浅析微积分在中学数学中的应用

微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。

通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。

2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。

例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。

3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。

例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。

4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。

例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。

需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。

同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。

微积分与中学数学的关联微积分和中学数学分别是数学学科中的两个重要阶段，它们之间有着密切的关联。

微积分作为更高层次的数学学科，其思想和工具在中学数学中已经有所体现和应用。

本文将从历史回顾、中学数学中的微积分、微积分与中学数学的互动以及结论四个方面探讨微积分与中学数学的关联。

历史回顾微积分的起源可以追溯到17世纪，当时科学家们为了解决一些实际问题，如速度、曲线下的面积和体积等，逐渐发展出了微积分的基本概念和方法。

微积分的诞生可以看作是数学和自然科学的一次重大革命，它为现代科学技术的发展提供了强有力的工具。

在中学数学中，学生们也开始接触到微积分的基本思想，如极限、导数和积分等，为后续的学习打下了基础。

中学数学中的微积分微积分在中学数学中的应用范围很广。

首先是在函数的学习中，学生们可以通过学习导数来了解函数的变化率和函数图象的形态。

在解决一些实际问题，如最大值、最小值和曲线长度等问题时，也需要用到微积分的知识。

同时，积分学也在中学数学中有所介绍，学生们可以初步了解积分的概念和应用。

微积分与中学数学的互动微积分对中学数学的影响主要体现在以下几个方面。

微积分的基本思想和方法可以帮助学生更好地理解中学数学中的一些基本概念，如函数、导数和积分等。

微积分在解决一些综合性较强的问题时具有独特的优势，学生们可以通过学习微积分来提高解题能力和创新思维。

微积分的学习可以提升学生们的数学素养和思维能力，帮助他们更好地应对未来的挑战。

微积分和中学数学之间存在着紧密的关联。

微积分作为更高层次的数学学科，其思想和工具在中学数学中已经有所体现和应用。

通过学习微积分，学生们可以更好地理解数学的基本概念、方法和思想，提高解题能力和创新思维，同时也可以提升数学素养和思维能力。

因此，教育者应该更加注重微积分教学的质量和效果，让学生们能够真正掌握微积分这一强有力的工具，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

微积分知识在解决中学数学问题中的应用微积分是数学领域中的重要分支，它研究的是变量之间的关系和变化过程。

微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。

本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。

这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。

关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。

为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。

本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。

一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。

但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。

用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。

例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。

高等数学方法在中学数学中的应用研究一、概述随着教育改革的不断深化和数学学科的不断发展，高等数学方法在中学数学中的应用逐渐受到广泛关注。

高等数学作为数学学科的重要组成部分，具有严密的逻辑体系、丰富的理论内涵和广泛的应用价值。

将其引入中学数学教学，不仅有助于提升学生的数学素养和思维能力，还能为中学数学教学注入新的活力和动力。

高等数学方法在中学数学中的应用，主要体现在以下几个方面：一是微积分思想的渗透，通过极限、导数、积分等概念，帮助学生理解函数的变化规律和图形的几何性质二是线性代数初步知识的引入，通过矩阵、向量等概念，培养学生的空间想象能力和问题解决能力三是概率统计知识的应用，通过概率、统计等概念，增强学生的数据分析和决策能力。

