理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解

理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解高等教育出版社的《理论力学课后题答案》一书中，第一章包含了以下三个问题的解答：1.2 题目要求写出在铅直平面内的光滑摆线，并分方程。

解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。

最后证明了质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关。

1.3 题目要求证明单摆运动的振动周期与摆长无关。

解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。

最后通过进一步计算，得出了单摆运动的振动周期公式。

1.5 题目要求使用拉格朗日方程计算质点的运动。

解答中使用了拉格朗日方程，并通过进一步计算得出了质点的运动轨迹。

如图，在半径为R时，地球表面的重力加速度可以由万有引力公式求得：g=\frac{GM}{R^2}$$其中M为地球的质量。

根据广义相对论，地球表面的重力加速度还可以表示为：g=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$$其中c为光速。

当半径增加到R+ΔR时，总质量仍为M，根据XXX展开，可以得到：frac{1}{(R+\Delta R)^2}=\frac{1}{R^2}-\frac{2\DeltaR}{R^3}+\mathcal{O}(\Delta R^2)$$代入上式可得：g'=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)\left(1+\frac{2\Delta R}{R}\right)$$ 化简后得：g'=g-\frac{2g\Delta R}{R}$$因此，当半径改变时，表面的重力加速度的变化为：Delta g=-\frac{2g\Delta R}{R}$$2.在平面极坐标系下，设质点的加速度的切向分量和法向分量都是常数，即$a_t=k_1$，$a_n=k_2$（其中$k_1$和$k_2$为常数）。

根据牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=k_2$$ddot{r}-r\dot{\theta}^2=k_1$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

将上式化简后得到：frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=k_2r$$ddot{r}-\frac{1}{r}\left(k_1+\frac{k_2^2}{r^2}\right)=0$$ 根据极坐标系下的曲率半径公式，可以得到：rho=\frac{r^2\dot{\theta}}{\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2}$$ 将$\dot{\theta}$用第一个式子表示，代入上式可得：rho=\frac{r}{k_1r+k_2}$$因此，质点的轨道为对数螺线。

3.在竖直方向上，弹簧的伸长量为$z$，根据胡克定律可以得到弹簧的弹力为$F=kz$，其中$k$为弹簧的劲度系数。

根据能量守恒，可以得到：frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2} kz^2$$其中$m$为物体的质量，$v_1$和$v_2$分别为物体从A点到达B点和从B点回到A点时的速度，$h_1$为物体从A点到达B点时的高度。

因为在A点和B点，物体的速度为0，所以可以得到：h_1=\frac{1}{2}\frac{kz^2}{mg}$$又因为在B点，物体的动能全部转化为重力势能，所以可以得到：mgh_1=\frac{1}{2}kz^2$$代入上式可得：z=\sqrt{\frac{2mgh_1}{k}}$$因此，物体到达最低点D的时间为：t_1=\sqrt{\frac{2h_1}{g}}$$在最低点D处，物体的势能为0，动能为$\frac{1}{2}mv_D^2$，根据能量守恒，可以得到：frac{1}{2}mv_2^2=\frac{1}{2}mv_D^2+mg(h_1-h_2)$$其中$h_2$为物体从D点到达C点时的高度。

因为在D点和C点，物体的速度为0，所以可以得到：h_2=\frac{1}{2}\frac{kz^2}{mg}$$代入上式可得：v_2=\sqrt{2g(h_1-h_2)}$$因此，物体从B点回到A点的时间为：t_2=\sqrt{\frac{2(h_1-h_2)}{g}}$$因此，物体从A点到达B点再回到A点所需的总时间为：t=t_1+t_2=2\sqrt{\frac{h_1}{g}}$$1）质点运动分为三个阶段：圆周运动、斜抛运动和摆荡运动。

在圆周运动阶段，质点机械能守恒；在斜抛运动和摆荡运动阶段，质点机械能不守恒。

2）在第一阶段，能量守恒得到 $mgr(1-\cos\theta)=mv^2/2$，绳子张力为零时得到$mg\cos\theta=v^2/r$。

在第二阶段，设上升高度为 $h$，则$(v\sin\theta)^2/2g=h$。

联立以上三式可以求得质点上升到最高点时的水平位移 $s$，为 $s=vl\cos\theta\sqrt{2gh+2gl(1-\cos\theta)}/g$。

3）在第二阶段，质点上升到最高点时在过圆心竖直轴线左边 $l$ 处。

在第三阶段，质点在最低点附近的摆荡运动中。

4）总时间为$t=t_1+t_2$，其中$t_1$ 为第一阶段的时间，$t_2$ 为第二阶段和第三阶段的时间。

$t_1$ 可以由 $z=-l\cos(\sqrt{g/(2l)}\cdot t)$ 解微分方程得到，$t_2$ 可以由$h=(v\sin\theta)^2/2g$ 求得。

