高三数学圆及其方程知识点

圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。

这里主研究常用的一类圆系方程。

定理1 过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0 ①（其中λ为待定常数）。

首先证明方程①表示圆。

由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0 ；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0 ；整理得： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F) ②将方程①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0 ③而此式等价变形为： D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。

其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。

设两交点分别为A(x1,y1) ，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0, x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。

故圆①经过A、B两点。

综上，定理1得证。

定理2 经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。

圆的方程自主梳理 1．圆的定义在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______． 3．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中___(a ，b)_____为圆心，__ r __为半径． 4．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4．由于r 2相当于D 2＋E 2－4F 4．所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2．②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2．③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在． 5．确定圆的方程的方法和步骤 （1）确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．（2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程 6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)，(1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2__＝__r 2；(2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2_>___r 2；(3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2___<_r 2.自我检测1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x 2＋(y －2)2＝1 2．圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为___1_____．3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝04．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1＝0外，则a 的取值范围是_______(－1－73，－1)∪(12，－1＋73)____．5．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为____(x－2)2＋(y －1)2＝5____．6．已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，且BD AC ⊥.则四边形ABCD 的面积最大值为（ ） A ．206 B ．306 C ．49 D ．507．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A.πB.8πC.4πD.9π8．当曲线214y x =+-与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34C ．53(,]124D ．5(,)12+∞题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．(3)求经过点A (－2，－4)，且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解题导引 (1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，(3－x 0)2＋(－2－y 0)2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x 0＝1，y＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. （3）解 方法一 设圆心为C ，所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.由k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，②又82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0.③解①②③，可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.方法二 设圆的圆心为C ，则CB⊥l，从而可得CB 所在直线的方程为y －6＝3(x －8)，即3x －y －18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得AB 的中点坐标为(3,1)．又k AB ＝6＋48＋2＝1，∴AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.②由①②联立后，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－32.即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112，－32.∴所求圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－82＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－62＝1252. ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1252.变式训练1 (1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为 ( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是___(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244_______________．题型二 圆的几何性质的应用例2 已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．解 方法一 将x ＝3－2y ，代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.∵OP⊥OQ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∴9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，∴9－6×4＋5×12＋m5＝0，∴m＝3，此时1＋36－3×4>0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52. 方法二如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M⊥PQ， ∴kO 1M ＝2.又圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3， ∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝2x ＋4. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，x ＋2y －3＝0，解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2.∵OP⊥OQ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上．∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，MQ 2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1M 2＋MQ 2＝O 1Q 2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5＝1＋－62－4m 4.∴m＝3.∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0．由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上．∴m －3λ＝0，即m ＝3λ．∴圆系方程可化为x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0．即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0．∴圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，2(3－λ)2，又圆心在PQ 上．∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3．∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径为52．变式训练2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C 、D 两点．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解 (1)∵M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ， 连接MA ，NC ，OM ，则MA⊥x 轴，NC⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上， ∴O，M ，N 三点共线．由Rt △OAM∽Rt △OCN 可知，|OM|∶|ON|＝|MA|∶|NC|，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32， 则弦长为2r 2－d 2＝33.题型三 与圆有关的最值问题例3．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上． (1)求x ＋y 的最大值和最小值； (2)求y x的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解 (1)设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的纵截距，所以x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋－3－t|2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1，所以x ＋y 的最大值为2－1， 最小值为－2－1.(4分) (2)y x 可视为点(x ，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k －－3|1＋k2＝1， 解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233，所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.(8分)(3)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5，即[x －－1]2＋y －22，其最值可视为点(x ，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.探究提高 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．变式训练3① 已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．(1)|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2 (2)n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3② 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a)2＋(y －b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．解 (1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.题型四 与圆有关的轨迹问题例4 已知P (4,0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．解 设AB 的中点为R ，坐标为(x 1，y 1)， 则在Rt △ABP 中， |AR |＝|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，故|AR |2＝|AO |2－|OR |2＝36－(x 12＋y 12)，又|AR |＝|PR |＝(x 1－4)2＋y 21，所以有(x 1－4)2＋y 12＝36－(x 12＋y 12)，即x 12＋y 12－4x 1－10＝0. 因此点R 在一个圆上．而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动．设Q (x ，y )，因为R 是PQ 的中点，所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋02.代入方程x 12＋y 12－4x 1－10＝0， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋422＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－4·x ＋42－10＝0， 整理得x 2＋y 2＝56.即矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56. 探究提高 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程； ③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．变式训练4 设定点M (－3,4)，动点N 在圆 x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的 中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． 失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．一、选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定 2．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－2x －3＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝03．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．102C ． 15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝210，最短弦BD 恰以E(0,1)为中心，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故EF ＝5，∴BD＝210－52＝25，∴S 四边形ABCD ＝12AC·BD＝10 2.]4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a 、b ∈R )对称，则ab的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，146．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－227．已知函数y ＝1－(x －1)2，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1，x 2给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0；④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0.其中正确结论的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题8．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__(x ＋1)2＋y 2＝2______________．9．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝___0_____.10．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是___ x ＋y －1＝0 _______．11．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的范围是______.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35，＋∞______________． 12．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为___4_____．三、解答题13．根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A (6,5)、B (0,1)两点，并且圆心C 在直线3x ＋10y ＋9＝0上； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解 (1)∵AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－3. ∴圆心为C(7，－3)．又|CB|＝65，故所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2) 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.14．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )， 则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.15．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题意知，四边形PAMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12|AM ||PA |＋12|BM ||PB |.又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |， 所以S ＝2|PA |，而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S min ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.。

