2 数字仿真考核题

2021年山东省高考数学仿真模拟试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}，B ={x||x|<3}，则A ∩B =( )A. (−2,3)B. (−2,3]C. (−12,2)D. [−12,3)2. 设复数z 满足z(√3−i)=(1+i)2，则|z|=( )A. 12B. √22C. 1D. √323. 关于命题，下列判断正确的是( )A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C. 命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ” D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2<0成立，则a 的取值范围是( )A. a ∈(0,1)B. a ∈[34,1)C. a ∈(0,13]D. a ∈[34,2)5. 函数f(x)=√2sinx −1的奇偶性为( )A. 奇函数B. 既是奇函数也是偶函数C. 偶函数D. 非奇非偶函数6. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1，若目标函数y =yx−m 的最大值为2，则m 的值为( )A. −32B. −2C. 12或2D. −32或−28. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B 、C 三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有( )A. 630种B. 600种C. 540种D. 480种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(x n,y n)，则下列说法中正确的是()A. 由样本数据得到的回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心(x−,y−)B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量y和x之间的相关系数为r=−0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系10.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是()A. 该截角四面体的表面积为7√3a2B. 该截角四面体的体积为23√212a3C. 该截角四面体的外接球表面积为112πa2D. 该截角四面体中，二面角A−BC−D的余弦值为1311.已知等比数列{a n}的公比q=−23，等差数列{b n}的首项b1=12，若a9>b9且a10> b10，则以下结论正确的有()A. a9⋅a10<0B. a9>a10C. b10>0D. b9>b1012.在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2=2y的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则()A. y1y2=14B. 以AB为直径的圆与直线y=−12相切C. |OA|+|OB|的最小值2√2D. 经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13.二项式(2√x −x2)6的展开式中，常数项为______ ．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2=2a2，则cos A的最小值为______ ．15. 过圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)外一点(2,0)引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于±√33，则r 的值为______ ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 设函数f(x)=x 2+1x，g(x)=x e x ，则函数g(x)=xe x (x >0)的最大值为 (1) ；若对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，则正数k 的取值范围是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足√3c =b(sinA +√3cosA)．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =2，求b 的取值范围．18. 已知各项均为正数的等差数列{a n }满足a 1=1，a n+12=a n 2+2(a n+1+a n ).(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n =a +a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19. 某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y 的频数分布表．y的分组[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)企业数3024401610(1)估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)．(2)估计这120个企业产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(3)以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.若采访的企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)，则采访价值为1；采访的企业的增长率y∈[−0.2,0)，则采访价值为2；采访的企业的增长率y∈[0,0.6)，则采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望．20.如图所示，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=∠SCD=90°，CD=1．AB=AD=12(1)求证：平面SBD⊥平面SBC；(2)若二面角A−SB−C的余弦值为−3√20，求SC的长20度．21. 已知圆F 1：(x +1)2+y 2=r 2与圆F 2：(x −1)2+y 2=(4−r)2(1≤r ≤3)的公共点的轨迹为曲线E ． (1)求E 的方程；(2)设点A 为圆O ：x 2+y 2=127上任意点，且圆O 在点A 处的切线与E 交于P ，Q两点.试问：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=lnx x．(1)若直线y =kx −1是曲线y =f(x)的切线，求实数k 的值； (2)若对任意x ∈(0,+∞)，不等式f(x)≤ax −1−lna x成立，求实数a 的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合A ={x|2x 2−7x −4≤0}={x|(2x +1)(x −4)≤}={x|−12≤x ≤4}，又B ={x||x|<3}={x|−3<x <3}， 所以A ∩B ={x|−12≤x <3}. 故选：D ．先分别求出集合A 和集合B ，然后利用集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由z(√3−i)=(1+i)2=2i ， 得z =3−i=√3+i)(3−i)(3+i)=−12+√32i ， ∴|z|=12)(√32)=1．故选：C ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词，是全称命题，所以A 不正确； 命题“有一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以B 不正确；命题“∀x ∈R ，x 4∈R ”的否定为“∃x 0∈R ，x 04∉R ”，满足命题的否定形式，所以C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，所以D 不正确； 故选：C ．利用量词判断AB 的正误；命题的否定判断CD 的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]． 故选：C ．根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，解出a 的范围即可．本题考查了减函数的定义，指数函数、一次函数和分段函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=√2sinx −1，必有2sinx ≥1，即sinx ≥12， 则有2kπ+π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，即函数f(x)的定义域为[2kπ+π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数， 故选：D ．根据题意，求出函数的定义域，分析可得其定义域不关于原点对称，结合函数奇偶性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数定义域的分析，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以点P 为△ABC 的重心， 延长PA 交BC 于点M ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B ⃗⃗ C −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23B ⃗⃗ A −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．利用已知条件确定点P 为△ABC 的重心，然后利用重心的几何性质以及平面向量基本定理求解即可．本题考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是确定点P 为三角形的重心，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由约束条件{x −y ≤0mx −y ≤0x +y ≤1，其中m <−1作出可行域如图，联立{x +y =1mx −y =0，解得A(11+m ,m1+m )，由图可知，要使目标函数y =yx−m 的最大值为2， 即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率的最大值为2， 则P 在直线x =11+m 的左边，此时k PA =m 1+m 11+m−m =m 1−m−m 2=2，解得m =12(舍)或m =−2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，再由yx−m 的几何意义，即可行域内的动点与定点P(m,0)连线斜率列式求解．