高等数学方法在中学数学中的应用也面临一些挑战和问题。

一方面，高等数学与中学数学的衔接不够顺畅，需要教师在教学实践中不断探索和完善另一方面，学生的数学基础和接受能力参差不齐，需要因材施教，合理安排教学进度和难度。

本文旨在探讨高等数学方法在中学数学中的应用策略和实践经验，以期为中学数学教学改革提供有益的参考和借鉴。

通过深入研究高等数学在中学数学中的具体应用案例，分析其在提升学生数学素养和思维能力方面的作用，以期推动中学数学教学质量的提升和学生全面发展。

1. 高等数学与中学数学的关系高等数学与中学数学之间存在着密切而复杂的关系。

从知识体系的角度来看，高等数学是中学数学的延续和深化。

中学数学为学生提供了基础的数学概念和技能，如代数、几何、三角函数等，而高等数学则在此基础上引入了更高级的概念和理论，如极限、微分、积分、线性代数等。

这些高等数学的知识和工具，不仅扩展了数学的应用领域，也为解决更复杂的问题提供了有力的武器。

从教学方法的角度来看，高等数学与中学数学也存在相互影响。

高等数学的教学方法往往更加注重理论性和抽象性，这要求教师在教学过程中更加注重启发和引导，帮助学生建立正确的数学思维和解题方法。

- - -题目浅谈微积分学在中学数学教学中的应用学生何凯茜学号1109014004所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业数教1101班指导教师权双燕完成地点理工学院2015 年6 月12 日浅谈微积分学在中学数学教学中的应用：何凯茜（理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班, 723000）指导教师：权双燕[摘要]微积分学在中学数学中扮演着非常重要的角色,其理论贯穿初等数学,并且延伸至高等数学.在遇到初等数学难以解决的问题时,微积分会是一件十分称手的兵刃.本文归纳总结了微积分在函数极值与最值、函数单调性、不等式与恒等式的证明、绘制函数图像、求平面图形的面积以及求切线方程等方面的应用.[关键词]初等数学;高等数学;导数;定积分引言我国从1961年将微积分的初步知识纳入我国中学数学中,微积分是高中数学课本中新增加的容,也是大学数学的重要基础课程,容包括导数和积分两个重要的概念以及它们的应用.在高中阶段开设微积分的基础容,是高中教育与发展的要求[1].初等数学是高等数学的基础,二者有着本质的联系,将高等数学的知识用于解决初等数学中遇到的问题,不仅可以使学生了解初等数学与高等数学的在联系,更能加深学生对于系统知识的串联.一些用初等数学知识解答起来特别难,特别复杂的题目,应用微积分知识后,大大的简化了解答问题的步骤,使得学生学习与解题效率大大增加,同时也提高了教师的成就感,使得教师可以更有效的投入到教学工作中.文章将通过具体例题来论述微积分学在高中数学中的重要作用和应用[2].“数学可以更好的帮助人们探求客观世界的规律,并对现代社会量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断,同时为人们交流信息提供了一种有效、简洁的手段.数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值.”[3]这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的的所在.1初等数学与高等数学的联系高等数学是初等数学的延伸和发展,而初等数学却是高等数学的基础.从学习之初我们就知道,所有的知识都要从简到繁,由低级到高级,所以我们应该是先学习和掌握初等数学,然后才能学习和应用高等数学.反之,在学习过高等数学的知识以后,我们再回过头来,回顾高中阶段遇到的对于当时难以解决的问题,就像是站在一处高地上,俯瞰四周广阔的平原一般,所有关系,所有性质,尽收眼底.例如在中学数学中恒等式的证明以及恒等变形过程十分繁杂,一不留神就会出错.如果题目再复杂一些,就更困难.使用微积分的知识,可以避免繁杂的工作.微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据[4-5].再例如在初等数学中,我们经常用的一些定理、公理在课本里面都没有给出证明,只用其结论.而这些定理在高等数学中,利用微积分等知识就可以进行推理了.例如：祖恒定理的证明.（祖恒定理：夹在两个平行的平面之间的两个几何体,被平行与这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个平面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.）我们可以用微积分的方法解决那些用其他数学方法难于处理的许多问题.高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用,事实上,它无法用高中数学知识证明,而在高等数学中,用微积分的理论就可以很容易地给出它的理论证明.本文用微积分知识直接来处理初等数学中遇到的一些问题,目的是使初等数学难以解决的问题的步骤更加简洁[3].2导数在中学数学解题中的应用“导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．要求学生通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率,通过理解导数概念,体会导数的思想及其涵;了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础”[3].微分在中学数学解题中的应用主要由导数的应用来体现. 2.1用导数判断函数的单调性中学数学探讨函数的单调性时使用的是定义法[1]：已知函数()y f x =,在某区间取12x x >,若有12()()0f x f x ->,则函数在这一区间呈单调递增;若有12()()0f x f x -<,则函数在这一区间呈单调递减.虽然定义法简单易懂,但如果函数表达式变得复杂一些,该方法就不再适用.此时运用微积分的方法进行判别,只需给()y f x =求导,然后根据导函数值的正负,就可以很直观的判断原函数的单调性了[6].例1 已知函数2()ln f x x x =,求函数单调性.解 函数的定义域为(0,)+∞,对函数求导()2ln f x x x x '=+令()0f x '=,得10x =（舍）,21x =.当(0,)x ∈+∞表1.1 函数随x 增减状况x (0,1)1(1,)+∞所以函数(f ;当(0,1)x ∈,()f x 单调递减,其取值围是(,0)-∞;当(1,)x ∈+∞,()f x 单调递增,取值围是(0,)+∞.2.2利用导数求函数极值、最值一般地,设函数()f x 在0x x =及其附近有定义[1]（1）若对于0x 附近的点,都有0()()f x f x >,则0()f x 是函数()f x 的一个极小值 （2）若对于0x 附近的点,都有0()()f x f x <,则0()f x 是函数()f x 的一个极大值 极大值与极小值统称极值.例2 已知函数2()()xf x x nx n e =-+,其中n R ∈. （1）若函数()f x 存在零点,数n 的取值围.（2）当0n <时,求函数()f x 的单调区间;并确定此时()f x 是否存在最小值,如果存在,求出最小值,如果不存在,请说明理由.解（1）因为函数()f x 存在零点,则20x nx n -+=有实根,240n n ∆=-≥,则0n ≤或者4n ≥（2）当0n <时,函数定义域为R22()(2)()(2)(2)x x x xf x x n e x nx n e x x nx e x x n e '=-+-+=+-=+-由()0f x '=,则0x =或者2x n =-;由()0f x '>,则0x >或者2x n <-;表2.1 函数随x 增减状况x (,2)n -∞-2n -(2,0)n -(0,)+∞()f x增极大值减极小值增所以()f x 在(,2)n -∞-,(0,)+∞上单调递增,在(2,0)n -上单调递减.又知当2x n <-并趋近于-∞时,()0f x >;0x >并趋近于-∞时,()0f x >; 而(0)0f n =<,所以()f x 存在最小值(0)f n =. 2.3导数在不等式的证明中的应用证明不等式的方法有很多,没有哪一个是固定解法,常用的方法有恒等变形和数学归纳法,缺点是这些方法操作复杂,运算量较大.