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§2.3 可逆矩阵

§2.3 可逆矩阵

可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵
线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵

线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵


2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
可逆矩阵与逆矩阵PPT精选文档

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16
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
A11 2
5 5
01
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
10 5
A22 3
2 5
A32 2
2 0
21
A13 3
7 2
10
A23 3
2 2
10
A33 2
1 1
17
A*
第三节 n阶方阵的行列式
1、定义：设 A = ( aij )n×n 为 n阶方阵 . 由A 中
所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的
n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 A 或
det A, 即
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann
1
注： 方阵与行列式的区别
a an n1 1A n a1 n 2 a n 2 A an n2 n A1n a A n 2nA n n A A n nn
A
O
O
A
A
,
A
19
所以 AA* AE, 同理 A*A AE,
故有
AA*A*AAE,
当 A 0 时，我们有
A A 1 A* A 1 A*AE.
从而A可逆, 且 A 1 1 A* . A
方阵与行列式是两个不同的概念，
n 阶方阵是 n2 个数按一定方式排成的
数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义 所确定的一个数．要清楚两者的含义 及记号的区别.
高中数学第四章逆变换与逆矩阵4.4可逆矩阵与线性方程组全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课

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10 3
10
5 1
10
1
5 3
10
9/13
这么
2
x y
M 113
5 1
10
1
5 3
10
13
11
即方程解为
x 1
y
1
10/13
堂上练习 利用逆矩阵解二元一次方程组
1150xx49yy1203
1xy
11 12
25xx3 yy
36 4
2xy
8 4
32xx
3y 5y
15 1
可逆矩阵表示变换是一一对应 反射、压伸、切变、旋转等变换都是一一对应
7/13
ax by e cx dy f 利用向量表示二元一次方程组
a c
b d
x y
e f
令
M
a c
b d
,
x
x y
,
α
e f
上式可写成
Mx =
解方程组问题就能够用映射观点了解为: 给定矩阵M和向量,求向量x,使得 Mx =
逆时针旋转90°
x
顺时针旋转90°
x x
从几何上可知 x=M-1
3/13
知道M有逆矩阵M-1=
0 1
10
对于向量
x y
M
x y
α
31
M
1α
M
1 M
M
x y
M
1 M
x y
x y
x y
M
1α
0 1
10 31 13
4/13
抽象概括 定理 给定可逆矩阵M和向量,则存在唯一向 量 x = M-1 , 使 Mx =
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt

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则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
第四次课 矩阵的运算可逆矩阵-推荐精选PPT

第四次课 矩阵的运算可逆矩阵-推荐精选PPT

可见，A的逆矩阵是唯一的.
2021/6/24
11
复习
矩阵的转置
➢: (AB)TBTAT
方阵取行列式
➢: | kA | k n | A | （ A是n阶方阵） ➢: 设 A, B同为n阶方阵，则有| AB || A || B |。
可逆矩阵
➢: A A 1 A 1 A E
2021/6/24
12
三、方阵可逆的充要条件
1、 Def：设 A aij nn为n阶矩阵，Aij是元素aij的
代数余子式 i, j 1,2, ,n，则称矩阵
A11 A21
A12
A22
A1n
A2n
An1
An
2
Ann
代数余子式 的转置矩阵
为矩阵 A的伴随矩阵，记为 A*（读作 A的伴随）。
adjoint matrix
2021/6/24
2021/6/24
5
4、反对称矩阵 anti-symmetric matrix
Def：方阵 A，如果 AT A，
即a ji aij , i, j 1, 2, , n，称矩阵 A为反对称矩阵。
元素以主对角线为对称轴互为相反数
：j i a i i a i i a i i 0
例2
当 A为方阵时，证明 A AT 为反对称矩阵.
A 0
0
0
A
0
A
E
0
0
A
同理可得： A* A A E ,从而： AA* A* A A E
2021/6/24
15
3、定理1： n阶矩阵 A可逆的充要条件是 A 0。且 A1
1
A* 。
证明
| A|
必要性 设方阵 A可逆，存在同阶方阵B，满足公式 AB BA E ，得 A B 1 0，故 A 0。 法
2-5逆矩阵PPT课件

