第二章《二次函数》提高性测试卷

人教版九年级数学上册22.1.1二次函数能力提升卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列函数中，是二次函数的有( )①y＝1－3x2；②y＝1x2；③y＝x(1＋x)；④y＝(1－2x)(1＋2x)．A．1个B．2个C．3个D．4个2．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则()A．m≠－2 B．m≠2C．m≠3 D．m≠－33．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是()A．y＝mx2＋3x－1B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2D．y＝(－m2－1)x24．二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定经过点()A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，1)5．无论m为何实数，二次函数y＝x2－(2－m)x＋m的图象总是过定点()A．(－1，3) B．(1，0)C．(1，3) D．(－1，0)6. 设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是( )A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不正确7．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是() A．a＝1，b＝－3，c＝5B．a＝1，b＝3，c＝5C．a＝5，b＝3，c＝1D．a＝5，b＝－3，c＝18．已知x是实数，且满足(x－2)(x－3)1－x＝0，则相应的函数y＝x2＋x＋1的值为()A．13或3 B．7或3C．3 D．13或7或39．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么销售该商品所赚利润y(元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式为()A．y＝－10x2－560x＋7 350B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7 35010．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF.四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为()A．y＝5－x2(0≤x＜5)B．y＝5－x2(0≤x＜5)C．y＝25－x2(0≤x＜25)D．y＝25－x2(0≤x＜5)二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知y＝(m－2)x2＋3x＋6是二次函数，则m的取值范围是．12. 对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数项的和是____．13．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.(1)当__________时，x，y之间是二次函数关系；(2)当______________时，x，y之间是一次函数关系．14．国家对某种商品价格分两次降价，若平均每次降价的百分率为x，且该药品的原价是28元/盒，降价后的价格为y元/盒，则y与x的函数关系式为y＝28(1－x)2，自变量x的取值范围是__________. 15．已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝____；当x＝______________时，函数值为1. 16．当a＝________时，函数y＝(a－2)x a2－2＋ax－1是二次函数．17．若等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为．18．一块矩形的草坪，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2. 则y与x的函数关系式是________ ．.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 写出下列函数自变量x的取值范围：(1)y＝x(x－1)；(2)y＝x1－2x；(3)y＝3x－4.20．(6分) 如图，有一根长60 cm的铁丝，用它围成一个矩形．(1)写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式；(2)当S＝125时，求x的值．21．(6分) 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y(厘米2)与时间t(秒)之间的函数关系式．22．(6分)若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3.(1)m取什么值时，此函数是二次函数？(2)m取什么值时，此函数是一次函数？23．(6分)某商店以每副42元的价格购进一种手套，根据试销得知这种手套每天的销售量t(副)与每副的售价x(元)之间可以看成一次函数关系：t＝－4x＋204.请写出每天的销售利润y(元)与每副的售价x(元)之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．24．(8分)某商场每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，这种商品每降价1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利多少元．(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元．①若商场经营该商品一天要获利2 160元，则每件商品要降价多少元？②求y与x之间的函数关系式．25．(8分) 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝7 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，一点到达终点后，另一点随即停止运动，设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)当x 为多少时，△PBQ 的面积为4 cm 2?(3)△PBQ 的面积能否等于7 cm 2？说明理由．参考答案1-5CBDDA 6-10CDCBD11. m≠212. 013. a≠2；a ＝2且b≠－214. 0＜x ＜115. －2；3或－116. －217. y ＝34x 218. y ＝x 2＋14x(x≥0)19. 解：(1)任意实数 (2)x≠12(3)x ＞420. 解：(1)S ＝x·60－2x2＝－x 2＋30x.(2)当S ＝125时，－x 2＋30x ＝125，即x 2－30x ＋125＝0.∴ x 1＝5，x 2＝25.21. 解：由题意知，AM ＝20－2t ，则重叠部分的面积y ＝12×AM 2＝12(20－2t)2， 即y ＝12(20－2t)2＝2t 2－40t ＋200(0≤t≤10)． 22. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋2m －1＝2， 得m ＝－3(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋2m －1＝1， 得m ＝－1±323. 解：y ＝(x －42)t ＝(x －42)(－4x ＋204)，即y ＝－4x 2＋372x －8 568.因为每副手套的进价为42元，所以x≥42.而t≥0，故－4x ＋204≥0，即x≤51.所以自变量x 的取值范围为42≤x≤51.24. 解：(1)商场经营该商品原来一天可获利100×(100－80)＝2 000(元)．(2) ①依题意，得(100－80－x)(100＋10x)＝2 160，即x 2－10x ＋16＝0，解得x 1＝2，x 2＝8.因为要尽量减少库存，所以x 应取8，即每件商品要降价8元．②依题意，得y ＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x 2＋100x ＋2 000.25. 解：(1)y ＝12PB·BQ ＝12·(5－x)·2x ＝－x 2＋5x(0＜x≤3.5)． (2)由－x 2＋5x ＝4，解得x 1＝1，x 2＝4(舍去)．∴当x ＝1时，△PBQ 的面积为4 cm 2.(3)不能．理由如下：由－x 2＋5x ＝7，得x 2－5x ＋7＝0.∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，∴此方程无实数根．∴△PBQ 的面积不能等于7 cm 2.1、在最软入的时候，你会想起谁。