本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：C 61C 51C 44A 22⋅A 33=90种，把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：C 62C 42C 22A 33⋅A 33=90种，把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：C 61C 52C 33⋅A 33=360种，综上，不同的安排方式共有90+90+360=540种， 故选：C ．把6名工作人员分别分为(1,1，4)，(2,2，2)，(1,2，3)三种情况讨论，然后分别计算即可求解．本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了分类讨论思想以及学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，由样本数据得到的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂必过样本中心(x −,y −)，故选项A 正确；对于B ，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项B 正确；对于C ，用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好，故选项C 错误；对于D ，若变量y 和x 之间的相关系数为r =−0.9362，r 的绝对值接近于1，则变量y 和x 之间具有线性相关关系，故选项D 正确． 故选：ABD ．利用回归分析中的基本概念和原理对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了回归分析的基本知识的理解，涉及了回归方程、残差平方和、相关指数的理解和应用，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故S =4×√34a 2+4×6×√34a 2=7√3a 2，故选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高ℎ=√63a ，所以V =13⋅√34⋅(3a)2⋅√63⋅(3a)−4⋅13⋅√34a 2⋅√63a =23√212a 3，故选项B 正确‘因为截角四面体上下底面距离为√6a −√63a =2√63a ， 所以√R 2−O′C 2+√R 2−O′H 2=2√63a ， 所以√R 2−a 23=2√63a −√R 2−a 2，即R 2−a 23=83a 2+R 2−a 2−4√63a ⋅√R 2−a 2，所以R 2=118a 2，故S =4πR 2=112πa 2，故选项C 正确；二面角A −BC −D 的余弦值应该为负值，故选项D 错误． 故选：ABC ．确定截角四面体是由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积、体积、外接球的表面积，即可判断选项A ，B ，C ，然后由二面角的余弦值的正负判断选项D ．本题以命题真假的判断为载体考查了空间几何体的表面积和体积的求解，解题的关键是分析出截角四面体的结构特征，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9⋅a 10=a 12(−23)17<0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10>b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9>b 9且a 10>b 10，则a 1(−23)8>12+8d ，a 1(−23)9>12+9d ， 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d <0， 即有a 9>b 9>b 10，故D 正确． 故选：AD ．设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D正确．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及单调性的判断，考查运算能力和推理能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,12)，显然过焦点F的直线的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx+12，联立{y=kx+12x2=2y，整理可得：x2−2kx−1=0，可得x1+x2=2k，x1x2=−1，所以y1+y2=k(x1+x2)+1=2k2+1，y1y2=x12x224=14；所以A正确；以AB为直径的圆的圆心坐标为：(x1+x22,y1+y22)，即(k,k2+12)，半径|AB|2=y1+y2+12=k2+1，所以圆心到直线y=−12的距离为：k2+12+12=k2+1等于半径，所以圆与直线相切，所以B正确；当直线AB与x轴平行时，|OA|=|OB|=√52，|OA|+|OB|=√5<2√2，所以|OA|+|OB|的最小值不是2√2，故C不正确；直线OA的方程为：y=y1x1x=x12x，与x=x2的交点坐标为：(x2,x1x22)，因为x1x22=12，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线y=−12上，故D正确；故选：ABD．由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得A正确；可得AB的中点的坐标，及弦长|AB|的值，进而求出圆心到直线y=−12的距离恰好等于半径，可得与直线相切；当直线AB与x轴平行时可得|OA|=|OB|的值，可得|OA|+|OB|的最小值不为2√2，判断C不正确，设过B的直线与直线OA的直线的交点的纵坐标为定值，可得D正确．本题考查直线与抛物线的综合，命题真假的判断，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(√x )6−r⋅(−x2)r=C6r⋅26−2r⋅(−1)r x3r−62，令3r−62=0，解得r=2，所以展开式的常数项为C62⋅22⋅(−1)2=60，故答案为：60．先求出通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等号，∴12bc ≥1b2+c2，且b2+c2=2a2，∴根据余弦定理，有cosA=b2+c2−a22bc ≥2a2−a2b2+c2=a22a2=12，当且仅当b=c=a时等号成立，∴cosA的最小值为12．故答案为：12．根据条件，利用不等式b2+c2≥2bc和余弦定理，即可求出cos A的最小值．本题考查了余弦定理和重要不等式，考查了计算能力，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12r2sin∠AOB，当∠AOB=90°时，△AOB面积最大，此时圆心O到直线AB的距离d=√22r，设直线AB的方程为y=k(x−2)，k2=13，则d=√k2+1=√22r，∴4k2k2+1=12r2，将k2=13代入，解得r=√2．故答案为：√2．利用三角形面积公式可知，当∠AOB=90°时，△AOB面积取得最大值，再利用点到直线的距离公式求得结果．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】1e[12e −1,+∞)【解析】解：g(x)=xe x 的导数为g′(x)=1−x e x，则0<x <1时，g′(x)>0，g(x)递增；x >1时，g′(x)<0，g(x)递减， 可得g(x)在x =1处取得极大值，且为最大值1e ；又x >0时，f(x)=x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1时取得最小值2，由对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1ek ≤2k+1，由k >0，可得k ≥12e−1， 故答案为：1e ；[12e−1,+∞)．求得g(x)的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，不等式g(x 1)k≤f(x 2)k+1恒成立，可得1k g(x)max ≤1k+1f(x)min ，结合基本不等式可得所求范围． 本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理知，b sinB =csinC ，∵√3c =b(sinA +√3cosA)， ∴√3sinC =sinB(sinA +√3cosA)，又sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ， ∴√3sinAcosB =sinBsinA ， ∵sinA ≠0，∴tanB =√3， ∵B ∈(0,π)，∴B =π3．(Ⅱ)由余弦定理知，b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =(a +c)2−2ac −2ac ⋅cos π3=(a +c)2−3ac ， ∵a +c =2，∴b2=4−3ac，即ac=4−b23，而ac≤(a+c)24=1，当且仅当a=c=1时，等号成立，∴4−b23≤1，解得b≥1，又b<a+c=2，∴1≤b<2，故b的取值范围为[1,2)．【解析】(Ⅰ)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求出tan B的值，从而得解；(Ⅱ)由余弦定理可推出b2=4−3ac，再利用基本不等式可得ac≤1，然后结合b<a+c，得解．本题主要考查解三角形，还涉及基本不等式，熟练掌握正弦定理、余弦定理与两角和的正弦公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的等差数列{a n}满足a1=1，a n+12=a n2+2(a n+1+a n)，整理得(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1−a n)，由于a n+1+a n≠0，所以a n+1−a n=2(常数)，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以a n=2n−1．(2)b n=√a+a =√2n−1+√2n+1=√2n+1−√2n−12，所以S n=12×(√3−1+√5−√3+...+√2n+1−√2n−1)=12(√2n+1−1)．