此时选择运用微积分知识,将不等式问题转化为函数问题,套用单调性和最值进行解答会简单的多[7-8].例3 设e 是自然对数的底,π是圆周率,求证：e e ππ>.证明 因为函数ln y x =单调递增,故e e ππ>等价于ln ln e e ππ>,即ln ln e e ππ>.即ln ln e e ππ>,令ln ()()x f x x e x =≥,则21ln ()xf x x -'=. 因此,当x e >时,()0f x '<,于是()f x 在[],e +∞单调递减,从而()()f e f π>,即ln ln e e ππ>,原命题得证. 2.4导数在组合恒等式中的应用例4证明组合恒等式()()20212222231542nn n n n n C C C n C n n -+++++=++.证明 显然恒等式左边可以写成()21nknk k C=+∑,与()210nt k n k k t C =+∑对比,则121,2t t ==现在将二项式定理()01nnk k n k x Cx =+=∑两侧同乘1x 后再求导数,变形为()()()1111nnn k k n k x nx x k C x -=+++=+∑两边再同乘x 后求导得()()()()()()112221121111nnn n n k kn k x nx x nx x n n x x k C x ---=++++++-+=+∑ 令1x =,即得()()22201542nk n n k k C n n -=+=++∑在此证明结果中,最后若对x 取不同的值,可推得若干种不同形式的组合数恒等式.例如,取1x =-或2x =,则可分别获得()()()2021********n nn n n n C C C n C n -+-+-+=> ()()20212222222232141493n n n n n n n C C C n C n n -+⨯+⨯++⨯+=++通过以上例题,可以明显看到利用导数证明组合数恒等式,不仅思路清晰、简单明了,而且模式比较固定,易被学生掌握,可使众多看起来复杂的一些组合数恒等式的证明问题迎刃而解[9-10]. 2.5求曲线的切线几何上,切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.更准确地说,当切线经过曲线上的某点（即切点）时,切线的方向与曲线上该点的方向是相同的,此时,“切线在切点附近的部分”最接近“曲线在切点附近的部分”（无限逼近思想）.但是在复杂的曲线中,作图都是一件困难的事情,单凭定义找出曲线的切线更是难上加难.这个时候微积分就变成了救世主[11].例5 求曲线31y x x=-上点()1,0处的切线过程. 解 首先求出函数31y x x =-在1x =处的导数,函数31y x x =-是函数3()f x x =与1()g x x=的差,由导数公式表分别得出221()3,()f x x g x x ''==-根据函数差的求导法则可得()()3222211133x f x g x x x x x x '⎛⎫⎛⎫''-=-=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将1x =代入导函数得13141⨯+=,即曲线31y x x =-上点()1,0处的切线斜率为4,从而其切线方程为()041,y x -=-4(1).y x =- 2.6讨论数列最大项例6 已知数列{}n a 的通项2(10)()n a n n n N +=-∈求数列{}n a 的最大项.解 作辅助函数2()(10)(0)f x x x x =->,则2()203f x x x '=-. 令()0f x '>,则2003x <<;令()0f x '<,则0x <或者203x >. ()f x ∴在区间20(0,)3上是增函数,在区间20(,)3+∞上是减函数. 因此,当203x =时,函数()f x 取最大值.对n N +∈,2()(10)f n n n =-, max (7)147(6)144,()147f f f n =>=∴=所以数列{}n a 的最大项为7147a =.2.7利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等高中课本引入导数时,是以速度变化率和人服用退烧药后体温变化为例的.对于导数的物理意义并有人给予统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义.例如,匀速直线运动路程函数S 对时间t 的导数()S t '就是速度;瞬时速度V 对时间t 的导数()V t '就是加速度;通过导体某截面的电量Q 对时间t 的导()Q t '数就是电流强度.下面我们看一个具体的例题.例7 已知物体的运动规律为3S t =（米）,求这个物体在2t =秒时的速度.解 由导数的定义23S t '=有运动物体运动路程对时间的物理意义可知()V S t '=将2t =代入上式,得2(2)(2)3212V S '==⨯=.3定积分在中学数学解题中的应用定积分是新课标中新加的容,需要掌握的容如下：（1）通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例,从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础;（2）通过实例,直观了解微积分基本定理的含义;（3）了解微积分的文化价值[3]．定积分在实践中具有广泛的应用.所以在学以致用的前提下教学,更能够激发学生的学习欲望. 3.1利用定积分求曲边图形面积初等数学阶段要求计算的曲边图形面积一般都是由两条或三条函数图像构成的,之前所学习的函数的解法放在这里根本起不到什么作用,所以在计算时我们可以运用定积分的方法来进行运算.其基本理论如下[12]：（1）如果函数()f x 和()g x 在[,]a b 上可积,并且满足()(),[,],f x g x x a b ≥∀∈那么介于直线,x a x b ==和曲线(),()y f x y g x ==之间的图形面积可以表示为定积分：[()()]baS f x g x dx =-⎰（2）如果函数()y ϕ和()y φ在[,]a b 上可积,并且满足()(),[,],y y y a b ϕφ≥∀∈那么介于直线,y a y b ==和曲线(),()x y x y ϕφ==之间的图形面积可以表示为定积分：[()()]ba S y y dy ϕφ=-⎰（3）正确写出曲边图形所对应的正确积分表达式是重难点,因为积分值可正可负,但是图形面积却一定是正值.因此,一定要遵守一条重要理论,就是“一边恒在一边上”,要么是x 作积分变量,要么是y 作积分变量.即：当x 作为积分变量时,()(),[,],f x g x x a b ≥∀∈当y 作为积分变量时,()(),[,],y y y a b ϕφ≥∀∈具体步骤： 第一步,画出图形;第二步,确定曲边图形围,通过解方程组求出交点横坐标,定出积分上、下极限;第三步,确定被积函数,特别要注意区别被积函数的上、下位置,牢记“一边恒在一边上”; 第四步,写出曲边图形面积的积分表达式;第五步,运用积分基本公式来计算定积分,求出曲边图形的面积．例8 求抛物线22y x =与直线40x y --=所围成图形的面积. 解 第一步：画图,如图3.1x图3.1 两函数相交所构成的图像第二步：求交点：将22y x =与40x y --=联立,解得交点为(2,2),(8,4)- 第三步：写积分：由图像可知,若以x 作为积分变量,则在整个积分区间[]0,8上曲边图形各边不是都满足“一边恒在一边上”.