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cot αtan α高三数学-高考复习讲义-同角三角比与诱导公式1. 同角三角比的关系（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=；cos sec 1αα⋅=；tan cot 1αα⋅=； （2）商数关系：sin tan (cos 0)cos αααα=≠；cos cot (sin 0)sin αααα=≠； （3）平方关系：22sin cos 1αα+=；221tan sec αα+=；221cot csc αα+=. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： （1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).（2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).（3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 注意：1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos 3sin 22=+αα，2tan2cos2sinααα=.2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. ⑴ 基本应用：知一求二，可以通过构造直角三角形求值，同时注意三角函数值的符号； 例：①设α是第二象限角，sin α=，则cos α=_______ ;tan α=_______． ②设α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=_______ ;cos α=_______．⑵ 变形应用一：由()2sin cos 12sin cos x x x x ±=±⋅得：sin cos sin cos sin cos x xx x x x+↔-在符号确定的情况下，可以知一求二．进而求出sin cos tan x x x ，，的值．例：已知7sin cos 13αα-=，则sin cos αα= ; sin cos αα+= ． ⑶ 变形应用二：在已知tan x 的情况下，可以直接处理关于sin x 与cos x 的齐次分式（所谓齐次分式是指分子与分母的所有单项式次数都相同）．例：已知tan 2α=，则sin 2cos 3sin 4cos αααα+=+_____；2222sin sin cos 2cos sin 2cos αααααα+-=+_____． ⑷ 注意“1”的变形使用：221sin cos αα=+．可用于配平方式与齐次式转化．后面三角恒等变换中还会学习更多的关于1的转化．例：① π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，=( )A ．sin cos θθ+B ．sin cos θθ--C ．sin cos θθ-D ．cos sin θθ-②已知tan 2α=，则2sin sin cos 1ααα=+_____．2. 诱导公式诱导公式的推导可以从点的对称得到：如图，若角α的终边与单位圆的交点为()P x y ，，则cos x α=，sin y α=．根据圆的对称性，有如下结论：⑴ πα+的终边与角α的终边关于原点对称，与单位圆的交点为()1P x y --，； πα-的终边与角α的终边关于y 轴对称，与单位圆的交点为()2P x y -，； ⑵ α-的终边与角α的终边关于x 轴对称，与单位圆的交点为()3P x y -，；⑶ π2α-的终边与角α的终边关于直线y x =轴对称，与单位圆的交点为()4P y x ，．【结论】第一组：sin(2)sin cos(2)cos k k πααπαα+=+=tan(2)tan cot(2)cot ()k k k Z πααπαα+=+=∈ 第二组：sin()sin cos()cos αααα-=--= tan()tan cot()cot αααα-=--=-第三组：sin()-sin cos()cos πααπαα+=+=- tan()tan cot()cot πααπαα+=+= 第四组：sin()sin cos()-cos πααπαα-=-= tan()-tan cot()-cot πααπαα-=-= 第五组：sin()cos cos()sin 22ππαααα-=-= tan()cot cot()tan 22ππαααα-=-=第六组：sin()cos cos()sin 22ππαααα+=+=- tan()cot cot()tan 22ππαααα+=-+=-诱导公式有统一的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．奇变偶不变指的是对于任意三角函数，以πsin 2y m ϕ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭为例，若m 为偶数，则函数名不改变．若m 为奇数，则函数名改变成余弦；符号看象限是指，假定ϕ为第一象限内的角，根据πsin 2m ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭的正负判断变换后的三角函数的符号，所以主要是看π2m ϕ⋅+所在的象限．如：πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，偶不变，值与sin ϕ同，ϕ是第一象限角时，π22ϕ⋅+在第三象限，于是πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭为负，故有负号，即πsin 2sin 2ϕϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭；再如：πsin 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，奇变，π2ϕ+在第二象限，正弦为正，故πsin cos 2ϕϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．ϕ为什么要取第一象限角？其实诱导公式都是恒等式，即对任意的ϕ都成立，所以ϕ取第几象限的角都没关系，但是当ϕ不是第一象限角时，推导符号时需要考虑两边，如πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭与sin ϕ相关，当ϕ为第三象限角时，sin 0ϕ<，π22ϕ⋅+是第一象限角，πsin 202ϕ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭，从而符号为负，即有πsin 2sin 2ϕϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭．我们当然希望越简单越好，所以我们默认取第一象限角．其实不是必须的，只是为了符号好确定．一、同角三角比的关系 1、三角比求值 【例1】已知1sin 3α=，(,)2παπ∈，求cos α、tan α的值．【例2】已知8cos 17α=-，求sin tan αα，的值．【例3】已知，求、和．【例4】已知cos b α=（||1b <），求sin α，tan α的值．2、正余弦应用【例5】已知：α是三角形的内角，若1sin cos ,tan 5ααα+=求的值．【例6】已知(0,2),sin cos θπθθ∈和是方程210x kx k +++=的两个根，求k 和θ的值．【例7】已知，求 （1）；（2）；（3）；（4）5tan 12α=sin αcos αcot α1sin cos 2αα+=sin cos αα⋅33sin cos αα+tan cot αα+22tan cot αα+【例8】如果满足条件3sin 542cos 5k k k k θθ-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则θ所在象限是________．【例9】已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，求sin cos αα、sin cos αα-的值．3、正切应用【例10】已知ααcos 2sin =，求的值。
高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。
