人教版高中数学必修4第二章单元测试(一)- Word版含答案

本章测评一、选择题1.下列说法中正确的是（ ）A.两个单位向量的数量积为1B.若a ·b =a ·c 且a ≠0，则b =cC.=-D.若b ⊥c ，则(a +c )·b =a ·b思路解析：A 中两向量的夹角不确定;B 中若a ⊥b ,a ⊥c ,b 与c 反方向则不成立;C 中应为=-;D 中b ⊥c ⇒b ·c =0,所以(a +c )·b =a ·b +c ·b =a ·b . 答案：D2.设e 是单位向量，AB =2e ，CD =-2e ，|AD |=2，则四边形ABCD 是（ ）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形 思路解析：AB =-CD ，所以|AB |=|CD |，且AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为|AB |=|AD |=2，所以四边形ABCD 是菱形.答案：B3.i =(1,0),j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是（ ）A.3i +2jB.-2i +3jC.-3i +2jD.2i -3j思路解析：2i +3j =(2，3)，C 中-3i +2j =(-3,2).因为2×(-3)+3×2=0，所以2i +3j 与-3i +2j 垂直. 答案：C4.已知|a |=|b |=1,a 与b 的夹角为90°，且c =2a +3b ,d=k a -4b ，若c ⊥d ，则实数k 的值为（ ）A.6B.-6C.3D.-3思路解析：∵c ⊥d ，∴c ·d =(2a +3b )·(k a -4b )=0，即2k-12=0，∴k=6.答案：A5.设0≤θ＜2π，已知两个向量1OP =(cosθ,sinθ),2OP =(2+sinθ,2-cosθ)，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A.2 B.3 C.32 D.23 思路解析：21P P =2OP -1OP =(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ)，所以 |21P P |=22)sin cos 2()cos sin 2(θθθθ--+-+ =θcos 810-≤18=32.答案：C6.已知向量a =(3,4),b =(-3,1),a 与b 的夹角为θ，则tanθ等于（ ） A.31 B.-31 C.3 D.-3 思路解析：由已知得a ·b =3×(-3)+4×1=-5,|a |=5,|b |=10，所以cosθ=1011055||||-=-=∙b a b a .由于θ∈［0,π］， 所以sinθ=103cos 12=-θ，所以tan=θθcos sin =-3. 答案：D7.以a =(-1,2),b =(1,-1)为基底表示c =(3,-2)为（ ）A.c =4a +bB.c =a +4bC.c =4bD.c =a -4b思路解析：设c =x a +y b ，则(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y)，所以-x+y=3且2x-y=-2，解得x=1,y=4.所以c =a +4b .答案：B8.向量a 与b 不共线，=a +k b ,=l a +b (k 、l ∈R)，且与共线，则k 、l 应满足（ ）A.k+l=0B.k-l=0C.kl+1=0D.kl-1=0思路解析：因为与共线，所以设=λ(λ∈R )，即l a +b =λ(a +k b )=λa +λk b ，所以(l-λ)a +(1-λk)b =0.因为a 与b 不共线，所以l-λ=0且1-λk=0.消去λ,得1-lk=0，即kl-1=0. 答案：D9.已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP =λPB ,则λ的值为（ ）A.3B.2C.21D.31 思路解析：因为=λ，所以(4,4)=λ(2,2)，所以λ=2.答案：B10.向量a =(-1,1)在向量b =(3,4)上的投影为（ ） A.22 B.-22 C.51 D.51- 思路解析：由a ·b =|a |·|b |cosθ,得|a |cosθ=51434131||22=+⨯+⨯-=∙b b a . 答案：C11.(2005全国高考卷Ⅱ，理10)点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（-10，10），则5秒后点P 的坐标为（ ）A.（-2，4）B.（-30，25）C.（10，-5）D.（5，-10）思路解析：如下图所示,由速度向量v=(4,-3)可知点P 的运动方向，每秒移动的距离22)3(4-+=5个单位.结合图象易知选C.答案：C12.(2006湖南高考卷，理5)已知|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是（ ） A.[0,6π] B.［3π,π］ C.［3π,32π］ D.［6π,π］ 思路解析：|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+a x+a ·b =0有实根，则|a |2-4a 、b ≥0，设向量a 、b 的夹角为θ，cosθ=21||21||41||||22=≤∙a a b a b a ，∴θ∈［3π,π］. 答案：B二、填空题13.已知a +b +c =0,且|a |=3,|b |=5,|c |=7,则向量a 与b 的夹角是______________.思路解析：由已知得a +b =-c ,两边平方得a 2+2a ·b +b 2=c 2,所以2a ·b =72-32-52=15.设a 与b 的夹角为θ,则cosθ=2153215||||=⨯=∙b a b a ,所以θ=60°. 答案：60°14.若=2e 1+e 2, =e 1-3e 2, =5e 1+λe 2,且B 、C 、D 三点共线,则实数λ=______________.思路解析：由已知可得=-=(e 1-3e 2)-(2e 1+e 2)=-e 1-4e 2, =-= (5e 1+λe 2)-(e 1-3e 2)=4e 1+(λ+3)e 2.由于B 、C 、D 三点共线,所以存在实数m 使得=m ,即-e 1-4e 2=m ［4e 1+(λ+3)e 2］.所以-1=4m 且-4=m(λ+3),消去m,得λ=13.答案：1315.已知e 1、e 2是夹角为60°的两个单位向量,则a =2e 1+e 2和b =2e 2-3e 1的夹角是_____________. 思路解析：考查夹角公式cosθ=||||b a b a ∙. 答案：120°16.(2006湖南高考卷，理15)如图2-1,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x +y ,则x 的取值范围是____________________________;当x=-21时,y 的取值范围是______________.图2-1思路解析：OM ∥AB,点P 在由射线OM,线段OB 及AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动,且OP =x OA +y OB ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴x 的取值范围是(-∞，0).当x=-21时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD=21OB ，CE=23OB ，∴y 的取值范围是(21，23). 答案:(-∞，0) (21，23) 三、解答题17.如图2-2，在△ABC 中,=c ,=a ,=b ,且a ·b =b ·c =c ·b ,试判断△ABC 的形状.图2-2思路分析：由数量积可得向量的模即边长的关系,从而可以判断三角形的形状.解：∵a ·b =b ·c ,∴b (a -c )=0,又b =-(a +c ),∴-(a +c )(a -c )=0,即c 2-a 2=0.∴|c |=|a |.同理|b |=|a |.故|a |=|b |=|c |.所以△ABC 为等边三角形.18.如图2-3,已知|OA |=|OB |=1, OA 、OB 的夹角为120°, OC 与OA 的夹角为45°,| OC |=5,用、表示.图2-3思路分析：本题可采用待定系数法求解.解：设OC =λOA +μOB , 则OC ·OA =(λOA +μOB )·OA =λ2OA ＋μOB ·OA =λ+μcos120°=λ-21μ.又OC ·OA =|OC |·|OA |cos45°=5cos45°=522,∴λ-21μ=225, ·=(λ+μ)·=λ·+μ2=λcos120°+μ=-21λ+μ. 又OC ·OB =|OC |·|OB |cos(120°-45°)=5cos75°=4)26(5-, ∴-21λ+μ=4)26(5-, ∴λ=6)236(5+,μ=365. ∴=6)236(5++365. 19.