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风电机组传动链的动力学仿真研究杨扬;齐涛;苏凤宇;董姝言;何海建;晁贯良【摘要】针对风电机组传动链在工作转速范围内的扭转共振问题,基于GL2010标准,结合动力学仿真软件SIMPACK和有限元分析软件ANSYS,建立了某兆瓦级风电机组传动链的多柔体动力学仿真模型,并使用模态分析方法对传动链动力学仿真模型进行了频域响应分析,基于2D坎贝尔图和模态能量分布图,筛选出了传动链的潜在共振点,最终通过时域仿真分析,对相关部件的加速度进行了傅里叶变换,进一步验证了该潜在共振点是否是实际的危险共振点.研究结果表明,该机型风电机组传动链不存在危险的共振频率,在工作转速范围内能够安全稳定地运行;该方法可为风电机组的稳定性和可靠性设计提供依据.%Aiming at the problems of torsional resonance of the wind turbine drive chain in its working speed range, the multi-flexible body dynamics simulation model of MW wind turbine drive chain was built based on dynamic simulation software SIMPACK and FE analysis soft-ware ANSYS according to GL2010 standard. The frequency domain response analysis of the dynamic simulation model of the drive chain was carried out through modal analysis method and its potential resonance frequencies were selected based on 2D campbel and modal energy dis-tribution diagrams. Finally the time domain simulation analysis was conducted and the Fourier transform of the acceleration of the relevant parts was carried out to further verify whether the potential resonance frequencies were the actual resonance frequencies. The results indicate that there is no dangerous resonance frequency of the wind turbine drive train, so it can run safely and stably in its working speedrange. This method can provide the reference basis for the stability and reliability design of the wind turbine.【期刊名称】《机电工程》【年(卷),期】2017(034)007【总页数】7页(P702-707,735)【关键词】风电机组;传动链;扭转共振;动力学仿真模型;时域仿真【作者】杨扬;齐涛;苏凤宇;董姝言;何海建;晁贯良【作者单位】许昌许继风电科技有限公司,河南许昌461000;许昌许继风电科技有限公司,河南许昌461000;许昌许继风电科技有限公司,河南许昌461000;许昌许继风电科技有限公司,河南许昌461000;许昌许继风电科技有限公司,河南许昌461000;许昌许继风电科技有限公司,河南许昌461000【正文语种】中文【中图分类】TH113.1;TK83传动链是风电机组重要的组成部分，内部包含大量旋转运动的零部件。
振动的能量特点主要有以下几个方面：
1.振动能量的周期性变化：振动物体在振动过程中，其动能和势
能是周期性交替变化的。
这意味着在一定时间内，物体可能会
经历动能和势能的最大值和最小值。
这种交替变化在波形图上
表现为正弦或余弦波形。
2.与振幅平方成正比：振动物体的能量通常与振幅的平方成正比。
这意味着当振幅增大时，物体的振动能量也会相应地增大。
这
是由于物体在最大位移处具有最大的动能，而在平衡位置处具
有最小的势能。
3.总能量守恒：在无阻尼的理想情况下，振动的物体的总能量是
守恒的。
这是因为动能和势能的交替变化确保了总能量保持不
变。
即使在有阻尼的情况下，振动的能量也会随着时间的推移
逐渐耗散，最终趋向于零。
4.传递性：在波的传播过程中，振动能量可以传递给周围的介质。
当一个质点发生振动时，它会使周围的质点也产生振动，形成
波。
波的能量随着波的传播而传递给周围的介质。
1.1 地震强度的定义地震强度按地震过程中，地面水平最大加速度0max a 定义，其度量值是烈度。
按50年不同的超越概率分为多遇地震、常遇地震和罕遇地震，俗称小震、中震和大震。
抗震设防三原则：小震不坏（计算），中震可修（构造），大震不倒（倒塌计算）。
