领航教育2016届高三下学期第五次联考(新课标卷)数学(理)试题(PDF版,无答案)

2016届天津市“五校”联考数学(理科)试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡涂黑。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人答题卡收回. 祝各位考试考试顺利！一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U R =，集合2{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合()U C B A =A ．B ．(,2)(2,3)-∞C ．[)2,3D ．[)(,1)4,-∞-+∞2.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A ．12 B.23 C.34D. 453.下列叙述正确的个数是①若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题； ②若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤； 则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>；③在ABC ∆中“060A ∠= ”是“1cos 2A =”的充要条件； ④若向量,a b满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角。

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4第2题图4．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A． B．C ．2D ．45．已知ABC ∆3AC ABC π=∠=，则ABC ∆的周长等于A．3+B．C．2 D6．已知点),(y x P 的坐标满足条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩记2y x +的最大值为a ，22)3(++y x 的最小值为b ，则b a +＝A ．4B ．5C ．347+D ．348+7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20140S >，20150S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．10098.已知函数()()()20ln 0x e x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则下列关于函数()11y f f kx =++⎡⎤⎣⎦（0k ≠）的零点个数的判断正确的是A ．当0k >时，有3个零点；当0k <时，有4个零点B ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分,） 9.复数ii-1的共轭复数为____________ 10.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几何体的体积为____________11．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围正视图1 122 22侧视图是____________12. 已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 ____________13．在矩形ABCD 中，已知2AB AD =，点E 是BC 的 中点，点F 在CD 上，若AB AF ⋅AE BF ⋅ 的值是 .14．若实数c b a ,,满足111111,122222a b a b b c a c ++++=++=，则 c 的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0},T={x|x＞0},则S∩T=（）A．[2,3]B．（﹣∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）2．（5分）若z=1+2i,则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（,）,=（,）,则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．6．（5分）已知a=,b=,c=,则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣9．（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二,填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数,当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=．三,解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.（2）若S5=,求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（℃）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明.（℃）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646．参考公式：相关系数r=.回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=,=﹣．19．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点．（℃）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ.（℃）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）,其中a＞0,记|f（x）|的最大值为A．（℃）求f′（x）.（℃）求A.（℃）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.（2）设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时,求不等式f（x）≤6的解集.（2）设函数g（x）=|2x﹣1|,当x∈R时,f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围．参考答案一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0},T={x|x＞0},则S∩T=（）A．[2,3]B．（﹣∞,2]∪[3,+∞）C．[3,+∞）D．（0,2]∪[3,+∞）【考点】1E：交集及其运算．【专题】37：集合思想,4O：定义法,5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集确定出S,找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3,即S=（﹣∞,2]∪[3,+∞）.∵T=（0,+∞）.∴S∩T=（0,2]∪[3,+∞）.故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i,则=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题,29：规律型,35：转化思想,5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可．【解答】解：z=1+2i,则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．3．（5分）已知向量=（,）,=（,）,则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题,41：向量法,49：综合法,5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：,.∴.又0°≤∠ABC≤180°.∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算,根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量夹角的余弦公式,向量夹角的范围,已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】31：数形结合,4A：数学模型法,5M：推理和证明．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上,正确B．七月的平均温差大约在10°左右,一月的平均温差在5°左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为10°,正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,故D错误.故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用,根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图,利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=,则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题,35：转化思想,4R：转化法,56：三角函数的求值．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α）,再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=.∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题．6．（5分）已知a=,b=,c=,则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【考点】4Y：幂函数的单调性,奇偶性及其应用．【专题】35：转化思想,4R：转化法,51：函数的性质及应用．【分析】b==,c==,结合幂函数的单调性,可比较a,b,c,进而得到答案．【解答】解：∵a==.b=.c==.综上可得：b＜a＜c.故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数图象和性质的综合应用,难度中档．7．（5分）执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题,27：图表型,4B：试验法,5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a,b,s,n的值,当s=20时满足条件s ＞16,退出循环,输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序,可得a=4,b=6,n=0,s=0执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1不满足条件s＞16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2不满足条件s＞16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3不满足条件s＞16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4满足条件s＞16,退出循环,输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的a,b,s的值是解题的关键,属于基础题．8．（5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想,44：数形结合法,58：解三角形．【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ===,sinθ=,利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A,B,C,对应的边分别为a,b,c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ.∵在△ABC中,B=,BC边上的高AD=h=BC= a.∴BD=AD=a,CD= a.在Rt△ADC中,cosθ===,故sinθ=.∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中,作出图形,令∠DAC=θ,利用两角和的余弦求cosA是关键,也是亮点,属于中档题．9．（5分）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】L!