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)产值负增长的企业频率为：30+24120=0.45=45%，用样本频率分布估计总体分布得这些企业中产值负增长的企业比例为45%．(2)企业产值增长率的平均数y−=1120(−0.3×30−0.1×24+0.1×40+0.3×16+0.5×10)=0.02；(3)企业的增长率y∈[−0.4,−0.2)的概率为30120=14，企业的增长率y∈[−0.2,0)的概率为24120=15，企业的增长率y∈[0,0.6)的概率为40+16+10120=1120，由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，6，则P(X=2)=14×14=116，P(X=3)=2×14×15=110，P(X=4)=15×15+2×14×1120=63200，P(X=5)=2×15×1120=1150，P(X=6)=1120×1120=121400，所以X的分布列为：X 2 3 4 5 6P116110632001150121400故E(X)=2×116+3×110+4×63200+5×1150+6×121400=235．【解析】(1)根据频数分布表计算即可；(2)根据平均值的计算公式代入数据计算即可；(3)先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望、考查了学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意，在底面梯形ABCD中，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2，∴BD=BC=√2，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，且SC⊥CD，SC⊂平面SCD，∴SC⊥平面ABCD，∵BD⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SBC．(2)由(1)知SC⊥平面ABCD，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴， CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A(2,1，0)，B(1,1，0)，D(2,0，0)， 设SC =ℎ(ℎ>0)，∴S(0,0，ℎ)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 由(1)得BD ⊥平面SBC ，∴平面SBC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设平面ABS 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n ⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −y +ℎz =0，令z =1，得n⃗ =(0,h ，1)， ∴cos <n ⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2⋅√1+ℎ2=−3√2020，解得ℎ=3，∴SC =3．【解析】(1)根据条件得到BD ⊥BC ，由面面垂直的性质得到SC ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面SBD ⊥平面SBC ；(2)由SC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标坐标原点，CD 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内垂直于CD 的直线为y 轴，CS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用和向量法能求出结果．本题考查面面垂直的证明，二面角和线段长的求法，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．21.【答案】解：(1)设公共点为P ，则PF 1=r ，PF 2=4−r ，所以PF 1+PF 2=4>F 1F 2，故公共点P 的轨迹为椭圆， 则2a =4，所以a =2，又c =1，所以b 2=3， 所以曲线E 的方程为x 24+y 23=1；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为x =±√127，代入椭圆x 24+y 23=1，y =±√127，所以OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ， 因为直线PQ 与圆O 相切，所以√k 2+1=r ，解得m 2=127(k 2+1)，将直线PQ 的方程代入椭圆x 24+y 23=1中，可得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(k 2+1)(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2 =7m 2−12(k 2+1)4k 2+3，将m 2=127(k 2+1)代入上式，化简可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故OP ⊥OQ ， 综上所述，恒有OP ⊥OQ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=−|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−127．【解析】(1)设公共点为P ，求出PF 1=r ，PF 2=4−r ，利用椭圆的定义，即可得到点P 的轨迹为椭圆，然后再求解椭圆的标准方程即可；(2)当直线PQ 的斜率不存在时，可得OP ⊥OQ ；当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程与椭圆的方程联立，得到韦达定理，然后利用直线与圆相切得到m 与k 的关系，利用向量的作标表示证明OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx x(x >0)，∴f′(x)=1x⋅x−lnx x 2=1−lnx x 2，设切点为(x 0,lnx 0x 0)，则k =f′(x 0)=1−lnx 0x 02，代入直线y =kx −1得：lnx 0x 0=1−lnx 0x 02x 0−1，即lnx 0=1−lnx 0−x 0，∴2lnx 0+x 0−1=0， 令ℎ(x)=2lnx +x −1，有ℎ(1)=0，∴ℎ′(x)=2x +1>0，∴ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， ∴方程2lnx +x −1=0有唯一解x 0=1， ∴k =1−lnx 0x 02=1−ln112=1；(2)∵lnx x≤ax −1−lna x，x >0，∴ax 2−x −lnx −lna ≥0恒成立， 设F(x)=ax 2−x −lnx −lna ，则F′(x)=2ax 2−x−1x，令G(x)=2ax 2−x −1，∵a >0，△=1+8a >0，∴G(x)=0有2个不相等实根x1，x2，则x1x2=−12a<0，不妨设x1<0<x2，当x∈(0,x2)，G(x)<0，当x∈(x2,+∞)，G(x)>0，∴F(x)在(0,x2)单调递减，在(x2,+∞)单调递增，∴F(x)min=F(x2)=ax22−x2−ln(ax2)，由G(x2)=2ax22−x2−1=0得到ax2=x2+12x2，∴F(x2)=x2+12−x2−ln x2+12x2=1−x22−ln1+x22x2≥0，令H(x)=1−x2−ln1+x2x=1−x2+ln2x−ln(x+1)，则H′(x)=−12+22x−1x+1=−(x−1)(x+2)2x(x+1)，∴当x∈(0,1)时，H′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，∴H(x)≤H(1)=0，∵F(x2)=H(x2)≥0，∴F(x2)=0，则x2=1，故a=1，∴实数a的取值集合是{1}．【解析】(1)求出函数的导数，设出切点，代入切线方程，求出切点横坐标，求出k的值即可；(2)问题转化为ax2−x−lnx−lna≥0恒成立，设F(x)=ax2−x−lnx−lna，根据函数的单调性求出F(x)的最小值，确定a的值即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是难题．。

高考数学仿真试题(二)答案一、1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C 11.B 12.A 二、13. 13 4 14.22b a + 15.sin 210°+cos 240°+sin10°cos40°=43 16.①③⇒②17.解：已知M ∩N ≠∅.∴M 、N 中至少有一个元素相等即有cos θ+(4-m 2)i =m +(λ+sin θ)i 2分从而⎩⎨⎧+=-=θλθsin 4cos 2m m 4分∴λ=4-cos 2θ-sin θ=(sin θ-21)2+4118分∵sin θ∈［-1,1］ ∴当sin θ=21时，λmin =411,当sin θ=-1时，λmax =5∴λ的取值范围为［411，5］12分18.解：（Ⅰ）a 1=S 1=p (a 1-1) ∴a 1=1-p p1分n ≥2,a n =S n -S n -1=p (a n -a n -1) ∴11-=-p p a a n n ∴{a n }是以a 1=1-p p 为首项，公比为q =1-p p的等比数列 4分 ∴a n =(1-p p )n5分(Ⅱ)由已知a 1=b 1,a 2<b 2, ∴1-p p =2+q ,( 1-p p )2<4+q 7分消去q 整理（1-p p ）2-1-p p-2<0∴-1<1-p p <2 ∴p <21或p >210分∵q =1-p p≠0 ∴p ≠0 ∴p 的范围为（-∞,0）∪(0,21)∪(2,+∞) 12分19.（Ⅰ）证明：∵E 是C 1D 1的中点，∴C 1E =D 1E =a ,又由直四棱柱的性质得BC ⊥面CC 1D 1D ，∴EC =2a ,BE =3a ,DE =2a ,又BD =5a ,∴△BDE 是直角三角形,△DEC 也是直角三角形,∴DE ⊥EC ,DE ⊥BE ,∴DE ⊥面BEC ，又DE ⊂平面BDE ∴平面BCE ⊥平面BDE 4分(Ⅱ)解：取CD 的中点E ′ ∴EE ′⊥面ABCD ，∴△BED 在面AC 内的射影是 △E ′BD ,设二面角E —BD —C 的大小为θ,∴cos θ=EBDBDE S S ∆'∆ 又∵S △BDE =21DE ·BE =26a 2，S △BE ′D =21a 2,∴cos θ=66 ∴θ=arccos 668分(Ⅲ)解：V 1B —BDE =V D —B 1B E =V 1D —B 1B E =2231⨯D 1E ·S △B 1B E =2231⨯a ·22⋅a a =61a 3. 