单质点体系的质点水平加速度最大值max a 与地面水平最大加速度0m a x a 之比为m a xm a x 0m a x2.25a a β==。
烈度增加1度，地面水平最大加速度加倍。
其定义如下：抗震设防的烈度称为设防烈度，等于常遇烈度（中震烈度）。
多遇地震比设防烈度低1.5(1.55)1.2 结构的动力特性结构的动力特性包括结构的自振周期及相应的振型以及结构的阻尼。
求解结构的动力特性一般指求解结构的自振周期及相应的振型而不包括结构的阻尼。
求结构的自振周期及相应的振型等价于求关于刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题。
2[]{}[]{}K M φωφ=或 [][][][][K M Φ=ΦΩ []K 一般为大型稀疏矩阵。
[]M 一般为大型稀疏矩阵或对角矩阵。
可用子空间迭代求结构的前几个自振周期及相应的振型 。
1.3 子空间迭代子空间迭代法是求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法之一，它适合于求解部分特征解，被广泛应用于结构动力学的有限元分析中。
子空间迭代法是假设r 个起始向量同时进行迭代以求得矩阵的前p(<r)个特征值和特征向量。
可以将它看成是矩阵反迭代法的推广。
正因为如此，它的算法步骤和反迭代法相比较， 基本上是相似的，主要区别在于子空间迭代法是用r 个初始向量同时进行迭代而矩阵反迭代法只用1个初始向量同时进行迭代。
以下列出它的具体计算步骤，并给出算法的若干注释。
1. 计算步骤 (1) 初始计算① 形成刚度矩阵[]K 和质量矩阵[]M ； ② 三角分解[]K , 即 [][][]TK A A =； (2) 给定初始向量矩阵0[]X ，即010200[][{}{}{}]r X x x x =(3) 对于每次迭代k(k=0,1,2, … ) 作 ① 赋值：[][][]k Y M X =② 求解方程组：1[][][][]T k A A X Y +=③ 赋值：1[][][]T k K X Y += ④ 赋值：11[][][]k Y M X +=⑤ 赋值：11[][][]k M X Y += ⑥ 求解广义特征值问题 :1***[][][][][]k K M +Φ=ΦΩ⑦ 检查*1[]k +Ω是否满足精度要求**1*1()()1,2,,()i k i ki k i p ωωεω++-≤=如果满足精度要求转到下面的步骤(4)；如果不满足精度要求则作；⑧ 赋值：*1[][][]Y Y =Φ ⑨ 令：k=k+1并返回步骤②。
声学黑洞梁的振动能量分布探讨邓杰;郑玲;左益芳;曾鹏云;吴行【摘要】Acoustic black hole (ABH) effect can be achieved by reducing the thickness of structures or gradually changing material properties. The ABH causes the bending wave velocity to decrease gradually and approach zero. Finally, the bending wave is completely absorbed by the ABH. In this paper, the semi-analytical model of one-dimensional ABH beam was established in the perspective of energy. Then, the model was solved numerically with Morlet wavelet as the vibration mode shape function and the energy density distribution was analyzed. The results show that the energy density of the black hole segment is much greater than that of the uniform segment, and the tip portion plays a key role for the acoustic black hole effect. This article provides a reference for the field of vibration control and energy recovery of beam structures.%声学黑洞(Acoustic Black Hole, ABH)效应通过幂指数律剪裁厚度或者材料参数梯度变化等方式,来减小弯曲波速度并在末端实现能量聚集和吸收,一直是近年来的研究热点.本文从能量角度出发,基于半解析建模方法,建立一维声学黑洞梁的解析模型,选取Morlet小波为振型函数,对解析模型进行数值求解,分析能量密度的分布情况.研究表明:黑洞段的能量密度远大于均匀段能量密度,尖端部分对声学黑洞效应起到关键作用.理论分析结果对梁结构的振动控制和能量回收具有重要的参考价值.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2018(038)0z1【总页数】5页(P66-70)【关键词】声学;声学黑洞;振动;弯曲波;半解析法;能量吸收【作者】邓杰;郑玲;左益芳;曾鹏云;吴行【作者单位】重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044;重庆大学机械传动国家重点实验室,重庆 400044【正文语种】中文【中图分类】O326;X966;O42近年来声学黑洞效应作为一种振动与噪声控制领域的新途径[1–2]、能量回收领域的新举措[3]，受到国内外学者的广泛关注。