一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；④9a +3b +c ＝0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④ 2．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ）①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<；④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 3．已知()()()112233,,,,,x y x y x y 是抛物线245y x x =--+图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以1y 、2y 、3y 为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（ ） A ．5122x -<< B ．7122x -<<- C ．30x -<< D ．41x -<<-4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 5．一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为（ ）A ．32B ．32或2C ．32或6D ．32或2或6 7．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A ．233y x =+B ．231y x =-C ．()2321y x =++D ．()2321y x =-+ 8．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（ ）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 9．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,110．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总 值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++ 11．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个 12．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的解析式是（ ）A ．25(1)3y x =-++B ．25(1)3y x =--+C ．25(1)3y x =-+-D ．25(1)3y x =---二、填空题13．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．14．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次不等式220x x m -++>的解集为______________________．15．设A （﹣1，y 1），B （0，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣x 2+2a 上的三点，则y 1，y 2，y 3由小到大关系为_____．16．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 18．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B 的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）20．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．三、解答题21．如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点M 抛物线的顶点．（1）连接BC ，求BC 与对称轴MN 的交点D 坐标．（2）点E 是对称轴上的一个动点，求OE CE +的最小值．22．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；（2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴． 23．某商场新上市一款运动鞋，每双进货价为150元，投入市场后，调研表明：当销售价为200元时，平均每天能售出10双；而当销售价每降低5元时，平均每天就能多售出5双．（1）商场要想尽快回收成本，并使这款运动鞋的销售利润平均每天均达到675元，那么这款运动鞋的销售价应定为多少元？（2）请用配方法求：这款运动鞋的销售价定为多少元时，可使商场平均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？24．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？25．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：（1）求出该函数的顶点坐标．（2）求出它的图象与x轴的交点坐标．（3）直接写出：当x为何值时，y＞0．26．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x（元/千克）45505560销售量y（千克）70605040y x（2）为了尽可能提高销量且保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122b a-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误； ④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．B解析：B【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a =-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④．【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确； ②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a --=-=-==-， 当11222a <-<时，解得102a <<， ∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大，由此1222x a =-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确． 故选择：B ．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．3．A解析：A【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，分别根据自变量x 的取值范围确定y 的范围，再根据任意两边之和是否大于第三边即可判断．【详解】 解：245y x x =--+=()229x -++， ∴抛物线的对称轴为直线2x =-且抛物线开口向下，A 选项，当5122x -<<时，1194y <≤，当12y y ，取3，3y 取9时，123y y y +<，两边之和小于第三边，不能构成三角形，故符合题意； B 选项，当7122x -<<-时，2794y <≤，2727+944>，所以以1y 、2y 、3y 为长的三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；C 选项，当30x -<<时，59y <≤，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意；D 选项，当41x -<<-时，59y <≤，同理三条线段能围成一个三角形，故不符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的取值范围问题，涉及三角形成立的条件，解题的关键是确定y 的取值范围，再根据任意两边之和是否大于第三边判断．4．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键5．B解析：B【分析】根据两个函数图象与y 轴交于同一点可排除选项A ，再根据抛物线的开口方向和对应一次函数的增减性即可做出选择．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故A 不符合题意；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，一次函数y ＝ax +c 中y 值随x 值的增大而减小，故C 不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象与性质，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答的关键．6．C解析：C【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h ＜1、h ＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h 的方程，解之可得．【详解】∵()2=+3y x h -中a=1＞0，∴当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；①若1≤h≤3，则当x=h 时，函数取得最小值2h ，即3=2h ，解得：h= 32； ②若h ＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h ，即()2132h h -+=，解得：h=2＞1（舍去）；③若h ＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h ，即()2332h h -+=，解得：h=2（舍）或h=6，综上，h 的值为32或6， 故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键． 7．A解析：A【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．【详解】解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得233y x =+，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 8．C解析：C【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确；抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则a＜0，c＞0，而b＝﹣2a＞0，因而abc＜0，故②错误；方程ax2＋bx＋c＝3从函数角度可以看做是y＝ax2＋bx＋c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x＜4时，y2＜y1，故⑤正确；因为x＝1时，y1有最大值，所以a＋b＋c≥am2＋bm＋c，即a＋b≥m（am＋b）（m实数），故⑥正确．故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．10．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y=7.9（1+x）2．故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．11．C解析：C【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】 解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解， ∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0， △=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2， ∵a ＞2，∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．12．B解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--； 由“上加下减”的原则可知，抛物线()251y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2513y x =--+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 二、填空题13．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小 解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解． 【详解】 解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 14．【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与轴的另一个交点再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可【详解】由图可知对称轴为直线所以二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（0）由图象可知：函数值大于0的的 解析：13x【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与x 轴的另一个交点，再写出x 轴下方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，对称轴为直线1x =，所以，二次函数图象与x 轴的另一个交点坐标为（1-，0），由图象可知：函数值大于0的x 的取值范围为：13x， 所以，220x x m -++>的解集为13x． 故答案为：13x．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与x 轴的另一个交点坐标．15．y3＜y1＜y2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴然后根据二次函数的性质通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小【详解】∵∴抛物线开口向下对称轴为y 轴∵而B （0y2）在对称轴解析：y 3＜y 1＜y 2【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】∵22y x a =-+，∴抛物线开口向下，对称轴为y 轴，∵而B （0，y 2）在对称轴上，A （﹣1，y 1）到对称轴的距离比C （2，y 3）近，∴y 3＜y 1＜y 2．故答案为：y 3＜y 1＜y 2．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．16．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则 解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34． ∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．19．①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故； 解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确 由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，20．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详 解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 三、解答题21．（1）(1,2)D ；（2【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出点B 、C 的坐标和对称轴，从而可得点D 的横坐标，再利用待定系数法求出直线BC 的函数解析式，然后将点D 的横坐标代入直线BC 的函数解析式即可得其纵坐标；（2）先根据二次函数的对称性可得点C 关于对称轴的对称点的坐标，然后根据两点之间线段最短、两点之间的距离公式求解即可得．【详解】（1）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，则(1,0),(3,0)A B -，当0x =时，3y =，则(0,3)C ，二次函数2y x 2x 3=-++化成顶点式为2(1)4y x =--+， 则二次函数的对称轴为1x =，点D 为BC 与二次函数的对称轴的交点，∴点D 的横坐标为1，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，将点(3,0),(0,3)B C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， 则直线BC 的函数解析式为3y x =-+，将1x =代入得：132y =-+=，即点D 的坐标为(1,2)D ；（2）如图，作点C 关于对称轴MN 的对称点C '，连接C E '，由二次函数的对称性得：点C '一定在此二次函数的图象上，其纵坐标与点C 的纵坐标相同，且C E CE '=，则OE CE OE C E '+=+，由两点之间线段最短得：当点,,O E C '共线时，OE C E '+取最小值，最小值为OC '， 设点C '的坐标为(,3)C a '，二次函数的对称轴为1x =，点C 的坐标为(0,3)C ，012a +∴=， 解得2a =，即(2,3)C '，则最小值OC '==，故OE CE +【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、利用待定系数法求一次函数的解析式、两点之间线段最短等知识点，较难的是题（2），利用二次函数的对称性找出最小值是解题关键． 22．（1）94a =；（2）2x = 【分析】（1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．【详解】解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点， 0∴∆=，即940a -=， ∴94a =． （2）点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，9k ∴=，∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，∴对称轴为：1222(3)x =-=⨯-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．23．（1）商场要想尽快回收成本，这款运动鞋的销售价应定为165元；（2）这款运动鞋的销售价定为180元时，利润最大，最大利润是900元．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）根据销售利润=一双运动鞋的利润×销售运动鞋数量，一双运动鞋的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每部的盈利×销售的数量=y ，即可列函数关系式；利用函数最值求法得出即可．【详解】解：（1）设这款运动鞋的销售价应定为x 元.200(150)(105)6755x x --+⨯= 解得：x 1=195，x 2=165因为商场想尽快回收成本，所以定价应为165元；（2）200(150)(105)5x y x -=-+⨯ 2(180)900x =--+∴当定价为180元时，获利最多，最大利润为900元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，本题关键是找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．24．（1）()232408y x x x =-+<<；（2）当5x = 时，45max y =平方米．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长－3AB ），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）先结合（1）及AD 不大于9可得自变量的取值范围，再根据二次函数图像性质，在自变量范围内变化取最值．【详解】解：（1）∵(2)·43S BC AB x x ==－， ∴2324y x x =-+，由题意00AB BC >>，，即02430x x >>，－，解得08x << ；（2）∵墙的最大可用长度为9米，即02439x <≤－ ，解得，58x ≤<，∴()232458y x x x -+=≤<， 二次函数图像开口向下，对称轴为()24423x =-=⨯-， 58x ≤<在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，∴当5x ＝时，长方形花圃的面积最大，235448=45y =+⨯-（-），∴当AB 为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数图形问题、二次函数的最值、一元一次不等式等．得到BC 边长的关系式和熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题关键；得到自变量的取值是解本题的易错点．25．（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【分析】（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．【详解】解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，则抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，∴()-5(1=0x x ++） 解得x ＝5或﹣1，故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；（3）∵a ＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【点睛】【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．26．（1）2160y x =-+；（2）50元；（3）定价60元，最大利润800元．【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组，得出解后根据x 求出对应的y ，即可求解；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（45，70）、（50，60）代入得：45705060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2160k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式为2160y x =-+；（2）由题意得：()()402160600x x --+=，整理得212035000x x -+=，解得125070x x ==，，∵要求尽可能提高销量，当150x =时，销量为70千克，当270x =时，销量为20千克 ∴270x =不合题意，舍去答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为50元/千克； （3）设当天的销售利润为w 元，则：()()402160w x x =--+22(60)800x =--+，∵﹣2＜0∴当60x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．。

浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷一．选择题（共10小题，满分31分） 1．（2分）（2016•贵阳模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x 2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（ ）A ． 12.75米B ． 13.75米C ． 14.75米D ． 17.75米2．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t 截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）（2015•安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y=ax 2+（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2014•龙岩）定义符号min{a ，b}的含义为：当a ≥b 时min{a ，b}=b ；当a ＜b 时min{a ，b}=a ．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x 2+1，﹣x}的最大值是（ ） A ． B． C ． 1 D ． 05．（3分）（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x 的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（ ）A ． c ＜1B ． c =1C ． c ＞1D ． c ≤16．（3分）（2013•资阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是（ ）A ． ﹣4＜P ＜0B ． ﹣4＜P ＜﹣2C． ﹣2＜P ＜0D ． ﹣1＜P ＜07．（3分）（2012•怀化校级模拟）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么a+b+c 的取值范围是（ ）A ． ﹣2＜a+b+c ＜0B ． 0＜a+b+c ＜2C ． ﹣4＜a+b+c ＜0D ． 0＜a+b+c ＜48．（3分）（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（3分）（2001•金华）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）A．m2B．m2C．m2D．4m210．（5分）（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分25分）11．（4分）（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．12．（4分）（2015•金堂县二模）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为．13．（4分）（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．14．（4分）（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B （m+6，n），则n=．15．（4分）（2013•长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是．16．（5分）（2013•庐江县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＞；④b＜1．其中正确的结论是．三．解答题（共5小题，满分44分）17．（8分）（2012•新密市自主招生）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．18．（8分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．19．（8分）（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C 的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．20．（8分）（2015•温州模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4），B（4，0），C（﹣1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P位于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．21．（12分）（2015•深圳模拟）已知正方形OABC中，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，点B（4，4）．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、B．点P（t，0）是x轴上一动点，连接AP．（1）求此二次函数的解析式；（2）如图①，过点P作AP的垂线与线段BC交于点G，当点P在线段OC（点P不与点C、O重合）上运动至何处时，线段GC的长有最大值，求出这个最大值；（3）如图②，过点O作AP的垂线与直线BC交于点D，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象上是否存在点Q，使得以P、C、Q、D为顶点的四边形是以PC为边的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．浙教版数学九年级上册《二次函数》综合提高卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分31分）1．（2分）（2016•贵阳模拟）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（）A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米考点：二次函数的应用．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，把A（0，20），B（50，30）代入，可求出抛物线的解析式，根据坡度1：5，可求得斜坡所在直线的解析式，即可表示MG的长，即可求出下垂的电缆与地面的最近距离；解答：解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b=﹣，c=20，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y=x，设一条与x轴垂直的直线x=m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG=m2﹣m+20﹣m=（m﹣25）2+13.75，∴当m=25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选B．点评：本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用．2．（3分）（2016•贵阳模拟）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．解答：解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选D．点评：本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征．3．（3分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．（3分）（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．0考点：二次函数的最值；正比例函数的性质．专题：新定义．分析：画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．解答：解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：A．点评：本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．5．（3分）（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1考点：二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．专题：计算题；压轴题．分析：先根据分式的意义，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．解答：解：由题意，得△=（﹣2）2﹣4c＜0，解得c＞1．故选C．点评：本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．6．（3分）（2013•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：求出a＞0，b＞0，把x=1代入求出a=2﹣b，b=2﹣a，把x=﹣1代入得出y=a﹣b+c=2a﹣4，求出2a﹣4的范围即可．解答：解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左边，∴﹣＜0，∴b＞0，∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0，∴a=2﹣b，b=2﹣a，∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，当x=﹣1时，y=a﹣b+c=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4，∵b＞0，∴b=2﹣a＞0，∴a＜2，∵a＞0，∴0＜a＜2，∴0＜2a＜4，∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．7．（3分）（2012•怀化校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么a+b+c的取值范围是（）A．﹣2＜a+b+c＜0 B．0＜a+b+c＜2 C．﹣4＜a+b+c＜0 D．0＜a+b+c＜4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣2），∴c=﹣2，∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=＞0，又∵a＞0，∴b＜0由图象可知：当x=﹣1时y=0，∴a﹣b+c=0又∵c=﹣2，∴a=2+b，又∵a＞0，b＜0，∴﹣2＜b＜0∴a﹣b+c=0可整理为：a+b+c=2b，又∵﹣2＜b＜0，∴﹣4＜2b＜0，故﹣4＜a+b+c＜0．故选C．点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．（3分）（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c=0，可整理得﹣a+b+c=2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解答：解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a ＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c=0﹣﹣﹣﹣①，又因为4a+2b+c ＞0﹣﹣﹣﹣②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax2+bx+c（a ＜0）当x=2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c=0，∴﹣a+b﹣c=0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c=2c，整理得﹣a+b+c=2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c=0，∴b2﹣2ac﹣5a2=（a+c）2﹣2ac﹣5a2=c2﹣4a2=（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞4a+2（a+c）+c＞0即2a+c＞0①∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2综上可知正确的个数有4个．故选D．点评：此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题．9．（3分）（2001•金华）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）A．m2B．m2C．m2D．4m2考点：二次函数的应用．专题：压轴题．分析：设窗的高度为xm，宽为m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．解答：解：设窗的高度为xm，宽为（）m，故S=．∴，即S=．∴当x=2m时，S最大值为m2．故选C．点评：本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．10．（5分）（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）A．B．C．D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x ﹣2=﹣1，当x=时，y=x ﹣2=﹣，∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．故选A．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．二．填空题（共6小题，满分25分）11．（4分）（2011•扬州）如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：探究型．分析：先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．解答：解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．点评：本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．12．（4分）（2015•金堂县二模）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C 的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为8．考点：二次函数综合题；解一元二次方程-直接开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．专题：计算题；压轴题．分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．解答：解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故答案为：8．点评：本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．13．（4分）（2013•大连）如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x 轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣x+．考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：先求出点A的坐标，再根据中位线定理可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解．解答：解：∵令x=0，则y=，∴点A（0，），根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴顶点C的纵坐标为×=，即=，解得b1=3，b2=﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b=﹣3，∴对称轴为直线x=﹣=，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，则，解得，所以，y=x2﹣x+．故答案为：y=x2﹣x+．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要．14．（4分）（2013•荆门）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B （m+6，n），则n=9．考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题．分析：首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．解答：解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=b2+c+9∵b2=4c，∴n=×4c+c+9=9．故答案是：9．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．（4分）（2013•长春模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c（与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．解答：解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，∴解得﹣≤a≤﹣；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2，∴解得﹣≤a≤﹣；∵顶点可以在矩形内部，∴﹣≤a≤﹣．故答案为：﹣≤a≤﹣．点评：本题主要考查了抛物线的解析式y=ax2+bx+c中a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决．16．（5分）（2013•庐江县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc ＞0；②a+b+c=2；③a＞；④b＜1．其中正确的结论是②③．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故①错误；②当x=1时，函数值为2＞0，∴②a+b+c=2对当x=﹣1时，函数值=0，即a﹣b+c=0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），2﹣2b=0，∴b=1所以④b＜1错误；③∵对称轴x=﹣＞﹣1，解得：＜a，∵b=1，∴a＞，所以③对；故其中正确的结论是②③．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=﹣1时，可确定a﹣b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．三．解答题（共5小题，满分44分）17．（8分）（2012•新密市自主招生）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求点C的坐标和过O、C、A三点的抛物线的解析式；（2）P是此抛物线的对称轴上一动点，当以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；（3）M（x，y）是此抛物线上一个动点，当△MOB的面积等于△OAB面积时，求M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度数和AB的长，可求出OA的值，即可得到点A的坐标；由于△OBC由△OAB折叠所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，过C作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，通过解直角三角形可得到点C的坐标；最后利用待定系数法可求出抛物线的解析式．（2）以P、O、C为顶点的等腰三角形并没有确定腰和底，所以要分情况讨论：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；首先设出点P的坐标，在用表达式表示出△OPC三边长后，按上面所列情况列方程求解即可．（3）在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，求出即可．解答：解：（1）由已知条件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，C点的坐标为（，3），设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得，所求抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）由题意，设P（，y），则：OP2=y2+3、CP2=（y﹣3）2=y2﹣6y+9、OC2=12；①当OP=CP 时，6y=6，即y=1；②当OP=OC 时，y2=9，即y=±3（y=3舍去）；③当CP=OC 时，y2﹣6y﹣3=0，即y=3±2；∴P点的坐标是（，1）或（，﹣3）或（，3﹣2）或（，3+2）；（3）过A作AR⊥OB于R，过O作ON⊥MN于N，MN与y轴交于点D．∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=2，OB=4，由三角形面积公式得：4×AR=2×2，AR=，∵△MOB的面积等于△OAB面积，∴在直线OB两边，到OB的距离等于的直线有两条，直线和抛物线的交点就是M点，∠NOD=∠BOA =30°，ON=，则OD=2，求出直线OB的解析式是y=x，则这两条直线的解析式是y=x+2，y=x﹣2，解，，解得：，，，此时，M1（，3）、M2（，）．M3（2，0）．M4（﹣，﹣）．点评：该题主要考查：利用待定系数法确定函数解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及三角形面积的解法等基础知识；类似（2）题的等腰三角形判定题，通常都要根据不同的腰和底进行分类讨论，以免漏解．18．（8分）（2015•枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC 为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x 轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN =+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．19．（8分）（2015•湖州模拟）如图①，Rt△ABC中，∠B=90°∠CAB=30°，AC⊥x轴．它的顶点A的坐标为（10，0），顶点B的坐标为，点P从点A出发，沿A→B→C 的方向匀速运动，同时点Q从点D（0，2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求∠BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点P的运动速度．（3）求题（2）中面积S与时间t之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P的坐标．（4）如果点P，Q保持题（2）中的速度不变，当t取何值时，PO=PQ，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题；分类讨论．分析：（1）利用∠BAO的正切值，求出∠BAO的度数即可；（2）利用图②中的函数图象，求得点P的运动时间与路程解决即可；（3）利用特殊角的三角函数，三角形的面积以及配方法解决问题；（4）分两种情况进行列方程解决问题．解答：解：（1）如图，过点B作BE⊥OA于E，则OE=5，BE=5，OA=10，∴AE=5，。

沪科版九年级数学《二次函数》综合提高测试卷时间：40分钟满分：100分一、选择题：共6小题，每小题5分，共30分。

1．对于抛物线y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是()A．顶点坐标为(－3，2)B．对称轴为y＝3C．当x≥3时y随x增大而增大D．当x≥3时y随x增大而减小2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x 的取值范围是()A．x<－4或x>2 B．－4≤x≤2C．x≤－4或x≥2 D．－4<x<23．函数y＝ax＋b与y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象大致是()A ．B ．C ．D ．4．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：x …－2－1012…y …－11－21－2－5…由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是()A．－11 B．－2C．1 D．－55．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0②2a＋b＝0③a－b＋c>0④4a－2b＋c<0其中正确的是()A．①②B．只有①C．③④D．①④6．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为()A．－74B．3或－ 3C．2或－ 3 D．2或－3或－74二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

7．将y＝－12x2＋bx＋c向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到函数y＝－12x2，则b＝____，c＝____．8．函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值是________．9．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子，则果园里增种______棵橘子树，橘子总个数最多．10．已知二次函数y＝－23x2－43x＋2的图象与x轴分别交于A，B两点(如图1所示)，与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB＋PC取得最小值时，点P的坐标为_______．图1 图211．如图2的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________．12．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B 两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是________．图3三、简答题：本大题共3小题，共40分。