第2讲转化思想在解三角形中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。
解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“cos cos sin b C c B a A +=、cos sin 0a C C b c --=、222sin sin sin sin sin A C A C B ++=、()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，基本公式为R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），可变形为①CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===②,2sin ,2sin ,2sin Rc C R b B R a A ===③CB A c b a sin :sin :sin ::=其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即R 2能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互化。
我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到sin cos sin sin sin A B A B B C =+，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为︒180，进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现，B A 、角的正余弦值是乘积关系，于是我们可以替换C 角，即()sin cos sin sin sin A B A B B A B =++1cos A A =+，利用辅助角公式化简即可求值。
第2讲整体思想在三角函数中的应用“整体思想”是高中数学的一类最基本、最常用的数学思想。
整体思想要求我们在处理数学问题时，将需要解决的问题视为一个整体,从不同侧面、不同角度,全面地分析问题的整体形式、整体结构,或对整体结构作适当调整、变形,从而达到找出解题思路或简便方法的目的。
运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的，在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。
运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。
三角函数是高考的重点与难点，公式相对较多，应用比较灵活，不少学生由于公式使用不恰当，常常陷入纷繁的运算中，在解答某些函数题的时候，若能仔细观察题目，注意与已知条件的联系，实现等价转化，采用整体思想进行求解，往往能起到很好的效果。
例如整体思想在正切函数定义域、在三角函数单调性、对称性、值域，在给值求值问题中都有广泛的重要应用。
而本文会重点就整体思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】整体思想在已知x x cos sin ±求解x x cos sin 或x 2cos 中的应用我们在学习三角函数的概念及同角三角函数的基本关系，诱导公式及三角恒等变换时，会遇到给值求值的试题，有时待求的给值求值会比较好化简，可以拼凑角或借助同角关系求解，但有时也会遇到这样一类题，给定x x cos sin ±的值，待求x x cos sin 或x 2cos 的值，常规利用同角三角函数及恒等变换转化也可以求解，解题思路为：①第一步：对原方程“M x x =±cos sin ”平方得到ααcos sin 的值或α2sin 的值②第二步：对待求式子进行平方，进而代入第一步ααcos sin 的值，结合角度象限范围求解x x cos sin 的值③第三步：利用()()αααααsin cos sin cos 2cos -+=即可求解此方法解题时稍过于繁琐，那有没有简洁一点的解题方法呢？我们不妨先来证明一个恒等式()()2sin cos sin cos 22=-++αααα，证明：()ααααcos sin 21sin cos 2+=+，()ααααcos sin 21sin cos 2-=-，相加可得()()2sin cos sin cos 22=-++αααα，而此公式就是整体思想的应用，可以做到“知一求一”，也就是说，在后续学习中，再有给定x x cos sin ±的值，待求x x cos sin 或x 2cos 此类题型，我们都可以用整体思想来求解，例如下面这道例题：通过观察及上述方法介绍的学习，本题用常规方法计算稍显繁琐，我们可以直接使用整体思想来求解，从而达到提升解题能力的效果【应用二】整体思想在三角函数求单调性、对称轴及对称中心的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，求解三角函数的单调性和对称性。
第二篇 专题一 第2讲一、选择题1．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( A ) A ．53B ．23C ．13D ．59【解析】由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0， 解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．若sin α＝－35，且a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则1－tanα21＋tanα2＝( D ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【解析】sin α＝－35，可得2sin α2cosα2sin 2α2＋cos 2α2＝－35，所以2tanα2tan 2α2＋1＝－35，解得tan α2＝－3或tan α2＝－13，又a ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴tan α2＝－3，故1－tanα21＋tanα2＝1－(－3)1＋(－3)＝－2.故选D.3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，且2a cos B －a cos C ＝c cos A ＋a －b ，则△ABC 面积的最大值是( B )A ．32B ．3C ．2D ．5【解析】由正弦定理得：2sin A cos B －sin A cos C ＝sin C cos A ＋sin A －sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin (A ＋C )＋sin A －sin B ＝sin A ， 又由0＜A ＜π，可得sin A ＞0， 则有cos B ＝12，又0＜B ＜π，则sin B ＝32， 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以a 2＋c 2＝ac ＋4≥2ac ，所以ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， 则S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝3，故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( D )A ．1＋7B ．2＋7C ．4＋7D ．5＋7【解析】在△ABC 中，a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ， 则sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 即sin (A ＋B )＝2sin C cos C ，∵sin (A ＋B )＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，即a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.5．