．〔3分〕用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复二、解答题〔共13小题，总分为90分〕6．〔4分〕求方程解集．7．〔4分〕设|a|≤1，求arccosa+arccos〔﹣a〕的值．8．〔4分〕求曲线y2=﹣16x+64的焦点．9．〔4分〕设〔3x﹣1〕6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．〔4分〕设函数f〔x〕的定义域是[0，1]，求函数f〔x2〕的定义域．11．〔7分〕解方程log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕．考点：对数的运算性质；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验根．解答：解：由原对数方程得，解这个方程，得到x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，故x=0是原方程的根．点评：此题考查对数的运算性质，对数函数的定义域．12．〔7分〕解不等式考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时，将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．解答：解：，解得；〔4分〕或，解得﹣1≤x＜2；〔8分〕综上所述，解得〔12分〕点评：此题主要考查根号下的不等式的求解．13．〔15分〕如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC的一点，Q为面BD的一点，直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ〔0°＜θ＜90°〕，线段PM的长为a，求线段PQ的长．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，与a2=PR2+MR2，求出NR的值．解答：解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，由于直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，如此PN⊥BC〔三垂线定理因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°由于直线MQ是直线PQ在平面BD的射影，所以∠PQR=β在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．在Rt△MNR中，MR=，在Rt△PMR中，，又0°＜θ＜90°，所以．在Rt△PRQ中，．故线段PQ的长为．点评：此题考查的知识点是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键．14．〔15分〕设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面的两动点，并且满足：〔1〕Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；〔2〕△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．考点：复数的根本概念；复数求模．专题：综合题．分析：设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．解答：解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中z1=r1〔coθ+isinθ〕，z2=r2〔coθ﹣isinθ〕．由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，如此有3z=z1+z2=〔r1+r2〕cosθ+〔r1﹣r2〕isinθ．于是|3z|2=〔r1+r2〕2cos2θ+〔r1﹣r2〕2sin2θ=〔r1﹣r2〕2cos2θ+4r1r2cos2θ+〔r1﹣r2〕2sin2θ=〔r1﹣r2〕2+4r1r2cos2θ又知△OZ1Z2的面积为定值S与，所以，即由此，故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．点评：此题考查复数的根本概念，复数求模，是中档题．15．〔15分〕两点P〔﹣2，2〕，Q〔0，2〕以与一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．〔要求把结果写成普通方程〕考点：轨迹方程．专题：计算题；交轨法．分析：根据题意，设点A和B分别是〔a，a〕和〔a+1，a+1〕，直线PA的方程是，直线QB的方程直线PA和QB平行，无交点〔2〕当a≠0时，直线PA与QB相交，设交点为M〔x，y〕，由〔2〕式得，∴将上述两式代入〔1〕式，得整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0，即当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足〔*〕式所以〔*〕式即为所求动点的轨迹方程．点评：此题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．16．〔14分〕设，〔1〕证明不等式对所有的正整数n都成立；〔2〕设，用定义证明考点：不等式的证明；极限与其运算．专题：证明题．分析：〔1〕考虑a n和式的通项，先对其进展放缩，结合数列的求和公式即可证得；〔2〕欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．解答：证：〔1〕由不等式17．〔12分〕设a，b是两个实数，A={〔x，y〕|x=n，y=na+b，n是整数}，B={〔x，y〕|x=m，y=3m2+15，m是整数}，C={〔x，y〕|x2+y2≤144}，是平面XOY的点集合，讨论是否存在a和b使得〔1〕A∩B≠φ〔φ表示空集〕，〔2〕〔a，b〕∈C同时成立．18．曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．。

1986年高考数学题1. 已知平面直角坐标系上直线L: $2x-y+3=0$ , M($\frac{7}{4}$,1) , 点P到L的距离为 $\frac{1}{2}$ 。

求：(1) 直线L的斜率；(2) 点P到直线L的垂线方程。

2. 若函数$f(x)=ax^2+bx+c$ ($a \neq 0$)的图象恰与x轴相切，且过点(1,2)，则a,b,c 的值满足的关系为________。

3. 已知3阶矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 2\\2 & 2 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ 。

求：(1) A的伴随矩阵；(2) $A^{-1}$ 。

以下是这三道题目的解答：1.(1)直线L的斜率为 $k = \frac{2}{1} = 2$。

(2)设点P到直线L的垂线为直线N，则直线N的斜率为 $-\frac{1}{2}$，直线N的方程为 $y-1 = -\frac{1}{2}(x-\frac{7}{4})$ 或 $x+2y-{\frac{15}{4}}=0$。

2.因为函数$f(x)$与x轴相切，所以$f(1) = 0$ 且 $f'(1) = 0$。

解得：$a+b+c=2$ 且 $2a+b=0$。

因为 $a \neq 0$，所以可以解得 $a = 1$ 且 $b = -2$，进而得到 $c = 3$。

因此，a,b,c的值满足 $a=1, b=-2, c=3$。

3.(1)A的伴随矩阵为 $A^*=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 4\\-2 & 2 & 5\\-2 & 2 & 4\end{pmatrix}$。

(2)A的行列式为 $|A|=1$，所以 A 可逆。

根据矩阵求逆的公式，可以得到 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 4\\-2 & 2 & 5\\-2 & 2 & 4\end{pmatrix}$。