因此,选取以y 作为积分变量,在[]2,4-上,恒有242y y -≥,则直线40x y --=与曲线22y x =所围成的图形（如图）面积：()24242y S y dy -⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰第四步：算面积：直线40x y --=与曲线22y x =所围成曲边图形的面积（如上图所示）：()2222442242444226218y y y y S y dy y dy y ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-++=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭=⎰⎰ 另解：若以x 作为积分变量,在整个积分区间[]0,8上虽然图形的边不都满足“一边恒在一边上”,但是,结合图像,我们可以对以x 作为积分变量的积分区间[]0,8进行拆分：[]0,2和[]2,8, 则有：在[]0,2上,≥则直线2x =与曲线y y ==(2200S dx ⎤==⎦⎰⎰在[]2,8上,4x ≥-,则直线2x =与曲线y =4y x =-所围成的曲边图形面积：())880044S x dx x dx⎤=-=+⎦⎰⎰因此得曲边图形面积：)280233228220241433218S x dxx x x x=++⎛⎫=+-+⎪⎪⎝⎭=⎰⎰根据基本理论,为了满足不等关系（一边恒在一边上）,适当选取积分变量,会使得计算变的简洁;不过拆分区间,然后分块检验一边恒在一边上,分区间求解也是行的通的[4-6].3.2定积分在不等式证明中的应用例9若,2,n N n∈≥,求证：111111ln123231nn n+++<<++++-证明不等式链的左边是通项为1n的数列的前1n-项之和,右边通项为11n-的数列的前1n-项之和,中间的ln n可当作是某数列的前1n-项的和.故只要证当2n≥时这三个数列的通项不等式()11ln ln11n nn n<--<-成立即可.构造函数1,yx=因为()1ln xx'=,作1yx=的图像（图3.2）,由图知x在区间[]()1,,2n n n-≥上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间,即111,1nndxn x n-<<-⎰而()11ln ln ln1n x nx nndxx n nx==--==--⎰,故不等式()11ln ln11n nn n<--<-成立,从而所证不等式成立.3.3定积分在因式分解中的应用定积分在因式分解中的步骤为：第一步,构造函数.一般讲被分解因式中的某一个字母看作变量,其它字母看作常量;第二步,根据构造的函数进行求导,确定导函数与原函数存在公因式;第三步,将构造函数写成定积分的方式求解[13].例10 分解因式：22242(1)2(1)(1).y x y x y +-++-解 将y 作为变量,x 作为常量,构造函数()f y ,得22242()(1)2(1)(1)f y y x y x y =+-++-, 对()f y 求导,有2422()2(1)42(1)2(1)(1)[12(1)]f y y x y x y x x x y x '=+---=+-++-当0y =时,242222(0)12(1)(1)(1)f x x x x x =-+=-=-+,()f y '∴与(0)f 有公因式(1)(1)x x -+.故可以利用定积分进行因式分解：即：22()(1)(1)(222f y x x y yx y =+-++4微积分在函数作图中的应用中学课本中介绍绘制函数图像时大多采用的是描点作图的方法,但是描点法作图时存在很多不足之处.譬如描点数量少会导致函数图像走势不准确,对于关键点的判断也不准确.学习了导数及其应用后,作图时能够精准地表达出图像的极值点和增减性,使得函数图像更准确[14].例11 函数2123y x =+的图像正确形状是图4.1,用描点法作图得到的是图4.2这样的错误图像.x x5 小结通过总结了微积分在中学数学中的这些应用,可以看出如果用初等数学的知识解决某些特殊问题的话,不免会繁琐无比,但只要巧妙得把高等数学中的思想和方法应用到初等数学中就会产生奇妙的结果,一些题目的本来繁杂的思考计算步骤就可以省略掉,变得既简单又明了.数学是一门学问,其中高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系,微积分则扮演着重要的角色,它不但能解决初等数学中的诸多问题,而且成为高等数学发展的基础.用微积分的知识解决初等数学中的问题,有居高临下的作用.微积分在初等数学中的应用远不止这些,在其他方面也有广泛的应用.微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分,它对中学数学有重要的指导作用.参考文献[1]士键，王尚志,普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-2）[M].人民教育课程教材研究所.：师大学.2009. 02222222222222222()()(0)(0)()(0)2(1)[12(1)](1)2(1)[(1)(1)](1)(1)(1)(22221)yyf y f y f f f y dy f x x y x dy x x x y x y x x x y yx y x y x '=-+=+=-++-+-=-++++-=+-++--+⎰⎰[2]霞,微积分与中学数学的关联[M].师大学教育硕士专业学位论文.2012.03.[3]《高中数学课程标准》[J].2000.6:前言[4]党光,对高中数学微积分的理解及教学建议[J].教学实践.2012.2(4):71-72[5]王金梅,数学史在高中数学教学中的应用研究[M].大学硕士学位论文.2011.[6]蔚,舒江,浅谈微积分在中学数学解题中的应用[J].数理化教学研究.2007.5(3)：64[7]王茜,微积分在高考数学试题中的应用[J].中学数学.2013.3(6):11-12[8]匡继昌,如何给中学生教授微积分[J].数学通报.2006.5(2):3-5[9]俞,高中新课标函数与微积分有关容的处理研究课程教材、教法[J].课程·教材·教法,2010.1(30):60-62.[10]郭延庆,微积分在中学数学中的指导作用[J].XX教育学院学报.1989.1(8):89-91.[11]于素洁,高中微积分教学研究[J].2008:16-22.[12]陆群峰,导数在中学数学中的应用[J].学科教学.2008.3(1):102[13]White, P&Mitchelmore, M.1996, Conceptual knowledge introductory calculus. Journal for Reseacrh in Mathmatics Education,2001.2(27):79-95.[14]Boarn, E&Avital, S 1986. Rate of change over interval as a ProPerty of functions an algebraic and numerical approach. International Jounral of Mathmatics education in Science&Technology,1993. 17 (1):71-77.Introductiontotheapplicationofthecalculus in mathematicsteaching of middle schoolHE Kai-xi（Grade11,Class1, Mathematics and applied mathematics, school of Mathematics and puter Science,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi）Tutor: Quan Shuang-yanAbstract: Calculus in middle school mathematics plays a very important role, its theory through elementary mathematics, and extend to higher mathematics.This paper summarizes the application of calculus in function extreme value with the most to prove the monotone of function, inequality and identities, image rendering function, Planar graphics area and seek tangent equations, etc.Keywords: elementary mathematics ; higher mathematics ; derivative ; definite integral。