故V 1B —BDE =61a 312分：（Ⅰ）y =412-x∵x <-2，∴x =-214y+即y =f -1(x )=- 214x +(x >0)4分(Ⅱ)∵21141n n a a +=+ ∴22111nn a a -+=4 ∴{21na }是公差为4的等差数列 ∵a 1=1 ∴21n a =211a +4(n -1)=4n -3 ∵a n >0 ∴a n =341-n8分(Ⅲ)b n =S n +1-S n =a n +12=141+n由b n <25m得m >1425+n 对于n ∈N 成立∵1425+n ≤5 ∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m 成立 12分 21.（Ⅰ）解：∵g (t )为常数 ∴g (0)-rp=0∴g (0)= rp2分(Ⅱ)证明：证得0<t 1<t 2,则g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- r p ］e 1t vr --［g (0)- r p ］e 21t v r-=［g (0)- rp ］［e1t vr --e21t v r -］=［g (0)-rp ］)(2112)(t t vrt vr t vree e +-∵g (0)·rp <0,t 1<t 2,e 21t v r>e 1t vr∴g (t 1)<g (t 2) 6分 故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重 8分(Ⅲ)解：污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e t vr-,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g (t )=5% g(0)∴201=e t v r-，∴t =r v ln 即需要rvln12分 22.解：（Ⅰ）∵（x +1）2=-4(y -1) ∴F 0)2分（Ⅱ）∵A 、B 在双曲线上，∴||AF 1|-|AF 2||=||BF 1|-|BF 2||，|22-|AF 2||=|22-|BF 2|| 若22-|AF 2|=22-|BF 2|∴|AF 2|=|BF 2|则点F 2在线段AB 的中垂线上 ∴点F 2的轨迹方程为x =-1(y ≠0,y ≠4)6分若22-|AF 2|=|BF 2|-22 ∴|AF 2|+|BF 2|=42∴点F 2的轨迹是以A 、B 为焦点，a =22,c =2,b 2=4,中心为（-1，2）的椭圆，其方程为4)2(8)1(22-++y x =1(y ≠0,y ≠4)（草图略） 10分(Ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-++t x y y x 14)2(8)1(22 将②代入①消去y 得到 3x 2+(4t -6)x +2t 2-8t +1=0 Δ=4(2t -3)2-12(2t 2-8t +1)<0 t 2-6t -3>0∴t >3+23或t <3-23又直线过点（-1，0），（-1，4）时，t =1或t =5 ∴t 的范围为（-∞,3-23）∪(3+23,+∞)∪{1,5}14分① ②。

2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

高中数学系列复习资料2020年2月仿真考试理科数学答案解析一、单选题1．若集合{}1,2,3,4U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则U A B =U ð( ) A ．{}2B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】{}1,4U B =ð，{}1,2,4U A B =U ð.故选：C. 2．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，由复数相等可得,a b 的值，进而求出z ，即可得解.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，即(1)ai b a b i -=++，由复数相等可得：1b a a b -=⎧⎨=+⎩，解之得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1122z i =-，所以1212z i =+，在复平面对应的点的坐标为11(,)22，在第一象限.故选：A.3．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，5BD =，5BC =所以阴影部分面积11555224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯⨯=.故选：C. 4．已知a ,b R ∈,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】充分性：0a b >>⇒11a b +>+，充分性成立；必要性：当2,1a b =-=-时，11a b +>+成立，但0a b <<，故必要性不成立； 所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件.故选：A.5．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n ===本题正确选项：A 6．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．26【答案】B 【解析】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，其中面积最大的面为： B 23P C S =V .本题选择B 选项.7．等差数列{}n a 中,1a 与4037a 是()4ln mf x x x x=--的两个极值点,则20192log a =( ) A ．1B ．2C ．0D ．12【答案】B 【详解】()222441m x x m f x x x x-+'=-+=，因为1a 与4037a 是()4ln m f x x x x =--的两个极值点,令2()4g x x x m =-+，所以1a 与4037a 是方程240x x m -+=的两个根，即140374a a +=，也即201924a =，所以20192a =，则201922log2log 22a ==.故选：B.8．()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( ) A ．40B ．40C ．80D ．80-【答案】C 【详解】Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t +∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C.9．已知i 为虚数单位,执行如图所示的程序框图,则输出的A 值为( )A ．9B ．9iC ．8-D ．8【答案】D 【详解】模拟执行程序框图，得： 当1n =时，A i =； 当2n =时，2A =-；⋅⋅⋅当8n =时，8A =，9n =，循环结束，输出结果. 故选：D.10．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10C 10D ．2【答案】B 【详解】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r r r 0b >r Q cos ,0a b ∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min2b ∴=r 2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin3946410a b∴-=⨯+=r r，本题正确选项：B11．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．43y x =±B ．34y x =?C ．35y x =±D ．53y x =±【答案】A 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，所以2OM PF ⊥,所以222MF c a b =-=，由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF c a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+，整理得：2b a c =+，即：2b a c -=将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =，所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=±，故选A 12．已知函数()f x x =,()2g x ax x =-,其中0a >,若[]11,2x ∀∈,[]21,2x ∃∈,使得()()()()1212f x f x g x g x =成立,则a =( )A ．1B ．12C ．23D ．32【答案】D 【详解】由题可得()()22121122x x ax x axx =--，则()1212120ax x ax x x x --=，故1212ax x x x =+，则12121211x x a x x x x +==+，故12111,12a M x x ⎡⎤-=∈=⎢⎥⎣⎦，1111,2a a a N x ⎡⎤-∈--=⎢⎥⎣⎦， 因为1[1,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，即N M ⊆，故112112a a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，解得32a =，故选：D.二、填空题13．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y=250+4x,当施化肥量为50 kg 时,预计小麦产量为_____kg.【答案】450【详解】根据回归方程为y=250+4x ，当施化肥量为50kg ，即x ＝50kg 时,y ＝250+4x ＝250+200＝450kg ，故答案为：45014．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____．【答案】1.【详解】Q 函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-垂直,∴函数x y axe =的图象在0x =的切线斜率1k =()x xf x ae axe '=+Q ()01f a '∴==，本题正确结果：115．已知正四棱锥的底边边长为2,侧棱长为5,现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体,则该正方体的体积最大值是________. 