2-5逆矩阵PPT课件


可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
§1.5可逆矩阵

§1.5可逆矩阵


1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1


2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
1.5可逆矩阵

1.5可逆矩阵


1 3
1 2
由 AB BA E，AB1 B1 A E 知
B BE BAB1 EB1 B1
故 A 的逆矩阵是唯一的.
我们把这唯一的逆矩阵记为 A1
3. A 与 B 互为可逆矩阵. 即 A1 B，B1 A.
定义 1.11 若 n 阶矩阵 A 的行列式 A 0 ，则称 A 为非奇异矩
0 1
1 0
的逆矩阵.
3 2 5
101
10
解 因A 2
1
0 2 0 所以 A 可逆.
A11 2
5 5
3 2 5
2 A12 3
0 5
10，
A13
2 3
1 2
7，A21
0
2
1 5
2，A22
1 3
1 2
5
1 A23 3
0 2， 2
0 A31 1
5 2
A1
1 A
A
1 2
A1 1 A A
二、逆矩阵的计算
定理1.5 n 阶矩阵 A (aij ) 为可逆的充要条件是 A 非奇异，而且
A1 1 A A
推论 设 A, B 均为 n 阶矩阵, 并且 AB E, 则 A, B 都可逆, 并且 A1 B, B1 A.
例
求
A
2 1
5 3
的
逆矩
阵.
例1．求矩阵
A
1 2
a22
a1n A11
a2n
A12
A21 A22
An1 An2
an1 an2 ann A1n A2n Ann
A
0
0 A
0
1
0
A
0
可逆矩阵一PPT课件

可逆矩阵一PPT课件

... ... ... ...
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
第4节 可逆矩阵

第4节 可逆矩阵


广 东 金 融 学 院
定义 1 对于 n 阶方阵 A ,如果存在一个 n 阶 矩阵 B ,使得 AB = BA = E ,则称 A 为可逆矩阵, 简称 A 可逆,并称 B 为 A 的逆矩阵.记作 A1 ,即 A1 = B .
注意: 注意
由可逆矩阵定义可知:
(1) A 与 B 互为逆矩阵.即有 A1 = B , B1 = A .
1
1
1
0 6 0 0 1 0 0 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3 0 = 0 2 0 . 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
23
广 东 金 融 学 院
例 现有甲,乙两种产品销往 A , A2 两地,已知销售 1 量(单位:吨) ,总价值(单位:万元)与总利润 (单位:万元)如下表所示,求甲,乙两种产品的 单位价格与单位利润.
证 :由 2 A 2E = 0, 明 A
得 ( A E) = 2E A
A E A =1 2
1
A E A =E 2
A ≠ 0,
A E . 故 可 , A = A 逆 2
15
广 东 金 融 学 院
又 A2 A 2E = 0, 由
( A+ 2E)( A 3E) + 4E = 0
1 ( A+ 2E) ( A3E) = E 4 1 A+ 2E 可 逆 . A+ 2E ( A3E) =1, 故 4
广 东 金 融 学 院
第四节 可逆矩阵
一,可逆矩阵 二,矩阵可逆的条件 三,可逆矩阵的运算性质
广 东 金 融 学 院
§4 可逆矩阵
一,可逆矩阵的概念
问题的提出:在数的运算中,当数 a ≠ 0 ,总 b = a1 ,使得 ab = ba =1, b 称为 存在唯一的一个数 a 的倒数或逆.

可逆矩阵

§22 可逆矩阵
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铃
引例 从X(x1 x2 xn)T到Y(y1 y2 yn)T的线性变换可以记作 YAX 其中A是n阶矩阵 如果线性变换YAX存在逆变换XBY 则有恒等变换 XBYBAX和YAXABY 因此应有ABBAE
补充例题
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铃
性质 2.2.1 若A可逆,则A-1 可逆，且(A-1)-1 =A.
性质 2.2.2 若A可逆, k≠0, 则kA可逆,且
1 1 ( kA ) A k
1
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铃
性质 2.2.3 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB可逆，且
பைடு நூலகம்
( AB)1 B1 A1
性质 2.2.4 若A1、A2,...,An为同阶可逆矩阵,则 A1、A2,...,An 可逆，且
( A1 A2 Am )1 Am A2 A1
1 1 1
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铃
定理 2.2.1 方阵A可逆的充要条件是A为非奇异矩阵， 即|A|≠0，并且
A A | A|
1
*
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补充例题
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定义 2.2.1 设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB=BA=E,则称A是可逆矩阵，并称B为A的 逆矩阵。
(矩阵A的逆矩阵是否唯一？)
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逆阵的唯一性 如果矩阵A是可逆的 那么A的逆阵是唯一的 这是因为 如果B和B1都是A的逆矩阵 则有 ABBAI AB1B1AI 于是 BBI B(AB1) (AB)B1 IB1B1 即BB1 所以逆阵是唯一的 A的逆阵记为A1 即若ABBAI 则BA1