设α，β为锐角，且2α－β＝π2，tan αcos βx ＋sin β＝1，则x ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】∵2α－β＝π2，∴β＝2α－π2，∴tan αcos ⎝⎛⎭⎫2α－π2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2α－π2＝1，即tan αsin 2αx －cos 2α＝1，∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin 2α＝1，故选A.6．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(a －b )·sin A ＝c sin C －b sin B ，若△ABC 的面积为33，则c 的最小值为( A )A ．23B ．43C ．2D ．4【解析】∵(a －b )·sin A ＝c sin C －b sin B ，∴a 2－ab ＝c 2－b 2，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0＜C ＜π， ∴C ＝π3，∵S ＝12ab sin C ＝33，∴ab ＝12，∵c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝12(当且仅当a ＝b ＝23时取等号)， ∴c ≥23，∴c 的最小值为23， 故选A.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是( D )A ．cos C ＝63B ．sin B ＝23C ．a ＝3D ．S △ABC ＝2【解析】因为A ＋3C ＝π，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝2C .由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得23sin 2C ＝3sin C ，即232sin C cos C ＝3sin C ，所以cos C ＝33，故A 错误；因为cos C ＝33，所以sin C ＝63，所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223，故B 错误；因为cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝－13，所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69，则cos A ＝539，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×69＝2，故D 正确．8．已知f (x )＝12(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R )，则下面结论不正确的是( D )A ．f (x )的最小正周期T ＝π2B ．f (x )是偶函数C ．f (x )的最大值为14D ．f (x )的最小正周期T ＝π【解析】因为f (x )＝14(1＋cos2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )，∵f (－x )＝f (x )，∴T ＝2π4＝π2，f (x )的最大值为18×2＝14.故选D.二、填空题9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，则sin 2α－cos 2α1＋cos2α＝__－56__． 【解析】因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12， 即1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13，所以sin 2α－cos 2α1＋cos2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ＋a sin C ＝2a sin B －csin B －sin A ，则A＝__π4__.【解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＋ac ＝2a sin B －cb －a， 整理得b 2－a 2＝2ac sin B －c 2， 即b 2＋c 2－a 2＝2ac sin B ＝2bc sin A ， 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， ∴2bc cos A ＝2bc sin A ，即cos A ＝sin A ， ∴tan A ＝1，∴A ＝π4.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C ＝__π4__．【解析】由b ＝a ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝⎛⎭⎫cos C ＋33sin C .因为sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，所以cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝csin C，得sin C ＝22.因为0＜C ＜2π3，所以C ＝π4. 12．(2022·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a 2的最大值为6．【解析】由题意知，4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 整理，得2ac cos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3(c 2－a 2)2ac， 因为⎝⎛⎭⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ac sin B a 22＝⎝⎛⎭⎫c sin B 2a 2＝c 2(1－cos 2B )4a 2， 代入cos B ＝3(c 2－a 2)2ac，整理得⎝⎛⎭⎫S a 22＝－116⎝⎛⎭⎫9×c 4a4－22×c 2a 2＋9，令t ＝c 2a 2，则⎝⎛⎭⎫S a 22＝－116(9t 2－22t ＋9)＝－116⎝⎛⎭⎫3t －1132＋1036，所以⎝⎛⎭⎫S a 22≤1036，所以S a 2≤106，故S a 2的最大值为106. 三、解答题13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin C cos A ＝22sin A sin B ，22b ＝3c .(1)求A ；(2)若D 是AB 边的中点，CD ＝5，求△ABC 的面积． 【解析】(1)因为3sin C cos A ＝22sin A sin B ， 由正弦定理，可得3c cos A ＝22b sin A . 结合22b ＝3c ，则有sin A ＝cos A ，所以tan A ＝1， 又因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π4. (2)因为22b ＝3c ，D 是AB 边的中点，所以AD ＝2b 3. 在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋b 2－2AD ·b cos A ，即(5)2＝⎝⎛⎭⎫2b 32＋b 2－2·2b 3·b cos π4， 解得b ＝3或b ＝－3(舍去)， 则c ＝2 2.故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×3×22×22＝3.。