1986年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（ ） A ． B ． C ． D．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x +1的反函数是（ ） A ． y=log 5x+1 B ． y=log x 5+1 C ． y=log 5（x ﹣1） D ． y=log 5x ﹣13．（3分）极坐标方程表示（ ）A． 一条平行于x 轴的直线 B ． 一条垂直于x 轴的直线C ． 一个圆D ． 一条抛物线4．（3分）函数是（ ）A ． 周期为的奇函数B ． 周期为的偶函数C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（） A ． 1789 B ． 1799 C ． 1879 D ．18996．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D 是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A．B．C．D．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ． B．C ． D．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．12．（4分）已知的值．13．（4分）在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．14．（4分）求．15．（4分）求展开式中的常数项．16．（4分）已知的值．17．（10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．18．（12分）当sin2x ＞0，求不等式log 0.5（x 2﹣2x ﹣15）＞log 0.5（x+13）的解集．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB 取得最大值．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．1986年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）A ．B．C．D．考点：复数的基本概念．分析：复数的三角形式是r（cosθ+isinθ），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果．解答：解：∵Z=r（cosθ+isinθ），∴Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．2．（3分）函数y=（0.2）﹣x+1的反函数是（）A ．y=log5x+1B．y=log x5+1C．y=log5（x﹣1）D．y=log5x﹣1考点：反函数．专题：计算题．分析：本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x﹣1）即可选择答案．解答：解：根据指数式与对数式的互化，由y=（0.2）﹣x+1解得x=log5（y﹣1）x，y互换得：y=log5（x﹣1）故选C点评：本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等．3．（3分）极坐标方程表示（ ） A ． 一条平行于x 轴的直线B ．一条垂直于x 轴的直线C ． 一个圆D ．一条抛物线考点： 点的极坐标和直角坐标的互化．专题： 选作题；转化思想．分析： 首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形． 解答： 解：由极坐标与直角坐标系的转换公式， 可得到X=即是一条垂直于x 轴的直线．所以答案选择B ． 点评： 此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用．计算量小题目较容易．4．（3分）函数是（ ） A ． 周期为的奇函数 B ． 周期为的偶函数C ． 周期为的奇函数D ． 周期为的偶函数考点：二倍角的正弦． 分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题． 解答： 解：∵y=sin2xcos2x=sin4x∴T=2π÷4=，∵原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式．化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数．把函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式再解决三角函数性质有关问题．5．（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A ．1789 B．1799 C．1879 D．1899考点：收集数据的方法．专题：计算题．分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字．解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B．点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目．6．（3分）（2004•重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题．分析：由题设条件知p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，所以q推不出p．解答：解：依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q．但由于r推不出p，∴q推不出p．故选A．点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．7．（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A ．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F考点：圆的一般方程．分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可．解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）中，D=E．故选A．点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题．8．（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A ．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．解答：解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．9．（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象只可能是（）A ．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：压轴题；数形结合．分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab≠0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B．解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a＞0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a＜0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D．点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．10．（3分）当x∈[﹣1，0]时，在下面关系式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：压轴题；阅读型．分析：利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项．解答：解：当x在（﹣1，0）∈[﹣1，0]内变化时：由于0＜1﹣x2＜1，每一个关系式的右端均为锐角．每一个关系式的左端均为两项，第一项均为π；考查第二项，由于arccos（﹣x）和arcsin（﹣x）均为锐角，所以π﹣arccos（﹣x）=钝角，（A）不正确．π﹣arcsin（﹣x）=钝角，（B）不正确．由于arcsinx为负锐角，所以π﹣arcsinx＞π，（D）不正确．故选C．点评：本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．二、解答题（共13小题，满分90分）11．（4分）求方程的解．考点：指数函数综合题．分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解．解答：解：∵===∴∴点评：本题主要考查解指数方程的问题．注意方程两侧可都化成同底数后再求解．12．（4分）已知的值．考点：复数代数形式的混合运算．分析：ω的值是1的一个立方虚根，ω2+ω+1=0是它的性质．解答：解：由==0 点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．13．（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可．解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=．故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．14．（4分）求．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则．本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算．解答：解：原式=，又．则原式=．故答案是．点评：在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n．即可完成极限计算．15．（4分）求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项．解答：解：展开式的通项T=（﹣1）r25﹣r C5r x15﹣5rr+1令15﹣5r=0得r=3所以展开式的常数项为﹣22C53=﹣40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．16．（4分）已知的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：先对sinθ﹣cosθ=两边平方得到sinθcosθ=，再由sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）可得答案．解答：解：∵sinθ﹣cosθ=，∴∴sinθcosθ=sin3θ﹣cos3θ=（sinθ﹣cosθ）（sin2+sinθcosθ+cos2θ）=×（1+）=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题．这里要注意三角函数的变形应用．17．（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC．考点：平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．解答：证明：连接AC∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC又∵PA⊥圆O所在平面，且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线∴BC⊥平面PAC∴△PB C所在平面与△PAC所在平面垂直．点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（12分）当sin2x＞0，求不等式log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13）的解集．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由sin2x＞0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集．解答：解：满足sin2x＞0 的x取值范围是，（1）而由log0.5（x2﹣2x﹣15）＞log0.5（x+13），得解得：﹣4＜x＜﹣3，5＜x＜7，（5）由（1）、（5）可知所求解集为（﹣π，﹣3）∪（2π，7）．点评：本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；函数思想．分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tanα是增函数，即所得的角为最大角．解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，．现在有tanα=tg[（α+β）﹣β]==．记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tanα取得最大值．因为在内tanα是增函数，所以当时，∠ACB取最大值．故所求点C的坐标为（，0）．故答案为（，0）．点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．20．（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）C⊂A∪B且C中含有3个元素，（2）C∩A≠∅（∅表示空集）．考点：子集与交集、并集运算的转换．分析：集合韦恩图求出A∪B中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可．解答：解：因为A、B各含12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B元素的个数是12+12﹣4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，在上面集合中，还满足A∩C=∅的集合C的个数是C83因此，所求集合C的个数是C203﹣C83=1084点评：本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大．21．（12分）过点M（﹣1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．考点：抛物线的简单性质．专题：综合题．分析：先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为△=（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0且k≠0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可．解答：解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）①把①代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0②因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k2﹣4）2﹣4k2•k2＞0③及k≠0．④解出③与④得到k∈（﹣1，0）∪（0，1）现设点P的坐标为，则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，记，则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及②得，由此得到，定义域是（﹣1，0）∪（0，1）显然，1﹣k2在（﹣1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（﹣1，0）内为减函数点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重要考点，要着重复习．22．（12分）已知x1＞0，x1≠1，且，（n=1，2，…）．试证：数列{x n}或者对任意自然数n都满足x n＜x n+1，或者对任意自然数n都满足x n＞x n+1．考点：用数学归纳法证明不等式；数列递推式．专题：证明题；压轴题；归纳法．分析：首先，，故x与x n+1，的大小关系n取决于x n与1的大小，猜想分两类：x1＜1和x1＞1，最后利用数学归纳法进行证明即可．解答：证：首先，，由于x1＞0，由数列{x n}的定义可知x n＞0，（n=1，2，…）所以，x n+1﹣x n与1﹣x n2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1﹣x n2＞0（n∈N）显然，n=1时，1﹣x12＞0设n=k时1﹣x k2＞0，那么当n=k+1时，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＞0，从而对一切自然数n都有x n＜x n+1②若x1＞1，当n=1时，1﹣x12＜0；设n=k时1﹣x k2＜0，那么当n=k+1时=，因此，对一切自然数n都有1﹣x n2＜0，从而对一切自然数n都有x n＞x n+1点评：本题主要考查了用数学归纳法证明不等式、不等式的证明，属于中档题．23．附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（﹣1，0）并与曲线相切的直线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据（uv）′=u′v+uv′，（arctgx）′=，根据复合函数求导数的法则求出即可；（2）根据（）′=求出y′，把x等于﹣1代入y′的值即为切线的斜率，利用切点的斜率写出切线方程即可．解答：解：（1）y′=（xarctgx2）′=x′arctgx2+x•（arctgx2）′=arctgx2+x•2x•=arctgx2+；（2），而点（﹣1，0）在曲线上，y'|x=﹣1=1，所以所求的切线方程为y=x+1点评：此题考查学生利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，灵活运用求导法则求函数的导数，是一道中档题．。

