2019-2020学年九年级数学上册 第22章《一元二次方程》(第4课时)一元二次方程的解法导学案(新版)华东师大版

第22章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容。

概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需19课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时《一元二次方程》单元测试 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法第9课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2））第11课时实际问题与一元二次方程（1）第12课时实际问题与一元二次方程（2）第13课时实际问题与一元二次方程（3）由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，第14--15课时《一元二次方程》小结与复习一元二次方程单元测试题（一）一、填空题（每题2分，共计12分）1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.2.已知关于x 的二次方程4x 2+4kx+k 2=0的一个根是-2，那么k=__________________.3.若分式12322-+-x x x 的值为0，则x 的值是________________.4.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c 分解因式的结果为___________________.5.如果关于x 的一元二次方程2x 2-（4k+1）x+2k 2-1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是________________.6.已知关于x 的方程x 2-（a ＋b)x ＋ab-2=0.x 1、x 2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：（1）x 1≠x 2;（2）x 1x 2＞ab;(3) x 12＋x 22＞a 2＋b 2.则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号） 二、选择题（每题5分，共计20分）7.方程x 2+3x-6=0与x 2-6x+3=0所有根的乘积等于（ ）A.-18B.18C.-3D.3 8.以1，-2为根的一元二次方程是（ ） A.x 2+x-2=0 B.x 2-x+2=0 C.x 2-x-2=0 D.x 2+x+2=09.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A.9B.11C.13D.11或1310.某钢厂今年1月份生产某种钢2 000吨，3月份生产这种钢2 420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x ，则可列方程为（ ）A.2 000（1+2x ）=2 420B.2 000（1+x 2）=2 420C.2 000（1+x ）2=2 420D.2 420（1-x ）2=2 000 三、解答题11.不解方程判断根的情况. （每题3分，共计9分） （1）x 2-2x-4=0; （2）2x 2+4x+2=0; （3）21x 2-x+2=0.12.解下列方程（每题5分，共计15分）（1）3x 2+x-2=0; （2）4（x-3）2=25; （3）x 2+6x-10=0(配方法).13.（10分）已知x 1，x 2是方程3x 2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x 12x 2+ x 22x 1; （2）21x x +12x x .14.列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）（1）在一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53 m2，那么小路的宽为多少？（2）△ABC中，∠B=90°,AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，①如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2？②如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2？15.（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.一元二次方程单元测试题（二）一、选择题1、一元二次方程032=+x x 的解是（ ）A ．3-=xB ．3,021==x xC ．3,021-==x x D ．3=x ２、方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x ３、如果2是方程02=-c x 的一个根，那么c 的值是( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2４、已知1x =是方程220x a x ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3５、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A ．2100(1)120x -=%B ．2100(1)120x +=%;C 2100(12)120x +=%D ．22100(1)120x +=%６、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A ．238x x =-B ．2510x x +=-C ．271470x x -+=D ．2753x x x -=-+ ７、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根; B ．可能有且只有一个实数根; C ．有两个相等的实数根; D ．有两个不相等的实数根８、如果关于x 的一元二次方程22(21)10kx k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k ＞ B.k ＞且0k ≠ C.k ＜且0k ≠ ９、若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．011、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％ D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=12、已知代数式2346x x -+ 的值为9 A ．18 B ．12 C ．9 D ．713、如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是（ ）． A.2 B.－2 C.±2 D.±414、5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（ ）15、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A.甲B.乙C.丙D. 乙或丙 二、填空题16、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为17、若12,x x 为方程210x x +-=的两个实数根，则12x x +=___18、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．19、在一幅长50cm ，宽30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为.20、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．21、方程02=-x x 的解是 .22、若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，则c 2＝ ．23、阅读材料：设一元二次方程2a xb xc ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如，x 1.2x =已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的的值为___ __ 24、关于x 的一元二次方程220x x m -+= 有两个实数根，则m 的取值范围是 ．25、一元二次方程(1)xx x -=的解是 ． 26、已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k的取值范围t t Ｂ． C ． D ．是 .28、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p30、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是一个一次方程是 ．31、等腰ABC △两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ．32、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上一个符合条件的方程即可）． 三、解答题33、（1）解方程：2620x x --=（配方法）34、解方程：（1）2410x x +-=． （2）250x x --=35在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