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)cos α2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k ·2π(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．弦切互化变形：sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1，cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1，sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝()A ．－35B ．35C ．－45D ．45答案A解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝()A ．54B ．－54C ．53D ．－53答案A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.故选A.(3)下列三角函数的值中(k ∈Z )，与sin π3的值相同的个数是()①πk πk πcos (2k ＋1)π－π6；⑤sin (2k ＋1)π－π3.A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于①，πsin (k ＋1)π＋π3，当k 为奇数时，sin (k ＋1)π＋π3＝sin π3；当k为偶数时，sin (k ＋1)π＋π3＝－sin π3，不满足题意．对于②，k πcos π6＝sin π3满足题意．对于③，k πsin π3，满足题意．对于④，cos (2k ＋1)π－π6＝cosπ6＝－sin π3，不满足题意．对于⑤，sin (2k ＋1)π－π3＝sin π3，满足题意．故选C.(4)(人教A 必修第一册习题5.3T5改编)－α)的结果为________．答案sin α解析原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tan α＝2，则sin α－cos α＝()A ．－1B ．1C ．－55D ．55答案C解析由角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0，2，cos 2α＝1，解得cos α＝－55，sin α＝－255，所以sin α－cos α＝－255＋55＝－55.故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cos α＝13，且α为第四象限角，则tan α＝()A ．－22B ．±22C ．±23D ．23答案A解析∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tan θ＝2，则1sin 2θ－cos 2θ的值为()A ．34B ．23C ．53D ．2答案C解析由题意，得1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝22＋122－1＝53.故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α＝()A ．35B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.考向3sin α±cos α，sin αcos α之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知π2<x <π，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．答案75解析由(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝125，得2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，因为π2<x <π，所以sin x >cos x ，故sin x －cos x ＝75.【通性通法】“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α－π2，α－π2，sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.考点二诱导公式的应用例4()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析原式＝－tan αcos α(－cos α)cos(π＋α)[－sin(π＋α)]＝tan αcos 2α－cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.故选B.(2)已知＝23，其中α________．答案－23解析－2π3＋＝－23.【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f (α)________．答案12解析因为f (α)＝－sin αcos αcos α－cos αsin α＝cos α，所以cos π3＝12.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知＝13，且α则cos ()A ．13B ．－13C ．223D ．－223答案C解析由sin π＝13，而α，∴5π6－α－π6，＝223.故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝12，则tan θ＝________．答案－3解析因为sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以tan θ＋1tan θ－1＝12，解得tan θ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m ，则tan193°＝()A ．1－m2B ．1－m 2m C ．－1－m 2m D ．－m 1－m 2答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－sin167°cos167°＝－sin167°m，因为cos167°＝m ，所以sin167°＝1－m 2，所以tan193°＝－1－m 2m.故选C.6．已知cos α＝－513，且α________．答案1312解析∵cos α＝－513，α∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴coscos(α＋＝cos α－cos α(－sin α)＝1sin α＝1312.课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A ．22B ．－12C ．12D ．－22答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知＝13，θ∈(0，π)，则tan θ＝()A ．22B ．24C ．－22D ．－24答案C解析依题意，得cos θ＝13，则cos θ＝－13.由于θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2 2.故选C.3．已知＝13，则cos ()A ．223B ．－223C ．13D ．－13答案D解析∵π4＋α＝π2，∴cos π2＋＝－13.故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝()A ．－31010B ．－1010C ．31010D ．1010答案A解析∵sin(θ＋π)＝0，∴3cos θ－sin θ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－31010.故选A.5．若tan θ＝－2，则cos 2θ－sin 2θ＝()A ．－45B ．35C ．－35D ．45答案C解析解法一：由题意知tan θ＝－2，θ＝sin θcos θ＝－2，2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－(1－cos 2θ)＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.故选C.解法二：已知tan θ＝－2，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选C.6．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34答案B解析由题意，得sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3，所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.故选B.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A ．