学号 2009311010152 编号2013110152研究类型应用研究分类号O122文理学院College Of Arts And Science Of Hubei Normal University学士学位论文Bachelor ’s Thesis论文题目浅析微积分在中学数学中的应用作者姓名指导老师傅朝金所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间2013年 5月湖北师范学院文理学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用外文题目： Application of calculus in mathematics teaching in middleschool学生姓名学生学号2009311010152数学系院系专业学生班级0901班数学与应用数学学生承诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况. 如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理 .学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象.指导教师（签名）：年月日目录1.引言12.中学微积分的基本数学思想方法22. 1“极限”思想22.2化归思想42.3微积分中的哲学与辩证的思想52.4函数思想 [1]52.5数形结合思想63.微积分在中学数学中的应用63.1 关于函数的单调性63.2求函数的极值、最大值与最小值73.3函数的变化性态及作图83.4微积分在解方程中的应用103.5不等式的证明113.6恒等式的证明113.7曲线的切线及求法124.结语135.参考文献14浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师：傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）摘要：微积分是大学数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的指导作用 . 微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用，与中学数学联系非常紧密 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度的涉及 . 在讨论在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一步体现微积分与中学数学的联系 .关键词：微积分；函数性态；思想方法中国图书分类号： O122Application of calculus in mathematics teaching in middleschool Luo Fang (Tulor: Fu Chaojin Professor )(Hubei Normal University College of Arts and Sciences, Departmentof mathematics, China Huangshi 435002)Abstract:Calculus is a compulsory basic course of university mathematics, its basic theory plays an important role in middle school mathematics. Way of thinking in calculus and basic theory has been widely used, very close contact with the middle schoolmathematics. Mathematics to calculus ideas, such as the ultimatethinking,dialectical philosophy thought, the idea of function,number form combining thought have got different involved. In thediscussion on monotonicity of function, and the extreme values ofa function,function changes of behavior and mapping, in theapplication of calculus equation,inequality and identities,tangent to the curve and calculating method,methods use thecalculus, can play the role of deduce simplicity into complexity,to further reflect the calculus with the middle schoolmathematics.Keywords: Calculus; Functional properties; Thinking method浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师 : 傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）1.引言2l 世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数学在各个领域的运用．我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要目标就是培养满足社会需要的人才．相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更加重视发展学生的能力．因此，如何培养学生数学的思维能力和思想方法，做到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学思维”去分析问题、解决问题的良好习惯，全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前一项既迫切又艰巨的任务．在我国新制定的《数学课程标准》中写道：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段．数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值．”这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的所在．数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁 . 在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪高科技挑战的必由之路 . 作为一名中学数学教师，了解微积分与中学数学的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，用较高的观点分析与处理中学教材，这对提高中学数学教学是十分重要的 .微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度涉及 .本文同时举例说明微积分在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法方面的应用 .2.中学微积分的基本数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数学的时间活动，是解决数学问题的根本策略.所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有程性、次性和可操作性等特点 . 数学方法是解决数学的手段和工具 . 数学思想方法是数学思想和教学方法的称 . 数学思想是数学知与方法形成的律性的理知 , 是数学方法的灵魂 . 数学方法是数学思想的表形式和得以的手段 . 数学思想是数学知和方法的，数学方法是解决数学、体数学思想的手段和工具 .微分如今既是大学的重要基，也是高中新增加的数学程的内容. 微分的展是很有趣的，其中思方法极重要，引起我在教学中的重 . 微分中涵的主要数学思想，如极限的思想、化思想、的哲学思想、函数的思想、数形合思想等从不同面都有不同程度的研究 .2.1 “极限”思想所极限的思想是用无限的化程来研究有限的思想．它是用有限描述无限、由近似渡到精确，更是一种工具、一种程，特是于化的“无小” 程，是高等数学的中心思想 . “极限”思想方法揭示了常量与量、有限与无限、直与曲等一系列立一及矛盾相互化的关系 . 其极限思想的本是人通化程量的分析来把握化程的果 . 是一种极有价的思方式 . 种思也是非常重要的，有利于学生形成思，到数学知的一性 .例如在求曲梯形的面，了四个程：化“整” “零”，以“直”代“曲”，“零” “整”，取极限四个程．