：由三视图求面积,体积．【专题】11：计算题,5F：空间位置关系与距离,5Q：立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱,进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱.其底面面积为：3×6=18.侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18.故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】LF：棱柱,棱锥,棱台的体积．【专题】11：计算题,5F：空间位置关系与距离,5Q：立体几何．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为,代入球的体积公式,可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC,AB=6,BC=8.∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2.又由AA1=3.故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为.此时V的最大值=.故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征,根据已知求出球的半径,是解答的关键．11．（5分）已知O为坐标原点,F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点．P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想,48：分析法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程．【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k（x+a）,分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件：斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c,0）,A（﹣a,0）,B（a,0）.设直线AE的方程为y=k（x+a）.令x=﹣c,可得M（﹣c,k（a﹣c））,令x=0,可得E（0,ka）.设OE的中点为H,可得H（0,）.由B,H,M三点共线,可得k BH=k BM.即为=.化简可得=,即为a=3c.可得e==．另解：由△AMF∽△AEO.可得=.由△BOH∽△BFM.可得==.即有=即a=3c.可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和性质,以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等,考查化简整理的运算能力,属于中档题．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k 中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【考点】8B：数列的应用．【专题】16：压轴题,23：新定义,38：对应思想,4B：试验法．【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,当m=4时,数列中有四个0和四个1,然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有：0,0,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,1,0,1,1,1, 0,0,0,1,1,0,1,1, 0,0,0,1,1,1,0,1, 0,0,1,0,0,1,1,1.0,0,1,0,1,0,1,1, 0,0,1,0,1,1,0,1, 0,0,1,1,0,1,0,1, 0,0,1,1,0,0,1,1, 0,1,0,0,0,1,1,1.0,1,0,0,1,0,1,1, 0,1,0,0,1,1,0,1, 0,1,0,1,0,0,1,1, 0,1,0,1,0,1,0,1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题,考查数列的应用,关键是对题意的理解,枚举时做到不重不漏,是压轴题．二,填空题：本大题共4小题,每小题5分.13．（5分）若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大.由得D（1,）.所以z=x+y的最大值为1+.故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划,一般步骤是：①画出平面区域,②分析目标函数,确定求最值的条件．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想,4R：转化法,57：三角函数的图像与性质．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）,则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）,依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）,由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）,可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）,y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）.∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0）.令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣）.则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）.即φ=﹣2kπ（k∈Z）.当k=0时,正数φmin=.故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图象,得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键,也是难点,属于中档题．15．（5分）已知f（x）为偶函数,当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34：方程思想,51：函数的性质及应用,52：导数的概念及应用．【分析】由偶函数的定义,可得f（﹣x）=f（x）,即有x＞0时,f（x）=lnx﹣3x,求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数,可得f（﹣x）=f（x）.当x＜0时,f（x）=ln（﹣x）+3x,即有x＞0时,f（x）=lnx﹣3x,f′（x）=﹣3.可得f（1）=ln1﹣3=﹣3,f′（1）=1﹣3=﹣2.则曲线y=f（x）在点（1,﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）.即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程,同时考查函数的奇偶性的定义和运用,考查运算能力,属于中档题．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=4．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题,35：转化思想,49：综合法,5B：直线与圆．【分析】先求出m,可得直线l的倾斜角为30°,再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意,|AB|=2,∴圆心到直线的距离d=3.∴=3.∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°.∵过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查弦长的计算,考查学生的计算能力,比较基础．三,解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n,其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列,并求其通项公式.（2）若S5=,求λ．【考点】87：等比数列的性质,8H：数列递推式．【专题】34：方程思想,4R：转化法,54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推,结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n,λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1.即（λ﹣1）a n=λa n﹣1.∵λ≠0,a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1.即=,（n≥2）.∴{a n}是等比数列,公比q=.当n=1时,S1=1+λa1=a1.即a1=.∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=.则若S5=1+λ[•（）4]=.即（）5=﹣1=﹣.则=﹣,得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用,根据n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（℃）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明.（℃）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32,t i y i=40.17,=0.55,≈2.646．参考公式：相关系数r=.回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=,=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题,35：转化思想,5I：概率与统计．【分析】（1）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,将已知数据代入相关系数方程,可得答案.（2）根据已知中的数据,求出回归系数,可得回归方程,2016年对应的t值为9,代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,理由如下：∵r==≈≈≈0.993.∵0.993＞0.75.故y与t之间存在较强的正相关关系.（2）==≈≈0.103.=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92.∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92.2016年对应的t值为9.故=0.10×9+0.92=1.82.预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程,回归分析,计算量比较大,计算时要细心．19．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB.（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行,MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题,35：转化思想,44：数形结合法,5F：空间位置关系与距离,5G：空间角．【分析】（1）法一,取PB中点G,连接AG,NG,由三角形的中位线定理可得NG∥BC,且NG=,再由已知得AM∥BC,且AM=BC,得到NG∥AM,且NG=AM,说明四边形AMNG为平行四边形,可得NM∥AG,由线面平行的判定得到MN∥平面PAB.法二,证明MN∥平面PAB,转化为证明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通过求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,则结论得证.（2）连接CM,证得CM⊥AD,进一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一,如图,取PB中点G,连接AG,NG.∵N为PC的中点.∴NG∥BC,且NG=.又AM=,BC=4,且AD∥BC.∴AM∥BC,且AM=BC.则NG∥AM,且NG=AM.∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG.∵AG⊂平面PAB,NM⊄平面PAB.∴MN∥平面PAB.法二.