在四边形ABCD 中(A 、B 、C 、D 顺时针排列),=(6,1),=(-2,-3),若有∥,又有⊥,求的坐标. 思路分析：设=(x,y),将∥及⊥用坐标式表示出关于x 、y 的方程组,解出x 、y 即可. 解：设=(x,y),则=(6+x,1+y), =(4+x,y-2),=(-x-4,2-y), =(x-2,y-3).又BC ∥DA 及AC ⊥BD ,所以x(2-y)-(-x-4)y=0,①(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.②解得⎩⎨⎧=-=3,6y x 或⎩⎨⎧-==.1,2y x ∴=(-6,3)或(2,-1). 20.已知平面向量a =(3,-1),b =(21,23). (1)求证：a ⊥b ;(2)若存在不同时为零的实数k 、t 使得x=a +(t 2-3)b ,y=-k a +t b ,且x ⊥y,求函数关系式k=f(t). 思路分析：要使向量垂直，只需向量的数量积为零即可.(1)证明：因为a ·b =(3,-1)·(21,23)=23+(-1)×23=0,所以a ⊥b .(2)解：由已知得|a |=,2)1()3(22=-+|b |=22)23()21(+=1, 由于x ⊥y,所以x ·y =0,即［a +(t 2-3)b ］·(-k a +t b )=0.所以-k a 2+t a ·b -k(t 2-3)b ·a +t(t 2-3)b 2=0.由a ·b =0，所以-4k+t(t 2-3)=0.所以k=41t(t 2-3). 由已知k 、t 不同时为零得k=41t(t 2-3)(t≠0). 21.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量,其中a =(1,2).(1)若|c |=52,且c ∥a ,求c 的坐标;(2)若|b |=25,且a +2b 与2a -b 垂直,求a 与b 的夹角θ. 思路分析：(1)应用向量共线的条件及长度公式联立方程组;(2)应用向量垂直的条件及长度公式联立方程组.解：(1)设c =(x,y),∵|c |=52,∴22y x +=52,即x 2+y 2=20.①∵c ∥a ,a =(1,2),∴2x-y=0,即y=2x.②联立①②得⎩⎨⎧==4,2y x 或⎩⎨⎧-=-=.4,2y x ∴c =(2,4)或(-2,-4).(2)∵(a +2b )⊥(2a -b ),∴(9a +2b )·(2a -b )=0,即2a 2+3a ·b -2b 2=0,∴2|a |2+3a ·b -2|b |2=0.①∵|a |2=5,|b |2=5[]4,代入①式,得a ·b =-25. ∴cosθ=25525||||⨯-=∙b a b a =-1. 又∵θ∈［0，π］,∴θ=π.22.如图2-4,已知△AOB,其中OA =a ,OB =b ,而M 、N 分别是△AOB 的两边OA 、OB 上的点,且OM =λa (0＜μ＜1),ON =μb (0＜λ＜1),设BM 与AN 相交于点P,试将向量OP =p 用a 、b 表示出来.图2-4思路分析：由图可知p =OM +MP 或p =NP ON +,OM =λa ,ON =μb ，再利用平面向量定理的唯一性,便可解决问题.解:由图可知p =OM +MP 或p =NP ON +,而OM =λa , 设AP =m MB =m(OB -OM )=m(b -λa ), 又∵=μb ,设=n =n(-)=n(a -μb ),∴p=+=λa +m(b -λa )＝λ(1-m)a +m b , p=+=μb +n(a -μb )=n a +μ(1-n)b .∵a 、b 不共线,且表示方法唯一,∴⎩⎨⎧-==-).1(,)1(n m n m μλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=λμμλλμλμ1)1(.1)1(n m ∴p =b a λμλμλμλμλ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1)1(1)1(1， 即p =.1)1(1)1(b a λμλμλμμλ--+--。

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等的向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B.对A ，a 与b 若其中一个为0，不合题意，错误．对B ，零向量是0，正确；对C ，方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误；对D ，共线向量所在直线可能平行，也可能重合，错误．故选B.2．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52 B ．－52 C.25 D ．－25 解析：选D.∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)， ∴a·b ＝2，|b |＝ 5.若a ＋λb 与b 垂直， 则(a ＋λb )·b ＝a·b ＋λb 2＝2＋5λ＝0.∴λ＝－25，故选D.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A.设点D (m ，n )， 则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得m ＝2，n ＝72，∴D (2，72)，故选A.4．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B ．120°C ．60°D ．30°解析：选B.设向量a ，b 的夹角为θ， ∵a ＋b ＝c ，∴(a ＋b )2＝c 2，a 2＋b 2＋2a·b ＝c 2， ∴|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ＝|c |2. ∵|a |＝|b |＝|c |，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.5．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：选A.f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )＝－a·b x 2＋(a 2－b 2)x ＋a·b ， 若函数f (x )的图象是一条直线，那么其二次项系数为0， ∴a·b ＝0，∴a ⊥b ，故选A.6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，如果BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC→|，那么|AM →|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.∵BC →2＝16，∴|BC →|＝4.又∵|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 解析：选B.由投影的定义可知，向量b 在向量a 方向上的投影是|b |cos θ(θ为a 与b 夹角)．由|2a ＋b |＝2得4|a |2＋4a·b ＋|b |2＝4.∵|a |＝1，|b |＝2，∴a·b ＝－1，即|b |cos θ＝－1.8．在△ABC 中，AB ＝BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．－94 B.94C.274 D ．9 解析：选C.分别以BC ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据已知条件可求得以下几点坐标：A (0，332)，D (0,0)，C (32，0)，∴AD →＝(0，－332)，AC →＝(32，－332)，∴AD →·AC →＝274.故选C.9．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C ．1D ．3解析：选B.如图，因为AN →＝12NC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，又B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.10．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析：选A.∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，且A ，B ∈(0，π2)，∴sin A ＞sin(π2－B )＝cos B ，∴p·q ＝sin A －cos B ＞0，故〈p ，q 〉为锐角．二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 解析：因为|2a －b |＝10，所以|2a －b |2＝(2a －b )2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，解得|b |＝3 2.