基于Adams的悬置系统解耦规范3.1模态解耦动力总成可视为刚体，在低频范围内有六个方向的振动。
如果这些振动模态彼此独立，可把每个模态作为单自由度系统来处理。
模态彼此独立称为模态解耦。
3.2 能量解耦法通常用能量指标来描述系统的振动耦合程度。
将悬置系统各阶主振型的能量分布写成矩阵，在矩阵中，百分比最大的广义坐标方向为振型占优方向，要提高某个广义坐标方向上的解耦率，就要提高该广义坐标上能量占系统总能量的比重，使其尽量接近100%。
4 流程概述4.1 数据准备阶段：该阶段需提供动力总成的质心及惯性参数、悬置系统初始布置及结构、各悬置初始刚度及硬点坐标。
4.2 分析计算阶段：该阶段以软件操作为主，需建立系统振型，输入相关参数，以能力解耦法计算解耦率。
4.3 后处理阶段：该阶段主要对解耦率进行评价，对计算结果进行输出，包括能量分布矩阵及各阶固有频率等参数的输出，以及形成报告及打印等事项。
5 悬置系统解耦悬置系统解耦可按照上述流程进行。
5.1 解耦参数输入5.1.1 MT动力总成总质量175Kg，动力总成惯性参数如下表1：表1 动力总成惯性参数Inertia Referance Vehicle CoordinatesIxx Iyy Izz Ixy Ixz Iyz 单位 惯性参数10.95 5.41 10.82 -1.07 1.1 1.19 ㎏·㎡ 5.1.2 悬置硬点及刚度参数如下表2:5.2 建立系统振型可以在Adams中建立可视化模型，也可以导入3D数据，导入的3D数据更能反映实物，但对解耦结果没有影响。
通过Bushing来模拟悬置，将动力总成与ground相连，并将系统所需参数输入。
如图1。
图1 系统振型5.3 能量解耦按照能量解耦法对系统各阶能量进行计算，以确定各坐标方向的解耦率。
能量解耦设置如图2。
图2 能量解耦设置5.4 解耦率对所建立的振型采用能量解耦法，可得出悬置系统的固有频率及各阶模态下能量占优的坐标方向，此方向的能量分布即为解耦率。
模态能量密度模态能量密度是指在振动系统中，各个模态上的能量分布密度。
振动系统可以看作是由许多模态组成的，每个模态都有自己的振动频率和能量分布。
模态能量密度的研究可以帮助我们更好地理解和分析振动系统的特性和性能。
模态能量密度的计算可以通过振动模态分析来实现。
振动模态分析是一种用于确定振动系统模态特性的数值分析方法。
它可以通过数值模拟或实验测试来获取振动系统的模态振型、振动频率和模态质量等信息。
在模态能量密度的计算中，模态质量和模态振型是两个关键的参数。
模态质量是指每个模态上的质量分布情况。
它可以通过振动模态分析的结果来计算得到。
模态质量的分布情况决定了不同模态上的能量分布密度。
在振动系统中，模态质量可以用来衡量振动能量的分配情况，模态质量越大，该模态上的振动能量分布越多。
模态振型是指模态振动的模式形态。
模态振型可以通过振动模态分析得到。
每个模态都有自己的振动频率和振动模式形态。
振动模式形态反映了振动系统在不同模态上的振动情况。
模态振型可以用来描述模态振动的空间形态，从而帮助我们理解振动系统的动态行为。
模态能量密度的计算可以通过振动模态分析的结果来实现。
在振动模态分析中，模态能量密度可以通过模态振型和模态质量来计算得到。
模态振型可以用来描述振动能量在空间上的分布情况，模态质量可以用来衡量振动能量的分配情况。
模态能量密度的计算结果可以用来分析振动系统的能量分布情况，帮助我们了解振动系统的振动特性和能量传递情况。
模态能量密度的分布情况可以反映振动系统的特性和性能。
在实际工程中，模态能量密度的计算和分析可以帮助我们优化振动系统的设计和性能。
通过调整模态质量和模态振型，我们可以实现振动能量的合理分配，提高振动系统的性能和可靠性。
模态能量密度的分析也可以用于故障诊断和故障检测。
通过分析模态能量密度的变化，我们可以判断振动系统的工作状态和故障情况，及时进行维修和保养。
综上所述，模态能量密度是振动系统中各个模态上能量分布的密度。
第一振型应是平动的原因动力学认为结构的第一周期应该是出现该振形时所需要的能量最小，第二周期所需要的能量次之，依次往后推。
我认为规范规定Tt/T1<0.9就是为了让对结构产生作用的能量中的大部分只够激起结构的平动而不是扭转。
按照动力学理论，结构第一周期只与结构本身的质量、刚度和边界条件有关，与外界力没有关系，地震只是提供一个激振力，基底剪力是反映这个激振效果的一个指标，这个除了以上的条件外，同时就跟地震参数有关，比如加速度的值。
而结构最容易出现振动的振型就应该是第一振型，这个振型所需要的能量最小，最容易发生。
这个就很容易理解为什么扭转振型不能太靠前，起码不能出现再第一振型。
通高层设计中是可行的。
关于第二平动周期与扭转周期比较接近的问题是相对的，我个人认为就是说能拉大到0.9以下最好，但是不能拉到0.9以下，也尽量不要超的太多。