3－π2B ．π2－3C ．π－3D ．3π2－3答案A解析tan α＝－2cos32sin3＝－又0<3－π2<π2，α为锐角，所以α＝3－π2.故选A.8．已知sin α＋cos α＝15，则tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝()A ．－17524B ．17524C ．－2524D ．2524答案C解析由题意知sin α＋cos α＝15，有2sin αcos α＝－2425，所以tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝tan α＋12sin α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αcos α·12sin α(sin α＋cos α)＝12sin αcos α＝－2524.故选C.二、多项选择题9．已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ－π3，θ的值可能是()A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．5π6答案AD解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵θ－π3，θ＝－π6或θ＝5π6.故选AD.10．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinB ＋C 2＝cosA2C ．tan(A ＋B )＝－tanD ．cos(A ＋B )＝cos C 答案ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确；sinB ＋C2＝cos A2，B 正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C 正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A ．sin(π＋|α|)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B ．若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|sin α，α≥0，α，α<0，所以A 错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以B 错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝cos α－sin α＝－1tan α，所以C 正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D 正确．故选CD.三、填空题12．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________．答案－3解析∵＝32，∴－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.13．(2023·河南平顶山联考)已知tan θ＝2，则1＋sin θcos θ的值为________．答案75解析∵tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________．答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a ＝123，所以cos π6＝－32.故选D.16．(多选)已知角α满足sin αcos α≠0，则表达式sin(α＋k π)sin α＋cos(α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为()A ．－2B ．－1C ．2D ．1答案AC解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝π2＋2k π(k ∈Z )，即β＝π2＋2k π－α(k ∈Z )．又由sin(π＋α)＝－14，可得sin α＝14若α与β广义互余，则sin β＝2k π－cos α＝±1－sin 2α＝±154(k ∈Z )，故A 正确；若α与β广义互余，则cosβ＝2k π－sin α＝14(k ∈Z )，而由cos(π＋β)＝14，可得cos β＝－14，故B 错误；由A ，B 可知sin β＝±154，cos β＝14，所以tan β＝sin βcos β＝±15，故C 正确，D 错误．故选AC.18．已知f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，α为第二象限角．(1)若f (α)＝3，求43sin 2α＋cos 2α的值；(2)若cos 2αf (α)＝12，求cos(2023π＋α)＋cos 解(1)因为α为第二象限角，所以|cos α|＝－cos α，f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|＝－2tan α.若f (α)＝3，则－2tan α＝3，所以tan α＝－32，所以43sin 2α＋cos 2α＝43sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝43tan 2α＋1tan 2α＋1＝43×＋1＋1＝1613.(2)cos 2αf (α)＝cos 2α×(－2tan α)＝－cos 2α×2sin αcos α＝－2sin αcos α.因为cos 2αf (α)＝12，则－2sin αcos α＝12，所以sin αcos α＝－14.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.所以cos(2023π＋α)＋cos(π＋α)＋cosα＋sinα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2×14＝6 2 .。
高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。
5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。
8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。
9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。
二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。
(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：1°＝180π弧度，1弧度＝(π180)°(3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。
弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=21lR=21｜α｜R 23.周期函数：(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。
(2)几个常见结论：①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)也是y=f(x)的周期。
(1)②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么ωT也是y=f(wx)(w ≠0)的周期。
③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c 。
4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x ，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=ry ,cos α=r x,tgα=y r ,ctg α=yx,Sec α=r x ,csc α=r y (如图(1))。