高三数学直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：直线和圆的方程——直线与圆、圆与圆的位置关系二. 本周教学目标：1. 掌握直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等知识，能够从代数特征（解或讨论方程组）或几何性质去考虑2. 会运用半径长、半径、弦心距构成的直角三角形减少运算量三. 本周知识要点：1. 研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若22BA CBb Aa d +++=，则0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d2. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 ①条公切线外离421⇔⇔+>r r d ②条公切线外切321⇔⇔+=r r d③条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ④条公切线内切121⇔⇔-=r r d ⑤无公切线内含⇔⇔-<<210r r d3. 直线和圆相切：这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况。

①过圆上一点的切线方程：圆),(00222y x P r y x 的以=+为切点的切线方程是200r y y x x =+。

当点00(,)P x y 在圆外时，200r y y x x =+表示切点弦的方程。

一般地，曲线)(00022y x P F Ey Dx Cy Ax ，的以点=++-+为切点的切线方程是：0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 。

当点00(,)P x y 在圆外时，0220000=++⋅++⋅-+F y y E x x D y Cy x Ax 表示切点弦的方程。

复习课：圆的标准方程和一般方程教学目标重点：掌握圆的标准方程和一般方程，能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程，理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.难点：与圆有关的综合题的求解方法.能力点：等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练. 自主探究点：了解参数方程的概念，理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题. 易错点：运算出现错误，对问题分析不全面导致漏解. 学法与教具1.学法：学生动脑、动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪. 一、【知识梳理】1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件：如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程(1)标准式：222()()x a y b r -+-= ，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心. (2)一般式：22220 (40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->，其中圆心为(,)22D E--，半径(3)过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：i) 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，ii) 2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1-=λ时为一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C 2）(4)二元二次方程220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件：220,0,40A B C D E AF =≠=+->.二、【范例导航】题型1：求圆的方程【例1】(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程;(2)求圆心在直线30x y -=上，与y 轴相切，且被直线y x =截得的弦长为. 【分析】本题可以设圆的标准方程，建立关于圆心(,)a b 和半径r 的三个方程构成的方程组. 【解析】（1）解法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=根据题意可得222222(5)(2)(3)(2)230a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪--=⎩，解得45a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所求圆的方程为22(4)(5)10x y -+-=.解法二：因为圆过(5,2),(3,2)A B 两点，所以圆心在线段AB 的中垂线4x =上，又因为圆心在直线230x y --=上，联立解得4,5a b ==.