可逆矩阵及应用举例.43页PPT

33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
43
可逆矩阵及应用举例.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。

第三节 可逆矩阵


例5 （选择题） B C 均为ｎ阶方阵，且 ABC = E 均为ｎ阶方阵， 选择题） A 则：下列矩阵为单位矩阵的是
( 4)
(1) ACB (2)CBA (3)BAC (4)BCA
-13-
例6
设 A 为 n阶 方阵 , 证明
(1)
证
A = 0 ⇒ A∗ = 0
( 2)
A∗ = A
n −1
(1) 如果 A=O, 则结论显然成立 如果 则结论显然成立.如果 如果A≠O, 反证 反证:
线性方程组
(1)
记 A = (a ij ) n×n ，称为 的系数矩阵。 称为(1)的系数矩阵。 记
b1 b= M , bn
称为(1)的常数项向量或右端项(向量 称为 的常数项向量或右端项 向量 。 的常数项向量或右端项 向量)。
x1 x= M 记 xn
AB = BA = E
则称矩阵A是可逆的 并把矩阵B称为 称为A的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的, 并把矩阵 称为 的逆矩阵 易知,如果 可逆 则其逆矩阵是唯一的,记作 易知 如果A可逆 则其逆矩阵是唯一的 记作 A −1 . 如果 可逆,则其逆矩阵是唯一的
-7-
定理 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
n
n −1
-14-
例7 设列矩阵 α = (a 0 L 0 a )T ,
a<0
其中A的逆矩阵为 其中 的逆矩阵为B, 则a= ? 的逆矩阵为 1 T 1 T T T 解: Q AB = E ⇒ E + αα − αα − αα αα = E
a
1 T E是n阶的单位矩阵 A = E − αα , B = E + αα 阶的单位矩阵, 是 阶的单位矩阵 a

