2018-2020高一下期中考试-南师附中【答案版】

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=5，b=2，C=π3，则c=( )A. 26B. 39C. 29D. 192.已知向量a=(2,0)，b=(−1,−1)，则下列结论正确的是( )A. a⋅b=3B. a//bC. b⊥(a+b)D. |a|=|b|3.已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合.若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转π4后经过点(1,2)，则tanα=( )A. −3B. −13C. 13D. 34.若向量a，b满足|a|=4，|b|=3，且(2a−3b)⋅(2a+b)=53，则a在b上的投影向量为( )A. 43b B. −43b C. 34D. −49b5.在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，∠ABC=45°，则sin∠ADC的值为( )A. 2+33B. 1+24C. 1+74D. 346.化简32tan20°−2cos20°所得的结果是( )A. 14B. 12C. 32D. 27.如图，在△ABC中，点P是边AB上一点，点Q是边BC的中点，AQ与CP交于点M，有下列四个说法：甲：AM=2MQ；乙：CM=3MP；丙：S△APM：S△MQC=1：3；丁：2CA+CB=3CP；若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若2S=3(bsinC+csinB)，则下列命题中错误的是( )A. 若A=π6，且b=7，则B有两解B. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为(62,63)C. 若A=2C，且sinB=2sinC，则△ABC的外接圆半径为23D. 若b=2c，则S的最大值为63二、多选题：本题共3小题，共15分。

南师附中2018-2019学年第2学期高一年级期中考试物理试卷命题人：高一物理备课组 审阅人：唐龙本试卷分选择题和非选择题两部分，共100分，考试用时100分钟一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共计18分，每小题只有一个选项符合题意）1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（ ）A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B.开普勒经过多年的天文观测，积累了大量的行星运动的观测数据C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D.卡文迪许通过扭称实验测量铅球之间的万有引力，得出了引力常量的数值2.如果所示，自卸货车通过液压装置，使车厢从水平位置开始绕O 点缓慢抬高，直至物体开始下滑时，车厢停止运动，随后物体下滑到O 点。

则关于上述过程中各力对物体做功情况，以下说法正确的是（ ）A.重力的总功为正B.支持力始终不做功C.摩擦力先不做功，后来做负功D.支持力和重力的总功率为零3.如图所示，一运动物体受到两个相互垂直的外力F 1和F 2的作用，F 1对物体做功-4J ，F 2对物体做功3J ，则两个力的合力对物体做功（ ）A.-1JB.1JC.5JD.7J4.如图所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度自由下落，则（ ）A.物体和弹簧接触时，物体的动能最大B.与弹簧接触的整个过程，物体的动能与弹簧弹性势能的和不断增加C.与弹簧接触的整个过程，物体的动能与弹簧弹性势能的和先增加后减小D.物体在反弹阶段，动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止5.天文观测发现其他星系内有一颗行星，其半径和地球差不多（可认为相等），和地球一样均可看成质量分布均匀的球体，但平均密度明显小于地球，其自转速度也比地球快很多，由此可推算出（ ）A. 此行星两极处量力加速度比地球两极处大B. 此行星赤道处重力加速度比地球赤道处小C. 此行星的第一学宙速度比地球要大D. 此行星养道地表物体的向心加难度比地球赤道地表物体小6.如图所示，蹦极者身系弹性绳，从开始下落至最低点的过程中，以下图线依次表示蹦极者的动能、重力势能、机械能和绳的弹性势能随下落距离h 的变化，其中正确的是（ ）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分。

南京师大附中第二学期高一生物期中考试卷第一卷一、单项选择题(每题1.5分，共60分)1. 当你对观察到的现象作出解释时，就是在进行A.推理B.分类C.建立模型D.交流2.20世纪以来，威胁人类生存和发展的重大问题是A.人口粮食水源B.环境人口资源C.粮食能源D.人口粮食环境资源3.达尔文是哪国的博物学家A.英国B.法国C.日本D.美国4．观察四分体最好的材料是A．幼嫩的种子 B．幼嫩的果实 C．幼嫩的花药 D．幼嫩的柱头5．下列减数分裂过程按时间顺序排列，正确的是A．复制—联会—四分体 B．复制—四分体—联会C．联会—四分体—复制 D．联会—复制—四分体6．减数分裂过程中，染色体数目减半发生在A．初级精母细胞形成时 B．次级精母细胞形成时C．精子细胞形成时 D．精子形成时7．若精子中DNA含量为a，则初级精母细胞和次级精母细胞的DNA含量分别是A．2a和a B．4a和2a C．a和2a D．2a和4a 8．人的体细胞有23对同源染色体，减数第一次分裂的初级精母细胞中有四分体A．46个 B．92个 C．184个 D．23个9. 下列哪种生物不经过减数分裂和受精作用就能繁殖后代A．细菌Ｂ．家兔Ｃ．青蛙Ｄ．小麦10．人的细胞内没有同源染色体的是A．体细胞 B．精原细胞 C．初级精母细胞 D．次级精母细胞11．A个精原细胞和A个卵原细胞，经减数分裂产生的精子和卵细胞结合，最多能形成多少个受精卵？A．A B．2A C．3A D．4A12.减数第二次分裂的主要特征是A．染色体自我复制 B．着丝点不分裂，同源染色体分开C．着丝点分裂为二、两条染色单体分开 D．染色体恢复成染色质细丝13.豌豆是一种理想的杂交实验材料,这是因为A．豌豆是严格的闭花受粉植物B．不同品系的豌豆具有对比鲜明,易于区分的相对性状C．豌豆生长期短,易于栽培D．以上三项都是14. 生物的表现型取决于A.基因型B.环境因素C.变异性D.