1985年全国高等学校统一招生数学试题
康庄;家骏;文立
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】1984(000)003
【总页数】4页(P48-51)
【作者】康庄;家骏;文立
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G6
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学习目标： 1、认识课本附录P142——P144页常见的化学实验仪器，了解它们的主要用途和实验注意事项； 2、理解和牢记化学实验室安全规则，提高遵守实验室安全规则的自觉性。

知识点（含重点、难点）： 重点：化学实验室常见的仪器名称、用途、使用的注意事项。

难点：提高学生遵守实验室安全规则的意识。

实验准备： 试管、蒸发皿、燃烧匙、烧杯、锥形瓶、酒精灯、量筒、铁架台（带铁夹、铁圈）、试管夹、试管架、漏斗、分液漏斗、广口瓶、细口瓶、滴瓶、药匙、胶头滴管、等 板书设计： 化学实验基本技能训练（一）(第一课时) 一、认识你的实验室 二、切记实验室安全规则 ①直接加热的仪器 1、三不原则1、反应容器2、用剩药品的处理（安全环保原则） ②垫石棉网加热 3、化学危险品图标 2、加热仪器 4、烫伤 3、计量仪器 5、酸、碱灼伤 4、固定、支持仪器 6、实验台着火 5、分离物质仪器 6、存放物质的仪器 学习过程： 师生互动活动意图【创设情景引入新课】 【教师】首先我给大家讲一只烧坏的挎包的故事：在美国一所著名中学，化学实验室的陈列窗中有一只烧坏的挎包，关于这个挎包还有一个有趣的故事呢。

很多年以前，这个学校的一个学生在做实验时，看到金属钠非常神奇，就偷偷的在自己的挎包里放了一小块金属钠，打算下课后再玩，但是还没等下课他的挎包就着火了，原来金属钠的化学性质非常活泼，在他的挎包里很快就自燃了，他不遵守实验室的规则而导致了实验时的危险，为了警示以后的学生，因此学校把这个学生的挎包留了下来并陈列在橱窗里。

【学生】聆听，意识到不遵守实验室安全规则带来的危险 【过渡】今天，我们就一起走进化学实验室来了解化学实验室的有关知识。

【板书课题】化学实验基本技能训练（一） 【出示学习目标】 【教师】首先我们来了解一下本节课的学习目标， 投影：学习目标 师生明确学习的目标和具体的任务，知道学习时的重点和难点。