在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME.在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=.∵AD∥BC.∴cos,则sin∠EAM=.在△EAM中.∵AM=,AE=.由余弦定理得：EM==.∴cos∠AEM=.而在△ABC中,cos∠BAC=.∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC.∴AB∥EM,则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC.∴NE∥PA,则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E.∴平面NEM∥平面PAB,则MN∥平面PAB.（2）解：在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=,得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2,则AM⊥MC.∵PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAD.∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD.∴CM⊥平面PAD,则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得AN==.在Rt△PAM中,由PA•AM=PM•AF,得AF=.∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的求法,考查数学转化思想方法,考查了空间想象能力和计算能力,是中档题．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点．（℃）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ.（℃）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程,K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题,35：转化思想,49：综合法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程．【分析】（℃）连接RF,PF,利用等角的余角相等,证明∠PRA=∠PQF,即可证明AR∥FQ.（℃）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求出N的坐标,利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（℃）证明：连接RF,PF.由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°.∴∠PFQ=90°.∵R是PQ的中点.∴RF=RP=RQ.∴△PAR≌△FAR.∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA.∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR.∴∠FQB=∠PAR.∴∠PRA=∠PQF.∴AR∥FQ．（℃）设A（x1,y1）,B（x2,y2）.F（,0）,准线为x=﹣.S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|.设直线AB与x轴交点为N.=|FN||y1﹣y2|.∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍.∴2|FN|=1,∴x N=1,即N（1,0）．设AB中点为M（x,y）,由得=2（x1﹣x2）.又=.∴=,即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）,其中a＞0,记|f（x）|的最大值为A．（℃）求f′（x）.（℃）求A.（℃）证明：|f′（x）|≤2A．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论,35：转化思想,4J：换元法,51：函数的性质及应用,53：导数的综合应用,56：三角函数的求值．【分析】（℃）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）.（℃）讨论a的取值,利用分类讨论的思想方法,结合换元法,以及一元二次函数的最值的性质进行求解.（℃）由（I）,结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时,|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0）,因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时,f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1.令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1.则A是|g（t）|在[﹣1,1]上的最大值,g（﹣1）=a,g（1）=3a﹣2.且当t=时,g（t）取得极小值,极小值为g（）=﹣﹣1=﹣,（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1,得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时,g（t）在（﹣1,1）内无极值点,|g（﹣1）|=a,|g（1）|=2﹣3a,|g（﹣1）|＜|g（1）|.∴A=2﹣3a.②当＜a＜1时,由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0,得g（﹣1）＞g（1）＞g（）.又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0.∴A=|g（）|=.综上,A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|.当0＜a≤时,|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A.当＜a＜1时,A==++＞1.∴|f′（x）|≤1+a≤2A.当a≥1时,|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A.综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用,求函数的导数,以及换元法,转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强,难度较大．请考生在第22-24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小.（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明：OG⊥CD．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】35：转化思想,49：综合法,5M：推理和证明．【分析】（1）连接PA,PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,运用圆的性质和四点共圆的判断,可得E,C,D,F共圆,再由圆内接四边形的性质,即可得到所求∠PCD的度数.（2）运用圆的定义和E,C,D,F共圆,可得G为圆心,G在CD的中垂线上,即可得证．【解答】（1）解：连接PB,BC.设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3.∠PBA=∠4,∠PAB=∠5.由⊙O中的中点为P,可得∠4=∠5.在△EBC中,∠1=∠2+∠3.又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5.即有∠2=∠4,则∠D=∠1.则四点E,C,D,F共圆.可得∠EFD+∠PCD=180°.由∠PFB=∠EFD=2∠PCD.即有3∠PCD=180°.可得∠PCD=60°.（2）证明：由C,D,E,F共圆.由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心,即有GC=GD.则G在CD的中垂线,又CD为圆G的弦.则OG⊥CD．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断,以及圆的垂径定理的运用,考查推理能力,属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（α为参数）,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.（2）设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程,QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想,48：分析法,5D：圆锥曲线的定义,性质与方程,5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程.（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα,sinα）,由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）.移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1.即有椭圆C1：+y2=1.曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2.即有ρ（sinθ+cosθ）=2.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y﹣4=0.即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0.（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时.|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0.联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0.由直线与椭圆相切,可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0.解得t=±2.显然t=﹣2时,|PQ|取得最小值.即有|PQ|==.此时4x2﹣12x+9=0,解得x=.即为P（,）．另解：设P（cosα,sinα）.由P到直线的距离为d==.当sin（α+）=1时,|PQ|的最小值为.此时可取α=,即有P（,）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化,极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算能力,属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时,求不等式f（x）≤6的解集.（2）设函数g（x）=|2x﹣1|,当x∈R时,f（x）+g（x）≥3,求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题,35：转化思想,49：综合法,59：不等式的解法及应用．【分析】（1）当a=2时,由已知得|2x﹣2|+2≤6,由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,得|x﹣|+|x﹣|≥,由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时,f（x）=|2x﹣2|+2.∵f（x）≤6,∴|2x﹣2|+2≤6.|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2.∴﹣2≤x﹣1≤2.解得﹣1≤x≤3.∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|.∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3.2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3.|x﹣|+|x﹣|≥.当a≥3时,成立.当a＜3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0.∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2.解得2≤a＜3.