北师大版九年级下册数学第二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A.（0，7）B.（﹣1，7）C.（﹣2，7）D.（﹣3，7）2、若将函数y=a（x+3）（x-5）+b（a≠0）的图象向右平行移动1个单位，则它与直线y=b的交点坐标是( )A.（－3，0）和（5，0）B.（－2，b）和（6，b）C.（－2，0）和（6，0）D.（－3，b）和（5，b）3、将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A. B. C. D.4、若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点坐标为（m，0），则代数式m2﹣2m+2017的值为（）A.2019B.2018C.2016D.20155、下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A.y=x 2+2xB.y=x 2﹣2xC.y=x 2﹣2D.y=x 2﹣4x6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A.2B.4C.8D.167、记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A.y＝﹣（x﹣60）2+1825B.y＝﹣2（x﹣60）2+1850C.y＝﹣（x ﹣65）2+1900D.y＝﹣2（x﹣65）2+20008、如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（）A.3 mB. mC.4 mD.9 m9、函数y＝2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1， y1），B（x2， y2），且|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则（）A.y1＜y2B.y1＝y2C.y1＞y2D.y1、y2的大小不确定10、在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能正确的有（）A.0B.1C.2D.311、已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ．正确的是（）A.①③B.②⑤C.③④D.④⑤12、由二次函数，可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线C.当x<3时，y随x的增大而增大D.其最小值为113、抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（）A.直线x＝－1B.直线x＝1C.直线x＝2D.直线x＝－214、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根15、函数图像的大致位置如图所示，则ab，bc，2a+b，，，b2-a2 等代数式的值中，正数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是________ .17、一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是________（只要求写出一个）.18、如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y轴上，且OB=2．则菱形OABC的面积是________．19、已知函数y=-3（x-2）2+4，当x=________时，函数取得最大值为________.20、已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为________．21、如果抛物线y=（2+k）x2﹣k的开口向下，那么k的取值范围是________ ．22、抛物线y=x2﹣3x﹣15 与x 轴的一个交点是（m，0），则2m2﹣6m 的值为________．23、已知二次函数y=ax2（a≠0的常数），则y与x2成________ 比例．24、设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________．25、若一个二次函数的二次项系数为﹣1，且图象的顶点坐标为（0，﹣3）．则这个二次函数的表达式为________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB＝2，求m的值．27、某宾馆有30个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天160元时，房间会全部住满。

2023年春学期九年级数学下册第二章【二次函数】检测卷一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是()A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …-2013…y …6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：①<0abc ；②240b ac ->；③0a b c ++=；④21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⑤若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是_____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？(3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．23．如图，抛物线y ＝x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB +PC 的值最小时的点P 的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2 ，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案：1．A2．D3．A4．C5．C6．D7．D8．D9．C10．C11．D12．B13．126414．（2，0）15．316．132y y y <<17．1018．﹣3＜x ＜119．420．1.12521．(1)2114y x =-+(2)23(3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）26，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

专题2.3二次函数（全章分层练习）（提升练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知函数()222my m x -=+是二次函数，则m 等于（）A ．±2B ．2C ．-2D ．±12．（2023上·福建南平·九年级校考期中）关于二次函数()229y x =--+，以下说法不正确的是（）A ．图象与y 轴的交点坐标为()0,9B ．图象的对称轴为直线2x =C ．当2x >时，y 随x 增大而减小D ．y 的最大值为93．（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）若抛物线()22136y x m m =-+--+的顶点在第二象限，则m 的取值范围是（）A ．1m <B ．2m <C ．1m >D ．12m <<4．（2023上·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期中）把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2﹣2x+5，则有（）A ．b=3，c=7B ．b=﹣9，c=﹣15C ．b=3，c=3D ．b=4，c=105．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）二次函数2+=+y ax bx c 的图象不经过第二象限，则a 、b 、c 的取值范围是（）A ．000a b c ><，，=B ．000a b c <<≤，，C ．000a b c <<>，，D ．000a b c <>≤，，6．（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）若二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列说法不正确的是（）A ．当13x <<时，0y >B ．当2x =时，y 有最大值C ．图像经过点()4,3-D ．当3y <-时，0x <）在同一坐标系中的图象可能是（．．C．．上·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）关于x0=有一个根是1-，若二次函数A．1个二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）（2023·四川南充·统考一模）若二次函数的图象与三、解答题（本大题共6小题，共58分））（1）求该二次函数解析式；（2）完成上表，并在平面直角坐标系中画出函数图象（2）若y2＝1，y1＜y3＜y2，求m的取值范围．21．（10分）（2023上·广东汕尾·九年级陆丰市玉燕中学校考阶段练习）如图，抛物线()220y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点()0,4c ，与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为()4,0．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接QC ，当CQB △的面积最大时，求点Q 的坐标．22．（10分）（2023上·四川眉山·九年级校联考期中）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个．通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个．（1）当每个水杯的售价为45元时，平均每月售出______个水杯，月销售利润是_____元．（2）若每个水杯售价上涨x 元()0x >，每月能售出______个水杯（用含x 的代数式表示）．（3）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价．23．（10分）（2023上·广东湛江·九年级校考期中）如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ，它的对称轴2x =与x 轴交于点C ，直线21y x =--经过抛物线上一点()2,B m -，且与y 轴、直线2x =分别交于点D 、E ，点D 是BE 的中点．（1）求m 的值；（2）求该抛物线对应的函数关系式；（3）若(),P x y 是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ，使得PB PE =？若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）点()(06)P m n m <<，在抛物线上，当m 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值．专题2.3二次函数（全章分层练习）（提升练）1．B【分析】根据二次函数的定义，令m 2-2=2，且m+2≠0，即可求出m 的取值范围．解：∵y=（m+2）22mx -是二次函数，∴m 2−2=2，且m+2≠0，∴m=2.故答案选B.【点拨】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义及运用.2．A【分析】由抛物线的顶点式可求得其最值、对称轴及增减性，令x ＝0可求得抛物线与y 轴的交点，则可求得答案．解：∵二次函数()229y x =--+，∴抛物线的对称轴是直线x ＝2，故B 正确；∵a ＝−1＜0，∴抛物线的开口向下，故当x ＝2时，y 的最大值为9，故D 正确，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而减小，故C 正确，针对于二次函数()229y x =--+，令x ＝0，则y ＝5，∴图象与y 轴的交点坐标为（0，5），故A 错误，故选：A ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性是解题的关键．3．D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关键，利用()22136y x m m =-+--+，可得顶点坐标为()1,36m m --+，根据顶点在第二象限，即可得到m 的取值范围．解：∵()22136y x m m =-+--+，∴顶点为()1,36m m --+，∴顶点在第二象限，∴10m -<，360m -+>，∴12m <<，故选：D ．4．D解：试题分析：由y=x 2﹣2x+5=（x ﹣1）2+4，可知抛物线顶点坐标为（1，4），根据平移规律可知平移前抛物线顶点坐标为（﹣2，6），平移不改变二次项系数，可确定平移前抛物线的顶点式，展开比较系数即可．解：∵y=x 2﹣2x+5=（x ﹣1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（1，4），依题意，得平移前抛物线顶点坐标为（﹣2，6），∵平移不改变二次项系数，∴y=（x+2）2+6=x 2+4x+10，比较系数，得b=4，c=10．故选D ．考点：二次函数图象与几何变换．5．D【分析】根据二次函数2+=+y ax bx c 的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定a 的符号，与y 轴交点决定c 的符号，对称轴所在位置决定b 的符号．解：∵二次函数2+=+y ax bx c 的图象不经过第二象限，则大致图象为下图所示，由图象即可判断出000a b c <>≤，，，故选：D ．【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数2+=+y ax bx c 不过第二象限画出大致图象是解题的关键．6．D【分析】观察图象可知抛物线开口方向，根据图象经过()1,0，()3,0可得抛物线对称轴为直线2x =，进而求解．解：∵抛物线开口向下，经过点()1,0，()3,0，∴抛物线对称轴为直线2x =，∴当13x <<时，0y >，A 选项正确，不符合题意．，∴方程21ax bx c ++=的所有实数根的和为当19a <时，直线y =1与2y ax bx =++4=-，∴a≤1，a ＋1≥1，∴0≤a≤1，故答案为0≤a≤1．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y ＝0时x 的值是解题的关键．13．20≤y≤4【分析】（1）求出根的判别式，即可得出答案；（2）由（1）得y=x 2−2x+1=（x-1）2，得在顶点处x=1时，y 最小值为0，在0≤x≤3中，距对称轴最远处x=3时，y 最大值为4.解：（1）由题意二次函数图象与x 轴只有一个公共点.可令x 2−mx+m−1=0，则有Δ=0.即m 2−4（m−1）=0.得m=2.所以该二次函数的解析式为y=x 2−2x+1.（2）由（1）得y=x 2−2x+1=（x-1）2，在顶点处即x=1时，y 最小值为0，在0≤x≤3中，距对称轴最远处x=3时，y 最大值为4.所以，y 的最大值为4，最小值为0.所以，当0≤x≤3时，y 的取值范围为：0≤y≤4故答案为：（1）2；（2）0≤y≤4.【点拨】本题考查根的判别式，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图像与性质，求最值问题，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键.14．-1【分析】抛物线()21y a x c =-+的对称轴方程为1,x =即点D 的横坐标为1，△ABD 为等腰直角三角形，则点B 的横坐标为2，正方形的边长为2，进而求出点D 的纵坐标为2+1=3，把点()()0,2,1,3A D 代入抛物线解析式，即可求出a 的值.解：∵抛物线()21y a x c =-+的对称轴方程为1,x =∴点D 的横坐标为1，∵△ABD 为等腰直角三角形，∴点B 的横坐标为2，正方形的边长为2，()()0,2,1,3A D ∴,代入抛物线解析式得：23,a c c +=⎧⎨=⎩解得：13.a c =-⎧⎨=⎩【点拨】属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象与性质等，重，【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键．20．（1）①12x=-；②证明见分析；【分析】（1）①把A点坐标代入抛物线的解析式得②计算判别式，再说明判别式为正数便可；（2）把B点坐标代入抛物线的解析式得轴的交点问题，抛物线与不等式的关系，关键在个水杯，，解得：24．（1）()()2060A B -，，，，【分析】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，三角形面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．（1）将0x =，0y =代入解析式进而求出函数解析式．（2）作PQ AB ⊥于点Q ，交∴当3m =时，PBC S 最大值为272．。