基因型及环境因素15．选出下列不是由一对等位基因控制的性状A、果蝇的红眼和白眼B、豌豆的红花与绿叶C、人类的白化病与正常肤色D、人类的双眼皮与单眼皮16.在正常情况下, 下列个体中自交后代肯定不会发生性状分离的是A.优良性状个体B.显性性状个体C.隐性性状个体D.有害性状个体17．依次表示纯合体和杂合体的基因型是A．AaDd、AADD B．DDAA、DdAa C．Aa、aa D．AABBCc、AaBbC c18．将具有1对等位基因的杂合体，逐代自交3次，在F3代中的纯合体比例为A．1／8 B．7／8 C．7／16 D．9／1619．一个精原细胞有两对等位基因（AaBb），它们分别位于两对同源染色体上，经过减数分裂，不考虑交换，形成的精子种类和数量各是A．2、4 B．4、8 C．2、8 D．4、420.基因型为AaBb的生物，它的一个卵原细胞经过减数分裂能形成几种卵子，不考虑交换A.1种B.2种C.4种D.8种21.一对正常夫妇生了一个患白化病的男孩，再生一个正常孩子的几率是A．75％ B．25％ C．12.5％D．37.5％22．正常人的褐眼（A）对蓝眼（a）为显性，一个蓝眼男子和一个其母是蓝眼的褐眼女子结婚。

2018--2019学年度第二学期南京师大附中高一年级期中考试英语试卷第二部分：带向选择（共15小题；每小题1分，满分15分）请认真阅读下面各题，从题中所给的A,B,C,D四个选项中，选出最佳选项并在答题卡上将该项涂黑。

1.The cash the company has recently received from the government is not enough to cover the debt ______.A. remained to payB. remaining to be paidC. remaining to payD. remained to be paid2.As long as there are still flames inside the museum, no one but member of the fire department ______ to go inside.A. is allowedB. has been allowedC. are allowedD. have been allowed3.—In spring, hens start laying eggs again, bringing a welcome source of protein.—It is ____ that lots of cultures celebrate spring by honoring the egg!A. no doubtB. no surpriseC. no wayD. no need4.Good-looking women are ______ to be turned down for a job interview as unattractive ones, claims a study.A. twice as likely asB. as likely twiceC. more than likely asD. more than twice as likely5.The winds of the freedom were so powerful as to cause the citizens to _____ the king and bring him down.A. watch out forB. look down onC. put up withD. rise up against6.Man had used metals for centuries in _____ increasing quantities but they did not come to be employed in vast quantities until the Industrial Revolution.A. extremelyB. completelyC. naturallyD. gradually7.Overcrowding in some hospitals has led to patients _____ in hallways.A. treatedB. to treatC. being treatedD. treating8.Don't you hate _____when somebody shows up at a party wearing the same dress as you?A. himB. thatC. itD. them9.Voluntary teaching is a difficult and stressful job but one ____ you can really help children in rural areas.A. thatB. whereC. whichD. who.10.—Did Peter fix the computer himself?—No. He______, because he does not know much about ocmputers.A. had it fixedB. has fixed itC. has it fixedD. fixed it11.If I don't laugh, I have to cry. Maybe this is _____at many funeral people share funny stories about theperson who has just died.A. whyB. howC. becauseD. when12.Training of the employees was suggested as one _____ to dealing with the problem of low efficiencyA. methodB. wayC. approachD. means13.—I have studies gardening as one of my hobbies. Could I make some suggestions?—_____.A. Don't mention itB. Go right aheadC. Take it easyD. You will make it14.In developing countries, energy can be used wastefully by _______ has the money to use it, while poorer and less powerful go without.A. whoB. whichC. whoeverD. whomever15.—Will you go to Mary’s birthday party?—No. _____ invited, I cannot go to it. I will be very busy then.A. Only ifB. Now thatC. As thoughD. Even though第三部分：完形填空（共20小题，每小题1分，满分20分）阅读下面短文，从短文后所给各题的四个选项A,B,C,D中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