答案：3 2 12．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)13．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是________．解析：∵c 可唯一表示成c ＝λa ＋μb ，∴a 与b 不共线，即2m －3≠3m .∴m ≠－3. 答案：{m |m ∈R ，m ≠－3}14．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：由题意可得AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos 120°＝2×2×(－12)＝－2，在菱形ABCD 中，易知AB →＝DC →，AD →＝BC →，所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝1λAB →＋AD →，AE →·AF →＝(AB →＋13AD →)·(1λAB →＋AD →)＝4λ＋43－2(1＋13λ)＝1，解得λ＝2.答案：215．已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，若a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角为β，则α＋β＝________.解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a ，因为|a |＝|b |＝2，且∠AOB ＝60°，所以△OAB 为正三角形，∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.答案：90°三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)． 17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a·b －3b 2＝61，即64－4a·b －27＝61，∴a·b ＝－6.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－64×3＝－12.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°. (2)|a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13，|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝16－2×(－6)＋9＝37.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长，即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小． 由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210. 由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2.∴两条对角线的长分别为210，4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得t ＝－115.19．在四边形ABCD 中，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 的关系式；(2)若又有AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)， ∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )．又∵BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. (2)AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)． ∵AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，∴y 2－2y －3＝0，∴y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． ∴|AC →|＝4，|BD →|＝8，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． |AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.20．已知三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于点F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .(用向量方法证明)证明：如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)．于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)．设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0. ①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )， 因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，∴F (23，43)，DF →＝(23，13)，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ，∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55.又cos ∠ADB ＝DB →·DA →|DB →||DA →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ＝55，故∠ADB ＝∠FDC .。

阶段性测试题四(第二章综合素质检测)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．下列各式中，不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →[答案] C[解析] A 中，(AB →＋CD →)＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →； B 中，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →. C 中，MB →＋AD →－BM →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →； D 中，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，故选C.2．设λ1≠λ2，且λ1a ＋λ2b ＝0，下列说法中不正确的是( ) A ．a ∥bB ．a 与b 互为相反向量C ．|λ1a |＝|λ2b |D ．λ1a 与λ2b 互为相反向量 [答案] B[解析] ∵λ1≠λ2，且λ1a ＋λ2b ＝0， ∴a ∥b ，|λ1a |＝|λ2b |，故λ1a 与λ2b 互为相反向量，故选B.3．设a 、b 、c 是非零向量，下列命题正确的是( ) A ．(a·b )·c ＝a·(b·c )B ．|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2C ．若|a|＝|b|＝|a ＋b|，则a 与b 的夹角为60°D ．若|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与b 的夹角为60° [答案] D[解析] 对于A ，数量积的运算不满足结合律，A 错；对于B ，|a －b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2＝|a |2－2|a||b |·cos<a ，b>＋|b |2，B 错，对于C 、D ，由三角形法则知|a |＝|b |＝|a －b |组成的三角形为正三角形，则<a ，b >＝60°，∴D 正确．4．设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为▱ABCD 内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →[答案] D[解析] 如图，E 、F 分别为AB 、DC 的中点，∵M 为AC 、BD 的交点，∴M 为EF 的中点， OA →＋OB →＝2OE →，OC →＋OD →＝2OF →， ∴OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝2(OE →＋OF →) ＝2×2OM →＝4OM →.5．