首先将曲梯形任意分割成若干个小曲梯形，每个小曲梯形的面用接近的小矩形的面作近似替代，分割得越，近似程度越精确，最后以小矩形面之和得极限作曲梯形面．即：(1)化“整” “零”：分曲梯形个小曲梯形.2-12-2在区中任意插入若干个分点，把分成个小区度依次：，，，⋯，作，⋯，.，它的，经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，第个小曲边梯形的面积记作，(2) 以“直”代“曲”：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积. .在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形近似替代第个小曲边梯形() ，则有，.(3)积“零”为“整”：求个小矩形面积之和 .把这样得到的个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值，即.(4) 取极限：由近似值过渡到精确值，时，可得曲边梯形的面积，求得曲边梯形的面积 .通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生活生产中产生的，并可以应用到现实生活中去．2.2 化归思想化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个 ( 或某些 ) 己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的思想，其核心就是简化与转化．化归思想有三要素：化归对象( 要化什么 ) ，化归目标 ( 化成什么形式 ) ，化归途径 ( 怎么化 ) ．在化归思想中，“转化”是关键．认知心理学认为 : 新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行组织和构造的．即把新旧知识建立起联系，而这种联系常常用到化归思想．可见，化归思想贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想．化归思想实际上是我们在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面进攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的．例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；根据复合函数求导法则，把普通初等函数求导及参数方程求导转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其( 二阶 )导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；也常将实际问题通过建立数学模型后转化为定积分运算来求解．像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”．一般说来，可以按下面的几种方式实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式的转化；引入辅助元素的转化．化归原则在解决问题时的一般模式为:还原图 2-3求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在 . 然而，将进行任意分割个小区间后，得到了个小曲边梯形 . 通过“以直代曲”，即对每个小曲边梯形面积近似替代，则“曲”变“直”，问题迎刃而解 .还原图 2-4可见，化归思想在解决应用问题和数学建模过程中应用非常广泛．2.3 微积分中的哲学与辩证的思想微积分中的哲学思想、辩证的思想是微积分中的又一主要数学思想 . 微积分学是变量数学的主要组成部分，它本身就包含着唯物辩证法的丰富内容，如：量变到质变、特殊到一般、具体到抽象、近似到精确 . 在它的每一个定义、公式和法则中无不闪烁着唯物辩证法的光芒 . 微积分学中，通过曲线的切线研究曲线的性质，就是将曲线线性化，即以直代曲 . 又如微分与积分作为微积分的核心内容，微分是由整体研究局部性问题，而积分是由局部来研究整体问题 . 它们是两个互逆的过程，也是对立统一的 . 2.4 函数思想 [1]函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法，是由研究状态过渡到研究变化过程的思想．辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，静止是相对的．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应．以这种观点去分析函数的思想，不难看出，函数是自变量与函数值的“绝对运动”，才换来了等式的“相对静止”．从而将两种方式对函数的定义统一于运动静止的体系中．要想辩证的理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学．微积分就是以极限的思想研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去分析处理问题 . 如导函数 ( 导数 ) 就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想：一个函数在某区间内的每一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都对应一个确定的导数，即在该区间内构成一个新的函数——导函数. 由定积分知道，原来的函数称为原函数．这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数的问题时，可转化为另一个函数问题来解决( 化归思想 ) ；函数的单调性、凹凸性、函数的极值，最值 ( 尤其在经济问题中函数的最值应用题 ) 经常要考虑到函数思想方法；拉格朗日中值定理证明及其运用均需构造合适的函数．函数是微积分研究的主要对象，函数思想方法是学习微积分的基础，其在微积分的学习过程中得到升华和内化．函数与方程有非常密切的关系，方程的根可视为其相应函数在某种特定状态数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究下的值．因此当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数的思想，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大大简化解题的步骤.2.5 数形结合思想微积分的许多概念都来源于实际，都有其几何或物理意义，不少结论也反映了某种几何关系或性质．如导数与曲线的切线密切相关、定积分表示曲边梯形的面积、积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等 . 这就决定了数形结合法成为微积分中的一个重要思想方法 . 因此，在微积分的教学中，对某些知识，应从思想方法角度去分析，把握其本质联系，使一些看似静止孤立的知识成为有机联系的动态的知识，使学生逐步掌握系统、完整的知识结构 .3.例说微积分在中学数学中的应用3.1 关于函数的单调性中学数学中讨论函数的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取，若，则在该区间单调递增，若，则在该区间单调递减 . 该方法的优点是直观易懂，其缺点是函数表达式复杂时判断的正负比较困难，往往运用较高技巧，且适用面也较窄 [2].运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可 . 该方法简单易行，不需太多技巧，且适用面也宽.例 1已知函数，讨论的单调性.解的定义域为，，令，得，当时，，的变化情况如下：-+极小值所以，在上的最小值是.当，单调递减且的取值范围是；当，单调递增且的取值范围是.3.2 求函数的极值、最大值与最小值设在点连续，在点的某一空心领域内可导，当由小增大经过时，如果：（ 1）（ 2）由正变负，那么由负变正，那么是极大值点；是极小值点；（3）不变号，那么不是极值点.特别说明：(1) 驻点 ( 使的点叫做函数的驻点)不一定是点 .是函数的驻点，但不是其极值点.(2) 极值点还可能是使导数不存在的点. 如函数，在在，但是是它的极小值点 .的极值处导数不存例 2已知函数在取得极小值 5，其导函数的图象经过点，，如图 3-1所示，求：(1)的值；(2)，，的值；(3)的极大值 .解(1) 观察图象，我们可发现：当时，，此时为增函数；当，此时为减函数；当时，因此在处函数取得极小值 . 结合已知，可得，此时.时，图 3-1为增函数 .(2) 由(1) 知，即，再结合的图象可知，方程的两根分别是, .那么，即.联立(3) 由(1)知，得在，，.处函数取得极大值，所以3.3 函数的变化性态及作图中学数学教材中在介绍了二次函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像，这种图像不一定能反应曲线在一些点和区间上的性态 . 