南京市2018年高一（下）期中试卷数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.不等式(x －2) (x －2) ＜0的解集为________.2.已知数列{a n }为等差数列，公差是2，a 3＝5，则a 2＝________.3.已知三个实数3，x ，12成等比数列，则x ＝________.4.已知函数f (x )＝x ＋ 2x（x ＞0），则函数f (x )的最小值是________.5.在△ABC 中，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的边，∠A ＝π6，∠B ＝π4，b ＝8，则a 的值为________.6.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 5＝8，a 9＝24，则S 13＝________.7.已知m 、n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________.8.锐角．．△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 的值为________. 9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8，S 7，S 9成等差数列，则公比q 为________. 10.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－3bc ＝a 2，且b a＝2，则∠C 的大小为________.11.已知f (n )＝ 1 1＋2 ＋ 1 2＋3 ＋ 13＋2 ＋…＋1n ＋n ＋1，若f (n )＜10，则正整数n的最大值为________.12.关于x 的不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是________.13.若x ,y ∈(0,＋∞），x ＋y 2＋xy ＝4，则 xy ＋1x 2y 2＋2xy ＋17的取值范围是________.14.对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ,k ∈N *.若a 1＝1，a 32－2a 3－3＞0，且对任意n ,k∈N *，都有b n ＋1 (k )＝λb n (k )，则实数λ的取值范围为________.二、解答题（本大题共6小题，共90分）ABCDABCD E 15.（本小题满分14分）已知数列{a n }为等差数列，且a 2＝－2，a 8＝10 （1）求数列{a n }的通项公式（2）已知数列数列{b n }为等比数列，其前n 项和为S n ，且b 1＝a 4，b 4＝a 11，S n ＝510，求n 的值. 16. （本小题满分14分）如图，在△ABC 中， a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 所对的边，b ＝6， cos B ＝ 45 ，C ＝ π 3 .（1）求c 的值（2）已知点D 在边BC 上，DC ＝2，求cos ∠DAC . 17. （本小题满分14分）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB ＞AD ，矩形的周长是8cm.（1）设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；（2）计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应该怎样设计队徽的长和宽？18. （本小题满分16分）已知函数f (x )＝ax 2＋ax －2（a ∈R ）. （1）当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≥0； （2）解关于x 的不等式f (x )－3x －1≥0（其中a ∈R ）. 19. （本小题满分16分） 在△ABC 中.（1）已知AD 是∠BAC 的平分线，ABCEABCD图（1） 图（2）①用正弦定理证明：AB AC ＝BD DC；②已知AB ＝2AC ，→AD ＝λ→AB ＋μ→BC ，求实数λ, μ的值；（2）已知E 为边BC 的中点，∠BAE ＝π4，∠CAE ＝π6，求△ABC 的面积.20. （本小题满分16分）已知数列{a n }，其前n 项和为S n 满足2S n ＝3(a n －1)，n ∈N *. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）已知c n ＝4n －1＋λ(－1)n －1a n ，对于任意，都有 c n ＋1＞c n 成立，试确定实数λ的取值范围.。

2019-2020学年江苏省南京师大附中高一下学期期中数学试题一、单选题1．直线310x y --=的倾斜角大小（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】化简得到31y x =-，根据tan 3k θ==计算得到答案.【详解】直线310x y --=，即31y x =-，tan 3k θ==，[)0,θπ∈，故3πθ=.故选：B . 【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力. 2．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B 3C ．2D ．3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4．已知251cos tan()3ααβ=-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】利用同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，即可得到结论. 