怎么理解主振型？pkpm采用了wilson教授的质量参与系数的概念（可以查看sap和etabs），比如我们计算15个振型，质量参与系数达到了98%，那么15个振型当中就有一个质量参与系数最大的振型，比如是2振型，它对这个98%的贡献最大（比如达到40%），那么我们就认为它就是主振型。
而其它的振型的贡献可能相对很小。
主振型的意义在于：它可能不是最容易被激励起的振型，但是它一旦被激励起了，那么它就是结构振动的主要成分，所以我们在抗震的时候我特别给与关注，尽量避免它与扭转振型靠近。
这也就是我建议ljbwhu将T2与Tt拉大点的原因。
在常规的高层结构设计中，由于各种限制，不容易出现以下这种情况：当结构中存在某些相对软弱的部分或者构件的时候，则结构的主振型会出现的比较靠后，这很容易理解，因为软弱的地方在激励能量相对小的时候就会局部振动，此时不是整体振动，所以该振型的质量参与系数很小，但是它们却是低阶振型。
所以我前面的贴子提到了模型错误，这里的错误并不是指模型逻辑上的错误，而是某些构件的刚度、尺寸、材料等原因的错误，造成局部软弱。
§5.3 振动能量与共振5. 3．1、简谐振动中的能量以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：)(sin 21212222ϕωω+==t mA mvE K振子的瞬时弹性势能为：)(cos 21212222ϕωω+==t A m kx E p振子的总能量为：2222121kAA m E E E p K ==+=ω简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x 的比值k 以及振幅A 都是恒量，即221kA是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。
如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。
由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功221kx（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x 应指振子离开平衡位置的位移，则p E 就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。
简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即221kxE p =，kx图5-3-122xE k p =。
另有22mxE mk p ==ω也可用总能量和振幅表示为22mxE p =ω5．3．2、阻尼振动简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。
实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。
这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。
阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c 为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv ，设m 运动在任一x 位置，由x m F α=∑有x x cv kx m --=α分为 022=++x w nv a x x（17）式中 mc n 2=这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
振型名词解释摘要：一、振型概念解释二、振型分类及特点三、振型在工程领域的应用四、振型研究与分析方法五、如何提高振型稳定性六、振型发展趋势与展望正文：一、振型概念解释振型是指物体在振动过程中，其质心或某一点相对于参考系的位移随时间变化的表现形式。
简而言之，振型是振动系统的动态特性，它可以反映振动系统的运动规律和能量传递方式。
二、振型分类及特点振型根据振动系统的自由度可分为一维振型、二维振型和三维振型。
一维振型指只有一个自由度的振动系统，如弹簧振子；二维振型具有两个自由度，如梁的振动；三维振型则具有三个自由度，如刚体振动。
不同振型的特点在于其运动轨迹和受力分布，如简谐振动、阻尼振动和强迫振动等。
三、振型在工程领域的应用振型在工程领域具有广泛的应用，如建筑结构的抗震设计、机械设备的运行监控、桥梁和塔架的稳定性分析等。
通过研究振型，可以有效降低工程结构在振动环境下的破坏风险，提高系统的运行稳定性和使用寿命。
四、振型研究与分析方法振型的研究方法主要包括理论分析、实验研究和数值模拟。
理论分析基于振动系统的动力学方程，通过求解方程得到振型函数；实验研究通过测量实际结构的振动响应，分析振型的特性；数值模拟则利用计算机技术，对振动系统进行建模和求解。
五、如何提高振型稳定性提高振型稳定性主要有以下几个方面：增加振动系统的阻尼比，减小振动系统的自然频率；合理设计振动系统的结构，降低结构的不平衡因素；优化振动系统的运行条件，降低外部激励的影响。
六、振型发展趋势与展望随着科技的不断发展，振型研究在多个领域取得了显著成果。
在未来，振型研究将朝着更加精细化、系统化和多元化的方向发展，为工程领域的振动控制和结构优化提供更加先进的技术支持。