学习了导数及其应用后，就可以利用函数的导数并结合函数的某些性质，有效地对函数的增减性、极致点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断，从而较为准确的描绘出函数的图像 . 对于一些非初等函数，采用这一方法冒险而冗长，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果取得点太多，那将花费过多的精力，且仍会担心是否忽略了一些重要的点 . 例如函数与的正确图形应为图 3-2 所示，而用描点法很可能画出图 3-3 的错误图形 [4].图 3-3图 3-2利用导数作为工具，就可以有效地对函数的增减性、极值点等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象 . 一般来说描绘函数的图像可以按以下步骤进行：（1）求出函数的定义域确定图像范围.（2）判别函数是否具有奇偶性或周期性缩小描绘图像的范围.（3）求函数的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可能在极限，也可能趋向无穷( 此时有垂直渐近线 ) ，如果函数定义域是无限区间，则要讨论当无限增加时的变化趋势若存在极限，则有水平渐近线；若趋于无穷，应考虑是否有斜渐近线.（4）计算函数的一、二阶导数并求解和讨论的单调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表.（5）计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标 .（6）在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘 .例3 作函数解定义域为令，得驻点的图形 .，曲线与轴的交点为，，；令，得. 利用连续函数..列表如下 :极大值拐点极小值作图像如下：图 3-43.4 微积分在解方程中的应用在超越方程中判别根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求较高，往往会由于作图误差而出错.例 4[6]试证明方程在内只有个实根，并求出它的近似值 , 使误差不超过.本题首先要用到函数的零点存在定理和函数的单调性证明，接着用切线法求出近似值 .解设，则，，容易验证在区间上，，，，.因为在内连续，且是单调递增，两端点处的函数值异号，所以此方程在内只有 1 个实根 .可以看出在内，曲线是单调递增、下凹并从轴的下方穿过轴到上方的，曲线与轴交点的横坐标. 就是方程在内的根，现在用切线法求根的近似值 .在端点处作切线来求方程的近似实根，现在，所以它比更接近于根，继续施行这样的方法，得：因为，，而，所以取.为根的近似值，它的误差就不超过.3.5不等式的证明不等式的证明方法多种多样，但没有较为统一的方法，初等数学通过恒等变形、数学归纳法等方法解决，或应用已有的基本不等式来证明，为此往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧 . 而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性 [7].例 5证明不等式，.证明设，则，，所以递增，又例，故，即6设是自然对数的底，.是圆周率，求证:.证明因为函数单调递增，故等价于，即，即.令，则.因此，当时，，于是在内单调递减，从而，即，原命题得证 .3.6 恒等式的证明例7 求证：.本题不能用求和公式证明，但可以用二项式定理求导得证.证明因为，对等式两边求导得：，令即得：.3.7 曲线的切线及求法例 8[8]（2009全国卷Ⅰ理）已知，函数.（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最小值.解（1）依题意有，，过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为.又已知圆的圆心为，半径为 1. 所以，解得.(2)，当时，.令，解得；令，解得.所以的增区间为，减区间是.（3）当，即时，在上是减函数，所以的最小值为.当，即时，在上是增函数，在是减函数 .所以需要比较和两个值的大小.因为，所以. 所以，当时最小值为；当时，最小值为. 当，即时，在上是增函数 .所以最小值为.综上，当时，为最小值为；当时，的最小值为.4. 结语微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富 [9], 凝聚了一代又一代数学家的心血，它那闪烁着人类理性思维的光辉，将永远鼓舞着后来人 . 因此，在中学数学教学中，向学生介绍微积分的思想，激发他们献身科学事业的热情是很有必要的. 因此，微积分的学习将有助于学生动态思维以及唯物主义思想的培养. 不仅如此，教师应向学生弘扬数学文化，使学生体会到数学荡漾着浓郁的人文气息 . 激发学生的创造热情，是每个中学教师义不容辞的责任 .用微积分处理中学数学中的问题，具有居临下的作用，对于沟通初等数学与高等数学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路都很有帮助 . 而且对中学数学中较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体现了高等数学的优越性，从而使学生感到高等数学与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣 . 另外，还可扩展中学数学的应用范围 . 微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其它如因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用 . 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.5.参考文献[1]丁向前 . 微积分思想在中学数学中的渗透 [J]. 数学教学研究， 2008， 27(8):4 ～5.[2]俞宏毓 . 例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 [J]. 高等函授学报（自然科学版）， 2006，20(2):32 ～ 36.[3] 贤锋 . 浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[4]魏本成，吴中林 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 天中学刊， 2001， 16(5) ：54 ～55.[5]吴向群，庄认训 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 青海师专学报（自然学科）， 2002，22(5):77 ～ 78.[6]徐岳灿 . 探索微积分在中学数学中的必要性 [J]. 上海中学数学， 2011，64 （6）： 27～ 29.[7]包建廷 . 微积分在不等式中的应用 [J]. 承德民族师专学报， 2003，23(2):27 ～30.[8]肖新义，肖尧 . 微积分方法在初等数学中的应用研究 [J]. 和田师范专科学校学报2009，28（5）： 15～16.[9]王昆扬 . 给中学生讲好微积分基本知识 [J]. 数学通报， 2001(6):23 ～ 24.[10]李霞 . 浅论数学分析的原理与方法在中学数学中的应用[J]. 牡丹江教育学院学报，2006，95（ 1）： 83～84.致谢大学生活转眼就要结束了，这几年是我人生中最重要的学习时间. 在大学校园里，我不仅学到了丰富的专业知识，更学到了终身受用的学习方法和积极的生活态度，通过对各门课程的学习和与相关专业老师的沟通，使我深感机会难得，获益匪浅，母校严谨的学风和老师的广博丰富的知识令我敬佩，各位老师的悉心授课使我对数学有了更多、更深层的认识，为以后的学习和工作打下坚实的基础 . 四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始 . 四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊 .本学位论文是在我的导师傅朝金教授的亲切关怀和悉心指导下完成的的选择到项目的最终完成，傅老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持. 从课题. 在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的605 室友们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意 !最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢.湖北师范学院文理学院学士学位论文评审表系部数学系学生罗芳班级班评阅人傅朝金名称姓名0901姓名名称。