∴a的取值范围是[2,+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意不等式性质的合理运用．。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC=(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点， A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.（15）已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________.（16）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则__________________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列的前n项和，，其中λ0（I）证明是等比数列，并求其通项公式（II）若，求λ（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，P A=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（I）证明MN∥平面P AB;（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）,l l分别交C于A，B两点，已知抛物线C：22的焦点为F，平行于x轴的两条直线y x12交C的准线于P，Q两点.（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分）设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记的最大值为A.（Ⅰ）求f＇（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明≤2A.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.（I）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+（I ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围.绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）32 （14）32π （15）21y x =-- （16）4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列， 于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ，即=-5)1(λλ321，解得1λ=-．（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4=t ，28)(712=-∑=i i t t ，55.0)(712=-∑=i iy y ，89.232.9417.40))((717171=⨯-=-=--∑∑∑===i i i ii i i iyt y t y y t t，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r .因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2)())((ˆ71271≈=---=∑∑==i ii i it ty y t tb ， 92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y10.092.0ˆ+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0ˆ=⨯+=y. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -， 由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ，)4,2,0(-=PM ，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN . 设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取)1,2,0(=n ，于是2558|||||||,cos |=⋅=><AN n AN n AN n.（20）解：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =因此，32A a =-． ………4分当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． （ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a-++==． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180 ，所以1803=∠PCD ， 因此 60=∠PCD .（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos ,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-. ………………8分 当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++- |212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+， 当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分。

2016高考全国课标卷理科数学模拟试题五一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(14浙江理）设全集U={x ∈N|x≥2，集合A={x ∈N|x 2≥5}，则∁U A=( )A. ∅B.{2}C.{5}D.{2,5}解析:全集U={x ∈N|x≥2}，集合A={x ∈N|x 2≥5}={x∈N|x≥3}，则∁U A={x ∈N|x ＜3}={2}，故选：B 2. (13课标1理2)若复数z 满足(3–4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．–4B ．–45C ．4D ．45答案：D3. 12福建文理）函数f(x)=sin(x –π4)的图像的一条对称轴是（ ）A ．x=π4B ．x=π2C ．x= – π4D ．x=–π2解析：把x=– π4代入后得到f(x)=-1,因而对称轴为x=–π4,答案C 正确.4.（14课标2理9）.设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则z=2x –y 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 答案: B5.（11湖南理6）由直线x= –π3，x=π3，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．12B ．1C ．3D ． 3 解析:由定积分知识可得S=⎰33-ππcosxdx=3，故选D 。

6.（14浙江理03）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A. 90cm 2B. 129 cm 2C. 132 cm 2D. 138 cm 2解析:由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，其中直三棱柱的侧棱长为3， 底面是直角边长分别为3、4的直角三角形，四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4，≨几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2×21×3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm 2）．7.（10辽宁理）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A. 12B.125C. 14D. 61 解析：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，则P(A)=P(A 1)+ P(A 2)= 23×14+13×34=1258.（12大纲理）已知α为第二象限角,sin α+cos α=33,则cos2α=（）解析：sin α+cos α=33,两边平方可得1+2sin αcos α=13，2sin αcos α=–23α是第二象限角,因此sin α>0，cos α<0, 所以(cos α-sin α)2=1–2sin αcos α=–15/3 cos2α=( sin α+cos α)( cos α-sin α)= –539.（12大纲理）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，,则数列{1n n a a 1+}的前100项和为（ ）A ．101100 B ．10199 C ．10099 D ．100101解析:依题a 1+4d=5，5a 1+10d=15，联立解得a 1=d=1，故a n =n ，由裂项相消法的T 100=100/10110.（11湖南理8）设直线x=t 与函数f(x)=x 2，g(x)=lnx 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ． 32解析:由题|MN|=h(x)=x 2-lnx ，(x>0)，则h ′(x)=2x-1/x ，令h ′(x)=0解得x=22， |MN|达到最小。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数131ii-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 2.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，AB A =，则m =（ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3 3.已知函数()sin()cos()()66f x x x x R ππ=--∈，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5[0,]12π上是增函数 4.若3*1()()ny x n N xy+∈的展开式中存在常数项，则常数项为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．1205.已知函数2,0()21,0x x ax x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在x R ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,2]-C ．(,2]-∞D ．(0,2] 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为（ ） A ．2 B ．13 C ．12- D ．-37.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．4008.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45616a a a ++=，则9S =（ ） A ．48 B ．128 C ．144 D ．1469.点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，过右焦点(1,0)F 且倾斜角为6π的直线与直线2x a=交于点P ，若APF ∆为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．310.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）A ．28B ．2462+C ．20213+D ．1662213++11.设实数,x y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1912.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点(1,2)A ，点(12,22)B +-，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π后得点P ，则点P 的坐标为 .14.抛物线2y x =与直线0x =、1x =及该抛物线在(01)x t t =<<处的切线所围成的图形面积的最小值为 .15.已知菱形ABCD 的边长为3，且60BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使,A C 两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为 .16.