集合的含义与表示_课件

(1)列举法是把集合中的元素一一列举出来，写在花括号里表示 集合的方法，列举时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元 素之间“，”隔开．
(2)用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中 x 代表集 合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征，要注意竖线不能 省略，同时表达要力求简练、明确．
例 3 分别用列举法和描述法表示方程 x2－3x＋2＝0 的解．
解析：∵x2－3x＋2＝0
的两解为 x1＝1，x2＝2.
栏 目
∴列举法表示为：{1，2}；
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描述法表示为：
{x|x2－3x＋2＝0}．
点评：一个集合可以用不同的方法表示，需要根据题意选择恰当 的方法，同时注意到列举法和描述法的适用范围．
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4．(1)若 2∈{1，x，x2＋x}，则实数 x 的值是______．
(2)已知集合 A＝{2，x2－2x－1}，求实数 x 的取值范围． 解析：(1)∵2∈{1，x，x2＋x}， ∴x＝2 或 x2＋x＝2 得 x＝±2 或 x＝1. 当 x＝2 时，{1，x，x2＋x}＝{1，2，6}； 当 x＝－2 时，{1，x，x2＋x}＝{1，－2，2}； 当 x＝1 时，{1，x2，x2＋x}＝{1，1，2}不满足互异性．
集合的含义与表示
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1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的 “属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或 描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和 作用．
题型1 集合中元素的特性
例 1 关于集合元素的特征： (1)确定性．设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一 种成立． (2)互异性．一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相 同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素． (3)无序性．用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序． 由此可判断下列命题的正误： ①高个子同学可组成集合；( ) ②{1，2}＝{2，1} ；( ) ③{1，2}＝{(1，2)}；( ) ④0∈N；( ) ⑤2∈{1，2} ；( ) ⑥方程 x(x－1)2＝0 的解集为{0，1，1}．( )
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2．(1)下列说法正确的是( ) A．若 a∈N，b∈N，则 a－b∈N B．若 x∈N*，则 x∈Q C．若 x≥0，则 x∈N D．若 x∉Z，则 x∉Q
(2)选用适当的符号填空： A＝{x|2x－3<3x}, 则有：－4____A，－2____A. 答案：(1)B (2)∉ ∈
题型3 集合的表示法
解析：①错(不符合元素的确定性)． ②对(集合元素是无序的)． ③错[第一个集合有两个元素，都是数，一个是 1，另一个是 2； 第二个集合是一个元素点(1，2)，即两集合不相等]． ④对(元素与集合间的关系)． ⑤对(元素与集合间的关系)． ⑥错(不符合元素的互异性，应写为{0，1})． 答案：①错 ②对 ③错 ④对 ⑤对 ⑥错 点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个 明确标准，对于任何一个对象，能确定它是不是给定集合的元素，同 时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
题型4 集合中元素的互异性
例 4 已知集合 A＝{1，3，a2}，若 3a－2∈A，求实数 a 的取值 集合．
解析：由 3a－2＝1 得：a＝1，此时 a2＝1，集合 A 中有两个相 同的元素，故 a≠1；
由 3a－2＝3 解得：a＝35，满足条件； 由 3a－2＝a2 解得：a＝1(舍去)或 a＝2，满足条件． 故所求实数 a 的取值集合为2，53. 点评：因集合 A＝{1，3，a2}有三个元素，故所求 a 值应满足 a2 ≠1 且 a2≠3，即保证集合元素的互异性．另外，利用集合中元素的 特性问题时，要注意分类讨论思想的应用．
(3)用列举法或描述法表示集合时，要分清点集和数集．一般地，数
集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来表示．
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3．用列举法表示下列集合． (1)A＝{x|x＝|x|，x∈Z 且 x<8}；
(2)B＝xx＝|aa|＋|bb|，
a，b为非零实数；
(3)C＝x3－6 x
∈Z，x∈N*.
∴x 的值是±2.
答案：±2 (2)由集合元素互异性可知，x2－2x－1≠2， 即 x2－2x－3≠0，得 x≠－1 且 x≠3. ∴x 的取值范围是{x∈R|x≠－1 且 x≠3}．
．►跟踪训练 1．说出下列三个集合的含义： (1){x|y＝x2}； (2){y|y＝x2}； (3){(x，y)|y＝x2}．
解析：(1){x|y＝x2}表示满足 y＝x2 的 x 的取值范围； (2){y|y＝x2}表示满足 y＝x2 的 y 的取值范围；
(3){(x，y)|y＝x2}表示抛物线 y＝x2 的图象的所有点构成的集合．
题型2 元素与集合的关系
例 2 所给下列关系正确的个数是( )
①－21∈R；② 2∉Q；③0∈N*；④|－3|∉N*.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：－12是实数， 2是无理数，∴①②正确．N*表示正整数集， ∴③和④不正确． 答案：B 点 评 ： (1) 注 意 正 确 使 用 元 素 与 集 合 关 系 的 符 号 ： “∈” 与 “∉”．元素只能写在前面，集合写在后面． (2)判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是 否具有这个集合的元素具有的共同特征，如果一个对象是某个集合的 元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
分析：(1)根据 x 的范围解方程．(2)根据绝对值的意义化简．(3)所求
x 满足两个条件：①x 是正整数；②x 使3－6 x为整数．
解析：(1)∵x＝|x|，∴x≥0.又 x∈Z 且 x<8， ∴{x|x＝|x|，x∈Z 且 x<8}用列举法表示为 {0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)当 a>0，b>0 时，x＝2，当 a<0，b<0 时，x＝－2， 当 a、b 异号时，x＝0.∴B＝{－2，0，2}． (3)由题意知 3－x＝±1，±2，±3，±6， ∴x＝0，－3，1，2，4，5，6，9， 又 x∈N*，∴C＝{1，2，4，5，6，9}．