已知向量集合M ＝{a|a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2,2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,1)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅[答案] C[解析] M ＝{a|a ＝(1＋3λ，2＋4λ)，λ∈R } ＝{(x ，y )|4x －3y ＝0}，N ＝{a|a ＝(－2＋4λ，－2＋5λ)，λ∈R } ＝{(x ，y )|5x －4y ＋2＝0}，∴M ∩N ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋2＝05x －4y ＋2＝0}＝{(－2，－2)}，故选C.6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( ) A.23B.43 C ．－3D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →，∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →，∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →，又AC →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0，故选D.7．如图所示，点P 在∠AOB 的对角区域MON 内，且满足OP →＝xOA →＋yOB →，则实数对(x ，y )可以是( )A ．(12，－13)B ．(14，12)C ．(－23，－13)D ．(－34，25)[答案] C[解析] 向量OP →用基底OA →、OB →表示具有唯一性，结合图形知x <0，y <0，故选C. 8．O 为平面上一动点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且满足OA →＋OB →＝λOC →≠0(λ∈R )，则O 点的轨迹必过△ABC 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．重心[答案] D[解析] 如图，设D 为AB 边的中点，OA →＋OB →＝2OD →，∴2OD →＝λOC →，∴点O 在△ABC 底边AB 的中线上，故选D.9．平面上三个点C (2,2)、M (1,3)、N (7，k )，若∠MCN ＝90°，那么k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] B[解析] MC →＝(1，－1)，NC →＝(－5,2－k )，∴∠MCN ＝90°，∴MC →·NC →＝1×(－5)＋(－1)×(2－k ) ＝－5－2＋k ＝－7＋k ＝0，∴k ＝7.10．若向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 为( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)[答案] A[解析] 验证：当b ＝(－3,6)时，a ＝－3a ， 且|b |＝35，故选A.11．已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则下列各式中正确的个数为( )①EF →＝12c －12b②BE →＝a ＋12b③CF →＝－12a ＋12b④AD →＋BE →＋CE →＝0 A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] C[解析] ②③④正确，①错，故选C.12．已知向量a ＝(4，－2)，b (cos α，sin α)且a ⊥b ，则sin 3α＋cos 3αsin α－cos α( )A ．3B ．2C ．－35D.95 [答案] D [解析] ∵a ⊥b ，∴a·b ＝(4，－2)·(cos α，sin α)＝4cos α－2sin α＝0， ∴tan α＝2，∴sin 3α＋cos 3αsin α－cos α＝sin 3α＋cos 3α(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α) ＝tan 3α＋1(tan α－1)(tan 2α＋1)＝23＋1(2－1)(22＋1)＝95.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若向量a 、b 为两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a ＋b |，则向量a 与a ＋b 的夹角为________． [答案] π3[解析] 由向量加法的平行四边形法则可知：a ＋b 是以a 、b 为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量．|a|＝|b|＝|a ＋b|时，这个平行四边形是一个a ＋b 所在的对角线等于边长的菱形，所以a 与a ＋b 的夹角为π3.14．若向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则x ＝________. [答案] 12[解析] u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)， v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，由u ∥v ，一定存在λ∈R ，使u ＝λv ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝(2－x )λ4＝3λ，解得x ＝12.15．已知a 是平面内的单位向量，若b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． [答案] [0,1][解析] 设a 与b 的夹角为0，由b·(a －b )＝0，得|b|·|a |cos θ－|b |2＝0，解得|b |＝0或|b |＝|a |cos θ＝cos θ≤1，∴|b |的取值范围是[0,1]．16．设|a |＝2，|b |＝3，且a 、b 的夹角为150°，则|a ＋2b |＝________. [答案] 2[解析] |a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4＋4×2×3×cos150°＋4×3＝4 ∴|a ＋2b |＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)证明三角形的三条高线相交于一点． [解析] 如图所示，设BE 、CF 交于点H ，连接AH ，并设AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0 ∴h ·c ＝h ·b ，即h ·(c －b )＝0， ∴AH →·BC →＝0，∴AH →⊥BC →，∴AD 与AH 重合． ∴AD 、BE 、CF 相交于一点H .18．(本小题满分12分)已知两个非零向量a 、b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )， 求a 与b 的夹角的余弦值．[解析] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )·(2a －b )＝0，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ·b －b 2＝0，①2a 2－3a ·b －2b 2＝0.② 由①×3＋②得a 2＝58b 2，∴|a |2＝58|b |2，即|a |＝58|b |.③ 由①得a ·b ＝b 2－2a 2＝|b |2－2×58|b |2＝－14b 2，④由③④可得cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－14|b |258|b |·|b |＝－1010.∴a 、b 的夹角的余弦值为－1010. 19．(本小题满分12分)已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a 、b 表示c .[解析] ∵∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°， ∴∠AOC ＝120°. 