二次函数精编测试题及参考答案(提高)一、选择题1.下列是二次函数的是（）A.y=2x-1B. y=x2-(x-1)2C.y=x(x+1)-7D.y=1 x22.若二次函数y=(k-2)x2-3x+4与x轴有两个交点,则k的取值范围是（）A.k≠2B.k≠4116C.k＜4116且k≠2 D.k＞4116且k≠23.将抛物线y=2x2-4x+1向左平移2022个单位,再向下平移2023个单位,则平移后抛物线的解析式为（）A.y=2(x-1)2-1B.y=2(x+2021)2-2024C.y=2(x-2022)2-2024D.y=2(x-2024)2+20224.关于二次函数y=3x2+1的说法中,错误的是（）A.抛物线顶点(0,1)B.当x＞1时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,4)D.图象的对称轴是直线x=15.如果三点P1(1,y1),P2(3,y2)和P3(4,y3)在抛物线y=-x2+6x+c的图象上,那么y1,y2与y3之间的大小关系是（）A y1<y3<y2 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y1<y2<y36.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0a,b,c为常数)的一个解x的范围可能是（）A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.207.向空中抛一枚物体,第x秒时的高度为y米,且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0),若此物体在第6秒与第15秒时的高度相等,则下列时间中物体所在的高度最高是（）A.第6秒B.第10秒C.第14秒D.第15秒8.如图,函数y=kx 2-2x+1和y=k(x-1)(k 是常数,且k ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） 9.三孔桥的三个桥孔呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为10米,孔顶离水面1.5米;当水位下降,大孔水面宽度为14米时,单个小孔的水面宽度为4米.当大孔水面宽度为20米时,单个小孔的水面宽度为（ ）A.2√3B. 4√3C. 5√2D. 6√310.如图,在四边形DEFG 中,∠E=∠F= 90°,∠DGF=45°,DE=1,FG=3,Rt △ABC 的直角顶点C 与点G 重合,另一个顶点B(在点C 左侧)在射线FG 上,且BC=1,AC=2,将△ABC 沿GF 方向平移,点C 与点F 重合时停止.设CG 的长为x,△ABC 在平移过程中与四边形DEFG 重叠部分的面积为y,则下列图象能正确反映y 与x 函数关系的是（ ）11.对于二次函数y=12x 2-6x+21,有以下结论:①当x>5时,y 随x 的增大而增大;②当x=6时,y 有最小值3;③图象与x 轴有两个交点;④图象是由抛物线y=12x 2先向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.其中结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=-1,则下列结论: ①abc<0;②(4a+c)2<(2b)2;③若(x1,y1)和(x2,y2)是抛物线上的两点,则当|x1+1|>|x2+1|时,y1<y2;④抛物线的顶点坐标为(-1,m),则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题13.二次函数y=3(x-3)2+2顶点坐标为_________.14.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c的值是_______.15.如图,在一幅长50cm,宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设整个挂画总面积为ycm2,金色纸边的宽为xcm,则y与x的关系式是_____________.第15题第16题第17题16.如图,有一座拱桥洞呈抛物线形状,这个桥洞的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中,则抛物线对应的函数关系式为________________.17.如图,把抛物线y=12x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(-6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为_________.18.如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=x2的图象如图所示,已知A点坐标为(1,1),过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1,过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4,…,依次进行下去,则点A2023的坐标是_____________.三、解答题19.已知函数y=(m2+2m)x2+mx+m+1,(1)当m为何值时,此函数是一次函数.(2)当m为何值时,此函数是二次函数.20.如图,一农户要建一矩形猪舍,猪舍的一边利用长12m的住房墙,另外三边用27m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍的面积y最大,最大面积是多少?21.如图,已知直线y1=kx+n与抛物线y2=-x2+bx+c相交于A(4,0)和B(0,2).(1)求直线和抛物线解析式;(2)当y1>y2时,求x的取值范围;(3)若直线上方的抛物线有一点C,S△ABC=6,求点C的坐标.22.某公司计划购进一批原料加工销售,已知该原料的进价为6.2万元/吨,加工过程中原料的质量有20%的损耗,加工费m(万元)与原料的质量x(吨)之间的关系为m=50+0.2x,销售价y(万元/吨)与原料的质量x(吨)之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)设销售收入为P(万元),求P与x之间的函数关系式;(3)当原料的质量x为多少吨时,所获销售利润最大,最大销售利润是多少万元?23.抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和点C(0,3).(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)若过顶点D的直线将△ACD的面积分为1:2两部分,并与x轴交于点Q,求点Q的坐标.参考答案一、选择题1-5 CCBDA 6-10 CBBCB 11-12 AC二、填空题13.（3，2）14. 115.y=4x2+160x+150016.y=−125(x−20)2+1617. 13.518.(-1012,10122)三、解答题19(1)m=-2 (2)m≠0且m≠-220.设宽为x，y=-2x2+28x,当宽为8米，长为12米时，面积最大，最大是96平方米。

班级 姓名 学号 成绩一、选择题(每小题3分,满分24分)1、已知函数4212--=x x y ,当函数值y 随x 的增大而减小时,x 的取值范围就是 ( ) A 、x ＞1B 、2-＜x ＜4C 、x ＜1D 、x ＞2-2、抛物线)3)(5(2+-=x x y 与x 轴两交点之间的距离为( )A 、8B 、16C 、5D 、33、一台机器原价为100万元,如果每年的折旧率为x ,两年后这台机器的价位为y 万元,则y 关于x 的函数关系就是( ) A 、100=y (x -1)2 B 、100=y (21x -)C 、2100x y -=D 、2100x y =4、若抛物线228y x x h =++的顶点在x 轴上,则 ( ) A 、0h = B 、16h =± C 、4h =± D 、4h =5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则点P(bca ,)在( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6、如图,函数2(1)y x k =-+与ky x=(k 就是非零常数)在同一坐标系中大致图象有可能就是()7、抛物线c bx x y ++=2向左平移2个单位,再向下平移3个单位后得到抛物线122+-=x x y ,则( )A 、12,6=-=c bB 、14,8-=-=c bC 、12,6==c bD 、14,8=-=c b8、二次函数)3(22m mx mx y --+=的图象如图所示,则m 的取值范围就是( )A 、m ＜3B 、m ＞3C 、m ＞0D 、0＜m ＜3二、填空题(每小题3分,满分21分)1、抛物线2=y (1-x )(2+x )开口向 ,顶点坐标为 ,对称轴方程为、2、抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标就是(2,3),且经过点(3,1),则a ＝ , b＝ ,c ＝ 、3、如图所示,二次函数342+-=x x y 的图象交x 轴于A 、B两点,交y 轴于C 点,则△ABC 的面积为 、4、已知点(m +1,m 2)在函数x x y 22+=的图象上,则m ＝ 、5、若二次函数24y x x k =--+的最大值就是8,则k = 、6、将函数263y x x =-+向上平移6个单位,再向左平移3个单位,就得到函数 的图象、7、函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,且线段OM 与ON 相等,则a ,b ,c 之间的关系为 、三、解答题1、(9分)右图就是直角坐标中某抛物线的部分图象,请写出抛物线再次与x 轴相交时交点的坐标;判断点(3,6)-就是否在抛物线上,写出判断过程、 解:2、(10分)已知抛物线2x y =上有A 、B 两点,A 点横坐标为1-,B 点横坐标为2,过A 作AC∥x 轴,交抛物线于C 点,试求四边形OABC 的面积、解:3、(12分)如图所示,二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于(0,2)C ,若90ACB ∠=︒,5BC =,试求: (1)A 、B 两点的坐标;(2)二次函数的表达式、4、(12分)某学校要在圆形水池的中心点O 处安装水管OA =1、25米,要建音乐喷泉,其水流路径呈抛物线型(如图),且在离O 点1米处水喷得最高2、25米,要使水流不溅到池外,水池的半径应不少于多少米？ 解:5、(12分)已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF BF,试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积、2,1。

