高数第九章(9)二元函数的泰勒公式

时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
故 Q(h, k ) 与 A 同号.
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
y
( x0 , y0 )
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
②
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
朗日型余项 .
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(0 1)
证: 令 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) (0 t 1),
则
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k )
0 0
－
+
因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 无极值 ;
(3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k ) C k
1 ( Ah B k ) 2 Q ( h , k ) 则 若 A≠0, A
+ ( x0 , y0 )
o x Q(h, k )可能
因此当 h , k 很小时 , z 的正负号可由 Q(h , k ) 确定 .
(1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
2 2 2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h 2 A B h k B k ) ( AC B ) k ] A 2 2 2 1 [( A h B k ) ) ( AC B ) k ] A
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
为零或非零
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2
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此时
2 z 1 Q ( h , k ) o ( ) 2
因为 Q(h, k ) 0 时, z 的正负号由 o( ) 确定 , 因此
不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
2
作业
P124 1 , 3 , 4 , 5
第十节 目录
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o
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x
结束
若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
Q(h, k ) Ah 2 2 B hk C k 2 2 B hk 对点 ( x0 h, y0 k )
当 h , k 同号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , 当 h , k 异号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , y 可见 △z 在 (x , y ) 邻近有正有负,
h 2 f x x ( x0 , y0 ) 2hk f x y ( x0 , y0 ) k 2 f y y ( x0 , y0 )
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p p m p Cm h k x p y m p ( x , y ) 0 0 p 0
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
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说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M h cos Rn ( h k ) n 1 k sin (n 1) ! M n 1 n 1 ( cos sin ) (n 1) !
由于 f ( x , y ) 的二阶偏导数在点 ( x0 , y0 ) 连续, 所以 f x x ( x0 h , y0 k ) A
f x y ( x0 h , y0 k ) B f y y ( x0 h , y0 k ) C
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二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
令 A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) 则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值 2) 当 AC B 0 时, 没有极值. 3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) h f x ( x0 h, y0 k ) k f y ( x0 h, y0 k ) (0 1)
(3) 若函数 z f ( x, y ) 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 f ( x, y ) 常数 .
*第九节
第九章
二元函数的泰勒公式
一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明
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一、二元函数的泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 fБайду номын сангаас( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
利用 max ( x 1 x 2 ) 2
[ 0,1]
则有
M n 1 n 1 n ( 2 ) n 1 1 o ( )y0 k ) Rn ( n 1 ( h k ) f ( x h , ()n 1 ) ! 0 ! x y
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其中 , , 是当h →0 , k →0 时的无穷小 量,
于是
z
1 [ Ah 2 2
2 2 2 B hk C k 2 ] 1 [ h 2 h k k ] 2
2 1 Q ( h , k ) o( ) 2
( h2 k 2 )
利用多元复合函数求导法则可得:
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
2 (t ) h f x x ( x0 ht , y0 k t )

1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y)
f ( x0 , y0 )
①
其中 Rn
n k y ) f ( x0 , y0 ) Rn 1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) 0 0 ( n 1)! x y
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定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有直
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 ) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
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2
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
2
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
则有 z f ( x0 h , y0 k ) f ( x0 , y0 )
2 1 [ f ( x h , y k ) h 0 2 xx 0 2 f x y ( x0 h , y0 k ) hk f y y ( x0 h , y0 k ) k 2 ]
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
2 (0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
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一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k p m p ( x ht , y k t ) x y 0 0 p 0
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
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记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
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当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;