【答案】827【详解】设此正方体外接球半径为R ，体积最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连SA SB SC SD SE 、、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R ，易知四棱锥的32，高为2，∴A BCDE S BCDE S ABC S ABE S ADE S ACD V V V V V V ------=++++， 即1111223224223332R R ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯， ∴3R =， 正方体的体对角线是其外接球直径，故其体对角线为323R =，棱长为23，∴正方体体积的最大值为V=827.故答案为：82716．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P nP n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数()1ln 1f x x x =++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________. 【答案】20202021-【详解】n 的个位数为1时有：()()()321110P nP n ψ=-=-=，n 的个位数为2时有：()()()322844P n P n ψ=-=-=，n 的个位数为3时有：()()()323792P nP n ψ=-=-=-， n 的个位数为4时有：()()()324462P n P n ψ=-=-=-，n 的个位数为5时有：()()()325550P nP n ψ=-=-=，每5个一循环，这10个数的和为：0，40385807÷=余3，余下三个数为：()40360ψ=，()40376ψ=-，()40382ψ=-，∴数列(){}n ψ的前4038项和等于：()()()4036403740388ψψψ++=-,即有8M =-，又(1)2f =，()2282(1)Mx Mx f g x f Mx Mx ⎡⎤---==⎢⎥+⎣⎦，可得()2281Mx Mxg x Mx Mx ---=+， 则()2111()(1)11g n n n n n n n -=-=-=-+++，即有，则数列(){}g n 的前2020项和为，2020111112020(1)()()2232020202012021S ⎡⎤=--+-+⋅⋅⋅+-=-⎢⎥+⎣⎦， 则数列的前2020项和为20202021-.故答案为：20202021-.三、解答题17．已知函数()()222cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域.【详解】(1) 函数()23sin 22cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-， 令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --的余弦值为32929，求AD 的长． 【详解】（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，1AC CC C =IBC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥D Q 是1AA 的中点 AC AD ∴=，又90CAD ∠=︒45ADC ∴∠=︒同理1145A DC ∠=︒190C DC ∴∠=︒，则1DC DC ⊥1DC ∴⊥平面BCD（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD h =，则()1,0,D h ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取()1,0,0m =v为平面1BC C 的法向量，设平面1DBC 的法向量为(),,n x y z =v ，则n BD ⊥u u u v v 且1n BC ⊥u u u u v v ()1,1,BD h u u u Q v =-，()10,1,2BC =-u u u u v 020x y hz y z -+=⎧∴⎨-+=⎩，取1z =，得()2,2,1n h =-v由329cos ,m n m n m n ⋅==⋅v vv v v v 12h =，即12AD =19．已知点()0,2P ,点A ,B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,直线BA 交C 于点Q ,ABP△是等腰直角三角形,且35PQ PB =u u u v u u u v.(1)求C 的方程;(2)设过点P 的动直线l 与C 相交于M ,N 两点,O 为坐标原点.当MON ∠为直角时,求直线l 的斜率.【详解】（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则()2,2,0a B =，设点00()Q x y ，,由35PQ PB =u u u v u u u v，则065x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+，则()11,M x y ，()22,N x y ，则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()21416120k x kx +++=，∴()()221648140k k ∆=-⨯+>，解得234k >， ∴1221614k x x k +=-+，1221214x x k=+，当MON ∠为直角时，1OM ON k k ⋅=-，∴12120x x y y +=， 则()()()()212121212121222124x x y y x x kx kx kx xk x x +=+++=++++()222112162401414k k k k k =⎛⎫ ⋅⎪⎝⎭++-+=++，解得24k =，即2k =±，故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角.20．某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z 近似的服从正态分布2N μσ（，）．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．用样本平均数x 作为的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；16112.7≈若随机变量2Z N μσ～（，），则0.6826P Z μσμσ-+=（＜＜），220.9544P Z μσμσ-+=（＜＜）．【详解】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数x ＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70； 样本方差s 2＝（45－70）2×0.05＋（55－70）2×0.18＋（65－70）2×0.28＋（75－70）2×0.26＋（85－70）2×0.17＋（95－70）2×0.06＝161； （2）由（1）可知，ˆ70μ=，2ˆ161σ=，故评估成绩Z 服从正态分布N （70，161）， 所以()()10.682682.70.15872ˆˆP Z P Z μσ->=>+==． 在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有2000×0.1587≈317人．21．已知函数2()(1)2x f x x e kx =--+(1)若0k =,求()f x 的极值;(2)若[)0,x ∀∈+∞,都有()1f x ≥成立,求k 的取值范围.【详解】（1）0k =时，()12()x f x x e =-+，()x f x xe '=，令()0f x xex '==，解得0x =， ∴0x =时，函数()f x 取得极小值，(0)1f =；无极大值；（2）()()22x x f x xe kx x e k '=-=-，①当0k ≤时，20x e k ->，所以，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，则()f x 在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上是增函数，所以()f x 在区间[)0,+∞上的最小值为(0)f ，且(0)1f =，符合题意；②当0k >时，令()0f x '=，得0x =或ln 2x k =， 所以，当102k <≤时，ln 20k ≤，在区间(0,)+∞上()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()f x 在区间[)0,+∞上的的最小值为(0)f ，且(0)1f =，符合题意； 当12k >时，ln 20k >， 当(0,ln 2)x k ∈时，()0f x '<，()f x 在区间(0,ln 2)k 上是减函数，所以(ln 2)(0)1f k f <=，不满足对任意的[)0,x ∈+∞，()1f x ≥恒成立，综上，k 的取值范围是1(,]2-∞．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=． （2）设Nα，sinα），α∈[0，2π）．点M的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l的距离2d ==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 23．已知函数()2f x ax =-,不等式()4f x ≤的解集为{}26x x -≤≤.(1)求实数a 的值;(2)设()()()3g x f x f x =++,若存在x ∈R ,使()2g x tx -≤成立,求实数t 的取值范围.【详解】(1)由24ax -≤得424ax -≤-≤，即26ax -≤≤， 当0a >时，26x a a -≤≤，所以2266a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a =； 当0a <时， 62x a a ≤≤-，所以2662a a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解，所以实数a 的值为1； （2）由已知()()()312g x f x f x x x =++=++-=21,13,1221,2x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式()2g x tx -≤，即()2g x tx ≤+，由题意知()y g x =的图象有一部分在直线2y tx =+的下方，作出对应图象：由图可知，当0t <时，EM t k ≤，当0t >时，FM t k ≥，又因为1EM k =；12FM k =，所以1t ≤-，或12t ≥.。