设OC →＝xOA →＋yOB →，则 ⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OC →＝(xOA →＋yOB →)·OC →OC →·OB →＝(xOA →＋yOB →)·OB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|OC →|2＝x |OA →||OC →|cos ∠AOC ＋y |OB →||OC →|cos ∠BOC |OC →||OB →|cos ∠BOC ＝x |OA →||OB →|cos ∠AOB ＋y |OB →|2，∴⎩⎪⎨⎪⎧9＝x ×2×3×cos120°＋y ×1×3×cos90°3×1×cos90°＝x ×2×1×cos150°＋y ×12. ∴⎩⎨⎧ －3x ＝9－3x ＋y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－33. ∴OC →＝－3OA →－33OB →，即c ＝－3a －33b .20．(本小题满分12分)已知a ＝3i －4j ，a ＋b ＝4i －3j ， (1)求向量a 、b 的夹角；(2)对非零向量p ，q ，如果存在不为零的常数α，β使αp ＋βq ＝0，那么称向量p ，q 是线性相关的，否则称向量p ，q 是线性无关的．向量a ，b 是线性相关还是线性无关的？为什么？[解析] (1)b ＝(a ＋b )－a ＝i ＋j ，设a 与b 夹角为θ，根据两向量夹角公式： cos θ＝a ·b |a ||b |＝3－452＝－210.故夹角θ＝π－arccos210； (2)设常数α，β使得αa ＋βb ＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3α＋β＝0－4α＋β＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧α＝0β＝0， 所以不存在非零常数α，β，使得αa ＋βb ＝0成立．故a 和b 线性无关．21．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点Q 为直线OP 上一动点．(1)当QA →·QB →取得最小值时，求OQ →坐标； (2)当点Q 满足(1)中条件时，求cos ∠AQB 的值． [解析] (1)设OQ →＝(x ，y )，∴点Q 在直线OP →上， ∴向量OP →与OQ →共线，又OP →＝(2,1)， ∴x －2y ＝0，即x ＝2y ，∴OQ →＝(2y ，y )， 又QA →＝OA →－OQ →＝(1－2y,7－y )，OP →＝(5－2y,1－y )∴QA →·QB →＝(1－2y )·(5－2y )＋(7－y )·(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8， 故当y ＝2时，QA →·QB →有最小值－8，此时OQ →＝(4,2)．(2)由(1)知QA →＝(－3,5)，QB →＝(1，－1)，QA →·AB →＝－8，|QA →|＝34，|QB |→＝ 2.∴cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－41717.22．(本小题满分14分)△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．[解析] (1)由3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， 得3OA →＋4OB →＝－5OC →，平方，得9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2. 但OA →2＝OB →2＝OC →2＝1，∴OA →·OB →＝0. 同理，得OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35.(2)由OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，∴S △ABO ＝12.由OB →·OC →＝－45，∴cos ∠BOC ＝－45，sin ∠BOC ＝35，∴S △BOC ＝12|OB |·|OC |·sin ∠BOC ＝310.同理可得：S △AOC ＝25.又由∠BOC 和∠AOC 均为钝角，∠AOB 为直角，可得点O 必在△ABC 内部， ∴S △ABC ＝S △AOB ＋S △AOC ＋S △BOC ＝65.。

41第二章测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a= （x , 1）, b= （3, 6）, a b ，则实数x 的值为（ ） 2 2.设向量a 2 D .(入€ R ),若 a . 1 2 b 的夹角为 1350，则入 的值是（ ） A .3 B. -3C .3或-3 3. r 已知|a|10,|b |□ r 1 r 12，且(3a) ( b)5A .60 °B r.120 °r(1, x)和 bC . 135 (2x3, x4右平面向a 36，则a 与b 的夹角为（OD.- 3 或-3D . 150°互相平行，其中x R .则aA. B. 2,5 ； C. 2 或 2、、5 ;D.2 或 10.5.在ABC 中, 若 AB BCAB 2 0,则 ABC 是B •锐角三角形C .钝角三角形r r P ：|a b A •直角三角形6.已知a, b 是两个非零向量，给定命题 r r 使得a tb ；则p 是q 的（ ） A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 等腰直角三角形I a | | b | ；命题q :存在t D .既不充分也不必要条件7.平面向量即二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n 3)维向 量，n 维向量可用（X 1 ,X 2,X 3,…，x n ）表示，设 a （a 1, a 2, a 3,…，a n ）, b b , b3，…，b n ),规定向量a 与 b 夹角 的余弦时， cos b (-1,1,1,…，1)时, cos(i n 2 )(b i 2) i 1 (1,1,，,…，1 ,n D.-2|m|取得最小值，则向量 a 、b 的夹角B 为 2nC • WagD (a 1,a 2)g(b !,b 2) (a^ab ?).ur 1 T n 一已知m (2, —), n (— ,0)，点P(x, y)在y sin x 的图像上运动， 点Q 在2 3ULLJT LT UUU Ty f(x)的图像上运动，且满足OQ m OP n (其中O 为坐标原点)，则y f (x)的最大值A 及最小正周期T 分别为 ()1 1 A. 2,B. 2,4C. ,4D.,22二、填空题：本大题共4小题，每小题4分•共16分.13.已知 6, b 8, a 甘 10，则 a b ______________________O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 9•如图，非零向量 OA a,OB b 且BC ( )—v —ra b a bA * - 2B • —F- —*|a||a||b| Ca b D • |a||b|・・・2|b|a bABC 的形状为( ) A •直角三角形 B •等腰直角三角形 10 .已知a 和b 是非零向量, uuu murOB OCuuu UULT OB OC，则C .斜三角形D •等边三角形OA,C 为垂足,若OC a,则1m=a+tb (t € R ),若 |a|=1, |b|=2,当且仅当 t=—时, 4 11.如图, O 、A 、B 是平面上的三点, 向量 OA a,OB 垂直平分线CP 上任意一点，向量 OP p ，若|a| 4,|b| 2, 则 p (a b)() A . 1 B. 3C. 5D. 6T T12.设a (a,a 2), b (bb).定义一种向量积: P 为线段AB 的b ，设 5 n"6314•已知「与ji 为互相垂直的单位向量， a i 2ji,b i j ，且a 与b 的夹角 为锐角，则实数的取值范围是 _________________ .r rr ―r 2r r 15.已知e 为单位向量，I a |=4， a 与e 的夹角为一，则a 在e 方向上的投影3为 ________ .23n16.在直角坐标平面内，已知点列R 1,2 , F 2 2,2 ,P a 3,2 , , P n n,2 ,,如果k 为正偶数，则向量 丽 P3P 4 FTF6p k 1p k 的坐标（用k 表示）为 _____________ .三、解答题：本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明.证明过程或演算 过程.的夹角 [0,—），求实数x 的取值范围r19.已知|a|2 |b| 3,a 与b 的夹角为r r r u r r60°, c 5a 3b , d 3a kb ，当实r uru 数k 为何值时，有, (1) c // d , (2) cd .20. (12 分)已知平面向量 OA (1,7),OB (5,1),OF 一个动点，求 MA MB 的最小值及此时 OM 的坐标.217. (10 分)已知向量 a (mx , 1) , b（—,x ） （ m 为常数），若向量a 、mx 1ur uu18.