22.1 二次函数的图象和性质1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）x－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x ＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ． 5．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=x 2B ．y=－x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=x 2和y=－x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2C ．D ．12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=x ＋3交于点（2，m ）．13已知是二次函数，且当时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．mm +2mm +221214131312141212142)2(-++=k k xk y 0x <14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1) 作出这条抛物线；(2) 利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？15．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数 y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万. （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）17、已知关于x 的一元二次方程 x 2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且，求m 的值，并求出此时方程的两根．1．抛物线y=－3x 2上两点A （x ，－27），B （2，y ），则x= ，y= ． 2．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y = ． 3．当m= 时，y=（m －1）x－3m 是关于x 的二次函数．4．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x ＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．214y x =-1222x x -=mm +2mm +25．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为．7．在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x 轴对称的是（ ）A ．y=x 2B ．y=－x 2C ．y=－2x 2D ．y=－x 28．抛物线，y=4 x 2，y=－2x 2的图象，开口最大的是（ ）A ．y=x 2B ．y=4x 2C ．y=－2x 2D ．无法确定9．对于抛物线y=x 2和y=－x 2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）A ．两条抛物线关于x 轴对称B ．两条抛物线关于原点对称C ．两条抛物线关于y 轴对称D ．两条抛物线的交点为原点10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）11．已知函数y=ax 2的图象与直线y=－x ＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x 在第一 象限内的交点相同，则a 的值为（ ）A ．4 B ．2C ．D ．12．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=x ＋3交于点（2，m ）．13已知是二次函数，且当时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．14、有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线 (1) 作出这条抛物线；(2) 利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽； (3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？21214131312141212142)2(-++=k k xk y 0x <214y x =-15．如图，直线ι经过A （3，0），B （0，3）两点，且与二次函数 y=x 2＋1的图象，在第一象限内相交于点C ．求：（1）△AOC 的面积；（2）二次函数图象顶点与点A 、B 组成的三角形的面积．16、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万. （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）17、已知关于x 的一元二次方程 x 2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且，求m 的值，并求出此时方程的两根．22.1 二次函数的图象与性质一、填空题:1.已知函数y=(k+2)是关于x 的二次函数,则k=________.2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.3.填表:c261 4 4.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、选择题:1222x x -=24k k x +-2116s c =6.下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零 7.下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x 28.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=x 2-4B.y=(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-x 2+169.若y=(2-m)是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定三、解答题10.分别说出下列函数的名称：(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= (4)y=3x-x 2 (5)y=x11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d=n 2-n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3)12、 二次函数y=ax 2+c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时， y= ＿＿ .13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。

《二次函数》提高性测试卷一、选择题（ ）1、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③2．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是 （ ） A ．x ＞1B ．2-＜x ＜4C ．x ＜1D ．x ＞2-3．抛物线)3)(5(2+-=x x y 与x 轴两交点之间的距离为（ ）A ．8B ．16C ．5D ．34．一台机器原价为100万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 关于x 的函数关系是（ ）A ．100=y （x -1）2B ．100=y （21x -）C ．2100x y -=D ．2100x y =4．若抛物线228y x x h =++的顶点在x 轴上，则 （ ） A ．0h = B ．16h =± C ．4h =± D ．4h =6．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点P （bca ,）在（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）8．如图，函数2(1)y x k =-+与ky x=（k 是非零常数）在同一坐标系中大致图象有可能是（ ）9．抛物线c bx x y ++=2向左平移2个单位，再向下平移3（第1题）（第6题）个单位后得到抛物线122+-=x x y ，则（ ） A ．12,6=-=c b B ．14,8-=-=c b C ．12,6==c b D ．14,8=-=c b10．二次函数)3(22m mx mx y --+=的图象如图所示，则m的取值范围是（） A ．m ＜ 3 B ．m ＞3 C ．m ＞0 D ．0＜m ＜3 二、填空题（每小题3分，满分21分）11．.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.12.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 13．如图所示，二次函数342+-=x x y 的图象交x 轴于A 、B两点，交y 轴于C 点，则△ABC 的面积为 ．14．已知点（m +1，m 2）在函数x x y 22+=的图象上，则m 15．若二次函数24y x x k =--+的最大值是8，则k = ．16．将函数263y x x =-+向上平移6个单位，再向左平移3个单位，就得到函数 的图象．17．函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且线段OM 与ON 相等，则a ，b ，c之间的关系为 ．18、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．19如图9所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是20、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 三、解答题21、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过（第18题）（第10题）（第17题）点(30)B ，．（1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．22、已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且302⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个二次函数的图象上．23．已知抛物线2x y =上有A 、B 两点，A 点横坐标为1-，B 点横坐标为2，过A作AC ∥x 轴，交抛物线于C 点，试求四边形OABC 的面积．24．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于(0,2)C ，若90ACB ∠=︒，BC =，试求： （1）A 、B 两点的坐标；（2）二次函数的表达式．25．某学校要在圆形水池的中心点O 处安装水管OA =1.25米，要建音乐喷泉，图10（第23题）（第24题）其水流路径呈抛物线型（如图），且在离O 点1米处水喷得最高2.25米，要使水 流不溅到池外，水池的半径应不少于多少米？26．已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中2,1AF BF ==，试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．27．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。

中考数学复习《二次函数》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）+1A．y=5x2−1B．y=x2+1xC．y=x3D．y=(x+3)2−x22．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）A．y=(x+3)2−1B．y=(x+3)2+3C．y=(x−1)2−1D．y=(x−3)2−13．关于y=(x+1)2+3的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为(1，3)B．对称轴为直线x=1C．当x⩾−1时，y随x的增大而增大D．开口向下4．直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx−ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（）A．B．C．D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．已知二次函数y=x2+2x−5，当x=3时，y=．10．若抛物线y=−x2+6x+a的顶点在x轴上，则a的值是．11．当x≥m时，两个函数y1=−（x﹣4）2＋2和y2=−（x﹣3）2＋1的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为.12．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(－2，－3)，B(3，q)两点，则不等式ax2-mx+c＜n的解集是.13．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点O为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度y（m）（m）之间满足解析式y＝﹣15(x−4)2+205，球网BC离点O的水平距离为5米，乙运动员在球场上N（n，0）处接球，若乙因接球高度不够而失球，则n的取值范围是．三、解答题14．如图所示，已知直线y1=x与抛物线y2=12x2交于A，B两点.（1）求A ，B 两点的坐标.（2）观察图象，直接写出当y 1>y 2时x 的取值范围.15．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0），B （3，0），且过点C （0，－3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P （4，m ）在抛物线上，求△PAB 的面积．16．如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线OA 每一个截面均可得到两条关于OA 对称的抛物线，如图2，以喷水池中心O 为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？17．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．（1）试确定月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x 的取值范围；（2）当售价x （元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （元）最大？最大利润是多少？18．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．1．A2．D3．C4．B5．D6．B7．B8．B9．1010．-911．412．-2＜x＜313．5＜n＜7x2交于A，B两点14．（1）解：直线y1=x与抛物线y2=12x=x令y1=y2得12解得x1=0，x2=2当x=0时，y=0；当x=2时，y=2∴A(0，0)，B(2，2)；（2）解：由图象可得当y1＞y2时，x的取值范围为：0<x<2. 15．（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)∴设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)∵过点C(0，−3)∴3a=−3a=−1∴抛物线解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3（2）解：∵点P(4，m)在抛物线上∴y P=−16+16−3=−3∴S △RAB =12×AB ×|y P |=3．16．（1）解：设水柱所在抛物线的函数表达式为y =a(x −3)2+5(a ≠0)将(8，0)代入y =a(x −3)2+5，得：25a +5=0解得：a =−15∴水柱所在抛物线的函数表达式为y =−15(x −3)2+5(0≤x <8)；同理：y =−15(x +3)2+5(−8≤x <0)∴y ={−15(x +3)2+5(−8≤x <0)−15(x −3)2+5(0≤x <8) （2）解：当y =1.8时，则−15(x −3)2+5=1.8解得：x 1=−1（舍去）x 2=7∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．17．（1）解：由题意可得y= 50+ (1000- x)÷20×5= 300- 4x ∵货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任 务 ∴600300604x x ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩ 解得，600≤x ≤960即月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式是y=300-4x (600≤x ≤960) ; （2）解：由题意可得 w= (x- 500)(300-4x )=-14（x-850）2+30625 ∴当x=850时, w 取得最大值，此时w= 30625即当售价x 定为850元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大,最大利润是30625元.18．（1）解：一次函数3y x =-+当0x =时3y =，即()0,3C当0y =时30x -+=，解得3x =，即()3,0B把()1,0A -，()3,0B 代入23y ax bx =++得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩则抛物线的解析式为223y x x =-++．（2）解：()3,0B ()0,3C3OB OC ∴==45OCB OBC BPQ DPC ∴∠=∠=∠=∠=︒DCP DPC ∠=∠90DCO ∴∠=︒CD AB ∴∥∴点D 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，即为3当3y =时2233x x -++=，解得2x =或0x =（舍去）则2m =．（3）解：存在，求解如下：设点F 的坐标为(),F s t①当四边形BCEF 是矩形时，则CE BC ⊥∵直线BC 的解析式为3y x =-+∴设直线CE 的解析式为y x c =+把点()0,3C 代入得3c =∴直线CE 的解析式为3y x联立2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或03x y =⎧⎨=⎩（即为点C ，舍去） ()1,4E ∴四边形BCEF 是矩形，且()3,0B ，()0,3C 和()1,4E0312230422s t ++⎧=⎪⎪∴⎨++⎪=⎪⎩，解得41s t =⎧⎨=⎩ 则此时点F 的坐标为()4,1F ；②当四边形BCFE 是矩形时，则BE BC ⊥设直线BE 的解析式为y x n =+将点()3,0B 代入得：30n +=，解得3n =-则直线BE 的解析式为3y x =-联立2323y x y x x =-⎧⎨=-++⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩或30x y =⎧⎨=⎩（即为点B ，舍去） ()2,5E ∴--四边形BCFE 是矩形，且()3,0B ，()0,3C 和()2,5E --3202205322s t +-+⎧=⎪⎪∴⎨+-+⎪=⎪⎩，解得52s t =-⎧⎨=-⎩ 则此时点F 的坐标为()5,2F --综上，存在以C 、B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--．。