【详解】因为α为锐角，且25cos α=， 所以25sin 1cos αα=-=sin 1tan cos 2ααα==， 于是11()tan tan()23tan tan[()]1111tan tan()1()23ααββααβααβ----=--===+-+-， 又β为锐角，所以4πβ=.故选：C. 【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，属于基础题. 5．在ABC V 中，若2cos sin sin B C A =，则ABC V 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】A【解析】由题意,可知()sin sin A B C =+,展开并带入原式,可得到()sin 0B C -=,进而可判断出ABC V 的形状. 【详解】由题意,()()sin sin πsin sin cos sin cos A A B C B C C B =-=+=+,则2cos sin sin cos sin cos B C B C C B =+⇔()sin cos cos sin sin 0B C B C B C -=-=,则B C =,即ABC V 的形状是等腰三角形.故选:A. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换知识,考查了三角形的形状的判断,属于基础题. 6．过点(3,4)P -向圆221x y +=引圆的两条切线PA ，PB ，则弦AB 的长为（ ）A ．5B ．5C D ．5【答案】B【解析】根据题意，利用等面积法即可得到弦AB 的长. 【详解】因为5OP ==，半径1r OA ==，所以PA PB ==由等面积法，即12AB OP OA AP ⋅=⋅，即2OA AP AB OP ⋅===.故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线问题，与圆有关的几何问题，属于基础题.7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 若满足2,30b A ==︒的三角形有两个，则边长a 的取值范围是（ ） A ．01a << B ．1a =C ．12a <<D ．2a ≥【答案】C【解析】根据正弦定理，三角形有两个解，则满足sin b A a b <<，代入即可求得边长a 的取值范围.【详解】如图，2,30b A ==︒，垂线段11CB =，由正弦定理知，三角形有两个解，则满足sin b A a b <<，即12a <<. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题. 8．直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞【答案】B【解析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论. 【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221k k -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．二、多选题9．若圆221:(1)1C x y -+=与圆222:880C x y x y m +-++=相切，则m 的值可以是（ ） A ．16 B ．7C ．4-D ．7-【答案】AC【解析】根据题意，求出圆2C 的圆心与半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m 的值即可. 【详解】由题意，圆2C 可化简为22(4)(4)32(32)x y m m -++=-<，所以，圆2C 的圆心坐标()24,4C -，半径)232r m =<， 圆1C 的圆心坐标()11,0C ，半径11r =，所以，125C C ==，所以，51=51=-，解得16m =或4-. 故选：AC. 【点睛】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 10．下列命题中正确的有（ ） A ．空间内三点确定一个平面 B ．棱柱的侧面一定是平行四边形C ．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D ．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】BC【解析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，要强调该三点不在同一直线上，故A 错误；对于B 选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故B 正确； 对于C 选项，可用反证法证明，故C 正确；对于D 选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论的应用，考查棱柱的定义，属于基础题.11．两直线(2)0m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交且能构成三角形，则m 不能取到的值有（ ） A ．3- B ．2-C ．1-D ．0【答案】ABD【解析】求出直线()20m x y m +-+=经过的定点，利用三条直线不能构成三角形求得m 的值，即可得到结论. 【详解】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时0m =，此时不能构成三角形； 直线()20m x y m +-+=整理得：()()120m x x y ++-=，由1020x x y +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩， 即直线()20m x y m +-+=经过定点()1,2--，当直线()20m x y m +-+=的斜率20k m =+=，即2m =-时，此时直线2y =-，0x y +=与x 轴不能构成三角形；当直线()20m x y m +-+=与直线0x y +=平行时，即3m =-时，三条直线不能构成三角形；综上：两直线()20m x y m +-+=，0x y +=与x 轴相交不能构成三角形的m 的取值为：0m =或2m =-或3m =-. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了三点共线，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，训练了线系方程过定点的求法．