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第二章 基本初等函数知识点1.指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于 ．0的负分数指数幂②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn a a m n N a -+==>∈且1)n >．（3）分数指数幂的运算性质2指数函数及其性质3对数与对数运算（1）对数的定义.①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N的对数，作 ，其中a 叫做 ，N 叫做 ．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法： ②减法： ③数乘： ④log a Na N =⑤loglog (0,)bn a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 4对数函数及其性质（5）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于 对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．AB C5幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象，性质6〖补充知识〗二次函数图像及性质第二章 基本初等函数练习题log 1a ------= log a a ------= 12log 2------= 32log 2-------= 3log 27-------= 2log 52------=221log log 612------+= lg 25lg 4------+=2ln e -------=1. 函数y =的定义域是 （ ）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]32．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( )A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2(,2)33．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ）A ．1B ． 2C ．12D ．84. 已知f (x )=(m -1)x 2-2mx +3是偶函数，则在(-∞, 3)内此函数 （ ） A.是增函数 B.不是单调函数 C.是减函数 D.不能确定5. 下列图形表示具有奇偶性的函数可能是 （ ）6(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ．(3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞7. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则 （ ）A ．2,2a b == B．2a b = C ．2,1a b == D．a b ==8. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为 （ ）A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞9. 若21025x=，则10x -等于 （ ）A 、15B 、15-C 、150D 、162510. 与函数()2xf x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为()g x ，则1()2g 的值为 （ ）AB ．1；C ．12； D ．1-11. 已知13x x -+=，则22x x -+值为 （ ）A 5B 6 C. 7 D. 812. 三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为 （ ）A. 60.70.70.7log 66<<B. 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<<D. 60.70.7log 60.76<<13. 在统一平面直角坐标系中，函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是 （ ）14. 已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上为增函数，下列不等式一定成立的是( )A ．f (－3)>f (2) B ．f (－π)>f (3)C ．f (1)>f (a 2＋2a ＋3)D ．f (a 2＋2)>f (a 2＋1)15. 函数log a y x =，log b y x =，log c y x =，log d y x =的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小顺序是 ( )．A ．1＜d ＜c ＜a ＜bB ．c ＜d ＜1＜a ＜bC ．c ＜d ＜1＜b ＜aD ．d ＜c ＜1＜a ＜b二、填空题16，已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧，≤ ，，＞，020log 3x x x x 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为___ __17，不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_____ 18，函数log (1)a y x =-恒过 点19．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯= ．20．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，a = ．21，已知函数f (x )＝a －121+x ，若f (x )为奇函数，则a ＝___ _____三、解答题22. 计算（1）4160.253216(24()849-+-⨯．（2）125552log 2log log 34e ++21log32-⨯23，函数()(0,1)x f x a a a =>≠在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a，求a 的值为25， 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩．（Ⅰ）求方程1()4f x =的解． （Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．26．解不等式2121()x x a a--> (01)a a >≠且．27.设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|()1,2}2xT y y x ==-≥-求S T ，S T ．。