浙江省普通高中学业水平考试)A B等于（}1,2,3,4,6,7,8{1,2,3,4,5,6,7,8【解析】原式1222(2)lg103ln e=+-223=+-1=.故选:C.,0)(0,)+∞，选项，选项D正确.故选，75A=︒D．36．【答案】D【解析】画出如图所示的可行域，由图可知，当且仅当直线:10l kx y -+=的斜率k 满足01k <≤时，直线l 上不存在可行域上的点.故选：D.7．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ） A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行 7．【答案】D【解析】观察正方体，令正方体中的平面ABCD 为平面α，A 、过D '可以作不止一条直线与平面α相交，故A 错；B 、过D '只可作一条直线与平面α垂直，故B 错；C 、过D '能作不止一条直线与平面α平行，故C 错；D 、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D 对．故选：D ．2210．【答案】CA ．B．C．D．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件60，那么直线，PED中，1OPE∠=在直角DOP 中，OP1,,2n n aa -=662n n -++-⨯⨯==，*n N ∈，由于，所以n a 的最小值为102-.故选：222018ax =-]1t +存在两个实数aC ．]{}[),101,-∞-+∞D ．11,0,⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞⎢ABC ABD ACDBCDSS S S +++=12⨯19．已知向量()3,4a =，()1,2b =-，则2a b +=__________，与a 方向相反的单位向量c =__________.【解析】依题意()21,8a b +=，故2218a b +=+与a 方向相反的单位向量c 为((()3,43,44553,4a a -----⎛⎫===-- ⎪---⎝⎭. ．已知点()4,0-是椭圆2231kx +=的一个焦点，则__________.．【答案】B C ∠≠∠，点M 和点N 分别是边()()PM QN AB DC +⋅-的值为22．【答案】0则(cos AB =-,(cos DC =所以(cos AB DC -=-因为cos sin ,2MN α+⎛=-⎝()()()()22211cos sin sin 222MN AB DC αββ⋅-=-= 因为,,,P Q M N 四点共线所以PM QN MN λ+=,则()()0PM QN AB DC +⋅-=,故答案为三、解答题（本大题共小题，共31分） 23．（本小题满分10分）0,0,)A πωϕ>><的部分图象如图所示.（1）求f(x)的解析式；200(,4x A x 代入24x =同理可得：04或0x <由韦达定理可得：2|a b =-04或0x <故不等式可化为23123x ax x +--≤-，即12a x≥-++，所以实数a 的取值范围是3a <<. （11分）。

2021届高三数学下学期2月调考仿真模拟考试试题 文〔含解析〕一、单项选择题{|ln 2}A x x =>， {|B x y ==，那么()R C A B ⋂=〔 〕A. ()20,eB. (20,e ⎤⎦C. 22,e ⎡⎤⎣⎦D.(2,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的补集，交集运算即可求解; 【详解】由题意知,{}2A x x e =>，{}2B x x =≥，∴{}2RA x x e =≤，∴()22,R A B e ⎡⎤=⎣⎦.应选:C【点睛】此题考察集合交集和补集运算;属于根底题. z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，那么z = ( )A. 1122i -+ B. 1122i -- C.1122i + D.1122i - 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出z ，再利用一共轭复数及概念计算出z .【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，应选B.【点睛】此题主要考察复数的四那么运算，一共轭复数的相关概念，难度不大.3.某中学有高中生4200人，初中生1200人，为理解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，从高中生中抽取70人，那么n 为〔 〕 A. 100 B. 150C. 200D. 90【答案】D 【解析】分析：利用分层抽样的定义解答. 详解：由题得420070,9042001200n n=∴=+.故答案为D.点睛：〔1〕此题主要考察分层抽样，意在考察学生对该知识的掌握程度.(2)分层抽样时，一般根据个体抽样前后的比例相等列方程.x ，y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，那么3z x y =-的最小值是〔 〕A. 8B. -2C. -4D. -8【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域,利用目的函数的几何意义,向上平移直线0:30l x y -=至最高点时的z 即为目的函数的最小值.【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如下图：向上平移直线0:30l x y -=，由图可知,当直线3z x y =-经过可行域的顶点时， 目的函数3z x y =-有最小值,联立方程220220x y x y --=⎧⎨-+=⎩,解得 22x y =⎧⎨=⎩,即2x y ==时，min 2324z =-⨯=-. 应选:C【点睛】此题考察简单的线性规划问题;考察数形结合思想;其中作出可行域,找到使z 获得最值的点是求解此题的关键;属于中档题、常考题型.{}n a 为等差数列，假设1598a a a ++=π，那么()28cos a a +的值是〔 〕A. -12B. 3C.123【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=，所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 应选：A【点睛】此题考察等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于根底题. 6.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔 〕A.4πB.2π C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知：直观图为半径为1，高为2的圆柱的14，再计算体积即可. 【详解】由题知：几何体为半径为1，高为2的圆柱的14. 21=12=42V ππ⨯⨯.应选：B【点睛】此题主要考察三视图的复原，弄清直观图的形状为解题的关键，属于简单题. 7.右图是一个算法的程序框图，假如输入0i =，0S =，那么输出的结果为A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时,112S =⨯ ，满足循环条件，此时i=2； 当i=2时,111223S =+⨯⨯ ，满足循环条件，此时i=3； 当i=3时,111122334S =++⨯⨯⨯ ，满足循环条件，此时i=4； 当i=4时,111112233445S =+++⨯⨯⨯⨯ ，不满足循环条件，此时11111111111141112233445223344555S =+++=-+-+-+-=-=⨯⨯⨯⨯ 此题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．,a b 为向量，那么“a b a b ⋅=〞是“//a b 〞 〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积运算，求得向量的夹角，进而判断向量是否平行；根据向量平行，即夹角为0，即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等．【详解】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 假设a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b假设//a b ，那么a b 与的夹角为0°或者180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或者180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=〞是“//a b 〞的充分必要条件 所以选C【点睛】此题考察了向量数量积的运算，充分必要条件的断定，属于根底题．9.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如下图的茎叶图加以比拟〔成绩均为整数满分是100分〕，乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分是，那么甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为〔 〕A.35B.59C.25D.34【答案】A 【解析】 【分析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型概率求解其概率值即可【详解】由题意可得甲的平均数：188+87+85+92+93+95==906x被污损的数字设为x ，那么乙的平均数为：28586868890998966x xx ++++++==+ 满足题意时，12x x >，即90896x>+，解得6x <即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值为：63105p == 应选A【点睛】此题主要考察茎叶图的识别与阅读、平均数的计算方法、古典概型概率计算公式等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能．()()x f x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭,1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心,B ､C 是该图象上相邻的最高点和最低点,假设4BC =,那么()f x 的解析式为( ).A. ()412f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()5412f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()26x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】 【分析】根据4BC =，利用勾股定理可求得ω值，再利用1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心，求出φ即可.