12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为（ ）A ．1B ．1-C ．3-D ．5-【答案】ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可. 【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26<，解得()()1,21m ∈-U ，即m 的值可以为：1或3-或5-. 故选：ACD. 【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题.三、填空题13．已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与12,l l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为________.【解析】根据题意知，直线12,l l 为平行直线，则线段AB 的最小值为两平行直线间的距离. 【详解】由题知，2:210l x y +-=，即2:4220l x y +-=，故直线12,l l 为平行直线，则线段AB 的最小值为两平行直线间的距离d ==. 【点睛】本题考查平行线之间的距离公式，属于基础题.14．函数()2cos sin()3f x x x π=⋅+的最大值为________.【答案】12+【解析】根据题意，将函数化简为()sin 223f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可得到最大值. 【详解】由题意，())112cos sin sin 21cos 2sin 2223f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，最大值为：1+.故答案为：12+. 【点睛】本题考查三角恒等变换，辅助角公式，三角函数的图像和性质，属于基础题. 15．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =u u u r u u u r，则直线l 的方程为________.【答案】3y =-【解析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA=u u u r u u u r得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可. 【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ， 将直线带入圆的方程得()221660kxkx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k⋅=+， 由2MB MA =u u u r u u u r，得122x x =，即2221k x k=+，1241k x k=+， 所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.四、双空题16．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】2 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,4DBC sin DBC ∠=-∠==∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=V ． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=. （1）求cos B 的值；（2）若2c =，△ABC 的面积为b 的值. 【答案】（1）13.（2）3. 【解析】（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；（2）根据（1）得sin 3B =，利用三角形面积公式得3a =，再利用余弦定理即可. 【详解】（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，设sin ak A=，则sin ,sin ,sin a k A b k B c k C ===， 带入cos cos 3cos c B b C a B +=，化简得sin 3sin cos A A B =， 因为,(0,),sin 0,sin 0A B A B π∈>>， 所以1cos 3B =； （2）由（1）可知，sin 0B >，222sin 1cos 3B B =-=， 又1sin 2ABC S ac B ∆=，所以12222223ABC S a ∆=⋅⋅=，解得3a =.在△ABC 中，由余弦定理2222cos ac B a c b =+-， 即2221232323b ⨯⨯⨯=+-，解得3b =.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.18．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)【答案】（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）根据题意，作出示意图即可； （2）根据题意，作出示意图即可. 【详解】（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：（2）如图，直线IL 即为所求.【点睛】本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两直线1:330l x y --=和2:10l x y ++=，定点(1,2)A .（1）若1l 与2l 相交于点P ，求直线AP 的方程；（2）若1l 恰好是△ABC 的角平分线BD 所在的直线，2l 是中线CM 所在的直线，求△ABC的边BC 所在直线的方程.【答案】（1）:31AP y x =-；（2）7170x y ++=.【解析】（1）根据题意，联立两直线得其交点坐标，进而写出直线AP 的方程； （2）根据题意，设()33,B t t +，则342,22t t M ++⎛⎫⎪⎝⎭，利用点M 在直线2l 上，得2t =-，()3,2B --，再利用到角公式得17BC k =-，即可得到BC 的直线方程.