【学生】明确目标，知道本节课的学习任务。

1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学一、本题每个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)设正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,那么三棱锥A′—ABD的体积是(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要的条件(3)设集合X={0,1,2,4,5,7},Y={1,3,6,8,9},Z={3,7,8},那么集合(x∩Y)∪Z是(A){0,1,2,6,8} (B){3,7,8}(C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}以π为周期的偶函数?(A)y=x2 (x∈R) (B)y=│sinx│(x∈R)(C)y=cos2x (x∈R) (D)y=e sin2x (x∈R)(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有(A)96个(B)78个(C)72个(D)64个二、只要求直接写出结果.(2)求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率.(3)求函数y=-x2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值.(4)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.(5)设i是虚数单位,求(1+i)6的值.三、设S1=12, S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,….用数学归纳法证明:公式对所有的正整数n都成立.四、证明三角恒等式五、(1)解方程lg(3-x)-lg(3+x)=lg(1-x)-lg(2x+1).(2)解不等式六、设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h.求这个三棱锥底面的内切圆半径.七、已知一个圆C:x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线l:3x-4y+5=0.求圆C关于直线l对称的圆的方程.1985年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）数学参考答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D; (2)A; (3)C; (4)B; (5)B.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.(1){x│-2≤x<1}∪{x│1<x≤2};(2)2;(3)最大值是2,最小值是-2;(4)64(或26;(5)-8i.三、本题考查应用数学归纳法证明问题的能力.证明:因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12(Ⅱ)假设当n=k时,(A)式成立,即现设n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12即证得当n=k+1时(A)式也成立.根据(Ⅰ)和(Ⅱ),(A)式对所有的正整数n都成立,即证得四、本题考查三角公式和证明三角恒等式的能力.证法一:左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos3x-3cosx)cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=右边.证法二:=右边.五、本题考查对数方程、无理不等式的解法以及分析问题的能力.(1)解法一:由原对数方程得于是解这个方程,得到x1=0, x2=7.检验:把x=0代入原方程,左边=0=右边;故x=0是原方程的根.把x=7代入原方程,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义,故x=7不是原方程的根,应舍去.因此,原对数方程的根是x=0.对原方程变形,同解法一,得x1=0, x2=7.2x+5>x2+2x+1,x2<4,即-2<x<2. 但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解. 综合(i)和(ii),得出原不等式的解集是六、本题考查三棱锥、二面角的概念,三垂线定理和解决空间图形问题的能力.解:自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O.再过O分别作AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,G.连接VE,VF,VG.根据三垂线定理知VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC.因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β.在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,所以VO⊥OE,VO⊥OF.又因VO=VO,∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO.由此得到OE=OF.同理可证OE=OG.因此OE=OF=OG.又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,所以点O是△ABC的内切圆的圆心.在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,因此OE=hctgβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hctgβ.七、本题考查直线和圆的基础知识和用解析法解决几何问题的能力.解法一:已知圆C的方程是x2+y2+4x-12y+39=0,它可写成(x+2)2+(y-6)2=1,因此它的圆心为P(-2,6),半径为1.即3a-4b-20=0. (1)又PP′⊥l,故有即4a+3b-10=0. (2)解(1),(2)所组成的方程组,得a=4,b=-2.由此,所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即x2+y2-8x+4y+19=0.解法二:设圆C上任一点(x′,y′)关于直线l的对称点为(x,y).则有由此可得因点(x′,y′)在圆C上,故有(x′+2)2+(y′-6)2=1,即有化简,得x2+y2-8x+4y+19=0,这就是所求圆的方程.八、本题考查数列和极限的基础知识以及分析问题的能力.解:当公比q满足0<q<1时,于是因此当公比q=1时,S n=1+1+…+1=n,于是因此当公比q>1时, 于是因此综合以上讨论得到。