咼一升咼—基本初等函数复习设 a =0.6°.4, b =0.4°.6, c=0.4°.4，则 a , b , c 的大小关系为()A . a ::: b ::: cB . b ::: c a C. c ::: a ::: bD. c ：：：b ：：： a已知函数f （x^a x- 3（a =0），贝U f（x）的图象过定点（）A . (0,4) B. (2,4) C. (0,3) D. (4,3) 已知2a =3b =6，则a , b不可能满足的关系是()2 2C . (a -1) (b -1) ：：：22已知x^4，贝U x等于（）1A .B . _88f (x) =x 一4 + 9 , x € (0,4),当x=a 时，f (x)取得最小值b，则函数g(x)=a|x^ x +1A.（」：，2] B . [2，:：) C . [-2 ,亠）D.（」：，-2]1 函数f(x)=()41x，（2）x -1, [0, ：）的值域为（)5A.（一；，1]45B . H- , 1]4c . ( -1,1]D.[-1 , 1]已知a =(-2)0'3,0 3b = g 0.3 ,c =03，贝U2a, b,c的大小关系是( )A . a : b :: cB . c ：a ：：：bC . a ■■ c :: b D.b ■c ■■a1 ln2 lg2 -lg 5 -e1 ____________-(丄)_ ..(-2)2的值为(4)1. 2. 3. 4.5.6. 7. & 9.D ._2已知函数9A. -11B .—2C . 3D._510.若幕函数 2f(x)的图象过点(4,2)，则f (a )=(B.—a C. _a D. |a|11.已知函数 f (x) = (m22m -2 m 3-m -1)x _ 是幕函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实A. -13曲线G , C2, C3, C4的n依次为(22C.14.对于幕函数4f(x) =x5，若0 ：：x ：：X2，则f( X1 X22占大小关系是(f (X i X 2)f (X i ) f (X 2)2 X i X 2f(x i ) f(X 2)f (h^D .无法确定15.若函数f(x) =x a 满足f (3) = 9，那么函数g(x) =|log a (x 1)|的图象大致为()216.若函数y =log 2(kX4kX 5)的定义域为R ，则k 的取值范围()55A . (0,—)B . [0，-)4 455C . [0 , ]D .(-二,0)-(，:：)4417.已知函数f(x)=lg(ax 2 -2x a)的值域为R ，则实数a 的取值范围为()A . [-1 , 1]B . [0 , 1]C . (-： - , -1) - (1， : ：)D . (1,：：)18.函数f(x)=2X -s inx 在区间[-10二，10二]上的零点的个数是()A . 10B . 20C . 30D . 4011119 .若 15a =5b =3° =25，贝U ---—一二 _______a b c 20 .方程4X -10L2X *16 =0的解集是 ________f (宁)严)仏) 2x 1 x 221 .已知函数f(x^ a (X 0)是(-：：，；)上的增函数，那么实数a的取值范围、ax +3a —8 (x, 0)是____ .22. 已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2关于直线y=x对称，令h(x)=f(仁|x|)，则关于函数h(x)有以下命题：(1)h(x)的图象关于原点(0,0)对称；(2)h(x)的图象关于y轴对称；(3)h(x)的最小值为0；(4)h(x)在区间(_1,0)上单调递增.中正确的是 __________________ .b 2x23. 已知函数f(x) 二为定义在区间［-2a , 3a -1］上的奇函数，贝V a・b= .2x+13 324. _________________________________________________________________ 已知实数a满足(2a_1)P (a 1)^，则实数a的取值范围是 ____________________________________ .25•已知函数f(x) =2工ax 3(1 )当a =0时，求函数f(x)的值域；(2)若A={x|y =lg(5—x)}，函数f(x)=2」也奉在A内是增函数，求a的取值范围.x6 / 18a _2x 26. 已知定义域为R 的函数f(x)=市是奇函数 (1 )求a ，b 的值.(2) 判断f(x)的单调性，并用定义证明(3) 若存在r R，使f(k t ) f (4^2t ) ：：：0成立，求k的取值范围.27. 利用换底公式求log? 25Jog3 4」og5 9的值.28. 设f (x) =log a(j x) log a(3-x)(a 0 , a=1)，且f (1) = 2 .(1 )求a的值及f (x)的定义域.3(2 )求f(x)在区间[0 ,-]上的值域.229.已知函数 f (x) =log2 x的定义域是[2 ,16].设g(x)二f(2x) -[f(x)]2.(1)求函数g(x)的解析式及定义域;2)求函数g(x) 的最值．。
课题：基本初等函数（Ⅰ）习题课课时：012课 型：习题课教学要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.教学重点：指数函数的图象和性质.教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.教学过程：一、复习准备：1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.2. 求下列函数的定义域：1218-=x y ；x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211；2log (1)(0,1)a y x a a =->≠且 3. 比较下列各组中两个值的大小：6log 7log 76与；8.0log log 23与π；5.37.201.101.1与二、典型例题：例1：已知54log 27＝a ，54b＝3，用108,log 81a b 表示的值 解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x -⨯=⨯即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a+=-例2、函数12log 2y x =-的定义域为 .