数学建模---非线性规划模型

数学建模各类方法归纳总结数学建模是一门应用数学领域的重要学科，它旨在通过数学模型对现实世界中的问题进行分析和解决。

随着科技的不断发展和应用需求的增加，数学建模的方法也日趋多样化和丰富化。

本文将对数学建模的各类方法进行归纳总结，以期帮助读者更好地了解和应用数学建模。

一、经典方法1. 贝叶斯统计模型贝叶斯统计模型是一种基于概率和统计的建模方法。

它通过利用先验知识和已知数据来确定未知数据的后验概率分布，从而进行推理和预测。

贝叶斯统计模型在金融、医药、环境等领域具有广泛应用。

2. 数理统计模型数理统计模型是基于概率统计理论和方法的建模方法。

它通过收集和分析样本数据，构建统计模型，并通过参数估计和假设检验等方法对数据进行推断和预测。

数理统计模型在市场预测、风险评估等领域有着重要的应用。

3. 线性规划模型线性规划模型是一种优化建模方法，它通过线性目标函数和线性约束条件来描述和解决问题。

线性规划模型在供应链管理、运输优化等领域被广泛应用，能够有效地提高资源利用效率和降低成本。

4. 非线性规划模型非线性规划模型是一种对目标函数或约束条件存在非线性关系的问题进行建模和求解的方法。

非线性规划模型在经济学、物理学等领域有着广泛的应用，它能够刻画更为复杂的现实问题。

二、进阶方法1. 神经网络模型神经网络模型是一种模拟人脑神经元系统进行信息处理的模型。

它通过构建多层神经元之间的连接关系，利用反向传播算法进行训练和学习，实现对复杂数据的建模和预测。

神经网络模型在图像识别、自然语言处理等领域取得了显著的成果。

2. 遗传算法模型遗传算法模型是一种模拟自然界生物进化过程的优化方法。

它通过模拟遗传、交叉和突变等过程，逐步搜索和优化问题的最优解。

遗传算法模型在组合优化、机器学习等领域具有广泛的应用。

3. 蒙特卡洛模拟模型蒙特卡洛模拟模型是一种基于随机模拟和概率统计的建模方法。

它通过生成大量的随机样本，通过对样本进行抽样和分析，模拟系统的运行和行为，从而对问题进行求解和评估。

-32-第三章 非线性规划§1 非线性规划1.1 非线性规划的实例与定义如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。

而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。

下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。

例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。

已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i L =个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。

试选择最佳投资方案。

解 设投资决策变量为 ⎩⎨⎧=个项目决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1L =，则投资总额为∑=ni ii xa 1，投资总收益为∑=ni ii xb 1。

因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 ∑=≤<ni ii A xa 1另外，由于),,1(n i x i L =只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i L ==−最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。

因此，其数学模型为：∑∑===ni ii ni ii xa xb Q 11maxs.t. ∑=≤<ni ii A xa 1.,,1,0)1(n i x x i i L ==−上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

可概括为一般形式)(min x fq j x h j ,,1,0)(s.t.L =≤ (NP) p i x g i ,,1,0)(L ==-33-其中T n x x x ][1L =称为模型（NP）的决策变量，f 称为目标函数，i g ),,1(p i L =和),,1(q j h j L =称为约束函数。

数学建模常用算法模型数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法求解问题的过程。

在数学建模中，算法模型是解决问题的关键。

下面介绍一些常用的数学建模算法模型。

1.线性规划模型：线性规划是一种用于求解线性约束下的最优化问题的数学方法。

线性规划模型的目标函数和约束条件均为线性函数。

线性规划广泛应用于供需平衡、生产调度、资源配置等领域。

2.非线性规划模型：非线性规划是一种用于求解非线性目标函数和约束条件的最优化问题的方法。

非线性规划模型在能源优化调度、金融风险管理、工程设计等方面有广泛应用。

3.整数规划模型：整数规划是一种在决策变量取离散值时求解最优化问题的方法。

整数规划模型在网络设计、物流调度、制造安排等领域有广泛应用。

4.动态规划模型：动态规划是一种通过将问题分解为多个阶段来求解最优化问题的方法。

动态规划模型在资源分配、投资决策、路径规划等方面有广泛应用。

5.随机规划模型：随机规划是一种在目标函数和约束条件存在不确定性时求解最优化问题的方法。

随机规划模型在风险管理、投资决策、资源调度等方面有广泛应用。

6.进化算法模型：进化算法是一种通过模拟生物进化过程来求解最优化问题的方法。

进化算法模型包括遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等，被广泛应用于参数优化、数据挖掘、机器学习等领域。

7.神经网络模型：神经网络是一种模仿人脑神经元连接和传递信息过程的数学模型。

神经网络模型在模式识别、数据分类、信号处理等领域有广泛应用。

8.模糊数学模型：模糊数学是一种用于处理不确定性和模糊信息的数学模型。

模糊数学模型在风险评估、决策分析、控制系统等方面有广泛应用。

除了以上常用的数学建模算法模型，还有许多其他的算法模型，如图论模型、动力系统模型、马尔科夫链模型等。

不同的问题需要选择合适的算法模型进行建模和求解。

数学建模算法模型的选择和应用需要根据具体的问题和要求进行。

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

●旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d，找一条经过n个城ij市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

●车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP问题是VRP问题的特例。

●车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

一、概述数学建模是数学与实际问题相结合的产物，通过建立数学模型来解决现实生活中的复杂问题。

Matlab作为一个强大的数学计算工具，在数学建模中具有重要的应用价值。

本文将介绍30种经典的数学建模模型，以及如何利用Matlab对这些模型进行建模和求解。

二、线性规划模型1. 线性规划是数学建模中常用的一种模型，用于寻找最优化的解决方案。

在Matlab中，可以使用linprog函数对线性规划模型进行建模和求解。

2. 举例：假设有一家工厂生产两种产品，分别为A和B，要求最大化利润。

产品A的利润为$5，产品B的利润为$8，而生产每单位产品A 和B分别需要8个单位的原料X和10个单位的原料Y。

此时，可以建立线性规划模型，使用Matlab求解最大化利润。

三、非线性规划模型3. 非线性规划是一类更加复杂的规划问题，其中目标函数或约束条件存在非线性关系。

在Matlab中，可以使用fmincon函数对非线性规划模型进行建模和求解。

4. 举例：考虑一个有约束条件的目标函数，可以使用fmincon函数在Matlab中进行建模和求解。

四、整数规划模型5. 整数规划是一种特殊的线性规划问题，其中决策变量被限制为整数。

在Matlab中，可以使用intlinprog函数对整数规划模型进行建模和求解。

6. 举例：假设有一家工厂需要决定购物哪种机器设备，以最大化利润。

设备的成本、维护费用和每台设备能生产的产品数量均为已知条件。

可以使用Matlab的intlinprog函数对该整数规划模型进行建模和求解。

五、动态规划模型7. 动态规划是一种数学优化方法，常用于多阶段决策问题。

在Matlab 中，可以使用dynamic programming toolbox对动态规划模型进行建模和求解。

8. 举例：考虑一个多阶段生产问题，在每个阶段都需要做出决策以最大化总利润。

可以使用Matlab的dynamic programming toolbox对该动态规划模型进行建模和求解。