1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。

1985 年全国一致高考数学试卷（理科）一、选择题（共 5 小题，每题 3 分，满分 15 分）1．（3 分）假如正方体ABCD ﹣A′ B′ C′的棱D′长为 a，那么四周体 A′﹣ABD 的体积是（）A B C D．．．．2．（3 分）的（）A必需条件B充足条件．．C充足必需条D既不充足又．件．不用要的条件3．（3 分）在下边给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）A y=x2（ x∈R）B y=|sinx|C y=cos2xD y=e sin2x．．（x∈R）．（ x∈R）．（x ∈R）4．（3 分）极坐标方程ρ =asin（θa＞0）的图象是（）A B C D．．．．5．（3 分）用 1，2，3，4，5 这五个数字，能够构成比20000 大，而且百位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有（）A 96个B 78个C 72个D 64个．．．．二、解答题（共13 小题，满分 90 分）6．（4 分）求方程解集．7．（4 分）设 |a| ≤1，求 arccosa+arccos（﹣ a）的值．8．（4 分）求曲线 y2=﹣16x+64 的焦点．9．（4 分）设（ 3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．10．（ 4 分）设函数 f（x ）的定义域是 [0，1]，求函数 f（ x2）的定义域．11．（ 7 分）解方程 log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（ 1﹣ x） +log0.25（ 2x+1）．12．（ 7 分）解不等式13．（ 15 分）如图，设平面 AC 和 BD 订交于 BC，它们所成的一个二面角为 45°，P 为平面 AC 内的一点， Q 为面 BD 内的一点，已知直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影，而且 M 在 BC 上又设 PQ 与平面 BD 所成的角为β，∠ CMQ=θ（ 0°＜θ＜90°），线段 PM 的长为 a，求线段 PQ 的长．14．（ 15 分）设 O 为复平面的原点， Z1和 Z2为复平面内的两动点，而且知足：（ 1） Z1和 Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；（ 2）△OZ1Z2的面积为定值 S 求△ OZ1 Z2的重心 Z 所对应的复数的模的最小值．15．（ 15 分）已知两点 P（﹣ 2， 2），Q（0，2）以及一条直线： L：y=x，设长为的线段 AB 在直线L 上挪动，如图，求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程．（要求把结果写成一般方程）16．（ 14 分）设，（ 1）证明不等式对全部的正整数n 都建立；（ 2）设，用定义证明17．（ 12 分）设 a，b 是两个实数，A={ （x， y）|x=n， y=na+b，n 是整数 } ，B={ （x，y）|x=m，y=3m2+15， m 是整数 } ，C={ （x， y）|x2+y2≤ 144}，a 和b 使得是平面 XOY 内的点会合，议论能否存在（ 1） A∩B≠φ（φ表示空集），（ 2）（a，b）∈C同时建立．18．已知曲线 y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于 x∈[0，2] 的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．1985 年全国一致高考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（共 5 小题，每题 3 分，满分 15 分）1．（3 分）假如正方体ABCD ﹣A′ B′ C′的棱D′长为 a，那么四周体A′﹣ABD的体积是（）A B C D．．．．考点：专题：剖析：解答：棱柱、棱锥、棱台的体积．计算题．画出图形，直接求解即可．解：如图四周体 A′﹣ABD的体积是V=应选 D．评论：本题考察棱锥的体积，是基础题．2．（3 分）的（）A必需条件B充足条件．．C充足必需条D既不充足又．件．不用要的条件考点：必需条件、充足条件与充要条件的判断．专题：计算题．剖析：先解出 tanx=1 的解，再判断两命题的关系．解答：解：由 tanx=1得，当 k=1时， x=，固由前者能够推出后者，所以 tanx=1 是的必需条件．应选 A．评论：本题要注意必需条件，充足条件的判断，掌握正切函数的基天性质，比较简单．3．（3 分）在下边给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）A y=x2（ x∈R）B y=|sinx|C y=cos2xD y=e sin2x．．（x∈R）．（ x∈R）．（x ∈R）考点：专题：剖析：三角函数的周期性及其求法．压轴题．依据函数的周期性和三角函数的单一性对选项逐个考证即可．解答：解： y=x 2（x∈R）不是周期函数，故清除A ．∵y=|sinx|（ x∈R）周期为π，且依据正弦图象知在区间上是增函数．应选 B．评论：本题主要考察三角函数的最小正周期和三角函数的图象．4．（3 分）极坐标方程ρ =asin（θa＞0）的图象是（）A B C D．．．．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．剖析：先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解答：解：∵极坐标方程ρ=asin（θa＞0）2∴ρ=aρ sin，θ∴x2 2，它表示圆心在（0，）的圆．+y=ay应选 C．评论：本题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直222，进行代换即得．角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ，=xρsin θ，=yρ=x +y5．（3 分）用 1，2，3，4，5 这五个数字，能够构成比20000 大，而且百位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有（）A 96个B78 个 C 72个 D 64个．．．．考点：摆列、组合的实质应用．专题：计算题；压轴题；分类议论．剖析：依据题意，剖析首位数字，要求这个五位数比20000 大，则首位一定是2，3，4，5 这 4 个数字，因为百位数不是数字 3，分 2 种状况议论，①百位是3，②百位是 2，4，5，分别求得其状况数量，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：依据题意，要求这个五位数比20000 大，则首位一定是2，3，4，5 这 4 个数字，分 2 种状况议论，4=24 种状况，当首位是 3 时，百位数不是数字3，有 A4当首位是 2，4，5 时，因为百位数不可以是数字 3，有 3（A 44﹣A 33）=54 种状况，综合可得，共有 54+24=78 个数字切合要求，应选 B．评论：本题考察摆列、组合的应用，注意联合题意，进行分类议论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共13 小题，满分 90 分）6．（4 分）求方程解集．考点：随意角的三角函数的定义．专题：计算题．剖析：直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解．解答：解：方程化为：所以方程解集为：评论：本题考察随意角的三角函数的定义，考察计算能力，是基础题．7．（4 分）设 |a| ≤1，求 arccosa+arccos（﹣ a）的值．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．剖析：直策应用反函数的运算法例，求解即可．解答：解： arccosa+arccos（﹣ a）=arccosa+ π﹣arccosa= π评论：本题考察反函数的运算，是基础题．8．（4 分）求曲线 y2=﹣16x+64 的焦点．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；转变思想．x﹣ 4=t，则可求得 y2=﹣16t 的焦点坐标，则抛物线 y2=﹣剖析：先把曲线方程整理成标准方程，设16（x﹣4）的焦点坐标可得．解答：解：整理曲线方程可得 y2﹣（﹣）=16 x4令 x﹣4=t，则 y2=﹣16t，焦点坐标为（﹣ 4，0）∴y2=﹣16（x﹣4）的焦点为（ 0，0）评论：本题主要考察了抛物线的简单性质．考察了学生对抛物线基础的灵巧运用．9．（4 分）设（ 3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：专题：二项式系数的性质．计算题．剖析： 平等式中的 x 赋值 1 求出各项系数和．解答：解：令 x=1 得 26=a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0故 a 6 5 4 3 2 1 0 6+a +a +a +a +a +a =2评论：本题考察赋值法是求睁开式的各项系数和的重要方法．10．（ 4 分）设函数 f （x ）的定义域是 [0，1]，求函数 f （ x 2）的定义域．考点： 函数的定义域及其求法．剖析：2 ）中 x 2 ∈ ，求解即可．函数 f （ x ）的定义域是 [0，1] ，函数 f （ x[0，1] 解答：解：函数 f （x ）的定义域是 [0，1] ，函数 f （x2）中x2∈，1]，解得∈﹣ ，[0x [ 1 1]评论： 本题考察函数的定义域及其求法，是基础题．