设e 、◎是两个不共线的向量, 若A 、B 、D 三点共线，求k 的值. unn ur uu uuuAB 2e ke 2,CBur uu uuur u ur ei 3e 2,CD 2e e ?,（2,1）, M 是直线OP 上的21. (12分)如图，△ ABC为直角三角形， C 90,OA (0, 4),点M在y轴上, 且AM —(AB AC),点C在x轴上移动.2(1)求点B的轨迹E的方程；1 ---------------------------------------------------------------------------------- ■(2)过点F(0, m的直线I与曲线E交于P、Q两点，设N(0,a)(a 0), NP与NQ参考答案•选择题三•解答题17.解：•••向量a、b的夹角2mx xxmx 1 mx 11x 0；②当m 0时，x(x )m1x 或x 0 ；③当m 0 mV s.I/C-厶-4},求实数a的取值范围;1. B2. D3. B二.填空题4. C5. A6. A7. C8. A9. A 10. C 11. D 12. C1312-512'3卜2kk2的夹角为，若 2[%), ab(mx 1)x 0.①当m 0时, 0,x 0.41时，x(x ) 0,m综上所述：当m0时，x的范围是(,0); 当m 0时，x的范围是5619. ( i )若 c 〃 d ,得 k=| , ( 2)若 c d ，得 k=-19.20. 解：设 OM (x, y),•- OM 与OP 共线,••• x 2y,OM (2y, y),-M A O A O M (12y,7 y)， MB OB OM(5 2y,1 y)，•MAMB (1 2y)(52y) 2(7 y)(1 y) 5( y 2)8,•当y2 时，MAMB 有最小值 -8.•- MA MB 取最小值时，OM (4,2)---- 1 — ——21. (1) AM —(AB AC),2 M 是BC 的中点.设B(x, y),则 M(0, 乂),C( x,0),2CB (2x, y),CA (x, 4).C 90 , CB CACB CA 0,(2x, y) (x, 4)0,,0)(,）；m 0时， x 的范围是（丄 ,0mmuuu uuu uu ur uu ur uu u 18. Q BD CD C B 2e e 2 u 3e 2 e1u uuu若 A 、B 、D 三点共则AB 与BD 共线，uuu uuu •••设 BDur ur uuu 即 2ei ke 2 e 4 e 2.(uu 4e 2 ,IT m由于0与€2不共线可得:2e i uu ke 2ur e ,in4 e 2 ,故 A=2,k 二-8.x2 3 2y.a),(2)设直线l的方程为y kxuurNQ (X2，y2 a),2 3a a78y kx 由 x 2 2y23a ak 2>4恒成立.2a4W 0.又 a 0, 2aX 1 X 2 2k, X i x 2 1.uum uur由CBgNQ 》0，知 (Xi , y i a g( X 2, y 2 a >o,X 1X 2 y 』2 a(y iy 2)a 2> 0,又 Qy kx 1, 2 皿+(1kak)(X 12X 2) a2kx 1 0 ,2、 =4ka <。

梯度训练检验成果［学生用书单独成册］）（时间:100分钟，分数:120分）一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分、在每个小题给出的四个选项中, 只有一项就是符合题目要求的）1、下列说法正确的就是（）A、共线向虽:的方向相同B、零向捲就是0C、长度相等的向量叫做相等向量D、共线向量就是在一条直线上的向呈解析:选B、对A,共线向量的方向相同或相反，错误;对B,零向量就是0,正确：对C, 方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，错误;对D,共线向量所在直线可能平行，也可能重合,错误、故选B、2、已知A、D三点共线,存在点C,满足错误！=错误!错误! +人错误！，则2=（）A、错谋！ B.错谋！D、一错误!C、解析:选C、因为A』，D三点共线，所以存在实数人使丽=『错误！，则错误！一错误!=f（错误!_错误必即错误!=错误!+/（错误!一错误!） = （1 一0错误!+f错误!，所以错误! 即2=-,3、已知向量a=（l,2）0=（l,O）, c=（3,4）、若2 为实数,（a+财）〃c,则2=（）A、|B、错误！C. 1D. 2解析：选B. a+ Ab=（\+X9 2）,由（a+肋）〃c 得（1+x） X4—3X2=0,所以2=*、4、已知点0,N在ZUBC所在平而内，且I错误!1= I错误！I = I错误!错误!+错误！ +2VC=0,则点6 N依次就是ZkABC的（）A、重心，外心B、重心，内心C、外心，重心D、外心9内心解析：选C、由I错误！I =1错误！I =丨错误！I知，0为zMBC的外心;由错误! +错误! +错误!=0,得错误!=错误！+错误！，取BC边的中点D,则错误！=错误!+错误!=2错误！，知A、N、D三点共线，且AN = 2ND,故点N就是△ ABC的重心.5、已知向虽：a= （cos&.sin。

），其中&丘错误!，〃 = （0, — 1）,则a与〃的夹角等于（）A、&-错误！ B.错误!+0C、错误!一&D、6解析:选C、设a 与0 的央角为a9a b=cos &・0+sin 0-（―1） = —sin 09 I «l=l, I b I =1,所以cos a=错误! = —sin ^=cos （错误!_8）,因为0G错误！，a G［0, 7t］,y=cosx在［0,兀］上就是递减的，所以a=错误！一& 故选C、6、已知等边三角形ABC的边长为1•错误!=7错误!=伏错误!=c，则a b-b c-c a等于（）A、一错误！ B.错误！C、一错误！D、错误！解析：选D、由平面向童的数量积的定义知，ab~bc—ca=\a\ /blcos（7i—C）—{b / /elcos （n—A）— /c\\a /cos （兀一B）=cos （兀一C）—cos （兀一A）—COS（TT-B） = —cos C+cos A+cos B=cos 60°=错误！.故选D、7、已知平而向量"I=错误!，且\2a+b\=错课!，则向量a与向量+ 的夹角为（）A 、错误!C 、错误! 解析:选 B 、因为 I 2a+b I 2=4lfl I 2+4n ・b + 0|2=7, I a所以4+4fl ・〃+3=7. ab=09所以a 丄〃、如图所示，a 的夬角为ZCOA 9因为tanZCOA=错误！=错误!，所以ZCOA=j,即a 与a+b 的夹角为错误!、8、在厶ABC 中,ZBA （7=6（rdB=2, AC=1, E 、F 为边BC 的三等分点，则错误!•错误! =（ ）A 、错误！ B.错误！C 、错误！D 、错误！解析：选A.依题意，不妨设错误!=错误!错误!，错误!=2错误!，则有错误!一错误!= £（错误!一错误!），即错误!=错误!错误!+错误!错误!：错误!一错误!=2 （错误!一错误!），即错误!=错误!错误!+错误!错误!、 所以错误！ •错误!=（错误!错误!+错误!错误!）•（错误!错误!+错误!错误!）=错误! （2错误！ +错误!）•（错误! + 2错误!）=错误！（2错误P+2错误!?+5错误!•错误!）=错误！ （2X22+2XP+5X2X 1 Xcos60°）=错误!，故选 A 、9、已知非零向量a, b,c 满足a+D+c=0,向量a, 〃的夹角为60。

高中数学人教A版必修4 各章节同步练习(AB卷)+章节测试汇编目录【同步练习】人教A版必修4数学《角和弧度制》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《角和弧度制》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《任意角的三角函数》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《任意角的三角函数》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的诱导公式》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的诱导公式》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的图象与性质》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的图象与性质》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数模型的简单应用》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数模型的简单应用》同步练习(B)含答案人教A版必修4高中数学第一章三角函数综合测试卷(A)含答案人教A版必修4高中数学第一章三角函数综合测试卷(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的基本定理》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的基本定理》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量应用举例》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量应用举例》同步练习(B)含答案人教A版必修4高中数学第二章平面向量综合测试卷(A)含答案人教A版必修4高中数学第二章平面向量综合测试卷(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《简单的三角恒等式》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《简单的三角恒等式》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习(B)含答案人教A版必修4《第三章三角恒等变换》综合测试卷(A)含答案人教A版必修4《第三章三角恒等变换》综合测试卷(B)含答案专题一任意角和弧度制测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与60-°的终边相相同的角是 （ ） A.3πB. 23πC. 43πD. 53π【答案】D【解析】因为π603o -=-, π5π2π33-=-,所以与60-°的终边相相同的角是5π3;故选D. 2．460是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第五象限【答案】B【解析】由题意得， 460360100︒=︒+︒，因此460与100︒在同一象限第二象限，故选B. 3．下列角终边位于第二象限的是（ ）A. 420B. 860C. 1060D. 1260【答案】B【解析】00042036060=+终边位于第一象限， 0008602360140=⨯+终边位于第二象限，选B. 4．已知圆的半径为π，则060圆心角所对的弧长为（ ）A. 3πB. 23πC. 23πD. 223π【答案】C【解析】60化为弧度制为3π，由弧长公式有233l r ππαπ==⨯=，选C.5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( ) A. 00{|90180}αα<<B. 0{|270360180360,}k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈ C. 0{|90180180180,}k k k Z αα+⋅<<+⋅∈ D. 0{|270180180180,}k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈ 【答案】B6．下列说法中， ①与角5π的终边相同的角有有限个； ②圆的半径为6，则15 的圆心角与圆弧围成的扇形面积为23π；正确的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B【解析】①错；②22113156221802S r ππα==⨯⨯⨯=,对；因而正确的个数为0.选B.7．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）【答案】B【解析】由扇形面积公式12S lr =，则4l =，又422l r α===．故本题答案选B ． 8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A. B.C.D. A=B=C【答案】B【解析】 锐角必小于,故选B.9．已知α是锐角，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 小于180的正角D. 第一或第二象限角 【答案】C【解析】α是锐角,∴()20απ∈，，∴2α是小于180的正角.10．扇形的圆心角为 ）A.54πB. πC. 3D.29 【答案】A【解析】扇形的面积2211552264S R ππθ==⨯⨯=11．终边在直线y x =上的角的集合是（ ） A. {|,}4k k Z πααπ=+∈ B. {|2,}4k k Z πααπ=+∈C. 3{|,}4k k Z πααπ=+∈D. 5{|2,}4k k Z πααπ=+∈【答案】A【解析】与α终边在一条直线上的角的集合为{|,}k k Z ββαπ=+∈，∴与4π终边在同一直线上的角的集合是{|,}4a k k Z παπ=+∈.故选A.12．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A. 第一或第三象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限 【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．的角属于第_________象限.【答案】二 【解析】在第二象限,所以的角属于第二象限14．53π-的角化为角度制的结果为__________， 135-的角化为弧度制的结果为__________．【答案】 300- 34π- 【解析】由题意得， 5518030033π-=-⨯︒=-︒， 135- 31351804ππ=-︒⨯=-︒ .15.已知扇形的半径为4cm ，弧长为12cm ，则扇形的圆周角为 ；【答案】3 【解析】3412===r l α 16．已知扇形的周长为10cm ，面积为42cm ，则扇形的中心角等于__________（弧度）. 【答案】12【解析】由题意2108{{ 81r l l lr r +==⇒==或2{ 4l r ==，则圆心角是12l r α==，应填答案12.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式：①|a＋b|＝|a|＋|b|；②|a－b|＝±(|a|－|b|)；③a2>|a|2；④|a·b|＝|a|·|b|.其中正确的个数为()A．0B．2C．3D．4解析对于①仅当a与b同向时成立．对于②左边|a－b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a2＝|a|2，∴a2>|a|2不成立．对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2．下列命题中，正确的是()A．a＝(－2,5)与b＝(4，－10)方向相同B．a＝(4,10)与b＝(－2，－5)方向相反C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( )A ．－52 B.52 C ．0D.532解析 易知△ABC 为正三角形，AC →·CB →＝5·5cos120°＝－52，应选A.答案 A4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49B.43 C ．－43D ．－49解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49. 答案 A6．(2010·广东)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析 8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )， ∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.53737解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537. 答案 D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14bD.13a ＋23b解析 如右图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE BE ＝DF BA ＝∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)． 答案 C11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析 设OP →＝(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)－2×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时P (3,0)．答案 C12．下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ； ③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线； ⑤若平面内有四点A ，B ，C ，D ，则必有AC →＋BD →＝BC →＋AD →. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC →＋BD →＝BC →＋AD →，∴AC →－AD →＝BC →－BD →，即DC →＝DC →，∴⑤正确．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0，∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6.答案 π6或76π14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.②由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32，y ＝－2， ∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2)15．已知a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，那么a ·b ＝________.(其中i ，j 为夹角90°的单位向量)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝－8i ＋16j ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3i ＋4j ，b ＝5i －12j .∴a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)． ∴a ·b ＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 答案 －6316．(2009·天津高考)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 ∵等边△ABC 的边长为23， ∴如下图建立直角坐标系．∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)． ∴CM →＝16CB →＋23CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52.∴OM →＝OC →＋CM →＝(0,3)＋⎝⎛⎭⎪⎫－32，－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12 ＝－94＋14＝－2. 答案 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0，解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →) ＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE → ＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0，∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)， ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →， 即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0. ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝(1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．解 设点M 的坐标为M (x ，y )．∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y－4.∴⎩⎨⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2.∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21．(12分)在四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，判断四边形的形状．解 ∵a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2＋2c ·d ＋d 2.∵a ·b ＝c ·d ，∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2.①同理a 2＋d 2＝b 2＋c 2.②①②两式相减，得b 2－d 2＝d 2－b 2，①②两式相加，得a 2＝c 2，∴|b |＝|d |，|a |＝|c |.∴四边形ABCD 是平行四边形．又a ·b ＝b ·c ，∴b ·(a －c )＝0.∴b ·2a ＝0，即a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB ⊥BC .∴四边形ABCD 是矩形．22．(12分)已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB →⊥AD →；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹锐角的余弦值．解 (1)证明：A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →.(2)∵AB →⊥AD →，若四边形ABCD 为矩形，则AB →＝DC →.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1,1)＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴点C 的坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴AC →·BD →＝(－2)×(－4)＋4×2＝16，|AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设对角线AC 与BD 的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45>0. 故矩形ABCD 两条对角线所夹锐角的余弦值为45.。

云南省昭通市实验中学必修4第二章测试题（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出下列等式，其中成立的个数是 （ ） ①0=++BC CA AB ②0=-+-AC BD CD AB ③0=+-OA OD AD ④0=++-MN QP MP NQA ．1B ．2C ．3D ．42．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是 （ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a - 3．已知)3,2(-=a，)5,1(=b ，则b a +3等于 （ ） A ．)14,5(- B ．)14,5( C ．)4,7( D ．)9,5(4．设向量)3,1(-=MN ，且点M 的坐标为)5,2(，则点N 的坐标为（ ）A ．)4,3(B ．)1,8(C ．)8,1(D ．)7,1(5．若)3,2(=a，)1,4(y b +-= ，且b a //，则y 等于 （ ） A ．6 B ． 5 C ．7 D ． 86．下列结论中，正确的个数是 （ ）① 若||||b a =，则b a = ②若b a =，则a 与b 共线③零向量没有方向 ④若||||||||b a b a +=-，则0=b ⑤若||||b a >，则b a > ⑥||||||b a b a +<-A ．1B ．2C ．3D ．47．设两个非零向量a 、b 不共线，且b a k +与b k a +共线，则k 的值为（ ）A ．0B ．1C ． 1-D ．1或1-8．已知)1,1(-A ，)5,2(B ，点P 在线段AB 上，且||3||BP AP =，则点P 的坐标为 （ ） A ．)4,1(- B ．)313,23( C ．)4,45( D ．)213,411( 9．已知向量)2,3(-=a , )1,1(m m b -+=，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.51 B. 51- C. 1- D. 1 10．以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 11．已知a 3=r ，b 23=r ,a r ⋅b r =-3，则a r 与b r 的夹角是 ( )A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒12．已知4||,6||==AC AB ，则||BC 的取值范围为（ ）A. )8,2(B. ]8,2[C. )10,2(D. ]10,2[二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。