例3、函数2321()2xx y -+=的单调区间为 .例4、已知函数)10(11log )(≠>-+=a a xx x f a且.判断)(x f 的奇偶性并予以证明.例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）三、 巩固练习：1.函数3log (45)y x =--的定义域为 .，值域为 .2. 函数2322+--=x xy 的单调区间为 .3. 若点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =______，b =_______4. 函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点 .5. 计算()[]=++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2175.034303101.016254064.0 .6. 求下列函数的值域：x y -=215 ; x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=131; 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy ; x y 21-=四、小结本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力五、课后作业：教材P82 复习参考题A 组1——8题课后记：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
基本初等函数课标要求（1）二次函数：通过二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； （2）指数函数① 通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景。
② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③ 理解指数函数的概念和意义，画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。
（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；②②通过具体实例，初步理解对数函数的概念，画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③ 知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x 互为反函数（a > 0, a ≠1）。
（4）幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, , 的图象，了解它们的变化情况。
二次函数知识要点1.定义：形如f(x)=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0）的函数叫二次函数。
2. 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0）； （2）两根式：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）※抛物线f(x)=ax 2+bx+c 与x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2+bx+c=0有实根x 1和x 2存在时，根据二次三项式的分解因式ax 2+bx+c= a(x-x 1)(x-x 2)，二次函数f(x)=ax 2+bx+c 可转化为两根式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)。
如果没有交点，则不能这样表示。
（3）顶点式：f(x)=a(x-h)2+k （a,h,k 是常数，a ≠0） 3.图象性质 a>0a<0（1）a 决定开口方向及开口大小：a>0开口向上，a<0开口向下；a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴：抛物线f(x)=ax 2+bx+c 的对称轴是直线ab x 2-=。
（3）c 决定抛物线f(x)=ax 2+bx+c 与y 轴交点的位置.※抛物线f(x)=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，a ≠0）与x 轴交点情况由ax 2+bx+c=0解的情况确定；ax 2+bx+c=0根的判别式为∆=b 2-4ac ；若∆>0，则抛物线y=f(x)与x 轴有两个交点；若∆=0，则抛物线y=f(x)与x 轴有一个交点；若∆<0，则抛物线y=f(x)与x 轴没有交点。
题例方法例1：作函数f(x)=x 2-2x-3的简图，并指出函数的单调区间和最值。
解：由于f(x)=x 2-2x-3=(x-1)2 - 4，所以抛物线的对称轴是x=1，顶点是(1,- 4)又f(0)=– 3，x 2-2x-3=0的两根为– 1,3;所以抛物线与x 轴的交点为A(- 1,0);B(3,0)与y 轴的交点为C(0, – 3)。
函数的简图(略)。
由图象知函数的单调增区间是（1，+≦）；单调减区间是（ - ≦，1）； x=1时函数有最小值– 4，函数无最大值。
总结：（1）依据函数的代数特征（函数表达式或代数性质）作出函数的简图，是数学学习技能之一。
（2）作二次函数简图的四要素①开口方向；②对称轴，顶点；③与x 轴交点；④与y 轴交点。
（3）二次函数在对称轴两侧的单调性相反，单调区间由对称轴划分。
（4）求二次函数对称轴、顶点常用方法有公式法和配方法。
例2：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如图所示，则a ___0，b ___0，c ___0，ac b 42-____0。
（填>或<号）分析：依据c bx ax x f ++=2)(（c b a ,,是常数，0≠a ）中常数c b a 、、的作用考虑。
解：抛物线开口向上，故0>a ；图象对称轴在y 轴右侧，故02>-ab，结合0>a 可得0<b ；由图象与y 轴正半轴相交得0)0(>=c f ；由图象与x 轴有两个交点，方程02=++c bx ax 有两不等实数根，所以042>-=∆ac b 。
故依次应填>、<、>、>。
总结：（1）能识图是数学学习的另一技能。
（2）识图也就是能由函数的图象特征（对称性、单调性、函数值特征）得出函数的代数性质。
例3:已知2)(2+-=x x x f ，分别求出x 在以下区间内取值时，)(x f 的最值。