11．（ 7 分）解方程 log 4（3﹣x ）+log 0.25（3+x ）=log 4（ 1﹣ x ） +log 0.25（ 2x+1）．考点： 对数的运算性质；对数函数的定义域． 专题： 计算题．剖析：把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，因为不是恒等变形，注意验根． 解答：解：由原对数方程得，解这个方程，获得 x 1=0，x 2=7． 查验： x=7 是增根， 故 x=0 是原方程的根．评论：本题考察对数的运算性质，对数函数的定义域．12．（ 7 分）解不等式考点： 专题：剖析：其余不等式的解法．计算题；分类议论．分类议论，当时不等式建立，解出不等式解集即可， 当 时，将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．解答：解： ，解得 ；（4 分）或 ，解得﹣ 1≤x＜2；（8 分）综上所述，解得（12 分）评论： 本题主要考察根号下的不等式的求解．13．（ 15 分）如图，设平面 AC 和 BD 订交于 BC，它们所成的一个二面角为 45°，P 为平面 AC 内的一点， Q 为面 BD 内的一点，已知直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影，而且 M 在 BC 上又设 PQ与平面 BD 所成的角为β，∠ CMQ=θ（ 0°＜θ＜90°），线段 PM 的长为 a，求线段 PQ 的长．考点：平面与平面之间的地点关系．专题：计算题．剖析：过点 P 作平面 BD 的垂线，垂足为 R，由 PQ 与平面 BD 所成的角为β，要求 PQ，可依据，故我们要先求 PR 值，而由二面角的平面角为45°，我们可得 NR=PR，故我们要先依据 MR=222，及 a =PR +MR ，求出 NR 的值．解答：解：自点 P 作平面 BD 的垂线，垂足为 R，因为直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影，所以 R 在 MQ 上，过 R 作 BC 的垂线，设垂足为 N，则PN⊥BC（三垂线定理所以∠ PNR 是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°因为直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影，所以∠ PQR=β在 Rt△PNR 中， NR=PRcot45°，所以 NR=PR．在 Rt△MNR 中， MR=，在 Rt△PMR 中，，又已知 0°＜θ＜ 90°，所以．在 Rt△PRQ 中，．故线段 PQ 的长为．评论：本题考察的知识点是平面与平面间的地点关系，二面角，解三角形，依据已知条件由未知的结论利用剖析法追求解题思路是解题的重点．14．（ 15 分）设 O 为复平面的原点， Z1和 Z2为复平面内的两动点，而且知足：（ 1） Z1和 Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；（ 2）△OZ1Z2的面积为定值 S 求△ OZ1 Z2的重心 Z 所对应的复数的模的最小值．考点：复数的基本观点；复数求模．专题：综合题．剖析：设出 Z1，Z2和 Z 对应的复数分别为 z1，z2和 z，因为 Z 是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．解答：解：设 Z1， Z2和 Z 对应的复数分别为 z1，z2和 z，此中11（coθ+isin），θz =r2（coθ﹣isin）θ．2z =r因为 Z 是△ OZ1 Z2的重心，依据复数加法的几何意义，则有 3z=z12（ 1+r2）cosθ+（r1 ﹣r2 ）isin．θ+z = r1﹣r2）22θ于是 |3z|2（1+r2）22θ+（r=r cos sin=（r1﹣r2）22θ +4r1 22θ+（r1﹣ r2）2 2θcos r cos sin=（r1﹣r2）2+4r1r2cos2θ又知△ OZ1 Z2的面积为定值 S 及，所以，即由此，故当 r12时，最小，且最小值=．=r =|z||z|评论：本题考察复数的基本观点，复数求模，是中档题．15．（ 15 分）已知两点 P（﹣ 2， 2），Q（0，2）以及一条直线： L：y=x，设长为的线段 AB 在直线L 上挪动，如图，求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程．（要求把结果写成一般方程）考点：专题：剖析：轨迹方程．计算题；交轨法．依据题意，设点 A 和 B分别是（a， a）和（ a+1，a+1），直线PA 的方程是，直线QB 的方程是．当，即a=0 时，直线PA 和QB 平行，无交点；当a≠0时，直线PA 与QB 订交，设交点为M（ x，y），解答：由此能获得直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程．解：因为线段 AB 在直线 y=x 上挪动，且 AB 的长，所以可设点 A 和 B 分别是（ a，a）和（ a+1， a+1），此中 a 为参数于是可得：直线PA 的方程是直线QB 的方程是（1）当，即a=0 时，直线 PA 和 QB 平行，无交点（2）当 a≠0时，直线 PA 与 QB 订交，设交点为 M （x， y），由（ 2）式得，∴将上述两式代入（ 1）式，得整理得 x2﹣y2+2x﹣ 2y+8=0，即评论：当 a=﹣2 或 a=﹣1 时，直线 PA 和 QB 仍旧订交，而且交点坐标也知足（* ）式所以（ * ）式即为所求动点的轨迹方程．本题考察轨迹方程的求法，解题时要认真审题，认真剖析，注意发掘题设中的隐含条件，合理地选用公式．16．（ 14 分）设，（ 1）证明不等式对全部的正整数n 都建立；（ 2）设，用定义证明考点：专题：不等式的证明；极限及其运算．证明题．剖析：解答：评论：（1）考虑 a n和式的通项，先对其进行放缩，联合数列的乞降公式即可证得；（2）欲用定义证明即证对随意指定的正数ε，要使．证：（1）由不等式对全部正整数 k 建立，把它对 k 从 1 到 n（n≥1）乞降，获得 1+2+3+ +n ＜a n＜又因 1+2+3+ +n=，以及＜ [1+3+5+ +（2n+1）]=，对全部的正整数 n 都建立．（2）由（ 1）及 b n的定义知对随意指定的正数ε，要使，只需使，即只需使取 N 是的整数部分，则数列b n的第 N 项此后全部的项都知足依据极限的定义，证得本题主要考察不等式的证明，主要采纳了放缩法．放缩是一种重要的变形手段，可是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握，技巧性较强．17．（ 12 分）设 a，b 是两个实数，A={ （x， y）|x=n， y=na+b，n 是整数 } ，B={ （x，y）|x=m，y=3m2+15， m 是整数 } ，C={ （x， y）|x2+y2≤ 144}，是平面 XOY 内的点会合，议论能否存在 a 和 b 使得（1） A∩B≠φ（φ表示空集），（2）（a，b）∈C同时建立．考点：会合关系中的参数取值问题；点到直线的距离公式．专题：压轴题．剖析： A 、B、C 是点的会合，由y=na+b 和 y=3m2+15 想到直线和抛物线．A∩ B≠φ表示直线和抛物线有公共点，故只需联力方程，△≥0得 a，b 的关系式，再考虑与会合 C 中 x2+y2≤ 144表示的以原点为圆心，以 12 为半径的圆及内部点的关系即可．解答：解：据题意，知A={ （x， y）|x=n，y=an+b，n∈Z}B={ （x， y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z}假定存在实数 a，b，使得 A∩B≠?建立，则方程组y=ax+by=3x2+15 有解，且 x ∈Z．2消去 y，方程组化为3x ﹣ax+15﹣ b=0．①2∴△ =a ﹣ 12（15﹣ b）≥0．2∴﹣ a ≤ 12b﹣ 180．②又由（ 2），得 a2+b2≤ 144．③2由② +③，得 b ≤ 12b﹣36．∴b=6．2代入②，得 a ≥ 108．2代入③，得 a ≤ 108．∴a2=108．a=± 6√ 3将 a=±6，b=6代入方程①，得3x2±6x+9=0．解之得 x=±，与x∈Z矛盾．∴不存在实数 a，b 使（ 1）（2）同时建立．评论：本题以会合为背景考察直线和抛物线的地点关系，以及圆等知识，综合性较强．18．已知曲线 y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于 x∈[0，2] 的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．剖析：求出曲线方程的导函数，在曲线上取一点设P（x0， y0），把 x0代入到导函数中求出切线方程的斜率，依据 P 点坐标和斜率写出切线的方程，令 x 等于 0 表示出切线在 y 轴上的截距 r，求出 r ′，判断 r ′大于 0 获得 r 为增函数，获得 r 在 x0=0 处取到最小值，把 x0=0 代入 r 求出最小值即可．解答：解：已知曲线方程是 y=x3﹣6x2﹣，所以y'=3x2﹣12x+11+11x602﹣12x0在曲线上任取一点 P（ x0， y0），则点 P 处切线的斜率是 y'|x=x0=3x+11点 P 处切线方程是 y=（3x02﹣12x0+11）（x﹣x0） +y0设这切线与 y 轴的截距为 r，则2）（﹣3232r=（3x0 ﹣12x00）+（x0 ﹣6x00﹣6）=﹣2x0+6x0 ﹣6+11x+11x依据题意，要求 r（它是以 x0为自变量的函数）在区间 [0， 2] 上的最小值因为 r'=﹣6x20﹣0（x0﹣2）+12x =6x当 0＜x0＜2时 r'＞0，所以 r 是增函数，（，﹣）处切线在轴上的截距故 r 在区间 [0， 2] 的左端点 x0处取到最小值，即在点=0P 06y最小这个最小值是 r 最小值 =﹣6评论：本题考察学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最小值，是一道中档题．。