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24.4 解直角三角形一、课题：解直角三角形的应用（2）——仰角、俯角问题二、学习目标：1.掌握仰角、俯角的定义。
2.会利用仰角、俯角解决一些实际问题。
三、教学重点、难点1.重点：仰角、俯角的定义。
2.难点：构造直角三角形，解决问题。
四、知识准备1. 三角函数的定义。
2. 特殊角的三角函数值。
3. 解直角三角形的方法。
五、预习案1．预习指导：什么是仰角、俯角？例1．如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，求旗杆BC的高.（精确到0.1米）例2：如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向前走60米到C点，又测得仰角为45°，求该高楼的高度为多少米？例3：如图，两个建筑物的水平距离为20米，从A点测得D点的俯角为45°，测得C点的俯角为60°，求较低建筑物CD的高为多少米？2．预习测试：(1) 从A点看B点的仰角是55°，则从B点看A点的俯角是_______。
(2) 两高楼A楼和B楼，从A楼顶端看B楼底端所成的角是______，从B楼底端看A楼顶端所成的角是______，它们的关系是_____。
(3)如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机看地面控制点B的俯角α＝30°。
求飞机A到控制点B的距离。
（精确到1米）(4)两建筑物AB与CD，其地面距离AC＝50米。
从AB的顶端B测得CD的顶部D的仰角β＝30°，测得其底部C的俯角α＝45°。
求两座建筑物AB与CD的高。
（精确到0.1米）3．我的疑惑：六、探究案：探究过程（讲解例题，解答疑惑）。
七、小结通过这一节的学习，大家掌握了什么是仰角，什么是俯角，并且能利用仰角、俯角解决一些实际问题，希望大家能够做到举一反三、触类旁通。
八、知识拓展仰角、俯角在实际生活中有更广泛的应用，抽空我们再作进一步探究。
24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？ 学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，在炮台A 处测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，在炮台B 处测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.解：在Rt △ABC 中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan ∠CAB,∴BC=AB ·tan ∠CAB=2000×tan50°≈2384（米）. ∵AB AC=cos50°, ∴AC=20005050AB cos cos =︒︒≈3111（米）. 答：敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC 还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确. 问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）【答案】1.6米2.9.4海里四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.第二课时解直角三角形【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.第三课时解直角三角形【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC =30°,斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3（即CD 与BC 的长度之比）.A 、D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC=30°,则易求AC=6米，BC=63米.在Rt △BDC 中，i=13DC BC =.易得DC=13BC =.∴AD=AC-DC=（.三、运用新知，深化理解1.已知一坡面的坡度i=1则坡角α为（ ）A.15°B.20°C.30°D.45°2.彬彬沿坡度为150米，则他离地面的高度为（ ）B.50米C.25米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶______米.4.如图，一束光线照在坡度为1射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是______.5.如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.【答案】1.C 2.C 3.30°°5.（）m四、师生互动，课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.。
年级班级姓名_________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆数学导学案 课题：24．4解直角三角形 【学习目标】 ⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 ⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】 直角三角形的解法． 【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 【导学过程】 一、自学提纲： 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据． 二、合作交流： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m 的梯子，问: (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人是否能够安全使用这个梯子 三、教师点拨： 例1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 例2在Rt △ABC 中， ∠B =35o ，b=20，解这个三角形．a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b a B a b B c a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin α∠的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin年级班级姓名_________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆ 四、学生展示： 补充题 1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形． 2、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． 3、 在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC 的平分线AD=43，解此直角三角形。
24.4解直角三角形（1）教学目标：利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题 教学重点：解直角三角形的有关知识教学难点：运用所学知识解决实际问题教学过程：一、复习提问1. Rt △中的关系式.（∠C=90°）1） 角：∠A ﹢∠B=90°2） 边；a 2 ﹢b 2=c 23） 边角关系：sinA=c a coA=c b tanA=b a cotA=a b2. △ABC 中，若∠C=90°，∠A=30°，c=10㎝，则a=21c=5㎝，b=3a=53㎝； 若∠A=40°，c=10㎝，则由sinA=ca ，∴︒=⋅=40sin 10sin A c a ，由cosA= cb ，∴︒=⋅=40cos 10cos Ac b 由以知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。