综上所述，振型作为振动系统的基本特性，其在工程领域的应用具有重要意义。
了解振型的分类、特点以及研究与分析方法，有助于提高工程结构的稳定性和使用寿命。
1.1 地震强度的定义地震强度按地震过程中，地面水平最大加速度0max a 定义，其度量值是烈度。
按50年不同的超越概率分为多遇地震、常遇地震和罕遇地震，俗称小震、中震和大震。
抗震设防三原则：小震不坏（计算），中震可修（构造），大震不倒（倒塌计算）。
单质点体系的质点水平加速度最大值max a 与地面水平最大加速度0m a x a 之比为m a xm a x 0m a x2.25a a β==。
烈度增加1度，地面水平最大加速度加倍。
其定义如下：抗震设防的烈度称为设防烈度，等于常遇烈度（中震烈度）。
多遇地震比设防烈度低1.5(1.55)1.2 结构的动力特性结构的动力特性包括结构的自振周期及相应的振型以及结构的阻尼。
求解结构的动力特性一般指求解结构的自振周期及相应的振型而不包括结构的阻尼。
求结构的自振周期及相应的振型等价于求关于刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题。
2[]{}[]{}K M φωφ=或 [][][][][K M Φ=ΦΩ []K 一般为大型稀疏矩阵。
[]M 一般为大型稀疏矩阵或对角矩阵。
可用子空间迭代求结构的前几个自振周期及相应的振型 。
1.3 子空间迭代子空间迭代法是求解大型矩阵特征值问题的最常用且有效的方法之一，它适合于求解部分特征解，被广泛应用于结构动力学的有限元分析中。
子空间迭代法是假设r 个起始向量同时进行迭代以求得矩阵的前p(<r)个特征值和特征向量。
可以将它看成是矩阵反迭代法的推广。
正因为如此，它的算法步骤和反迭代法相比较， 基本上是相似的，主要区别在于子空间迭代法是用r 个初始向量同时进行迭代而矩阵反迭代法只用1个初始向量同时进行迭代。
以下列出它的具体计算步骤，并给出算法的若干注释。
1. 计算步骤 (1) 初始计算① 形成刚度矩阵[]K 和质量矩阵[]M ； ② 三角分解[]K , 即 [][][]TK A A =； (2) 给定初始向量矩阵0[]X ，即010200[][{}{}{}]r X x x x =(3) 对于每次迭代k(k=0,1,2, … ) 作 ① 赋值：[][][]k Y M X =② 求解方程组：1[][][][]T k A A X Y +=③ 赋值：1[][][]T k K X Y += ④ 赋值：11[][][]k Y M X +=⑤ 赋值：11[][][]k M X Y += ⑥ 求解广义特征值问题 :1***[][][][][]k K M +Φ=ΦΩ⑦ 检查*1[]k +Ω是否满足精度要求**1*1()()1,2,,()i k i ki k i p ωωεω++-≤=如果满足精度要求转到下面的步骤(4)；如果不满足精度要求则作；⑧ 赋值：*1[][][]Y Y =Φ ⑨ 令：k=k+1并返回步骤②。
(4) 赋值：**11[][],[][][]k k X I +I +Ω=ΩΦ=Φ(5) 输出要求的部分特征值[]I Ω及相应的特征向量[]I Φ。
1.4 楼层质量形心第i 层第k 个质量为ik M ，其位置坐标为(,,)ik ik ik x y z ，总质量为i M ，质量形心为(,,)i i i X Y Z ，绕主轴的质量惯性矩及回转半径分别为(,,)xi yi zi I I I 和(,,)xi yi zi R R R 。
对于主轴，有0ik ikik kMx y =∑，则有：i ik kM M =∑ ,,ik ikikikik ikkkki i i iiiMxMy MzX Y Z M M M ===∑∑∑222(),(),()xi ik ik i yi ik ik i zi ik ik i kkkI M x X I M y Y I M z Z =-=-=-∑∑∑xi yi zi R R R ===与主轴相交角度为ϕ的质量惯性矩及回转半径(,,)xi yi zi I I I ϕϕϕ和(,,)xi yi zi R R R ϕϕϕ的推导如下：为便于推导，设(,,)(0,0,0)i i i X Y Z =，有cos sin ,sin cos ik ik ik ik ik ik x x y y x y ϕϕϕϕϕϕ=+=-+2222222222()(cos sin )[(cos )(sin )2cos sin ]cos ()sin ()2cos sin cos sin xi ik xi ik ik ik kkik ik ik ik ik kik ik ik ik ik ik ikkkkxi yi I M x M x y M x y x y M x M y M x y I I ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=++=++=+∑∑∑∑∑∑22sin cos ,yi xi yi zi z I I I I I ϕϕϕϕ=+=xiRϕ===yiRϕ=1.5 振型的能量分布第i层第j振型的振动能量为：222211112222ij ik kj ik kj ik kj ik kjk k k kE M M X M Y M Zφ==++∑∑∑∑记,,,ik kj ik kj ik kjk k ki ik i i ik i i iM X M Y M Z M M X