如图，在正方形ABCD 中作如下操作，先过点D 作直线1DE 交BC 于1E ，记11CDE α∠=， 第一步，作1ADE ∠的平分线交AB 于2E ，记22ADE α∠=， 第二步，作2CDE ∠的平分线交BC 于3E ，记33CDE α∠=， 第三步，作3ADE ∠的平分线交AB 于4E ，记44ADE α∠=， 以此类推，得数列123,,,,,n αααα，若112πα=，那么数列{}n α的通项公式为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知233b c =，3A C π+=.（1）求cos C 的值； （2）求sin B 的值；（3）若33b =，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面EFBD ⊥平面ABCD . （1）证明：//DE 平面ACF ；（2）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线12l l ⊥于P ，连接PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ，设点H 的轨迹为曲线r . （1）求曲线r 的方程；（2）过点P 作曲线r 的两条切线，切点分别为,C D . （ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线L 交曲线r 于点,A B ，直线CD 交L 于点Q ，试探究||||||||PQ PQ PA PB +是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数2()21xf x e ax ax =+--. （1）当12a =时，讨论()f x 的单调性； （2）设函数'()()g x f x =，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于,C D 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点. （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,m n 都是实数，0m ≠，()|1||2|f x x x =-+-. （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围.衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题：CBCBC DBDAB BB 12.解：由xxex f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x2))((='设c x x f e x+=2)(，由1)0(=f 得1=c ，所以x e x x f 1)(2+=，则xex x f 2)1()(--=' 所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈ 二、填空题： 13. (1,0) 14.121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα三、解答题：17.【解析】（1）因为A B C π++=，3A C π+=， 所以2B C =. 由正弦定理得：sin sin b cB C=， 所以sin sin b Bc C=，即232sin cos 3sin C C C =. 又sin 0C ≠. 故化简得3cos 3C =. （2）因为(0,)C π∈，所以216sin 1cos 133C C =-=-=， 所以6322sin sin 22sin cos 2333B C C C ===⨯⨯=. （3）因为2B C =，所以211cos cos 22cos 12133B C C ==-=⨯-=-， 因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+223166()33339=⨯+-⨯=. 因为233b c =，33b =. 所以92c =. 所以ABC ∆的面积119692sin 3322294S bc A ==⨯⨯⨯=. 18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯=(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯=(3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为X 01 2 3P2125191255612548125中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF 由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………3分 又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AMAO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯+⨯= 所以2=OP .由1222PF OB ==，得22102BF OF OP PF ==+=因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以2105OB OP OM BF ⋅==，故223105AM OA OM =+= …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD，交线为BD，故OP⊥平面ABCD，如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz-.因为1()2EFBDS EF BD OP=⨯+⨯梯形1(222)32OP=⨯+⨯=所以2=OP, )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，FCBA-因此2(2,20),(0,2)2AB BF=-=-，，设平面ABF的法向量为(,,)n x y z=由n ABn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2202202x yy z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z=，则(2,2,1)n=因为AO BD⊥，所以AO⊥平面EFBD，故平面BFD的法向量为(2,0,0)OA=于是22222cos,32212OA nOA nOA n⋅<>===⋅++⋅由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D--的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线∴点H的轨迹方程为x2=4y．………2分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P （x 1，﹣1），切点C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．由214y x =，得'12y x =．∴直线PC ：111()2C y x x x +=-， 又PC 过点C ，214C C y x =，∴2111111()242c c c c y x x x x x x +=-=-，∴11122c c c y y x x +=-，即11102c c x x y -+=．同理11102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为11102xx y -+=∴直线CD 过定点（0，1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1，﹣1）在直线CD 的方程为11102xx y -+=，得x1=1，直线CD 的方程为1102x y -+=．设l ：y+1=k （x ﹣1）， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ． 联立y+1=k （x ﹣1）与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4A B x x k +=．44A B x x k =+ ∵1,1,1Q A B x x x ---同号，∴||||11||()||||||||PQ PQ PQ PA PB PA PB +=+ 221111|1|()|1||1|1Q A B k x x x k =+-•+--+11|1|()|1||1|Q A B x x x =-+--242(1)21(1)(1)A B A B x x kk x x +-+=-•--- 5422215k k -=•=- ∴||||||||PQ PQ PA PB +为定值，定值为2. ……… 12分 21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时， ()=1xf x e x '+-易知()f x '在R 上单调递增，且(0)0f '=， 因此，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 …………………4分 （Ⅱ）由条件可得()22xg x e ax a =+-，()2xg x e a '=+ （i ）当0a =时，()0x g x e =>，()g x 无零点 （ii ）当0a >时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增(0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<，即12a >时，(0)120g a =-<，()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=，即12a =时，(0)0g =，()g x 有一个零点0 ③若120a ->，即102a <<时，21221()102a aa g ea --=-<，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分 （iii ）当0a <时，令()0g x '>，得ln(2)x a >-；令()0g x '<，得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减，在()ln(2),a -+∞单调递增，[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<，即202e a -<<时，()0g x >，()g x 无零点②若ln(2)20a --=，即22e a =-时，(2)0g =，()g x 有一个零点2③若ln(2)20a -->，即22e a <-时，(1)0g e =>，(ln(2))0g a -<，()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点； ………………10分 设2()(1)xh x e x x =-≥，则()2xh x e x '=-，设()2xu x e x =-，则()2xu x e '=-，当1x ≥时，()220xu x e e '=-≥->，所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增，()(1)20h x h e ''≥=->，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，()(1)10h x h e ≥=->，即1x >时，2x e x >，故2()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥，则11()10x k x x x-'=-=≤，所以()k x 在[1,)+∞单调递减， ()(1)10k x k ≤=-<，即1x >时，ln x x <因为22e a <-时，221a e ->>，所以ln(2)2a a -<-，又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->，()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点，故()g x 有两个零点综上，当22e a <-时，()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点，共有两个零点；当22e a =-时，()g x 有一个零点2；当202e a -<≤时，()g x 无零点；当102a <<时，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点；当12a =时，()g x 有一个零点0；当12a >时，()g x 在(0,1)上有一个零点. ………………12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 证明:(Ⅰ)AB 为圆O 的一条直径； ,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆…………………4分解：(Ⅱ) AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅，解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFB ADH ∆∆，则DH ADBF AF=，得2DH =， 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=， 即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x y +取到最大值为6. ……10分 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f 由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ，解得21<x 或25>x .故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （Ⅱ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得)(x f mnm n m ≥-++又∵2=-++≥-++mnm n m mnm n m ∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[， ∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。