二、新授看教材112页例1、例2得出：1.解Rt △的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2.解Rt △，只有下面两种情况：1）已知两条边2）已知一条边和一个锐角3.在解Rt △的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。
例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C 处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC 才能拉住电线杆？（结果保留两位小数） 分析：由图可知，AC 是Rt △ABC 的斜边，利用勾股定理就可求出。
解：在Rt △ABC 中，AC=22BC AB +=2235+=34≈5.83（米） 答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆。
三、引申提高：例4. 如图，上午8时，小明从电视转播塔C 的正北方向B 处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A 处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与BC A B CA电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）解：在RtABC 中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），∵tan ∠CAB=ABBC ，∴︒=∠⋅=40tan 30tan CAB AB BC ≈25（千米）， ∵cos ∠CAB=AC AB ，∴AC=︒40cos AB ≈39（千米） 答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。
24.4 解直角三角形第1课时 解直角三角形及其简单应用1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数．在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝3632＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123；(2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×22＝12，CM＝BM＝12.在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝43，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．【类型三】运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sin A＝37，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sin A＝BCAB＝37，设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝142－62＝410，∴S△ABC ＝12AC·BC＝12×410×6＝1210.所以△ABC的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD ＝82米．求AB的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝ABAC ，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝ABAD ，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m.答：AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．【类型二】 求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt △ABG 中，∵∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153cm ，∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的简单应用.本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。
2019年九年级数学上册 24.4 解直角三角形教案（新版）华东师大版教学目标:1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯思想方法：1、数形结合思想：用锐角三角函数解直角三角形，主要是从“数”上去研究的.在具体解题时，要画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行数的运算.2、方程的思想：在解直角三角形时，常常通过设未知数列方程求解，使问题变得清楚明了.3、转化的思想：在求三角函数值和解直角三角形时，常利用三角函数的意义，可以实现边和角的互化，利用互余角的三角函数关系可以实现“正弦”与“余弦”的互化.教学重点：1、锐角三角函数2、特殊角的三角函数值3、直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．一、复习回顾直角三角形二、经典例题例1：在相距500m的东，西两座炮台B,A同时发现入侵敌舰C，B炮台测得该敌舰在B炮台正南方向1200处，则敌舰距A炮台多远？在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出另外两个锐角，像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
例2，如图，在相距500m的东，西两座炮台B,A处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。
（精确到1m）概括1、在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三形；2、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”；3、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条边。
如果已知一边一角也可以求出另外两边。
4、在直角三角形中，如果已知两条边的长度，能否求出另外两个锐角？三、练一练练习1：如图，在相距500m的东，西两座炮台A,B处同时发现入侵敌舰C，在炮台B处测得敌舰C在其正南1200m处，求敌舰C在炮台A的东偏南几度的方向上？(精确到1′)注意:在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，除特别说明外，本教科书中的角度都精确到1′解直角三角形的两种情况：(1)已知两条边；(求另外一条边或另外两个锐角)(2)已知一条边和一个锐角。
图2.121145°45°BA CBCA32160°30°梁平县和林镇中导学案年级 九年级学科 数学 编号 92030 主备 审批 审核 课型 新授课 时间 学生课题解直角三角形1学习目标 【学习目标】1．复习直角三角形勾股定理，能利用已知边求出未知边。
2．复习锐角三角函数，能利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
3．能利用解直角三角形解决实际问题。
【教学重点难点】重点:解直角三角形。
难点:边角关系的转化。