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试85数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时刻120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试终止后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 假如事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A).2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23解：(cossin)(cossin)cos1212121262πππππ-+==,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得x x f 的0)(<的取值范畴是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范畴是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范畴为(-2,2),选(D)4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于 （ ） A ．（1，1） B ．（－4，－4） C ．－4 D ．（－2，－2） 解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B) 5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π确实是一个反例,选(C)7．关于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，能够判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①③是真命题,选(B)8．若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11解：3x 的项的系数为332n C ,x 的项的系数为12n C ,由题意得332n C =812n C 解之得n=5,选(A)一了9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 2解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下： 第k 个立方体边长a ka !=2 a 2=2 a 3=1 a 4=22a 5=12a 6=18 第k 层立方体增加的面积b kb 1=24 b 2=8 b 3=4 b 4=2 b 5=1b 6=116K 层塔形的表面积S kS 1=24S 2=32S 3=36S 4=38S 5=39S 6=13916由上表能够看出要使塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A.解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=1416842363⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 . 解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α=2sin(4πα-)≤2,∴若y x y x -=+则,422的最大值是15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .解；P=1128222101745C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,那个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(12,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13422=+y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需通过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不阻碍.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值； （2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范畴.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小. 21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范畴.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a因此,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ，至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 因此.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=⋅⊥CE PE CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y 即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m EF --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=n m m n 故 因,,PC DG PC EF ⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 因此解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范畴为).1,33()33,1(⋃-- 22．（本小题12分）解法一：（I ）;22111,111=-==b a 故.320,2013;421431,43;3821871,87443322===-===-==b a b a b a 故故故（II ）因231)34(3832)34)(34(=⨯=--b b ，2231222)34()34)(34(,)34()34(-=--=-b b b b故猜想.2,32}34{的等比数列公比是首项为=-q b n因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）,034,3436162038212)34(2,36162034368163421134).1(8162511111≠--=--=--=---=---=--=-≥-+=++++b b a a a b a a a a a b n a aa n n n n n n n n n n n n n 因故故2|34|=-q b n 确是公比为的等比数列. n n b b 23134,32341⋅=-=-故因, )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故)152(313521)21(31)(2121-+=+--=++++=n nn b b b n n n 解法二： （Ⅰ）由,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n因此故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n).152(313521)21(31)(21,121211).1(34231,23134212211-+=+--=++++=+++=+=-=≥+⋅=⋅=-n n n b b b b a b a b a S b b a a b n b b n n n n n n n n n n n n n n n 故得由即 解法三：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2342312)34(3832,38,34,32=⨯=-=-=-b b b b b b 因此故又因的等比数列公比是首项为猜想).1(81625,2231,2,32}{111≥-+=≠⋅=-=-+++n a a a a b b q b b nn n n nn n n n 1222181625121121111----+=---=-++n n n n n n n a a a a a b b ;3681036636816--=----=n n n n n a a a a a 3681636816211211111212-----=---=-++++++n n n n n n n n a a a a a a b b ).(2361620368163624361n n n n n n n n b b a a a a a a -=--=-----=+ ,231,2}{,0321112n n n n n b b q b b b b ⋅=-=-≠=-++的等比数列是公比因 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---n n n n n n n n n n n n b a b a b a S b b a a b n +++=+=-=≥+⋅=+-=++++=-- 2211121,121211).1(342312)22(312)222(31故得由。