九年级数学上册二次函数（提升篇）（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式：（2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x2x3=-++；3y x=-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）【解析】【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论；（2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论；（3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论．【详解】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得93010b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，∴23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标是（0，3），把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得11303k bb+=⎧⎨=⎩，∴113kb=-⎧⎨=⎩∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图，连接BC，∵点D是抛物线与x轴的交点，∴AD＝BD，∴S△ABC＝2S△ACD，∵S△ACP＝2S△ACD，∴S△ACP＝S△ABC，此时，点P与点B重合，即：P（﹣1，0），过B点作PB∥AC交抛物线于点P，则直线BP的解析式为y＝﹣x﹣1①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，联立①②解得，1xy=-⎧⎨=⎩或45xy=⎧⎨=-⎩，∴P（4，﹣5），∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）如图，①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，∴Q'坐标为（1，2），∵Q'D＝AD＝BD＝2，∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，∴∠AQ'B＝90°，∴点Q'为所求，②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），过点A1'作A1'E⊥DQ于E，∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°，由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，∴∠DAQ＝∠A1'QE，∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），∴AD ＝QE ＝2，DQ ＝A 1'E ＝﹣m ， ∴点A 1'的坐标为（﹣m +1，m ﹣2）， 代入y ＝﹣x 2+2x +3中， 解得，m ＝﹣3或m ＝2（舍）， ∴Q 的坐标为（1，﹣3），∴点Q 的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k ”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．2．如图，抛物线()250y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点C ，经过B C 、两点的直线为y x n =+．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，PBE △的面积最大并求出最大值．（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B C 、重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．【答案】（1）265y x x =-+- （2）2t =；（3或4【解析】 【分析】（1）先确定A 、B 、C 三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形，再求出点P 到BC 的高d为)454d BP sin t =⋅︒=-，则12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t =⨯⨯-=-，再根据二次函数的性质即可确定最大值；（3）先求出454AM AB sin =⋅︒==N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则，再说明四边形AMNQ是平行四边形，得到NQ AM ==；再过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角形，求得4NH ===；设()2,65N m m m -+-，则(),0G m ，(),5H m m -，最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况解答即可． 【详解】解：()1因为直线y x n =+经过B C 、两点，且点B 在x 轴上，点C 在y 轴上， ∵()(),,00,B n C n -∴抛物线25y ax bx =+-经过点1,0A ，点(),0B n -，点()0,C n ，∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩，解得51,6n a b =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为265y x x =-+-．()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形， ∴45,ABC ∠=由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE 的距离()4542d BP sin t =⋅︒=- 所以12PBESBE d =⨯⨯)()1244222t t t t =⨯⨯-=-；∵二次函数()()4f t t =-的函数图象开口向下，零点为0和4, ∴0422t +==时，∴()()()2242max f t f ==⨯-=即2t =时，PBE △的面积最大，且最大值为()3由题意得4542AM AB sin =⋅︒=⨯= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形，∴NQ AM ==过点N 作NH x ⊥轴，交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-，∴NQH 为等腰直角三角形，∴4,NH ===设()2,65N m m m -+-， 则(),0G m ，(),5H m m -，①点N 在x 轴上方时，此时()()2655,NH m m m =-+---∴()()26554m m m -+---=，即()()140,m m --=解得1m =（舍，因为此时点N 与点A 重合）或4m =；②点N 在x 轴下方且5m >时，此时()()2565,NH m m m =---+- ∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得552m -=<（舍）或52m =③点N 在x 轴下方且1m <时，此时()()2565,NH m m m =---+-∴()()25654m m m ---+-=，即2540,m m --=解得5412m -=或5412m +=（舍）综上所述，5414,2m m +==，5412m -=符合题意， 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形， 点N 的横坐标为541-或4或541+．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键3．如图1，抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题： （1）填空：1a = ，1b = ； （2）求出2C 与3C 的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，23126y x x =-；（3）①()2212123n n y x x n -=-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】 【分析】（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值； （2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小． 【详解】解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（12b ，12b ），D 1（12b ，12b-）， ∵B 1在抛物线c 上，则12b =(12b )2， 解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1，∴a 1=1， 故答案为1，2；（2）当20y =时，有()220a x x b -=， 解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，222,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 解得24b =或20b =（不合舍去），()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上，()22224a ∴-=-.解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-，即22122y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=， 解得3x b =，或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3B 在抛物线2C 上，2333122222b b b⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去），()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上，()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-，即23126y x x =-.（3）解：①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯，2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时，220182019201620171110233y y x ＞⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 20182019y y ∴＞.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．4．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）点M 的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，则点A 、B 的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解；（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN ＝32时，则NHON＝32，即4343mmm---＝32，进行分析即可求解；（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x＝32，故点P（32，﹣258）；③当∠PAB＝∠OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝32，故点H（32，0），则直线AH的表达式为：y＝43x﹣2④，联立①④并解得：x＝0或173（舍去0），故点P （173，509）； 当点P 在AB 下方时，同理可得：点P （3，﹣2）； 综上，点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．5．已知函数222222(0)114(0)22x ax a x y x ax a x ⎧-+-<⎪=⎨---+≥⎪⎩（a 为常数）． （1）若点()1,2在此函数图象上，求a 的值． （2）当1a =-时，①求此函数图象与x 轴的交点的横坐标．②若此函数图象与直线y m =有三个交点，求m 的取值范围．（3）已知矩形ABCD 的四个顶点分别为点()2,0A -，点()3,0B ，点()3,2C ，点()2,2D -，若此函数图象与矩形ABCD 无交点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-；（2）①1x =--1x =+；②724m ≤<或21m -<<-；（3）3a <--或1a ≤<-或a >【解析】 【分析】（1）本题根据点(1,2)横坐标大于零，故将点代入对应解析式即可求得a 的取值． （2）①本题将1a =-代入解析式，分别令两个函数解析式y 值为零即可求得函数与x 轴交点横坐标；②本题可求得分段函数具体解析式，继而求得顶点坐标，最后平移直线y m =观察其与图像交点，即可得到答案．（3）本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论，第一种为当2a <-，将2222y x ax a =-+-函数值与2比大小，将2211422y x ax a =---+与0比大小；第二种为当20a -≤<，2222y x ax a =-+-函数值与0比大小，且该函数与y 轴的交点和0比大小，2211422y x ax a =---+函数值与2比大小，且该函数与y 轴交点与2比大小；第三种为2222y x ax a =-+-与y 轴交点与2比大小，2211422y x ax a =---+与y 轴交点与0比大小．【详解】（1）将()1,2代入2211422y x ax a =---+中，得2112422a a =---+，解得1a =或3a =-．（2）当1a =-时，函数为2221,(0)17(0)22x x x y x x x ⎧+-<⎪=⎨-++≥⎪⎩，①令2210x x +-=，解得1x =--1x =- 令217022x x -++=，解得1x =+或1x =-综上，1x =--1x =+．②对于函数()2210y x x x =+-<，其图象开口向上，顶点为()1,2--； 对于函数217(0)22y x x x =-++≥，其图象开口向下，顶点为()1,4，与y 轴交于点70,2⎛⎫⎪⎝⎭． 综上，若此函数图象与直线y m =有三个交点，则需满足724m ≤<或21m -<<-． （3）2222y x ax a =-+-对称轴为x a =；2211422y x ax a =---+对称轴为x a =-． ①当2a <-时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足当2x =-时，2222y x ax a =-+-24+422a a =->+，解不等式得0a >或4a ，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足当3x =时，2221111493422220y x ax a a a =---+=⨯--+<-，解得3a >或3a <--，综上可得：3a <--．②当20a -≤<时，若使得2222y x ax a =-+-图像与矩形ABCD 无交点，需满足2x =-时，2222y x ax a =-+-24+420a a =+-<；当0x =时，22222=20y x ax a a =-+--≤；得2a ≤<，在此基础上若使2211422y x ax a =---+图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，2221114=42222y x ax a a ---+->=；3x =时，2221111493422222y x ax a a a =---+=⨯--+>-；求得21a -<<-； 综上：21a -≤<-．③当0a ≥时，若使函数图像与矩形ABCD 无交点，需满足0x =时，22222=22y x ax a a =-+--≥且2221114+40222y x ax a a =---+=-<；求解上述不等式并可得公共解集为：22a >．综上：若使得函数与矩形ABCD 无交点，则322a <--或21a -≤<-或22a >． 【点睛】本题考查二次函数综合，求解函数解析式常用待定系数法，函数含参数讨论时，往往需要分类讨论，分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律，继而将规律一般化求解题目．6．二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m my x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】 【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m my x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m mb a a m =-+， 即：2263m mb m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0，∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，3m）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，3m）代入，得： 23m b mk b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m mm m -+≤+，化简得：32418m m -≤．∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥，∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．7．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC 的面积为整数的P 点的个数；（3）当点P 在抛物线上运动时，四边形OPAQ 可能是正方形吗？若可能，请求出点P 的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q 随点P 运动的过程中，当点Q 恰好落在直线AC 上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q 为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x =-+；（2）9个 ；（3）33,22或44，；（4）33【解析】 【分析】（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，即可求解； （2）APC ∆的面积PHAPHCSSS，即可求解；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方，此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=，即可求解； （4）求出直线AP 的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与y 轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb ，解得1434b c， 故抛物线的抛物线为：2214433y x x =-+； （2）对于2214433y x x =-+，令0y =，则1x =或6，故点B 、A 的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P 作//PH y 轴交AC 于点H ，设直线AC 的表达式为：y kx b =+ 由点A （6，0）、C （0，4）的坐标得460b kb，解得423b k， ∴直线AC 的表达式为：243y x =-+①， 设点2214(,4)33P x x x ，则点2(,4)3H x x ，APC ∆的面积221122146(44)212(16)22333PHAPHCSSSPH OA x x x x x，当1x =时，10S =，当6x =时，0S =， 故使APC ∆的面积为整数的P 点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ 是正方形时，点P 只能在x 轴的下方， 此时OAP 为等腰直角三角形，设点(,)P x y ，则0x y +=， 即2214433yx x x ，解得：32x =或4， 故点P 的坐标为3(2，3)2或(4,4)-； （4）设点2214(,4)33P m m m ，为点(6,0)A ，设直线AP 的表达式为：y kx t =+，由点A ，P 的坐标可得260214433kt kmt m m ，解之得：2(1)326(1)3km tm∴直线AP 的表达式为：2(1)(6)3ym x ， //AP OQ ，则AP 和OQ 表达式中的k 值相同，故直线OQ 的表达式为：2(1)3ym x ②，联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．8．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x ≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）． （1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=kx的图象上，则k= ； （2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为 ，∠BOB′的大小是 度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，m=12+或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】 （1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2． 故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中． 得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90． （3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）． 将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：12m m ==（不合题意，舍去）．所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：123322m m ==（不合题意，舍去）．所以3212m+=．综上所述：m的取值范围是m＜0，m=113+或m=321+．（4）∵四边形ECP'D是菱形，∴点E与点P'关于x轴对称．∵点E的坐标为（2，n），∴点P'的坐标为（2，﹣n）．①当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）．代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣n=（﹣2﹣2）2+n，解得：n=﹣8．②当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣2=（﹣n﹣2）2+n．解得：n1=﹣2，n2=﹣3．综上所述：n的值是n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC的函数解析式；（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣23x2﹣43x+2；（2）223y x=+；（3）存在，(35,22-)【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A （﹣3，0），B （1，0），∴093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2； （2）∵当x=0时，y=2，∴C （0，2）设直线AC 的解析式为y kx b =+，把A 、C 两点代入得 0=32k b b -+⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 的函数解析式为223y x =+； （3）存在．如图: 连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N设点P 坐标为（m ，n ）,则n=224233m m --+），PN=-m ，AO=3 当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C 的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACO S S S S =+-212411322()3223322m m m ⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯ ⎪⎝⎭ =23m m --∵a=-1<0∴函数S △PAC =-m 2-3m 有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯-∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22-）． 【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．10．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】【分析】 （1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2， 即点C 坐标为（0，2）， 同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ，又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′== 此时aP92-+）． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．。