学习过程自主学习【课前预习】 自学课本完成下列问题1.复习:sin30°＝____________，sin45°＝____________，sin60°＝____________. cos30°＝____________，cos45°＝____________，cos60°＝____________. tan30°＝____________，tan45°＝____________ ，tan60°＝____________.cot30°＝.____________，cot45°＝____________，cot60°＝____________. 2. 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 分析: 在直角三角形中,除直角外,还有两个角和三条边,共5个元素. 3.在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．4.如图2.1,已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,(1) ∠A 的对边是 , ∠A 的邻边是 ,斜边是 ; (2) ∠B 的对边是 , ∠B 的邻边是 ; (3)若已知CB ＝5, AC ＝12,求AB 的长;(4) 若已知AB ＝5,BC 与AC 的和是7,求BC 与AC 的长.B A C(5)若已知∠A＝30°, AB＝5，解这个直角三角形.4. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2,解这个直角三角形.．合作探究交流展示【课堂活动】例1 如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan cosB DAC=∠，(1) 求证：AC=BD； (2)若12sin13C=，BC=36，求AD的长．达标检测反馈校正【随堂检测】1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a＝156，b＝56（2）已知b＝15，∠A＝30°2.已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长．学后记。
第24章解直角三角形课题测量【学习目标】1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法；2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会数学建模的方法；3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内容的积极性．【学习重点】掌握测量方法．【学习难点】理解并掌握测量方法．一、情景导入生成问题问题：1.复习相似三角形的主要性质．2．当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度．如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二、自学互研生成能力知识模块测量物体的高度或宽度阅读教材P99～P101的内容．问题：如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴AC∶A1C1＝BC∶B1C1＝500∶1，∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝acm，则BC＝500acm＝5am.故旗杆高(1＋5a)m.范例：小兵身高160cm，他的影子长度是100cm，如果同时，他朋友的影子比他的影子短5cm，那么他的朋友有多高？解：设他朋友身高为xcm，则160100＝x100－5，解得：x＝152.答：他朋友身高为152cm.仿例1：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为xm，则x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗杆的高度为12m.仿例2：如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E，点C、E、A在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方，且点D、B、C在同一条直线上，点B、C相距20米，点D、C 相距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼AD的高．(小明的身高忽略不计)解：由题意知BC＝20，CD＝40，△CBE∽△CDA.∴CBCD＝BEAD即2040＝15AD，∴AD＝30(米)．答：甲楼AD高30米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块测量物体的高度或宽度范例：(方法二)160x＝100100－5，解得x＝152四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________课题直角三角形的性质【学习目标】1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明；2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充；3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心．【学习重点】掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．【学习难点】能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．一、情景导入生成问题问题：1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为__38°__．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝__60°__，∠B＝__30°__．(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有__∠A，∠BCD__，与∠A相等的角有__∠BCD__，与∠B相等的角有__∠DCA__．(3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？解：斜边的长为10.二、自学互研生成能力知识模块一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半阅读教材P102～P103的内容．(1)画一个直角三角形；(2)量一量斜边AB的长度；(3)找到斜边的中点，用字母D表示；(4)画出斜边上的中线；(5)量一量斜边上的中线的长度．猜想：斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？经过画图和测量，我们知道：斜边上的中线等于斜边的一半．试用演绎推理证明你的猜想．已知，如图在直角三角形ABC中∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD＝12AB.证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE.∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝DB.又∵CD＝DE.∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB，∴CD＝12CE＝12AB.结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．知识模块二直角三角形性质的应用范例：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝12AB.证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝12AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形．∴BC＝BD＝12AB.结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．仿例：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AB交AB于E，交BC于F.