注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共5页。

3．答第I 卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4．答第II5．第（22）、（23）、（24）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则ST = (A) [2,3] (B)（−∞,2] [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0,2] [3,+∞）【答案】D【考点】不等式的解法，集合的交集运算．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． （2）若z =1+2i ，则4i1zz =- (A)1 (B) −1 (C) i (D)−i 【答案】C 【解析】 试题分析：4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）已知向量13(22BA = ,31(),22BC = 则∠ABC =(A)30 (B) 45 (C) 60 (D)120 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得133132222cos 112||||BA BC ABC BA BC ⨯+⨯⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为|||cos |θ⋅＝a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤；（2）由向量的数量积的性质知||=·a a a ，·cos ||||θ=a ba b ，·0⇔⊥＝a b a b ，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5 C.下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在0C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于20C 的月份有5个 【答案】D【考点】平均数、统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ． （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B)4825 (C)1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）已知432a =，254b =，1325c =，则(A)b a c << (B)a b c << (C)b c a << (D)c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【考点】幂函数的性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决． （7）执行下面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =(A)3(B)4(C)5(D)6【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二次循环，得2,6,4,10a b a s =-===，2n =；第三次循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四次循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=，退出循环，输出4n =，故选B ．【考点】程序框图．【注意提示】解决此类题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A31010 1010 (C)1010 (D)31010【答案】C【解析】试题分析：设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD =．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD+-+-===-⋅⨯⨯，故选C ．学科.网 【考点】余弦定理．【注意提示】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． （9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A)18365+ (B)54185+ (C)90 (D)81 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积为236233233554185S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【考点】空间几何体的三视图及表面积．（10）在封闭的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V的最大值是 (A)4π (B)9π2(C)6π (D)32π3【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须使球的半径R 最大．因为△ABC 内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，为32，此时球的体积为334439()3322R π=π=π，故选B ． 【考点】三棱柱的内切球，球的体积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 (A)13(B)12(C)23(D)34【答案】A【考点】椭圆的简单几何性质，三角形相似．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 (A)18个 (B)16个(C)14个(D)12个【答案】C 【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：0 1 1 1 110 1 1 1 0 1 1 0 10 1 1 1 0 1 1 0 10 0 1 1 0 10 1 1 1 0 1 1 0 10 1 1【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

二中2015-2016学年度下学期第五次模拟考试高三（16届）数学理科试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,1M =-，{}2|6N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ）A. N M ⊆B. N M =∅C.M N ⊆D. M N R =2.若纯虚数z 满足(1)1i z ai -=+,则实数a =（ ）A ．0B ．-1或1C ．-1D ．1 3．函数y =sin x sin()2x π+的最小正周期是 ( )A ．π2B ．2πC ．πD ．4π4.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116 D.2916 5.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4D ．p 2，p 3 6.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.667.若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是 ( )Oxy21Ox y 21O x y 23O xy 23A ．B ．C ．D ．8. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =( )A. 45B. 47C. 49D. 519. 二项式（x ﹣1）n 的奇数项二项式系数和64，若（x ﹣1）n =a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+…+a n （x+1）n ，则a 1等于（ ）A ．﹣14B ．448C ．﹣1024D ．﹣1610. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ） A ．5 B ．4 C ． 2 D ． 1把a 的右数第i 位数字赋给t是 否开始 输入a6?i >1i i =+输出b结束 0b =1i =12i b b t -=+⋅正视图俯视图侧视图211211111.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.22 B.2 C.322D.22 12.设函数()f x 满足()()22x e x f x xf x x '+=，()228e f =，则0x >时()f x （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷 （90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.已知向量c b a c b k a ⊥-===)32,)1,2(,)4,1(,)3,(且（ ，则实数k= ______.14. 设圆O ：x 2+y 2=1，直线l ：x+2y-4=0，点A ∈l ，若圆O 上存在点B ，且∠OAB=30°（O 为坐标原点），则点A 的纵坐标的取值范围是 ______．15过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度____________.16.在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，4a c +=，()2cos tan sin 2BA A -=，则△ABC 的面积的最大值为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12323(*)n a a a na n n N +++⋅⋅⋅+=∈。