【详解】解：因为B ､C 是该图象上相邻的最高点和最低点，4BC =，由勾股定理可得：(22242T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即221216πω+=，求得2πω=.又因为1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其图象的对称中心，可知1,23k k Z πφπ⋅+=∈ ，解得6πφ=-.所以()f x 的解析式为()26x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.应选：C.【点睛】此题主要考察正弦函数型函数的图象与性质，属于中档题.()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于A 、O 、B 三点〔点O 为坐标原点〕，且直线AB 经过抛物线的焦点，那么该双曲线的离心率为〔 〕C. 3D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由对称性及AB 过抛物线的焦点可得(,)2pA p ，代入渐近线方程可得,a b 关系，从而求得离心率．【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于A 、O 、B 三点，且直线AB 经过抛物线的焦点，可得,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，那么A 在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程：0bx ay -=，所以02pbpa -=，即2b a =，可得2224c a a -=，所以双曲线的离心率为：ce a==． 应选：B ．【点睛】此题考察求双曲线的离心率，考察抛物线的性质，关键是得出双曲线中,,a b c 的关系式．P ABC -中，2AP =，AB =PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-〔其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边〕，那么该三棱锥外接球的外表积为〔 〕 A. 40π B. 20πC. 12πD.203π【答案】A 【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中，()cos 2cos c B a b C =-〔其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边〕.∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即sin()2sin cos B C A C +=.∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵(0,)C π∈ ∴3C π=∴由正弦定理，2sin3rπ=，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC ∴()()()22222PA r R += ∴210R =∴该三棱锥外接球的外表积为2440S R ππ== 应选A.点睛：此题考察正弦定理解三角形及三棱锥外接球的外表积，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用的方法有：〔1〕三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；〔2〕利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径与球心到截面的间隔 满足勾股定理，求得球的半径，即可求得球的外表积. 二、填空题()ln f x x x =在点1x =处的切线方程为_______________ ．【答案】y=x-1 【解析】由题意可得：()'ln 1f x x =+ ，那么()'1011f =+= ， 函数在1x = 处的函数值：()11ln10f =⨯= ， 据此可得，切线方程过点()1,0 ，切线的斜率为1k = ，切线方程为：1y x =- .点睛：在求切线方程时，应先判断点Q (a ，b )是否为切点，假设点Q (a ，b )不是切点，那么应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．a ，b 满足1a =，2b =，213a b -=，那么a 与b 的夹角为______.【答案】60° 【解析】 【分析】可假设a 与b 的夹角，根据向量的夹角公式，可得结果. 【详解】设a 与b 的夹角为θ， 由213a b -=，所以()(22213a b-=即224413a b a b +-=，又1a =，2b =， 可知1a b = 所以11cos 122a b a bθ===⨯ 又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦ 所以60θ= 故答案为：60°【点睛】此题考察向量的夹角公式，属根底题.2log ()(0)()31(0)x x x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，且()()10f a f +=，那么实数a 的值等于______.【答案】14- 【解析】 【分析】先求出()1f 的值,然后分0a <和0a ≥两种情况,分别代入对应的解析式，解关于a 的方程即可.【详解】当0a <时，因为()()10f a f +=， 所以()2log 310a -+-=， 即()2log 2a -=-，得到14a =-； 当0a ≥时，因为()()10f a f +=， 所以3120a -+=，即31a =-，方程无解.综上所述，14a =-. 故答案为:14-【点睛】此题考察利用分段函数的解析式求参数及指数型函数与对数型函数的性质;属于中档题.16.F 是椭圆 2243x y +=1的左焦点，设动点P 在椭圆上，假设直线FP ，那么直线OP 〔O 为原点〕的斜率的取值范围是______.【答案】33,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意知,()1,0F -,先分别求出过点()1,0F -,和斜率不存在时所对应的直线与椭圆的交点,然后根据直线绕定点旋转斜率的变化情况,找出符合题意的点P 的位置,进而求出直线OP 的斜率变化范围即可.【详解】由椭圆方程为22143x y +=，可知()1,0F -，当过点()1,0F -,,此时所对应的直线为)1y x =+，由)221{143y x x y =++=，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩855x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以直线)1y x =+与椭圆22143x y +=的交点为(128,,55P P ⎛-- ⎝⎭， 因为过F 作x 轴垂线与椭圆交于12330,,0,22A A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当点P 在弧1122,P A P A 上时，符合题意，12200033,,22A A P k k k =-==OP ∴斜率的取值范围是33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：33,22⎫⎛⎫-∞-⋃⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程,结合圆锥曲线求直线斜率范围,属于中档题; 解决圆锥曲线范围问题一般有两种方法:()1几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和几何性质来解决;()2将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数的有界性、函数单调性以及均值不等式等解答. 三、解答题{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】〔1〕()2nn a n N +=∈〔2〕()()41nn N n +∈+【解析】 【分析】〔1〕直接利用公式1n n n a S S -=-计算得到答案.〔2〕22log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】〔1〕由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2nn a =.当1n =时：111112222a S +==-==成立故所求()2nn a n N +=∈；〔2〕2nn a =，22log 2n n b a n ==()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+.【点睛】此题考察了数列的通项公式，裂项求和，意在考察学生对于数列公式方法的综合应用.18.如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，SAB ∆为等边三角形，G 是线段SB 上的一点，且SD //平面GAC .〔1〕求证：G 为SB 的中点；〔2〕假设F 为SC 的中点，连接GA ，GC ，FA ，FG ，平面SAB⊥平面ABCD ，2AB =，求三棱锥F -AGC 的体积. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕14【解析】 【分析】()1连接BD 交AC 于点E ，连接GE ,利用线面平行的性质定理可得,SD //GE ,再由E 为BD 的中点即可得证;()2利用边长的倍数关系和棱锥的体积公式13V Sh =进展转化,1122F AGC S AGC C AGS V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥1144C ABS S ABCV V --==三棱锥三棱锥18S ABCD V -=四棱锥,利用间接法,结合题意求出S ABCD V -棱锥即可. 【详解】〔1〕证明：如图，连接BD 交AC 于点E ，那么E 为BD 的中点，连接GE ， ∵//SD 平面GAC ，平面SDB平面=GAC GE ，SD ⊂平面SBD ，∴//SD GE ，而E 为BD 的中点，∴G 为SB 的中点.〔2〕解：∵F ，G 分别为SC ，SB 的中点， ∴1122F AGC S AGC C AGS V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥1144C ABS S ABC V V --==三棱锥三棱锥18S ABCD V -=四棱锥. 