华东师大版九年级数学上册一元二次方程单元测试题一、选择题（每小题3分；共30分）1. 方程032x x 的解是A. 2xB. 3xC. 21x ，32xD. 21x ，32x 2. 关于x 的一元二次方程022kx x有两个相等的实数根，则k 的值为A. 1B. －1C. 2D. －2 3. 已知关于x 的一元二次方程0122x mx有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A. m ＜－1B. m ＞1C. m ＜1且m ≠0D. m ＞－1 且m ≠04. 已知一元二次方程032mx x 配方后为222nx，那么一元二次方程032mx x配方后为A.2852xB. 1952x 或1952x C. 1952x D. 2852x或2852x5. 某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为A. 100012002xB. 10002200200xC. 10003200200x D. 10001112002xx6. 已知关于x 的一元二次方程02cbx x的两根分别为11x ，22x ，则b 与c 的值分别为A. b=－1,c=2B. b=1,c=－2C. b=1,c=2D.b=－1,c=－27. 若关于x 的方程022ax x 不存在实数根，则a 的取值范围是A. a ＜1B. a ＞1C. a ≤1D. a ≥18. 若1x ，2x 是一元二次方程0122x x的两个根，则2121x x x 的值为A. －1B. 0C. 2D.39. 已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为A ．10B ．14C ．10或14D ．8或1010. 如果关于x 的方程012mx x的两个根的差为1 ，那么m 等于A.±2B. ±3C. ±5D. ±6二、填空题（每小题3分；共15分）11. 一元二次方程0132x x根的判别式△＝．12. 若3是关于x 的方程02c x x的一个根，则方程的另一个根等于．13. 已知三角形两边长是方程0652x x的两根，则三角形第三边c 的取值范围是．14. 某药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，若平均每次下降百分率为x ，则所列方程为．15. 若41712xx，则21xx的值为．三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分）16. 解方程：1222x xx．17. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方．现请你先阅读如下方程（1）的解答过程，并按照此方法解方程（2）．方程（1）032222xx ．解：032222x x ，,1312222x x,4122x ,212x .223,2221x x 方程（2）.215252xx18. 已知关于x 的方程.01222mxm x对m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．19.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m 2？20. 如图，直线L ：y=－x+3 与两坐标轴分别相交于点A 、B ．（1）当反比例函数0,0x ＞m ＞xm y的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点时，求m 的取值范围；（2）若反比例函数0,0x ＞m ＞xm y在第一象限内与直线L 相交于点C 、D ，当45m时，请你直接写出关于x 的不等式xm ＜x 3的解集．21. 已知：关于x 的方程02122xa ax．（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；（2）若方程的其中一根是另一根的2倍，求a 的值．22. 如图，在矩形ABCD 中，∠D=90°，边AB ，BC 的长（AB ＜BC ）是方程01272x x的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC 边A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．（1）求AB 与BC 的长；（2）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形?若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．23. 如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC(OA ＞OC) 的长分别是一元二次方程048142x x的两个实数根．（1）求C 点坐标；（2）求直线MN 的解析式；（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．参考答案一、选择题。

华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。

一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。

但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。

三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。

2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。

2.一元二次方程的解法。

3.一元二次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。

3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。

4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。

2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。

3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。

例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。

2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。

同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。

2019-2020学年度人教版数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质习题精选第三十三篇第1题【单选题】抛物线y＝x^2＋bx＋c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的关系式为y＝x^2－2x －3，则b，c的值为( )A、b＝2，c＝2B、b＝2，c＝0C、b＝－2，c＝－1D、b＝－3，c＝2【答案】：【解析】：第2题【单选题】已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于（x1 ，0），（x2 ，0）两点，且0＜x1＜1，1＜x2＜2，与y轴交于（0，﹣2）．下列结论：①2a+b＞1；②a+b＞2；③a﹣b＜2；④3a+b＞0；⑤a＜﹣1．其中正确结论的个数为( )A、2B、3C、4D、5【答案】：【解析】：第3题【单选题】由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1，0）…求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．根据现有信息，题中的二次函数不一定具有的性质是( )A、过点（3，0）B、顶点是（﹣2，﹣2）C、在x轴上截得的线段的长度是2D、c=3a【答案】：【解析】：第4题【单选题】在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x^2+1不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )A、y＝2(x－2)^2+ 3B、y＝2(x－2)^2－1C、y＝2(x + 2)^2－1D、y＝2(x + 2)^2 + 3【答案】：【解析】：对于二次函数y=x^2﹣2mx﹣3，下列结论错误的是( )A、它的图象与x轴有两个交点B、方程x^2﹣2mx=3的两根之积为﹣3C、它的图象的对称轴在y轴的右侧D、x＜m时，y随x的增大而减小【答案】：【解析】：第6题【单选题】半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为( )A、S=2π有误B、S=9π+xC、S=4πx^2+12x+9D、S=4πx^2+12πx+9π【答案】：【解析】：二次函数y=x^2+2x+3的图象的开口方向为( )A、向上B、向下C、向左D、向右【答案】：【解析】：第8题【单选题】已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是( )A、a＞0B、当x＞1时，y随x的增大而增大C、c＜0D、3是方程ax^2+bx+c=0的一个根【答案】：【解析】：第9题【单选题】抛物线y=（x﹣1）^2﹣3的对称轴是( )A、y轴B、直线x=﹣1C、直线x=1D、直线x=﹣3【答案】：【解析】：第10题【填空题】已知抛物线y=ax^2﹣2ax+c与x轴一个交点的坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax^2﹣2ax+c=0的根为______A、﹣1，3【答案】：【解析】：第11题【填空题】数学小组在活动中继承了学兄学姐们的研究成果，将能够确定形如y=ax^2+bx+c的抛物线的形状、大小、开口方向、位置等特征的系数a、b、c称为该抛物线的特征数，记作：特征数{a、b、c}，（请你求）在研究活动中被记作特征数为{1、﹣4、3}的抛物线的顶点坐标为______【答案】：【解析】：第12题【填空题】二次函数y=（x﹣1）^2+2的顶点坐标为______．【答案】：【解析】：第13题【综合题】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．求抛物线的解析式；设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．【答案】：【解析】：第14题【综合题】二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣有误x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．求二次函数的表达式；点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．【答案】：【解析】：第15题【综合题】已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示：写出对称轴是______，顶点坐标______；当x取______时，函数有最______值是______；直接写出抛物线与坐标轴的交点坐标；利用图象直接回答当x为何值时，函数值y大于0？【答案】：无【解析】：。