2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（理科）（衡水金卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={1，a2﹣a}，若B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若（1﹣i）2=|1+i|2z（i为虚数单位），则复数z的实部与虚部的和为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．下列函数中，在定义域内与函数y=x3的单调性，奇偶性都相同的是（）A．y=sinx B．y=x3﹣x C．y=2x D．y=lg（x+）4．与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线，且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是（）A．B．C．D．5．阅读如图所示的程序框图，若输入的x值为﹣，则输出的y值是（）A．B．C．﹣2 D．26．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）A．96种B．124种C．130种D．150种7．在各项均为正值的等比数列{a n}中，已知a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根，则a7a9a11的值为（）A．e6B． C．e7D．e58．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+π+8 B．2+3π+8 C． +π+8 D． +2π+89．设点M（x，y）满足不等式组，点P（，）（a＞0，b＞0），当•最大时，点M为（）A．（0，2）B．（0，0）C．（4，6）D．（2，0）10．已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2c2﹣c+b2=0，则•的最大值是（）A．B．C．D．11．函数f（x）=的大致图象为（）A．B．C．D．12．知函数f（x）=e x﹣ax的图象在区间（﹣1，+∞）内与x轴没有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，e）B．（﹣，e）C．（﹣，）D．（0，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若（2x﹣）6的展开式中常数项为160，则a的值为．14．观察下列式子：1+＜1+，1++＜1+，1+++＜1+，…，根据上述规律，第n个不等式应该为．15．将一个周长为18的矩形，以一边为侧棱，折成一个正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），当这个正三棱柱的体积最大时，它的外接球的半径为．16．数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n =1，则++…+的最小值为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知向量=（sinx ，），=（cosx ，﹣1）． （1）当∥时，求cos2x 的值；（2）设函数f （x ）=2（+）•，求当0≤x ≤时，函数f （x ）的最大值及对应的x 值．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点． （1）求证：平面PAD ⊥平面PGB（2）若点E 在BC 边上，且=，求平面PDC 和平面PGE 所成的锐二面角的余弦值．19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s 2；（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2（每组数取中间值）．①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？（提示：≈10.2，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）20．已知点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是2，线段MF1的中垂线交线段MF2于点P（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（2）直线l与曲线G相切于点N，过F2作NF2的垂线与直线l相交于点Q，求证：点Q落在一条定直线m上，并求直线m的方程．21．已知函数f（x）=lnx+2．（1）若f（x）的切线过点P（0，2），求此切线的方程；（2）若方程f（x）=kx+k（k＞0）在区间[1，e]（其中e为自然数的底数）内有实根，求k 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．（1）求证：∠CDA=∠EDB（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C：（θ为参数）．（1）分别将直线l和曲线C的参数方程转化为普通方程；（2）求与直线l平行且与曲线C相切的直线l1的方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（理科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={1，a2﹣a}，若B⊆A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣a=﹣1或a2﹣a=2，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣a=﹣1或a2﹣a=2．①由a2﹣a=﹣1得a2﹣a+1=0，无解．②由a2﹣a=2得a2﹣a﹣2=0，解得a=﹣1或2，故选：A．2．若（1﹣i）2=|1+i|2z（i为虚数单位），则复数z的实部与虚部的和为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）2=|1+i|2z，得，然后利用复数代数形式的乘除运算和复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）2=|1+i|2z，得=，则复数z的实部与虚部的和为：﹣1．故选：C．3．下列函数中，在定义域内与函数y=x3的单调性，奇偶性都相同的是（）A．y=sinx B．y=x3﹣x C．y=2x D．y=lg（x+）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数y=x3的单调递增，为奇函数，分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，在定义域上不是增函数，不满足条件．y=x3﹣x是奇函数，函数的导数f′（x）=3x2﹣1，则f′（x）≥﹣1，则函数在定义域上不是单调递增函数，不满足条件．y=2x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件，故选：D4．与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线，且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设所求双曲线的方程为﹣=1（a ，b ＞0），由题意可得=，运用点到直线的距离公式，可得c ，由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为y=±x ，设所求双曲线的方程为﹣=1（a ，b ＞0），由题意可得=，右焦点F （c ，0）到渐近线y=±x 的距离为2，可得=2，解得c=2，即a 2+b 2=12，解得a=2，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：C ．5．阅读如图所示的程序框图，若输入的x 值为﹣，则输出的y 值是（ ）A．B．C．﹣2 D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，根据输入x=﹣，执行y=﹣x2+1，即可计算得解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，由于：x=﹣∈（﹣1，0]，所以：y=﹣（﹣）2+1=．故选：B．6．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）A．96种B．124种C．130种D．150种【考点】计数原理的应用．【分析】由题意知五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有C53A33，当按照1、2、2来分时注意其中包含一个平均分组的问题，不要出错．【解答】解：∵五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2当按照1、1、3来分时共有C53A33=60，当按照1、2、2来分时共有•A33═90，根据分类计数原理知共有60+90=150，故选D．7．在各项均为正值的等比数列{a n}中，已知a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根，则a7a9a11的值为（）A．e6B． C．e7D．e5【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用根与系数的关系，由已知条件能求出a5•a13=e4，由此利用等比数列的性质能求出a9，即可得出结论．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根，∴a5•a13=e4，∴a9=e2，∴a7a9a11=a93=e6，故选：A．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．2+π+8 B．2+3π+8 C． +π+8 D． +2π+8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为两部分组成，左边是一个圆柱的，右边是一个正三棱柱（底面为正三角形、侧棱与底面垂直）．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为两部分组成，左边是一个圆柱的，右边是一个正三棱柱（底面为正三角形、侧棱与底面垂直）．∴该几何体的表面积=π×12+2+2×+2×2×2=2+3π+8，故选：B．9．设点M（x，y）满足不等式组，点P（，）（a＞0，b＞0），当•最大时，点M为（）A．（0，2）B．（0，0）C．（4，6）D．（2，0）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而化简•=（，）•（x，y）=+，从而确定最大值时的点即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，•=（，）•（x，y）=+，故当x，y都有最大值时，即x=4，y=6时，有最大值；故选C．10．已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2c2﹣c+b2=0，则•的最大值是（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由b2=c﹣2c2＞0得出c的范围，用表示出，根据向量的数量级定义得出•关于c的函数．求出此函数的最大值即可．【解答】解：过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则D，E分别是AB，AC的中点．∴•==﹣=AC•AE﹣AB•AD=．∵2c2﹣c+b2=0，∴b2=c﹣2c2＞0，解得0．∴==﹣（c﹣）2+．∴当c=时，•取得最大值．故选B．11．函数f（x）=的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用导数求得函数的单调性，结合图象，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f′（x）==﹣•，令f′（x）=0，求得x=0或x=2，在（﹣∞，0）、（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（0，2 ）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故选：A．12．知函数f（x）=e x﹣ax的图象在区间（﹣1，+∞）内与x轴没有交点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，e）B．（﹣，e）C．（﹣，）D．（0，e）【考点】函数的图象．【分析】化简可得函数y=e x与y=ax的图象在区间（﹣1，+∞）内没有交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】解：∵函数f（x）=e x﹣ax的图象在区间（﹣1，+∞）内与x轴没有交点，∴函数y=e x与y=ax的图象在区间（﹣1，+∞）内没有交点，作函数y=e x与y=ax的图象在区间（﹣1，+∞）内的图象如右图，当直线y=ax过点B（﹣1，）时，a=﹣；当直线y=ax与y=e x相切时，设切点为A（x，e x），故e x=，解得，x=1；故点A（1，e），故a=e；故实数a的取值范围是[﹣，e），故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若（2x﹣）6的展开式中常数项为160，则a的值为﹣1 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式求出常数项，再列出方程求a的值．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项公式为T r+1=•（2x）6﹣r•=（﹣a）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r=0，解得r=3；所以展开式的常数项为（﹣a）3•23•=160，化简得a3=﹣1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．观察下列式子：1+＜1+，1++＜1+，1+++＜1+，…，根据上述规律，第n个不等式应该为1+++…+＜1+．【考点】归纳推理．【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．