取AB 的中点H ，连接SH ，∵SAB ∆为等边三角形，∴SH AB ⊥， 又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，SH ⊂平面SAB ，∴SH ⊥平面ABCD ，因为2AB =，所以3=SH ，因为1222sin60232ABCD S =⋅⋅⋅=菱形， ∴13S ABCD ABCD V S SH -=⋅⋅四棱锥菱形123323=⋅⋅=， ∴1184F AGCS ABCD V V --==三棱锥四棱锥. 【点睛】此题考察线面平行的性质和面面垂直的性质；通过利用边长的倍数关系,把求三棱锥F -AGC 的体积转化为求四棱锥S ABCD -的体积是求解此题的关键；考察学生分析问题、解决问题的才能;属于中档题.19.一项针对某一线城30～50岁都中年人的消费程度进展调查，现抽查500名〔200名女性，300名男性〕此城中年人，最近一年内购置六类高价商品〔电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包〕的金额〔万元〕的频数分布表如下：〔1〕将频率视为概率，估计该城中年人购置六类高价商品的金额不低于5000元的概率. 〔2〕把购置六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群〞，根据条件完成2⨯2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群〞与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：【答案】〔1〕1625〔2〕见解析，有95%的把握认为“高收入人群〞与性别有关. 【解析】 【分析】()1先得到相应范围的频数,然后利用频率得到概率即可;()2根据列联表内的已有数据,结合题中表格数据,计算出其他数据,完成列联表，代入公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,计算出观测值2K ，参照临界值表即可作出判断.【详解】〔1〕该城中年人购置六类高价商品的金额不低于5000元的频数为：805010906030320+++++=，所以该城中年人购置六类高价商品的金额不低于5000元的概率为：3201650025P ==. 〔2〕根据频数分布表得：高收入人群中女性有140人，男性有180人， 非高收入人群中女性有60人，男性有120人， 完成列联表如下：高收入人群 非高收入人群 合计女 140 60 200男 180 120 300合计 320 180 500根据列联表中的数据，计算得22500(14012060180) 5.208 3.841200300180320K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故有95%的把握认为“高收入人群〞与性别有关.【点睛】此题考察利用频率估计概率和HY 性检验思想的应用;重点考察学生的运算才能;属于根底题.E ：()222210x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭.直线l ：y x m =+与y 轴交于点P ，与椭圆交于M ，N 两点. 〔1〕求椭圆E 的HY 方程；〔2〕假设3MP PN =，务实数m 的值.【答案】〔1〕2214x y +=〔2〕17m =±【解析】 【分析】〔1〕根据离心率和过点12⎫⎪⎭代入计算得到答案.〔2〕设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P m ，联立方程，利用韦达定理得到1285mx x +=-，212445m x x -⋅=，计算得到答案.【详解】〔1=E 过点12⎫⎪⎭，即223114a b += 解得24a =，21b =，故所求椭圆E 的方程为：2214x y +=；〔2〕设()11,M x y ，()22,N x y ，()0,P m由2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩联立化简得：2258440x mx m ++-= 1285m x x ∴+=-，212445m x x -⋅=又3MP PN =，()()1122,3,x m y x y m ∴--=-123x x ∴=-与1285x x m +=-联立解得：245x m =，1125x m =- 代入212445m x x -⋅=解得：2517m =，m ∴=验证：当m =时，>0∆成立，符合题意故所求17m =±. 【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程，直线和椭圆的位置关系求参数，意在考察学生的综合应用才能.()(sin 1)x f x ax x e =--⋅()a ∈R ，()f x '是其导函数．〔Ⅰ〕当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；〔Ⅱ〕假设1a ≥，证明：()f x '在区间()0,π内至多有1个零点． 【答案】〔Ⅰ〕10x y ++=；〔Ⅱ〕证明见解析. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕求出函数的导函数，计算出()0f '与(0)f 利用点斜式求出直线方程；〔Ⅱ〕由()(sin cos 1)xf x ax x x a e '=--+-⋅，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，那么()0f x '=，即()0g x =，对()g x 求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.【详解】解：〔Ⅰ〕当1a =时，()(sin cos )xf x x x x e '=--⋅，那么()01f '=-，又(0)1f =-，那么()f x 在0x =处的切线方程为：1y x +=-， 即10x y ++=． 〔Ⅱ〕()(sin cos 1)x f x ax x x a e '=--+-⋅，又0x e >，设()sin cos 1g x ax x x a =--+-，()0f x '∴=，()0g x ∴=()cos sin 4g x a x x x a π⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭，因(0,)x π∈(4x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 又1a ≥，故()0g x '≥对(0,)x π∈恒成立，即()g x 在区间()0,π单调递增； 又(0)2g a =-，()(1)0g a ππ=+>；故当12a ≤≤时，(0)20g a =-≤，此时()f x '在区间()0,π内恰好有1个零点． 当2a >时，(0)20g a =->，此时()f x '在区间()0,π内没有零点； 综上结论得证．【点睛】此题考察导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、零点，属于中档题.C的极坐标方程为)4πρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕.〔1〕将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并且指出曲线是什么曲线； 〔2〕假设直线与l 曲线C 交于A ，B 两点，设(2,1)P ，求||||PA PB +的值. 【答案】〔1〕22(1)(1)2x y -+-=，此曲线为圆〔2【解析】【分析】〔1〕根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将极坐标方程转化为直角坐标方程，得到答案；〔2〕将直线的参数方程代入C 中，得到12t t +，12t t ，根据参数的几何意义，得到答案.【详解】解：〔1〕因为)4πρθ=+所以)2sin 2cos ρθθθθ=+=+ 所以22sin 2cos ρρθρθ=+因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 所以2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=，那么曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=，此曲线为以()1,1为半径的圆. 〔2〕将直线l的参数方程1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕代入曲线C 中，得210t t --=其1(4)0∆=-->所以121t t =-，121t t +=那么12||||||PA PB t t +=-===【点睛】此题考察极坐标与直角坐标的转化，利用直线的参数的几何意义求线段长度，属于中档题.()222f x x x =--+．()1求不等式()6f x ≥的解集；()2当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，务实数a 的取值范围．【答案】(1) (,2][10,)-∞+∞ (2) (,2]-∞-【解析】试题分析：〔1〕对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式()6f x ≥的解集；〔2〕分三种情况讨论当2x ≤-时，4a ≤可得；当21x -<<时，2a ≤-可得；当1x ≥时，2a ≤-可得，综上，实数a 的取值范围为(],2-∞-. 试题解析：〔1〕当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥ 2x ⇒≤-，故2x ≤-；当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥ 2x ⇒≤-，故x φ∈； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥ 10x ⇒≥，故10x ≥； 综上可知：()6f x ≥的解集为][(),210,-∞⋃+∞. 〔2〕由〔1〕知：()4,23,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如下图：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-，∴实数a 的取值范围为(],2-∞-.【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤，当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，综上，实数a 的取值范围为(],2-∞-.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。