毕业论文（设计）论文（设计）题目：浅析微积分在中学数学中的应用姓名学号院系专业年级指导教师2016年04月17日目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章引言 (3)第2章中学微积分的基本数学思想方法 (4)2.1 “极限”思想 (4)2.2 化归思想[1] (5)第3章微积分在中学数学中的应用 (7)3.1 导数在函数单调性问题上的应用 (7)3.2 利用导数求函数的极值问题 (7)3.3 函数的变化形态及作图 (8)3.4 微积分在解方程中的应用 (10)3.5 不等式的证明 (10)3.6 恒等式的证明 (11)3.7 曲线的切线及求法 (12)第4章结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要本文对微积分中的思想诸如如函数的思想、极限的思想、和化归思想等思想都有深浅不同的探讨。

我们使用微积分的方法来讨论函数的单调性、函数的极值和最值、函数的变化形态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法。

这样就简化了解题思路和步骤，更深层次的体现出微积分与中学数学间的联系。

关键词：微积分；函数形态；思想方法ABSTRACTThis article focuses on the varying degrees of the main mathematical thinking in calculus,such as limit thought,the the thought of function,and the transforming thought.In discussions on the monotonicity of the function, and the function extreme value and maximum function, and the change of configuration and mapping, application of calculus in solving equations, inequalities and proof of identity, the tangent of the curve and the method, using the methods of calculus to solve problem more easy, in order to reflect calculus links with the middle school mathematics.Key words: Calculus;Function form;Math Thought第1章引言由古至今数学都与人类的生活息息相关，特别是当今社会，科技迅速的发展，高科技产物的层出不穷也使得人们对生活质量的需要越来越高。

中学数学和微积分的关联摘要：微积分是在中学数学课程改革后加入的课程，原来中学数学对微积分涉猎很少，主要是因为微积分在数学中属于较难理解的数学问题，但是微积分与中学数学有着重要的联系，在数学领域中占有较重要的地位。

关键词：微积分;中学数学;关联微积分与中学数学有着重要的联系，在进行中学数学教育时要首先注重数学思想的简单讲述，使学生对数学问题有简单的解决思路。

微积分是数学中所占比重较大的一项内容，在数学课程的学习中必须要借助微积分中的一些思想才能解决更多的数学问题，在中学的数学教育中就要重视对数学思想的教授，所以微积分的相关内容必须在中学数学课程中进行简单的讲解，以便学生在日后学习更难的数学知识。

只有将微积分中的数学思想进行简单的理解，才能将中学数学学习得更加透彻。

一、微积分在中学数学中的应用概况1.微积分学的发展背景微积分是数学中较为基础的课程，它涵盖许多数学领域中的知识，涉及的数学思想有很多方面。

微积分学的发展过程较为漫长，它虽然是属于数学范畴中的一项基本内容，但是解决微积分问题要用属于微积分的独特数学思想才能够进行。

微积分学中的基础问题就是利用微积分的思想来进行求解不规则几何图形的面积，这种解决数学问题的重要方法对于数学中其他难题的分析也有着重要的意义。

微积分学中内容在发展中进行不断的完善，在微积分学开始建立时只是由简单的数学思想和少数的典型问题所构成，随着数学知识的拓展与创新，微积分学也进行了较大的变革，增加了很多的问题类型，更加深入地进行微积分数学思想的涵盖。

在传统的中学数学中不进行对微积分的要求，中学数学中微积分方面的内容几乎没有涉猎，这对于学生在日后对学习数学是十分不利的，微积分学的思想对于数学的学习十分重要，所以在中学数学中加入微积分的内容对学生的数学学习至关重要。

2.现阶段中学数学的发展分析我国中学数学教育课程中在近些年有着较大的变动，在进行中学数学课程选择时遇到很多存在矛盾的方面，数学学习主要是学习思想，这种思想上的学习就要通过完善的知识体系来进行，如果缺少某项必要的数学内容，数学中的整体思想就会出现漏洞，以至于对学生的数学学习产生不好的影响。