(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))(3)同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sin α²csc α=1,cos α²sec α=1,tg α²ctg α=1 商数关系：tg α=ααcos sin ,ctg α=ααsin cos 平方关系：sin 2α+cos 2α=1,1+tg 2α=sec 2α,1+ctg 2α=csc 2α5.已知三角函数值求角6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：如图(3)，sin α=MP,cos α=OM,tg α=AT,ctg α=BS(2)三角函数的图像和性质：函数y=Asin(wx+ϕ)的图像可以通过下列两种方式得到： ϕ＞0，图像左移ϕ(1)y=sinx y=sin(x+ϕ) ϕ＜0，图像右移｜ϕ｜ w ＞1，横坐标缩短为原来的w1倍 y=sin(wx+ϕ)0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的w1倍 A ＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍w ＞1,横坐标缩短为原来的w 1倍 (2)y=sinx 0＜w ＜1,横坐标伸长为原来的w1倍 ϕ＞0，图像左移wϕ y=sin(wx)ϕ＜0,图像右移wϕA ＞1，纵坐标伸长为原来A 倍y=sin(wx+ϕ) y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍 8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：两角和与差的公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β， tg(α±β)=βαβαtg tg tg tg 1±倍角公式：sin2α=2sin αcos α，cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， tg2α=αα212tg tg -. 半角公式： sin2α=±2cos 1α-, cos2α=±2cos 1α+, tg2α=±ααcos 1cos 1+-=ααcos 1sin +=ααsin cos 1-.积化和差公式：sin αcos β=21〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, cos αsin β=21〔sin(α+β)-sin(α-β)〕cos αcos β=21〔cos(α+β)+cos(α-β)〕, sin αsin β=-21〔cos(α+β)-cos(α-β)〕和差化积公式： sin α+sin β=2sin2βα+cos2βα-,sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2βα-cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2βα- ,cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2βα-万能公式：sin α=21222ααtgtg+，cos α=212122ααtgtg +-,tg α=21222ααtgtg -(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题：①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。
②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。
③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。
④常具的变形公式有：cos α=ααsin 22sin ,sin 2α=22cos 1α-,cos 2α=22cos 1α+,tg α+tgβ＝tg(α+β)(1-tg αtg β).⑤asin α+bcos α=22b a +sin(α+ϕ).(其中ϕ所在位置由a ，b 的符号确定，ϕ的值由tg ϕ=ab确定)。
9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：10.反三角函数：［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) ［-2π，2π］ ［0，π］ (-2π，2π) (0，π) 在(-∞，+∞)上是增(1) (2)三、知识点、能力点提示三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。
在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。
下面对常见考点作简单分析：1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。
2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。
3.三角函数性质的考查 (1)定义域和值域：(2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=( )(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。
4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。
5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。
6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。
进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路： 1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。
2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。
3.常数的变换：常用方式有1=sin 2α+cos 2α=sec 2α-tg 2α=tg4π,23=sin 3π等。
4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。
5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。
7.综合运用上述各种方式。
例1 sin600°的值是( )A.21. B.-21C.23D.-23 解：sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-23 ∴应选D.例2 已知sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π),则ctg θ的值是_______.解:sin θ+cos θ=51⇒(sin θ+cos θ)2=(51)2⇒sin θ²cos θ=-2512. ∴sin θ和cos θ是方程t 2-51t-2512=0,即方程25t 2-5t-12=0的两根.25t 2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t 1=54,t 2=-53.∵θ∈(0.π) ⇒sin θ＞0.∴sin θ=54 ,从而cos θ=-53, ∴ctg θ=θθsin cos .=-43.应填-43 .例3 tg20°+tg40°+3tg20°²tg40°的值是_______.解：∵3=tg60°=tg(20°+40°)=402014020tg tg tg tg -+, ∴tg20°+tg40°=3 (1-tg20°²tg40°).∴原式=3(1-tg20°²tg40°)+ 3 tg20°²tg40°).=3 应填3. 例4 求值：cos 85π²cos 8π=________. 解：cos85π²cos 8π =21(cos 43π+cos 2π)=21 (-22+0)=-42. 