《反比例函数的图象和性质》第一课时教学设计

人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》优秀教学设计一. 教材分析人教版九年级数学下册《26.1.2 反比例函数的图象和性质（1）》这一节，是在学生已经学习了正比例函数的基础上进行教学的。

本节内容主要介绍反比例函数的图象和性质，通过实例让学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质，为后续的反比例函数应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于正比例函数的概念和性质已经有了一定的了解。

但是，反比例函数相对于正比例函数来说，概念较为抽象，学生可能难以理解和接受。

因此，在教学过程中，需要通过具体实例和实际操作，帮助学生理解和掌握反比例函数的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生通过具体实例，理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的图象特征和性质。

2.培养学生运用函数知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质的理解。

2.反比例函数图象的特征和性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握反比例函数的图象和性质。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.反比例函数的图象和性质的相关案例。

3.学生分组合作学习的任务单。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾正比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）利用PPT展示反比例函数的图象和性质，让学生通过观察和分析，发现反比例函数的特点。

3.操练（20分钟）让学生通过实际操作，绘制反比例函数的图象，进一步理解和掌握反比例函数的性质。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固反比例函数的知识，提高解题能力。

5.拓展（10分钟）让学生运用反比例函数的知识，解决一些实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确反比例函数的图象和性质。

第二十六章 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时 反比例函数的图象和性质学习目标：1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程； (重点、难点)2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点)3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)一、知识链接回顾我们上一课的学习内容，你能写出200 m 自由泳比赛中，游泳所用的时间 t (s ) 和游泳速度 v (m /s ) 之间的数量关系吗？试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？一、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质 画出反比例函数x y 6=与xy 12=的图象. 【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表：描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得x y 6=与xy 12=的图象．思考 观察这两个函数图象，回答问题： （1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内， 随着x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数xky =(k ＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＞0) 的图象和性质： 由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 【针对训练】 反比例函数xy 3=的图象大致是 ( )A .B .C .D .反比例函数xy 8=的图象上有两点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x 1＞x 2，则 y 1与y 2的大小关系为 ( ) A . y 1 > y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 < y 2 D . 无法确定【提示】因为8＞0，且 A ，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x 1＞x 2，可知y 1，y 2的大小关系观察 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数xky =的图象，有哪些共同特征？思考 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数xky =(k ＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数xky =(k ＜0)的图象和性质吗？【要点归纳】反比例函数xky =(k ＜0) 的图象和性质： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.k 的正负决定了反比例函数的图象所在的象限和增减性【针对训练】点(2，y 1)和(3，y 2)在函数xy 2-=的图象上，则y 1 y 2(填“>”“<”或“=”).已知反比例函数()721-+-=a a x a y ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a 的值.【针对训练】 已知反比例函数()|4||83--=m x m y 在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．二、课堂小结1. 反比例函数xy5.1=的图象在 ( )A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限2. 在同一直角坐标系中，函数y = 2x与xy1-=的图象大致是( )3. 已知反比例函数xmy2-=的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.4. 下列关于反比例函数xy12-=的图象的三个结论：（1）经过点(－1，12) 和点(10，－1.2)；（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小；（3）双曲线位于第二、四象限.其中正确的是________(填序号).5. 已知反比例函数xky=的图象过点(－2，－3)，图象上有两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，且x1 > x2 > 0，则y1－y2________0.6. 已知反比例函数52-=mmxy，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.能力提升：7. 已知点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数xky=(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.参考答案合作探究一、要点探究探究点1：反比例函数的图象和性质解：列表：-1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 -2 -2.4 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2.4 2 描点、连线如图所示.【针对训练】 CC 【针对训练】<解：由题意得a 2 + a －7=－1，且a －1<0．解得a =－3.【针对训练】 解：由题意得 | m |－4=－1，且 3m －8＞0．解得m =3.当堂检测1.B2. D3. m ＞24. （1）（3）5. ＜6. 解：因为反比例函数52-=m mxy 的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m 2－5=－1，且m ＞0，解得m =2. 能力提升：7. 解：由 k ＞0知在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.① 当这两点在图象的同一支上时，∵y 1＜y 2，∴a －1＞a +1， 无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y 1＜y 2，∴ y 1＜0＜y 2.∴a －1＜0，a +1＞0， 解得－1＜a ＜1.故 a 的取值范围为－1＜a ＜1．。