求证BF＝12FC.证明：连结AF.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF.∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠FAC＝120°－∠BAF＝90°，在Rt△AFC中，∠C＝30°，∴AF＝1 2CF，∴BF＝12FC.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识模块二直角三角形性质的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________课题锐角三角函数(1)【学习目标】1．知道锐角一定，它的三角函数值就随之确定；2．已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值；3．运用相似三角形的判定定理、性质定理理解锐角一定，它的三角函数值就随之确定；4．在学习合作交流中学会与人相处．【学习重点】已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值．【学习难点】区分锐角的三种三角函数．一、情景导入生成问题问题：在直角三角形中1．三边的关系是什么？2．两锐角之间的关系是什么？二、自学互研生成能力知识模块锐角三角函数阅读教材P105～107的内容．1．在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝30°，如图1，a∶c＝__12__，b∶c＝__32__，a∶b＝__33__，b∶a＝__3__.当三角形的边变大或变小时，上述结论是否发生变化？2．如图2，在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝45°，a∶c＝__2 2__，b∶c＝__22__，a∶b＝__1__，b∶a＝__1__．当三角形的边发生变化时，上述比值是否发生变化？3．当∠A是任意给定的锐角，当三角形的边发生变化时，这些比值是否变化？归纳：∠A是任意给定的锐角，当三角形的边发生变化时，这些比值不会发生变化，根据是相似三角形的性质．因此，这几个比值都是∠A的函数，分别记做sinA、cosA、tanA，即在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab，分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．结论：1.锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.2．根据三角函数定义可以推出：sin2A＋cos2A＝1.范例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，试求出∠A的三个三角函数值．解：AB＝BC2＋AC2＝289＝17，sinA＝BCAB＝817，cosA＝ACAB＝1517，tanA＝BCAC＝815.仿例1：如图在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sinB、cosC、tanB的值．解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝1 2BC＝6，在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝8，∴sinB＝ADAB＝810＝45，cosC＝CDAC＝610＝35，tanB＝AD BD＝86＝43.仿例2：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sinB＝513，求菱形的周长．解：∵AE⊥BC，sinB＝513＝AEAB，∴设AE＝5x，AB＝13x，∴BE＝AB2－AE2＝12x.∵EC＝1，菱形ABCD，∴AB＝BC即12x＋1＝13x，∴x＝1，∴AB＝13，∴菱形的周长为52.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 锐角三角函数四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：_________________________________________________ 2．存在困惑：_____________________________________________课题 锐角三角函数(2)【学习目标】1．掌握特殊锐角的三角函数值；2．通过对特殊锐角三角函数值的探索，逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力； 3．通过对锐角三角函数的学习，提高学生对几何图形美的认识． 【学习重点】掌握特殊锐角三角函数值． 【学习难点】理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法．一、情景导入 生成问题 问题：1.锐角三角函数的概念是什么？在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 sin A ＝__a c __ cos A ＝__b c __ tan A ＝__a b __ sin B ＝__b c __ cos B ＝__a c __ tan B ＝__ba __ 2．锐角三角函数之间的关系？0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 sin 2A ＋cos 2A ＝1二、自学互研 生成能力知识模块 特殊角的三角函数 阅读教材P 108～109的内容．做一做：如图，Rt △ABC ，∠A ＝30°，用直角三角形的性质求：sin 30°，cos 30°，tan 30°，sin 60°，cos 60°，tan 60°的值．解：如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则BC ＝12AB ，AC ＝32AB.从而可得：sin 30°＝BCAB＝12ABAB＝12，cos30°＝ACAB＝32ABAB＝32，tan30°＝BCAC＝12AB32AB＝33，同理可得：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝ 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，根据锐角三角函数的定义，求出∠A的三个三角函数值．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，根据勾股定理，我们知道三边之比为1∶1∶2，所以有：sin45°＝22，cos45°＝22，tan45°＝1.为了便于记忆，列表如下：αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°3212 3范例：求值：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°.解：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°＝12×33＋12×3＝36＋32＝233.仿例1：计算cos230°＋34tan230°＋cos60°－sin245°＋tan245°.解：原式＝(32)2＋34×(33)2＋12－(22)2＋12＝34＋14＋12－12＋1＝2.仿例2：在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tan B－3|＋(2sin A－3)2＝0，试确定△ABC 的形状．解：由题意得|tan B－3|＝0，(2sin A－3)2＝0，∴tan B＝3，sin A＝32，∴∠B＝60°，∠A＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块特殊角的三角函数四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________。