1985年吉林省高考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分）1、已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A、在⊙O外B、在⊙O上C、在⊙O内D、不能确定2、已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cose的值是（）A、0.6B、0.75C、0.8D、0.853、△ABC中，点M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是（）A、1B、2C、3D、44、既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、1B、-1C、2D、-25、已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A、外离B、外切C、内切D、相交6、某二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列结论正确的是（）A、ao,b0,c0B、a0,b0,c；0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c07、下列命题中，正确的是（）A、平面上三个点确定一个圆B、等弧所对的圆周角相等C、平分弦的直径垂直于这条弦D、与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线8、把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是（）A、y=-（x+3）2-2B、y=-（x+1）2-1C、y=-x2+x-5D、前三个答案都不正确二、填空题（本题共16分，每小题4分）9、已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比_____。

10、在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。

11、水平相当的甲乙两人进行羽毛球比赛，规定三局两胜，则甲队战胜乙队的概率是_________；甲队以2∶0战胜乙队的概率是________。

12、已知⊙O的直径AB为6cm，弦CD与AB相交，夹角为30°，交点M恰好为AB的一个三等分点，则CD的长为_________cm。

1985年北京高考数学一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分）1、已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A、在⊙O外B、在⊙O上C、在⊙O内D、不能确定2、已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cose的值是（）A、0.6B、0.75C、0.8D、0.853、△ABC中，点M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是（）A、1B、2C、3D、44、既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、1B、-1C、2D、-25、已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A、外离B、外切C、内切D、相交6、某二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列结论正确的是（）A、ao,b0,c0B、a0,b0,c；0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c07、下列命题中，正确的是（）A、平面上三个点确定一个圆B、等弧所对的圆周角相等C、平分弦的直径垂直于这条弦D、与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线8、把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是（）A、y=-（x+3）2-2B、y=-（x+1）2-1C、y=-x2+x-5D、前三个答案都不正确二、填空题（本题共16分，每小题4分）9、已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比_____。

10、在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。

11、水平相当的甲乙两人进行羽毛球比赛，规定三局两胜，则甲队战胜乙队的概率是_________；甲队以2∶0战胜乙队的概率是________。

12、已知⊙O的直径AB为6cm，弦CD与AB相交，夹角为30°，交点M恰好为AB的一个三等分点，则CD的长为_________cm。

一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\frac{1}{3}$C. $\pi$D. $\sqrt{9}$2. 已知函数$f(x)=2x-3$，则$f(-1)$的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 33. 如果$a^2+b^2=5$，且$a-b=2$，那么$ab$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为（）A. $(-1,1)$B. $(-1,-1)$C. $(1,-1)$D. $(1,1)$5. 下列命题中，正确的是（）A. 函数$y=x^2$在$x=0$处有极小值B. 函数$y=\log_2x$在$x=1$处有极大值C. 函数$y=\sqrt{x}$在$x=0$处有极小值D. 函数$y=3^x$在$x=0$处有极小值6. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$S_3=6$，则$a_4$的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 如果复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，那么$z$对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 在$\triangle ABC$中，若$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，则$C$的度数为（）A. $45^\circ$B. $60^\circ$C. $75^\circ$D. $90^\circ$9. 若$|x+2|=|x-2|$，则$x$的取值范围是（）A. $x \leq -2$B. $x \geq 2$C. $x \leq 2$或$x \geq -2$D. $x = 0$10. 下列函数中，奇函数是（）A. $y=x^2$B. $y=x^3$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=\sqrt{x}$11. 如果$a+b=5$，$ab=6$，那么$a^2+b^2$的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 2212. 在$\triangle ABC$中，若$a:b:c=1:2:3$，则$\cos A$的值为（）A. $\frac{1}{3}$B. $\frac{2}{3}$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{3}{2}$13. 已知$sinA=0.6$，$cosB=0.8$，那么$sin(A+B)$的值为（）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.714. 下列各对数式中，正确的是（）A. $\log_2(8)=3$B. $\log_5(25)=2$C. $\log_4(16)=2$D. $\log_3(9)=1$15. 下列各三角函数式中，正确的是（）A. $\sin^2x+\cos^2x=1$B. $\tan^2x+\sec^2x=1$C. $\cos^2x+\csc^2x=1$D. $\cot^2x+\sec^2x=1$16. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$S_4=10$，则$a_5$的值为（）A. 5B. 10C. 20D. 4017. 下列各函数中，是单调递增函数的是（）A. $y=x^2$B. $y=x^3$C. $y=\frac{1}{x}$D. $y=\sqrt{x}$18. 如果复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，那么$z$对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限19. 在$\triangle ABC$中，若$A=45^\circ$，$B=60^\circ$，则$C$的度数为（）A. $45^\circ$B. $60^\circ$C. $75^\circ$D. $90^\circ$20. 若$|x+2|=|x-2|$，则$x$的取值范围是（）A. $x \leq -2$B. $x \geq 2$C. $x \leq 2$或$x \geq -2$D. $x = 0$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若$a+b=5$，$ab=6$，则$a^2+b^2=$______。

1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，10分，不计入总分 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是 （ )6(D) 4(C) 3(B) 2)(3333a a a a A（2）π==451x tgx 是的 （） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要的条件（3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ ） （A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈= (4)极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是 （ ）（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ ） （A ）96个 （B ）78个 （C ）72个 （D ）64个 二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）（1）求方程1)6sin(2=π+x 解集（2）设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值（3）求曲线64162+-=x y 的焦点（4）设(3x-1)6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2 +a 1+a 0的值（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x 2)的定义域三．（本题满分14分）（1）解方程).12(log )1(log )3(log )3(log 25.0425.04++-=++-x x x x （2）解不等式.152+>+x x四．（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点已知直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长五．（本题满分15分）设O 为复平面的原点，Z 1和Z 2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z 1和Z 2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ)20(π<θ<，（2）△OZ 1Z 2的面积为定值求△OZ 1Z 2的重心Z 所对应的复数的模的最小值 六．（本题满分15分）已知两点P （-2，2），Q （0，2）以及一条直线：L:y=x ，设长为2的线段AB 在直线L 上移动，如图求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）七．（本题满分14分）设)2,1()1(3221 =+++⋅+⋅=n n n a n（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立 （2）设),2,1()1( =+=n n n a b n n 用定义证明.21lim =∞→n n b八．（本题满分12分） 设a ,b 是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=n a +b,n 是整数}， B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m 是整数}， C={(x,y)|x 2+y 2≤144}，是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得 （1）A ∩B ≠φ（φ表示空集）， （2）（a ,b)∈C同时成立 九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x 3-6x 2+11x-6.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值。