17.1.2反比例函数的图象和性质第一课时教学设计南孙庄乡中学一、教材分析:主要从地位与作用、教学目标、重点难点三方面进行阐述。

（一）地位与作用：本节教材是在学生理解反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。

图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不反映出对函数概念本质属性认识的进一步深化。

反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础。

反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。

反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。

反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。

首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。

通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。

这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势。

其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。

再次，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想。

因此，学好本节课内容，将为今后的函数学习奠定坚实的基础。

（二）教学目标：根据课改“以学生为主体，激活课堂气氛，充分调动起学生参与教学过程”的精神。

反比例函数的图象及性质一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生了解反比例函数的概念；2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.（二）能力训练点1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.（三）德育渗透点1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.（四）美育渗透点通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.二、学法引导教师采用类比法、观察法、练习法学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.4．解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.四、教学步骤（一）教学过程提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？由学生先考虑及讨论一下.答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.看下面的实例：（出示幻灯）1．当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以．因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）．对第2个实例也一样．练习一：教材P129中1? 口答．P130? 1根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质．通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）例1? 画出反比例函数与的图像．提问：1．画函数图像的关键问题是什么？答：合理、正确地选值列表．2．在选值时，你认为要注意什么问题？答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；（2）不能选，因为时函数无意义；（3）选整数较好计算和描点．这个问题中最核心的一点是关于的问题，提醒学生注意．3．你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．再让学生观察黑板上的图，提问：1．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？2．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．练习二：教材P129中2 由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）例2 已知y与成反比例，并且当时，，求时，y的值.用提问的方式对此题加以分析：（1）y与成反比例是什么含义？由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.（5）你能否自己完成这道例题：由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.例3?? 已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，，求y与x的解析式.分析：一定要先写出y与x的函数表达式，要用x分别把，表示出来得，要注意不能写成k，∴解：设，.由题意得∴ .（二）总结、扩展教师提问，学生思考回答：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图像是什么样的？3．反比例函数的性质是什么？4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.五、布置作业1．教材P130中4，5，62．选做：P130中B1，2六、板书设计。

《反比例函数的图像与性质（第一课时）》教学设计一教学目标1.会用描点法画反比例函数的图象，培养学生的作图能力；2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质，渗透数形结合思想；3.利用反比例函数的图象性质解决简单问题二教学重点、难点重点：用描点法作反比例函数的图象，并利用图象理解反比例函数的性质；难点：画反比例函数的图象，理解反比例函数的增减性。

三教材分析函数是初中数学的核心内容之一，是实现代数与几何沟通的桥梁。

反比例函数是初中阶段要求学习的三种函数的第三种。

是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念，并掌握研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。

它在研究方法上更具有一般性和代表性，是一次函数、二次函数的延续又为将来进一步学习函数打下了基础，在初中函数的学习中起着承上启下的作用。

本节课通过画反比例函数图象，利用函数的图象来研究函数的性质，是学习函数的一般方法。

因此，我们应让学生会画反比例函数的图象，并能根据图象探索反比例函数的性质，并在理解性质的基础上能够灵活运用。

四学情分析学生具备实践操作能力，能观察、分析事物，初步具有创新意识，但创造潜能还有待挖掘。

在课堂上通过具体问题的指引，学生自己进行操作、探索，激发学习兴趣，引导他们逐步达成教学目标。

五课型及教学时间分配新授课一课时六教学准备几何画板、坐标纸七教学方法演示法、实验法、讨论法八教学过程（一）课前激趣播放歌曲《悲伤双曲线》. （二）课前检测1．什么是反比例函数？2.反比例函数4yx=经过点（1，__)．3.若函数25(2)my m x-=-是反比例函数，则m=_____ .4.一次函数y=-x+3经过第___________象限.（三）演示，动手操作1.教师利用多媒体演示画出反比例函数图象，学生再动手画函数图象.2.观察画反比例函数图象的方法，学生动手画图，会画反比例函数图象.3.针对所花图象大家来找茬.（四）总结发现规律（教师引导抛出问题，学生可小组合作，展开讨论、分析、观察、归纳，并思考回答问题）1.这两个反比例函数图象有什么共同点？其形状是什么？2.反比例函数的图象在哪两个象限，是由什么决定的？y随x的变化有怎样的变化？3.你能总结出反比例函数的性质吗？（五）练习1.小试牛刀（5个练习题）2.挑战自我（3个练习题）3.超越自我（2个练习题）（六）课堂小结1.本节知识小结: 学生畅所欲言，对同学说自己的收获，对老师说自己的困惑并给予及时的解答；2.重播《悲伤双曲线》.（七）课堂作业必做：《天府数学》课堂检测；选作：《天府数学》课外训练册ABC组.九板书设计反比例函数的图象性质（一）一、作反比例函数的图像二、性质三、例题1.列表 1.2.描点 2.3.连线 3.十教后反思大多数学生在数学学习中不善于总结新知识的获取方法，例如在接触到反比例函数后，以一次函数的研究方法为基础，对初中学段函数的学习套路(定义—图象—性质—应用)加以概括。

第六章反比例函数2.反比例函数的图象与性质（一）一、学生知识状况分析学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究函数的一般过程。

一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。

二、教学任务分析本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象需要注意的问题。

理解函数的三种表示方法及相互转换，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的直观工具，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，在相互交流中锻炼从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质。

（一）知识目标：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.（二）能力训练目标通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.（三）情感与价值观目标让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节： 第一环节：设疑激思 复习引入；第二环节：合作探究 发现问题； 第三环节：巩固新知 夯实基础；第四环节：观察思考 再探新知；第五环节 活学活用 巩固提高；第六环节 挑战自我 能力提升；第七环节 分层达标 课后延伸；第八环节 归纳总结 纳入系统.第一环节：类比激思 复习引入教师幻灯片展示下列问题：1.当初我们从哪些方面研究了一次函数？2.画一次函数图象的步骤是什么？3.借助图象我们研究了一次函数的哪些性质？目的：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思路，来研究反比例函数.效果：通过对问题的回答，激起学生对函数研究的兴趣.第二环节：作图反思 完美图象教师引导学生类比着画一次函数图象的过程来尝试画出反比例函数4y x的图象.教学策略：小组内交流：教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足；全班交流：小组代表发言，谈一下各小组内在画图过程中存在哪些问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总。