【解答】解：根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n个不等式应该为1+++…+＜1+．故答案为：1+++…+＜1+．15．将一个周长为18的矩形，以一边为侧棱，折成一个正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），当这个正三棱柱的体积最大时，它的外接球的半径为．【考点】球的体积和表面积．【分析】正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，表示正三棱柱的体积，利用基本不等式求最值，能求出正三棱柱的外接球的半径．【解答】解：设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，正三棱柱的体积V===3≤3•（）3=3，当且仅当x=2时，等号成立，此时y=3，可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为r===．故答案为：．16．数列{a n}满足a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=1，则++…+的最小值为 1 ．【考点】数列的求和．【分析】化简a n+2﹣2a n+1+a n=1可得（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=1，从而可得数列{a n+1﹣a n}是以1为首项，1为公差的等差数列；从而解得a n+1﹣a n=1+（n﹣1）1=n，再累加法求其通项公式，从而解得．【解答】解：∵a n+2﹣2a n+1+a n=1，∴（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）=1，而a2﹣a1=2﹣1=1，∴数列{a n+1﹣a n}是以1为首项，1为公差的等差数列；∴a n+1﹣a n=1+（n﹣1）1=n，∴a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a n﹣a n﹣1=n﹣1，∴a n=1+2+3+…+（n﹣1）+1=+1，∴a n﹣1=，∴==2（﹣）＞0，∴当n=2时， ++…+有最小值，即=1，故答案为：1．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x的值；（2）设函数f（x）=2（+）•，求当0≤x≤时，函数f（x）的最大值及对应的x值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【分析】（1）利用向量平行，求得tanx=﹣，二倍角公式cos2x=cos2x﹣sin2x═，可求得，（2）将f（x）化简得f（x）=sin（2x+）+，根据正弦函数的性质，求得f（x）的最大值及x的取值．【解答】解：（1）当∥时，﹣sinx=，tanx=﹣，cos2x=cos 2x ﹣sin 2x==，=，=，（2）设函数f （x ）=2（+）•=2sinxcosx+2cos 2+，=sin2x+cos2x+，=sin （2x+）+，0≤x ≤时，≤2x+≤，当x=时，f （x ）的最大值为．18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点．（1）求证：平面PAD ⊥平面PGB（2）若点E 在BC 边上，且=，求平面PDC 和平面PGE 所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BG ⊥AD ，从而BG ⊥平面PAD ，由此能证明平面PAD ⊥平面PGB ．（2）以G 为原点，分别以GB ，GD ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PDC 和平面PGE 所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ，又BG ⊂平面PGB ，∴平面PAD ⊥平面PGB ．解：（2）∵BG ⊥平面PAD ，∴BG ⊥AD ，BG ⊥PG ，∵△PAD 是等边三角形，且G 为AD 的中点，∴PG ⊥AD ，以G 为原点，分别以GB ，GD ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则G（0，0，0），B（，0，0），P（0，0，），D（0，1，0），C（），设E（，y0，0），∵，∴，即E（），∴=（0，0，），=（），设平面PDC的一个法向量=（x，y，z），则，令x=﹣1，得=（﹣1，，1），设平面PGE的一个法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣2，0），∴|cos＜＞|===，∴平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值为．19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2（每组数取中间值）．①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？（提示：≈10.2，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．【分析】（1）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N，从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．【解答】解：（1）由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）①由（2）知Z～N，从而P（79.6＜Z＜120.4）=P=0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]=863200．20．已知点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是2，线段MF1的中垂线交线段MF2于点P（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（2）直线l与曲线G相切于点N，过F2作NF2的垂线与直线l相交于点Q，求证：点Q落在一条定直线m上，并求直线m的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连接PF1，则|PF1|=|PM|，由|PF1|+|PF2|=|MF2|=2＞|F1F2|=2，利用椭圆的标准方程即可得出．（2）当直线l斜率不存在时，不满足题意．当直线l斜率存在时，设N（x0，y0），设直线l：y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程=1联立，利用直线与椭圆相切的性质可得：△=0，整理﹣2kx0y0+﹣1=0，又+=1，解得k=﹣．直线l的方程与直线QF2的方程联立消去y即可得出．【解答】解：（1）连接PF1，则|PF1|=|PM|，∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2＞|F1F2|=2，∴动点P的轨迹G是椭圆，设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．则2a=2，解得a=，又c=1，∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆的标准方程为： =1．（2）当直线l斜率不存在时，不满足题意．当直线l斜率存在时，设N（x0，y0），则+=1．设直线l：y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程=1联立化为：（1+2k2）x2+4k（y0﹣kx0）x+2﹣2=0，△=16k2﹣4（1+2k2）[2﹣2]=0，整理﹣2kx0y0+﹣1=0，又+=1，∴+kx0y0+=0，∴=0，解得k=﹣．∴直线l的方程化为：y=﹣（x﹣x0）+y0，①直线QF2的方程为：（x﹣1），②．①②联立消去y可得： =，与+2=2联立可得：（x0﹣2）（x﹣2）=0．∵，∴x0﹣2≠0，∴x=2．∴交点Q的横坐标为2落在直线x=2上．21．已知函数f（x）=lnx+2．（1）若f（x）的切线过点P（0，2），求此切线的方程；（2）若方程f（x）=kx+k（k＞0）在区间[1，e]（其中e为自然数的底数）内有实根，求k 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）设出切点坐标，表示出切线方程，将P（0，2）代入切线，求出切点的坐标，从而求出切线方程即可；（2）求出k=，（x∈[1，e]），设h（x）=，根据函数的单调性求出h（x）在[1，e]的最值，从而求出k的范围即可．【解答】解：（1）设切点是（x0，lnx0+2），f′（x）=，k=，∴切线方程是y﹣（lnx0+2）=（x﹣x0），此直线过P（0，2），代入得：lnx0=1，∴x0=e，∴切线方程是y﹣3=（x﹣e），即y=x+2；（2）由f（x）=kx+k，得k=，（x∈[1，e]），设h（x）=，h′（x）=，设p（x）=﹣lnx﹣1，p′（x）=﹣﹣＜0，∴p（x）在[1，e]递减，∴x∈[1，e]时，p（x）≤p（1）=0，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[1，e]递减，∴h（x）最小值=h（e）=，h（x）最大值=h（1）=1，∴≤k≤1时，f（x）=kx+k，（k＞0）在[1，e]内有实根，∴k的范围是[，1]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．（1）求证：∠CDA=∠EDB（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）利用CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点，得出角相等，即可证明：∠CDA=∠EDB；（2）证明△BDC≌△EDA，可得BC=EA，由切割线定理可得DE2=EA•EB，即可求线段BE的长．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠BDC=∠ABD，∵DE是圆的切线，∴∠ADE=∠ABD，∴∠ADE=∠BDC，∴∠CDA=∠EDB；（2）解：在△BCD，△ADE中，∵BC=CD=AD，∠BDC=∠EDA，∠BCD=∠EAD，∴△BDC≌△EDA，∴BC=EA，由切割线定理可得DE2=EA•EB，∴49=5BE，∴BE=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C：（θ为参数）．（1）分别将直线l和曲线C的参数方程转化为普通方程；（2）求与直线l平行且与曲线C相切的直线l1的方程．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据直线参数方程的几何意义得出直线的倾斜角和定点，写出点斜式方程即可，利用同角三角函数的关系得出曲线的普通方程；（2）根据直线平行与斜率的关系得出l1斜率为，使用待定系数法求出l1的方程．【解答】解：（1）由参数方程可知直线l的倾斜角为60°，过定点（1，0）．∴直线l的普通方程为y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0．曲线C的普通方程为x2+y2=1．（2）∵直线l与直线l1平行，∴直线l1的斜率为，设直线l1的方程为x﹣y+c=0，则，∴c=±2．∴直线l1的方程为x﹣y+2=0，或x﹣y﹣2=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0时，取等号，由此f（x）的最小值是3．（2）关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤2时，取等号，∴f（x）的最小值是3．（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|，当（x﹣a）（x+1）≤0时取等号，∴若关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，解得﹣3＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣3，1）．。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC=(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。

下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = （A ）31010 （B ）1010 （C ）1010- （D ）31010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图， 则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点， A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。