（1）]0,1[-∈x （2）]1,0[∈x ； （3）]2,1[∈x ； （4）].2,2[-∈x分析：求二次函数的最值，应结合图象，看开口方向，再根据对称轴与所给区间的位置关系作出判断。
解：抛物线2)(2+-=x x x f 的开口向上，对称轴的方程是21=x 。
（1）]0,1[-∈x 时，2)0()(,4)1()(min max ===-=f x f f x f ； （2）]1,0[∈x 时，47)21()(,2)1()0()(min max =====f x f f f x f ； （3）]2,1[∈x 时，2)1()(,4)2()(min max ====f x f f x f ； （4）].2,2[-∈x 时， 47)21()(,8)2()(min max ===-=f x f f x f 。
总结：求二次函数在指定区间的最值（值域）时，可借助二次函数的简图直观解决。
基本步骤：①做出函数简图，②标出定义域；③确定最值（值域）例4：已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的二次项系数为正数；且对R x ∈有)2()2(x f x f +=-；则)3()1()1(f f f ；；-的大小关系是______________。
解：由)2()2(x f x f +=-知抛物线c bx ax x f ++=2)(的对称轴是2=x ； 又0>a ，所以抛物线开口向上；作出题设抛物线简图，在曲线上标出相应点即可的到)3()1()1(f f f ；；-的大小关系是)1()3()1(f f f >>-经验总结：在选择填空题中，利用函数的图象对称性、单调性直观解决函数值大小比较问题是解题的常用思路。
1.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A.0,0>∆>a B.0,0<∆>a C.0,0>∆<a D.0,0<∆<a答案：D2.抛物线c bx ax y ++=2的图象如图，则下列结论：①0>abc ；②2=++c b a ； ③21>a ；④1<b ；其中正确的结论是（ ）. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 答案：B3.已知函数y ＝x 2+bx+c 且f(1+x)＝f(-x),则下列不等式中成立的是( )A.f(-2)＜f(0)＜f(2)B.f(0)＜f(-2)＜f(2)C.f(0)＜f(2)＜f(-2)D.f(2)＜f(0)＜f(-2)解1:f(-2)＝f(3)＝9+3b+c,f(0)＝c,f(2)＝4+2b+c;f(0)＝c ＝f(1)＝1+b+c ⇒b ＝-1＜0;≨f(0)＜f(2)＜f(-2). 故选C 解2：由f(1+x)＝f(-x)得函数图象的对称轴是21=x,利用图象可得f(0)＜f(2)＜f(-2) 4.函数22+--=x x y 的单调增区间是________；单调减区间是________。
答案：),21()21,(+∞---∞； 5.函数)25(,322-≤≤-+--=x x x y 的值域是 。
答案：[－12，3]指数与指数函数知识要点1.指数与幂的运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于a(n>1,且n єN +),则这个数称a 的n 次方根。
即若x n =a ，则x 称a 的n 次方根(n>1,且n єN +); 1）当n 为奇数时，a 的n 次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ；n 个3）∈=-p aapp(1Q ，4）m a a a n m nm,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：（注:性质对r 、∈s R 均适用） 1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ）。
2.指数函数1.定义：形如)1,0(≠>=a a a y x的函数叫做指数函数。
指数函数的图象与性质如下表所示:题例方法例1．化简求值：（1）21433125.016)81(064.0++---； （2）2121212121212b a b a b a b a ba --+-+-解：(1)原式＝1021814.0)5.0()2(1)4.0(1212434313=++-=++---. （2）原式=0)())((21212121212122121212121212121=+--=---++-b a b a b a b a b a b a b a总结：一般地，进行指数运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进行计算是常用技巧，在处理n a )(-时，最好先用n n a )1(-形式然后求解。
例2：函数y ＝a ｜x ｜(a>1)的图像是( ) 答案：B分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)：去绝对值，可得y ＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥).0()1(),0(x ax a x x 又a>1，由指数函数图像易知，应选B.解法2：因为y ＝a ｜x ｜是偶函数，又a>1，所以当x ≥0时，y ＝a x 是增函数；x ＜0时，y ＝a -x 是减函数.≨应选B. 总结：简单复合函数性质问题，常用数形结合方法解决；要注意图象变换知识的应用。
例3：1．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( ) 答案：AA ．(0，12)B ．(12，＋≦)C ．(－≦，12)D ．(－12，12)解析：根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得a ∈(0，12)．2.求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫⎝⎛x x 的单调区间.分析：这是复合函数求单调区间的问题 可设y ＝u ⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31为减函数≨u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减，当x ∈(-≦，23)时，u 为减函数，即函数的增区间为(-≦，23)当x ∈［23，+≦)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数. 即函数的减区间为(-≦，23) 总结：指数函数单调性与底数的关系一定要分清，简单复合函数单调性遵循“同增异减”原则。