【详解】（1）由题意，联立33010x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，即两直线的交点()0,1P -，所以，直线AP 的斜率21310k +==-，故直线AP 的方程为：31y x =-.（2）设点B 的坐标为()33,t t +，则点342,22t t M ++⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在直线2l 上， 即3421022t t ++++=，解得2t =-，故()3,2B --， 所以22131AB k --==--， 直线1l 的斜率113k =，由到角公式得，111111BC AB BC AB k k k k k k k k --=++， 即11133111133BC BC k k --=++，解得17BC k =-，所以BC 所在直线方程为12(3)7y x +=-+，化简得7170x y ++=.【点睛】本题考查直线方程，两直线的位置关系，到角公式，属于基础题. 20．（1）已知1sin cos 5θθ+=，求sin 2θ的值； （2）记函数()sin 2sin cos f x x x x =++，求()f x 的值域. 【答案】（1）2425-；（2）5[,14-+. 【解析】（1）根据题意，直接平方即可得到结论；（2）根据题意，记sin cos t θθ+=，则2sin 21x t =-，将函数()f x 转化为2()1g t t t =+-，再利用二次函数即可得到结论. 【详解】（1）因为1sin cos 5θθ+=，所以221sin cos 2sin cos 25θθθθ++=即 11sin 225θ+=，所以24sin 225θ=-（2）记sin cos t θθ+=，显然4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故t ⎡∈⎣，将sin cos t θθ+=两边平方，得2sin 21t θ=-，故2215()()1(),[24f x g t t t t t ==+-=+-∈所以min 15()()24f xg =-=-，max ()1f x g ==+所以()f x的值域为5[,14- 【点睛】本题考查同角三角函数关系式，三角函数的图像和性质，二次函数求值域，属于基础题.21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5-AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 【答案】（1）37AC =（2）26BD =【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin ∠ADB 35=，进而可求cos ∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣5cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cosφ5=sinφ5=，从而可求BD 的值．【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅， 得21465cos BD θ=-，又5cos θ=∴25BD = ∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴225sin 1cos 155θθ⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sinADB =∠，解得：3sin 5ADB ∠=，∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin θθ=+-)()157sin 2cos 7sin2θθθφ=+-=+-，此时sin φ=，cos φ=0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cosθ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos θ=时，小路AC ABCD 的面积最大时，小路BD 百米． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点(0,2)M 和(1,3)N ，直线l 的方程为y kx =. （1）求圆C 的方程；（2）当1k =时，Q 为直线l 上的定点，若圆C 上存在唯一一点P 满足PO =，求定点Q 的坐标；（3）设点A ，B 为圆C 上任意两个不同的点，若以AB 为直径的圆与直线l 都没有公共点，求实数k 的取值范围.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）(2Q 或(2-- ；（3）(k ∈. 【解析】（1）根据题意，设圆的方程为()222x y b r +-=，列方程解得即可；（2）根据题意，利用PO =得点Q 的轨迹方程为()()222224x t y t t -+-=，再利用两圆相切解得即可.（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设(01)CM d d =<≤，得圆M 的半径12M r AB =，利用CP =u u u r 000(,)P x y 的轨迹为以()0,3C为半径的圆的内部(含边界)，再利用点C 到直线l 的距离d ，解得即可. 【详解】（1）设圆的方程为222()(0)x y b r r +-=>，将M ，N 坐标带入，得：2222220(2)1(3)b r b r ⎧+-=⎨+-=⎩，解得31b r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的方程为22(3)1x y +-=.（2）设(),Q t t ，(,)P x y ，由PO =， 化简得222(2)(2)4x t y t t -+-=，由题意，此圆与圆C 21t ±，解得2t =所以(2Q ++或(2（3）记以AB 为直径的圆为圆M ，设圆M 上有一动点000(,)P x y ，设(01)CM d d =<≤，则圆M 的半径12M r AB ==CP ===u u u r，其中θ为0CM MP u u u u r u u u u r，的夹角，[0,]θπ∈.因为01[0,]2CM MP ⋅=u u u u r u u u u r ，所以0CP ∈u u u r .故点0P 在以(0,3)C 为半径的圆的内部(含边界)，所以点C 到直线l 的距离d >>k ⎛∈⎝⎭. 【点睛】本题考查圆与方程，直线与圆的位置关系，阿波罗尼斯圆，隐圆问题，属于中档题.。