例5 关于函数f(x)=4sin(2x+3π) (x ∈R),有下列命题： ①由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍； ②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-6π)； ③y=f(x)的图像关于点(-6π,0)对称； ④y=f(x)的图像关于直线x=-6π对称；其中正确命题的序号是___________. (注：把你认为正确的命题序号都填上)解：分别讨论四个命题. ①令4sin(2x+3π)=0,得2x+3π=k π (k ∈Z),x=2πk -6π (k ∈Z),设x 1=21πk -6π,x 2=22πk -6π,k 1≠k 2,k 1,k 2∈Z,则f(x 1)=f(x 2)=0, 但x 1-x 2=2π(k 1-k 2),当k 1-k 2为奇数时，x 1-x 2不是π的整数倍 ∴命题①不正确. ②y=f(x)=4sin(2x+3π)=4cos ［2π-(2x+3π)］=4cos(-2x+6π)=4cos(2x-6π) ∵命题②正确 ③根据作出y=f(x)=4sin(2x+3)的草图，如图由图知，f(x)的图像关于点(-6π，0)对称，∴命题③正确④由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-6π对称 ∴命题④不正确 应填②、③ 例6 函数y=sin(x-6π)²cosx 的最小值是_______. 解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得y=21［sin(2x-6π)］+sin(-6π)］ =21 sin(2x-6π)-41. ∵sin(2x-6π)∈［-1,1］, ∴y min =-43. 应填-43. 例7 y=x2cos xcos cos3x x sin sin3x 233⋅+⋅ +sin2x,则y 的最小值是_____.解：利用3倍公式：sin3x=3sinx-4sin 3x,cos3x=4cos 3x-3cosx.y=x2cos x 3cosx)cos -x (4cos x sin x)4sin -(3sinx 23333+⋅+sin2x=x 2cos x 3cos -x 4cos x 4sin -x 3sin 24664++sin2x =x2cos x)sin -x 4(cos x)cos -x 3(sin 26644++sin2x=x 2cos x)xsin cos -x)(1sin -x 4(cos x)cos -x 3(sin 2222222++sin2x =x 2cos x xcos xcos 4sin -4cos2x 3cos2x -2222++sin2x=cos2x2x sin -12 +sin2x=cos2x+sin2x =2sin(2x+4π) ∴y min =-2. 应填-2例8 在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA ²sinB( ) A.有最大值21和最小值0 B.有最大值21但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1但无最小值解：∵A+B=2π. ∴sinA ²sinB=sinA ²cosA=21sin2A, A ∈(0,2π)⇒2A ∈(0,π) ∴sinAcosA 有最大值21但无最小值.应选B.例9 求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2的最大值 解：∵2sinxcosx=sin2x,sin 2x+cos 2x=1,cos 2x=2cos2x1+ ∴y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+2sinxcosx+2cos 2x =1+sin2x+2²2cos2x1+ =sin2x+cos2x+2 =2(sin2x ²cos 4π+cos2x ²sin 4π)+2 =2 sin(2x+4π)+2 ∴当2x+4π=2π+2k π时,y max =2+2 即x=8π+K π(K ∈Z)，y 的最大值为2+2例10 已知α是第三象限角，且sin α=-2524则tg 2α=( ) A.34 B.43 C.- 43D.-34 解：∵sin α=21222ααtg tg+,sin α=-2524, ∴-2524=21222ααtgtg +.化简得12tg 22α+25tg 2α+12=0，即(4tg 2α+3)(3tg 2α+4)=0.解出tg 2α =-43,tg 2α =-34.又已知α是第三象限角，即α∈(π+2k π，23π+2k π)， ∴2α∈2π+k π，43π+k π)，∴tg 2α∈(-∞，-1)，∴tg 2α =-34 (舍去tg 2α=-1).应选D.例11 sin 220°+cos 280°+3sin20°²cos80°=___________.解：sina 220°+cos 280°+3sin20°²cos80°=2cos40-1 +2cos1601 ++23²2sin20°²cos80°=1-21(cos40°+cos20°)+ 23 (sin100°-sin60°) =1-cos30°cos10°+23cos10°-43=41应填41. 例12 求sin 220°+cos 250°＋sin20°²cos50°的值_____________.解:sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°=sin 220°+sin 240°+sin20°sin40°=(sin20°+sin40°) 2-sin20°sin40° =(2sin30°cos10°) 2+21(cos60°-cos20°) =2120cos + +21 (21-cos20°)=43应填43.例13 tg20°+4sin20°=________. 解：tg20°+4sin20° =︒︒︒+︒20cos cos204sin20sin20=︒︒+︒20cos 2sin40sin20=︒︒+︒+︒20cos sin40)sin40(sin20=︒︒+︒20cos sin40cos10=︒︒+︒20cos sin40sin80=︒︒20cos 20cos 3=3.例14 cos 275°＋cos 215°＋cos75°²cos15°的值等于( ) A.26B.23C.45D.1+43 解：cos 275°+cos 215°＋cos75°cos15°=(sin 215°+cos 215°)+21sin15° =1+41 =45. 应选C.例15 已知ctg2θ=3,则cos θ=_________. 解：由已知有tg 2θ=31.∴cos θ=212122θθtg tg +-=911911+-=54. 例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A___________. 解：tgA+ctgA=m ⇒tg 2A+1=mtgA ∴sin2A=A tg 122+tgA =mtgA 2tgA =m2. 例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b. (1)b ≠0时，求tg3A 的值(用a 、b 表示)；(2)求(1+2cos2A)2（用a 、b 表示）. 解：(1)利用和差化积公式可得： a=sin3A(1+2cos2A), b=cos3A(1+2cos2A), ∴tg3A=ba . (2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2∴(1+2cos2A) 2=Aab6sin 2.又sin6A=3Atg 1322+A tg =2)(12ba b a+⋅=222b a ab +,∴(1+2cos2A)2=2222b a ab ab +=a 2+b 2. 例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( ) A.arcos215- B.arcsin 215- C.arccos251- D.arcsin251- 解：不妨设此直角三角形三内角为A 、B 、C 且A ＜B ＜C=90°. 由已知，sinA,sinB,sin90°=1成等比数列，∴sin 2B=sinA又A+B=90°，得sinB=cosA,∴cos 2A=sinA,1-sin 2A=sinA ，即sin 2A+sinA-1=0. 解出sinA=251+- (舍去sinA=251--) ∴A=arcsin215- , 应选B.