进而求得圆的半径r 圆方程为：22(4)(5)10x y -+-=.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线30x y -=上， 故圆方程可设为222(3)()9x b y b b -+-=又因为直线y x =截圆得弦长为则有2229b +=，解得1b =±， 故所求圆方程为：22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=【点评】求圆的方程时，根据题目条件选择合适的方程形式，同时注意圆的几何性质的充分利用，如在第（1）问解法二中，利用圆心在线段AB 的中垂线上，可以使简化运算.第（2）问求解时注意两组结果.变式训练：求半径为4，与圆22:4240A x y x y +---=相切，且和直线0y =相切的圆的方程.【解析】由题意，设所求圆的方程为圆222:()()C x a y b r -+-=．圆C 与直线0y =相切，且半径为4，所以圆心C 的坐标为1:(,4)C a 或2:(,4)C a -． 又已知圆22:4240A x y x y +---=的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3． 若两圆相切，则两圆心之间的距离437CA =+=或431CA =-=.(1) 当1:(,4)C a 时，222(2)(41)7a -+-=，或222(2)(41)1a -+-= (无解)，故可得2a =±∴所求圆方程为22(2(4)16x y -++-=或22(2(4)16x y --+-=． (2) 当2:(,4)C a -时，222(2)(41)7a -+--=，或222(2)(41)1a -+--= (无解)，故2a =±∴所求圆的方程为22(2(4)16x y -+++=或22(2(4)16x y --++=． 【点评】对本题，易发生以下误解：(1)忽略圆心在x 轴下方的情形，（2）只考虑两圆相外切的情况.题型2：轨迹问题【例2】（1）已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程. (2) 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【分析】第（1）问用直接法求轨迹方程，第（2）问用相关点代入法求轨迹方程，所得轨迹都是圆. 【解析】（1）设所求轨迹上任意一点(,),M x y 根据题意：12MOMA =，即：2MO MA =，即= 故所求轨迹方程为：22(1)4x y ++=.（2）设AB 的中点(,)M x y ，点00(,)A x y ，则004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得 002423x x y y =-⎧⎨=-⎩,又因为A 在圆周上运动，故可得：22(241)(23)4x y -++-=，所求轨迹方程为：2233()()122x y -+-=.【点评】本题是比较简单的两道题目，分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程，旨在让学生复习求轨迹方程的方法，同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。

高三圆椭圆双曲线知识点圆、椭圆和双曲线是高中数学中的重要曲线，它们有着广泛的应用和深刻的数学原理。

在高三学习过程中，了解和掌握圆、椭圆和双曲线的知识点对于学生们来说是至关重要的。

本文将带你逐步了解和学习高三圆椭圆双曲线的相关知识点。

1. 圆的定义和性质圆是指平面上到固定点距离相等的所有点的集合。

固定点称为圆心，相等的距离称为半径。

- 圆的常用公式：设圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。

- 圆的性质：圆的直径是任意两点之间的最大距离，它等于圆的半径的两倍。

圆的周长公式为C = 2πr，圆的面积公式为A = πr²。

2. 椭圆的定义和性质椭圆是指平面上到两个固定点的距离之和等于常数的所有点的集合。

两个固定点称为焦点，常数之和称为椭圆的长轴，常数之差称为椭圆的短轴。

- 椭圆的常用公式：设椭圆的焦点坐标分别为(h, k ± c)，长轴为2a，短轴为2b，则椭圆的标准方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1。

- 椭圆的性质：椭圆的离心率（eccentricity）定义为e = c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是长轴的一半。

椭圆的周长公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类椭圆积分，椭圆的面积公式为A = πab。

3. 双曲线的定义和性质双曲线是指平面上到两个固定点的距离之差等于常数的所有点的集合。

两个固定点称为焦点，常数之差称为双曲线的距离。

- 双曲线的常用公式：设双曲线的焦点坐标分别为(h, k ± c)，距离为2a，对称轴与长轴之间的夹角为α，则双曲线的标准方程为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1，其中b² = a²(e² - 1)。