浙教版九上数学二次函数能力提升测试卷答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C ACDBADDCC二，填空题11.(-1,-4) 12.312y y y << 13. y =x 2－4x +3 14. x ＜-2或x ＞815.y = −(x +1)(x −5) 16. 43238332+-=x x y三，解答题17.解：（1）证明：令y =0, 则052=-+-k kx x ,∵△=)5(42--k k =2042+-k k =16)2(2+-k∵2)2(-k ≥0, ∴16)2(2+-k ＞0∴无论k 取何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个交点. (2).∵对称轴为x =122==--kk ， ∴k =2 ∴解析式为322--=x x y18解：（1）y =-x 2+3x +4 （2）D ’（0，1）19.解：（1）由B （0，4）得，c =4. Q 与x 轴的交点P （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c-=-，即P （2-，0）． 所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩ 所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点P （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --． 令36x --=244x x ++，解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与Q 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则S △PBC =S 梯形BCDO －S △PCD －S △PBO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．20.解：（1）由题意得，0)2(42122≥--+k k ）（ 解得，49-≥kK 的取值范围是49-≥k （2）k 为负整数，k=-2，-1.当k=-2时，232++=x x y 与x 轴的两个交点是（-1，0）（-2，0）是整数点，符合题意当k=-1时，12-+=x x y 与x 轴的交点不是整数点，不符合题意抛物线的解析式是232++=x x y（3）由题意得，A （0，2），B （-3，2）设OB 的解析式为mx y = m 32-=,解得32-=m OB 的解析式为x y 32-=232++=x x y 的顶点坐标是（23-，41-） OB 与抛物线对称轴的交点坐标（23-，1）直线AB 与抛物线对称轴的交点坐标是（23-，2）有图象可知，n 的取值范围是4945<<n21.解解： （1） A(1,0)、 （2）m=1(或解析式) 当0<t<2时，S=8-4t 当2<t<4时，S=4t-8P BDCOxy22.解：（1）当x =0时，y =2当y =0时，由2x+2=0得x =-1 ∴ A （-1，0） B （0，2） （答对一个坐标得2分）（2）由旋转可知：OC =OA =1，OD =OB =2 ∴ C （0，1）， D （2，0） [www.z@zs^te%p~.com#]设抛物线l的解析式是c bx ax y ++=2)0(≠a依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-02410c b a c c b a 中国教@*育%出版网]解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=12121c b a∴ 抛物线l 的解析式是121212++-=x x y23解：（1）a =1，P （23，49-） （2）等腰梯形 （3）y =（x +23）241-yCB DO AxGFE H。

22.1.1 二次函数（提升卷）-人教版九年级上册一．选择题1．下列关系中，是二次函数关系的是（）A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系D．正方形的周长C与边长a之间的关系2．函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）是二次函数的条件是（）A．a≠0，b≠0，c≠0B．a＜0，b≠0，c≠0C．a＞0，b≠0，c≠0D．a≠03．下列函数中，函数图象是抛物线的是（）A．B．y＝x C．y＝3x+2D．y＝x2 4．二次函数y＝x2﹣4x+3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，3B．0，4，3C．1，﹣4，3D．0，﹣4，3 5．下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（）A．y＝3x2﹣2x+5B．y＝x2﹣3x+2C．y＝﹣3x2﹣x D．y＝x2﹣3 6下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x（x+1）B．x2y＝1C．y＝2x2﹣2（x2+1）D．y＝7若y＝（a2+a）是二次函数，那么（）A．a＝﹣1或a＝3B．a≠﹣1且a≠0C．a＝﹣1D．a＝38下列说法中，不正确的是（）A．二次函数中，自变量的取值范围是全体实数B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数C．y＝（x+1）（2x﹣1）是二次函数D．在函数y＝2﹣x2中，一次项系数为29二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．310若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣1二．填空题11．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是．12．下列函数①y＝5x﹣5；②y＝3x2﹣1；③y＝4x3﹣3x2；④y＝2x2﹣2x+1；⑤．其中是二次函数的是．13．二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是．14．抛物线开口向上，则m＝．15．已知关于x的函数y＝（a﹣1）x2﹣3x+6是二次函数，则a满足的条件是．三．解答题16．下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项．（1）y＝3（x﹣1）2+1；（2）y＝4x+；（3）s＝3﹣2t2；（4）y＝（2x+1）2﹣4x2；（5）v＝8πr2．17．下列函数中，哪些是y关于x的二次函数？①y＝x2；②y＝﹣；③y＝2x2﹣x﹣1；④y＝x（1﹣x）+x2．18．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．（1）y＝3﹣2x2；（2）y＝x（x﹣1）+1；（3）y＝2x（1﹣x）+2x2．19．正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y，求y与x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x﹣2（m为常数）．（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．。