例19 如图，若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是( ).A. ｛x ｜2k π-43π＜x ＜2k π+4π,k ∈Z ｝ B. ｛x ｜2k π+4π＜x ＜2k π+45π,k ∈Z ｝C. ｛x ｜k π-4π＜x ＜k π+4π,k ∈Z ｝ D. ｛x ｜k π+4π＜x ＜k π+43π,k ∈Z ＝解：由于sin 2x 和cos 2x 的周期都是π，故可先研究在［0,π］上不等式的解.在同一坐标系在区间［0，π］上作出sinx 和cosx 的图像.把［2π，π］的cosx 的图像沿x 轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x 1=4π,x 2＝43.∴在(4π+2k π，43π+2k π)上有sin 2x ＞cos 2x.应选D.例20 下列四个命题中的假命题是( )A.存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB.不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC.对于任意的α和β，使得cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βD.不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β 解：C 是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D 也正确. 对于A ，取α=β=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,∴A 正确.对于B ，取α=β=2k π，k ∈Z ，则cos(2k π+cos2k π)=cos2k πcos2k π+sin2k πsin2k π,∴B.不正确. 应选B.例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+2＞0. 解：〔(arctgx)-1〕〔(arctgx)-2〕＞0. ∴arctgx ＜1或arctgx ＞2.又-2π＜arctgx ＜2π . ∴-2π＜arctgx ＜1,即有-∞＜x ＜tg1.例22 满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是( ) A.［-1,- 21］ B.［-21,0］ C.［0,21］ D.［21,1］ 解：反余弦函数的定义域为［-1,1］,且为减函数. -1≤1-x ≤1 ∴ -1≤x ≤1 ⇒21≤x ≤1 1-x ≤x 应选D.例23 已知cos2α=257,α∈(0,2π),sin β=-135,β∈(π, 23π )求α+β(用反三角函数表示).解：由题设得sin α=2cos -12α=53,从而cos α=54,且cos β=-1312又α+β∈(π,2π) (α+β-π)∈(0,π),cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-6533. ∴cos(α+β-π)=cos 〔π-(α+β)〕=-6533. ∴-π+(α+β)=arccos 6533即α+β=π+arccos 6533例24 记函数y=x1的图像为l 1，y=arctgx 的图像为l 2，那么l 1和l 2的交点个数是( )A.无穷多个B.2个C.1个D.0个解：作出函数草图可知有2个交点.又x:0→2π时,arctgx:0→+∞, x 1:+∞→0.∴x ＞0时，l 1和l 2有一个交点.又arctgx 和x1都是奇函数， ∴x ＜0时，l 1和l 2也有一个交点. 应选B. 四、能力训练1.设M ＝｛第一像限角｝，N ＝｛小于90°角｝，则M ∩N 是( ) (A)｛第一像限角｝ (B)｛锐角｝ (C)｛小于90°角｝ (D)非以上答案(考查象限角的概念)2.扇形圆心角为60°，半径为a ，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( )(A)1∶3 (B)2∶3 (C)4∶3 (D)4∶9(考查扇形面积公式)3.θ是第四象限角，且｜cos 2θ｜＝cos 2θ，则2θ在( ) (A)第一象限(B)第四象限(C)第一四象限(D)第二、三象限(考查象限角与三角函数值的符号)4.sin 21°+sin 22°+…+sin 290°的值属于区间( )(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)5.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x ＞0)，则sinα(sin α+ctg α)+cos 2α的值是( )(A)51(B)52(C)58(D) 59(考查三角函数定义和直线方程)6.己知0＜a ＜1，4π＜α＜2π，则下列元数M=(sin α)logasin α,N=(cos α)log αcos α,P=(cos α)logasin α的大小关系是( )(A)M ＞N ＞P (B)M ＞P ＞N (C)M ＜N ＜P(D)M ＜P ＜N(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x 等于( )(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx)(D)-f(sinx)(考查诱导公式与函数解析式)8.方程sinx=lgx 的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3(D)以上都错(考查三角函数与对数函数的图像)9.函数y=sin(2x+25π)的图像中的一条对称轴方程是( ) (A)x=-4π(B)x=-2π(C)x=8π(D)x=45π(考查三角函数图像的特征)10.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像，那么f(x)的解析式可以写成( )(A)f(x)=sin(1+x) (B)f(x)=-sin(1+x) (C)f(x)=sin(x-1) (D)f(x)=sin(1-x) (考查三角函数的图像与解析式)11.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( )(A)它的定义域是［-1，1］ (B)它是奇函数 (C)y ∈［cos1,1］ (D)不是周期函数(考查三角函数有关性质及弧度制)12.函数y=tg 2x -sinx1的最小正周期是( )(A) 2π(B)π(C)23π(D)2π(考查三角函数的周期和恒等变形)13.函数y=cscxcos3x-cscxcos5x 是( ) (A)周期为2π的奇函数 (B)周期为2π的偶函数(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)14.若a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，则下列不等式中成立的是( ) (A)a ＞26＞b (B)a ＜2b＜b (C)a ＜b ＜2b(D)b ＜a ＜26 (考查辅助角公式，三角函数的单调性)15.下列四个命题中的假命题是( )(A)存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β (B)不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β (C)对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β(D)不存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)≠cos αcos β-sin αsin β(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)16.tg α、tg β是方程7x 2-8x+1=0的二根，则 sin 2(α+β)-78sin(α+β)cos(α+β)+71cos 2(α+β)的值是( )(A)31(B)51(C)71(D) 91(考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)17.sin(α+β)=-53，sin(α-β)= 53，且α-β∈(2π，π)，α+β∈(23π，2π)。