2.2 可逆矩阵


A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1

第三章 可逆矩阵


§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.3 方阵A可逆 存在方阵B，使AB=E.
A-1=B.
证 ) 由定义知. ) AB =AB =E=1， A≠0， A可逆， 且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B. #
推论2.1 设A,B均为n阶方阵， 若AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推论作用：论证方阵可逆性，及逆阵形式。
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
例2 设方阵A，使E+A可逆，且B=(E+A)-1(E-A),
求 (E+B)-1.
解 由B=(E+A)-1(E-A)，得(E+A)B=E-A, 从而E+A+(E+A)B=2E, 即(E+A)(E+B)=2E
1 ( E A)( E B) E , 2 1 1 ( E B ) ( E A). 2
不用除法，解方程 2x=4
解
1 是2的 倒 数 2
1 1 1 2 x 4 , 得x 2. 注 意 到 2 1. 2 2 2
§1 可逆矩阵的定义及性质
定义1.1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称方阵A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，简称 A的逆。 注:可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵，非方阵不论 及可逆性，方阵不一定可逆。 1 0 对任意B b11 b21 例 A , b 0 0 b22 12 b11 b21 1 0 b11 0 1 0 . BA 0 1 , A不 可 逆 b 0 0 b 12 0 12 b22
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b2
AX B.
ann
xn
bn
a1n
a2n
,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
B
b2
.
bn
高等代数
问题的提出：
n n 的线性方程组 AX B 是否可以象一元一次代
数方程 ax b 一样求解?
对方阵A是否存在矩阵A1, 使 A1A I 即:
若是，则AX B有唯一解X A1B
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
高等代数
回忆
a11x1 a12 x2 ...a1n xn b1,
.a..2.1.x.1......a..2.2.
x2 ...a ............
2n
....
xn ...
b2 .....
,
an1x1 an2 x2 ...ann xn bn ,
由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵
都是可逆的，且：
E 1 i, j
Ei, j
Ei
(k ) 1
Ei
(
1 k
)
Ei, j (k)1 Ei, j (k)
高等代数
定理2.4.4 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以 经过初等变换化为单位矩阵 定理2.4.5 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可 写成初等矩阵的乘积
又 | A | 0,
A* A* A AI
| A| | A|
所以,A可逆,且
A1 1 A* | A|
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.
2)此定理在理论推导中非常有用.
3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高等代数
伴随矩阵
a11
定义
设
Aij
是矩阵
A
a21
a12
a22
4
0
4 .
A13 A23
|
A*
1 4
4
5
3 0 1
1 4
3 4
1
3
5
3 4 0 1
1
4
1 .
3
4 4 4
高等代数
逆矩阵的性质
定理2.4.2 若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I, AC CA I.
高等代数
求逆矩阵方法一：伴随矩阵法
定理
方阵A可逆的充要条件是 | A | 0 ,且可逆矩阵A的逆矩阵为
A1 1 A* A
A* 称为 A 的伴随矩阵.
证明: " ": 若A可逆,有 AA1 A1A E
两边取行列式,得 | A|| A1 || A1A| E 1
从而 | A| 0
高等代数
" ": AA* A* A | A | I.
A1 1 A* A
1 2
4 3
2
1
2
3
2
1
1
2
(2) B 0.故B不可逆
高等代数
1 2 3
例2
求矩阵A的逆矩阵，其中
A
2
1
2
.
1 3 3
123
解 | A | 2 1 2 4 0, A可逆.
133
A11
(1)11
1 3
2 3
3,
A12
(1)12
2 1
2 3
4,
A13
(1)13
于是 B BI B(AC) (BA)C IC C. 性质2 若A可逆，则 A1 可逆，且 ( A1 )1 A.
事实上，这由等式 AA1 A1A I ，可以直接推出.
高等代数
矩阵求逆运算规律 性质1 若A可逆，则 A1 可逆，且 ( A1 )1 A.
高等代数
性质2 两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且
高等代数
A21 A11
性质3 可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且
( A' )1 ( A1)'
证 A(A1) (AA1) I I ,
(A1)A (A1A) I I,
(A)1 (A1).
性质4
(kA)1 1 A1 ; k
性质5
|A1| 1 ; |A|
高等代数
可逆矩阵与初等矩阵的关系
an1 an2
中元素 aij 的代数余子式，矩阵
a1n a2n ann
A11
A*
A12
A21 A22
An1 An2
A1n A2n Ann
高等代数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
解:
(1)
A
1 3
2 4
;
1 2 3 (2)B 4 5 6
3 3 3
(1) A 2 0. 故A可逆，
高等代数
可逆矩阵
一.可逆矩阵的定义： １.定义： 设A是数域P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使
AB BA E
那么称A为可逆矩阵,而B叫做A逆矩阵,记为A-1
可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵 注：⑴可逆矩A 阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶
Pn nB
的方阵。 ⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。
( AB)1 B1 A1.
证明 由于
( AB)(B1A1) A(BB1) A1 ( AI ) A1 AA1 I ,
(B1A1)(AB) B1(A1A)B B1(IB) B1B I , 故AB可逆，且 ( AB)1 B1 A1.
一般地， ( A1 A2
As )1
A A 1 1 s s1
高等代数
例如
1 0 1 0 A 1 1 , B 1 1 ,
1 0 1 0 1 0 AB 1 1 1 1 0 1 I,
BA
1 1
0 1 1 1
0 1
1 0
0 1
I
.
矩阵A,B互为可逆矩阵
高等代数
矩阵可逆的条件
现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念.
高等代数
求逆矩阵方法二：初等变换法
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl
1
Pl
1 1
P11
A
I,
及
Pl1
Pl
1 1
P11
I
A1 ,
Pl1
P 1 l 1
P11
A
I
Pl1
P 1 l 1
P11
A
Pl1
P 1 l 1
P11
I
I A1
a11x11 a12 x12
a21
x21
a22 x22
an1xn1
an2 xn2
a1n x1n b1
a2n
x2n
b2
ann
xnn
bn
高等代数
a11 a12
a21
a22
an1
an2
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n x1 b1
a2n
x2
2 1
1 5,
3
A21
(1)21
2 3
3 3
3,
A22
(1)22
1 1
3 0,
3
A23
(1)23
1 1
2 1,
3
A31
(1)31
2 1
3 2
1
, A32
(1)32
1 2
3 2
4, A33
(1)33
1 2
2 3.
1
高等代数
A11 A21 A31 3 3 1
A* A12
A 22
A32