5）质点运动轨迹为圆周运动、斜抛运动和摆荡运动组成的复合轨迹。

1-12解：（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力为重力和支持力，合力为 $mg-N$。

对于系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统机械能守恒。

由角动量定理，系统角动量守恒。

2）建立柱面坐标系，由动量定理得到$m_A\dot{r}_A^2+m_Ar_A^2\dot{\theta}_A^2+m_B\dot{z}_B^2=m_Bgz_B$。

同时，由能量守恒得到 $m_A(v_A^2/2-v_{A0}^2/2)=m_Bg(z_B-a)$。

联立以上两式可以求得 $v_A$。

3）对于小球A，设其在水平平台最远距离处为 $r$，由动能定理得到 $mv_A^2/2=mgh$，其中 $h$ 为小球A的高度差。

由角动量守恒得到 $mv_Ar=I\omega$，其中 $I$ 为小球A关于竖直轴的转动惯量，$\omega$ 为小球A的角速度。

联立以上两式可以求得 $r$。

得到r=3a，因为初始时刻小球在a到3a间运动。

1.14：系统受力分析表明动量和角动量不守恒，但机械能守恒。

以地面为参考系，建立球坐标系，应用质点系动量定理，得出约束条件，进而求解问题。

1.15：水平方向动量守恒，利用余弦定理推导出v和u的表达式。

1.16：系统的动量定理、角动量定理和动能定理方程式中只有3个是独立的。

1.17：将A、B看作系统，利用动量定理求出质心速度，再根据初始条件得出质心C点的坐标和杆和x轴的夹角，进而求解问题。

1.18：设碰撞后m1的速度为v1'，m2的速度为v2，m2与m3碰撞后m2的速度为v2'，利用动量守恒和动能守恒求解问题。

由于两次碰撞时水平方向都不受外力，因此动量守恒，同时机械能守恒。

对于质量为$m$和$m'$的小球，有以下公式：m\cdot v+m'\cdot v'=m\cdot v_1+m'\cdot v_2$——公式①frac{1}{2}m\cdot v^2+\frac{1}{2}m'\cdotv'^2=\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+\frac{1}{2}m'\cdot v_2^2$——公式②将公式①和公式②联立并消去$v'$，得到：v=\frac{(m+m')}{2m}\cdot v_1+\frac{(m-m')}{2m}\cdotv_2$——公式③对于质量为$m$和$m'$的小球，同样有以下公式：m\cdot v+m'\cdot v'=m\cdot v_1+m'\cdot v_2$——公式④frac{1}{2}m\cdot v^2+\frac{1}{2}m'\cdotv'^2=\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+\frac{1}{2}m'\cdot v_2^2$——公式⑤将公式④和公式⑤联立并消去$v'$，得到：v=\frac{(m+m')}{2m'}\cdot v_2+\frac{(m'-m)}{2m'}\cdotv_1$——公式⑥将公式③代入公式⑥中，消去$v$，并对$m$求导，得到：frac{dm}{dv}=\frac{3m}{4v}$当$m=\frac{2}{3}mv$时，$v$取最大值，此时$v_{max}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2F}{m}}$。

1.21根据题意，有以下方程：m(r\theta+r\sin^2\theta)=F_r+mg\cos\theta$——公式①r\theta-r\sin\theta\cos\theta=mg\sin\theta$——公式②r\sin\theta+2r\theta\cos\theta=0$——公式③由公式③可得$\tan\theta=-2\theta$，积分后得到$\theta=\frac{1}{2}\arctan\frac{2r}{a}$。

将$\theta$代入公式②中，整理并积分得到$r=\frac{a^2}{2g}+\frac{h^2}{2r}-\frac{a^2}{2r}$。

由题意得，当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，质点不飞出，因此$a^2-c=r^2-h^2$。

又因为$\cos\theta=-\sqrt{1-\sin^2\theta}$，且初态时$\cos\theta=-1$，因此$a=\frac{2g(r-h^2)}{r}$。

代入公式①中，解出$v=\sqrt{\frac{2g(r-h^2)}{r}}$。

1.22在图中，$F$为施加在物块上的力，$N$为支持力，$G$为物块的重力，$N_x$和$N_y$分别为支持力在$x$轴和$y$轴上的分量。

由于水平方向动量守恒，因此质心的水平坐标不变，可以使用质心系。

设质心的坐标为$x'$，则有：mx_1=m'x_2=m(x_1+x_2)=m'(x_1+x_2)$因此，$x_1+x_2=\frac{m+m'}{m}\cdotx_1=\frac{m+m'}{m'}\cdot x_2$。