Y ZM M M ====∑∑∑∑222111222ij Xij Yij Zij i i i i i iE E E E M X M Y M Z=++=++,,Xij Yij ZijXij Yij Zijij ij ijE E ER R RE E E===22222222222111()()() 222111(2)()()222112211()()2212ij ik kj i ik kj i ik kj ik k kik ik kj i i ik kj i ik kj i k k kik ik i ik kj i ikk k kik kj i ik kj ik kXij Xij XijE M X X M Y Y M Z ZM X X X X M Y Y M Z ZM X X M X X MM Y Y M Z ZE E E=-+-+-=-++-+-=-++-+-=-++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22211()()222i ik ik kj i ik kj ik k kXij Xij Yij Yij Zij ZijX M M Y Y M Z ZE E E E E E+-+-=-+-+-∑∑∑1ij ij Xij Yij Zijij Xij Yij Zijij ijE E E E ER R R RE E---===---整栋结构的能量分布及分布系数为：j ijiE E=∑, Xj XijiE E=∑, Yj YijiE E=∑, Zj ZijiE E=∑,,Xj Yj ZjXj Yj Zjj j jE E ER R RE E E===1j j Xj Yj Zjj Xj Yj Zjj jE E E E ER R R RE E---===---1.6 不计扭转的有效质量系数(1,2,,1,2,)ji j j ji iF XG i n j m αγ===211[1][]{}{}[]{}nnT j ji ijii j j j j ji i X G XG G X X G X G γη=====∑∑ 记12{}[,,][]{}Tj j j mj j j j F F F F G X αγ==地震方向第j 振型的支反力为：21[1]{}[1][]{}mj ji j j j j j j j j j j j R F F G X G αγαγηαγ======∑记2j j j R G γ= ，j R 为与设防烈度和场地土等无关的支反力（1j α=）。
定义有效质量系数k 为：211211nnjjjj j n mmjjjj j RG k RG γγ======∑∑∑∑结构的总重量为1[1][]{1}mT i i G G G ===∑现在要证明211m mj j Ti j i G G G γ====∑∑ 。
一定存在{}y ，使得下式成立。
[]{}{1}X y =将上式左乘[][]TX G ，得[][][]{}[][]{1}T T X G X y X G =110{}[][]{1}0Tm m G y X G G ηη⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦1{}{}m y γγγ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭12111[1][]{1}[1][][]{}[]{}[]{}T m mm mj j j G G G X G G G γηηγγγγγ======∑因而有：22111nnjjjjj j n mTij G G k G Gγγ=====∑∑∑1.7 空间结构的有效质量系数地震作用方向分别为x 、y 、z 的第j 振型标准地震作用(1)j α=分别为：{}[]{}(1,2,)xj xj j F g G X j m γ== {}[]{}(1,2,)yj yj j F g G X j m γ== {}[]{}(1,2,)zj zj j F g G X j m γ=={}[][]{}{}[]{}T T xj x j j j xj j e E G X X G X G γη== {}[][]{}{}[]{}T T yj y j j j yj j e E G X X G X G γη== {}[][]{}{}[]{}T T zj z j j j zj je E G X X G X G γη== 地震作用方向与x 轴的夹角为α的第j 振型标准地震作用(1)j α=为：{}[]{}(1,2,)xyj xyj j F g G X j m γ==cos sin xyj xj yj γγαγα=+地震作用方向为x 第j 振型在x 方向的支反力xj R 分为：2{}[]{}{}[][]{}T T xj x xj xj x j xj xj xj jR e E F g e E G X g gG γγηγ==== 定义x 向前n 个振型的有效质量系数xn k ∂为：211211nnxjxjjj j xn mmxjxjjj j RG k RG γγ======∑∑∑∑结构x 向的总质量为1{}[][][]{}mT xT xi x x i G G e E G E e ===∑现在要证明21mxjj xTj G G γ==∑ 。
一定存在{}y ，使得下式成立。
[]{}[]{}x X y E e =将上式左乘[][]T X G ，得[][][]{}[][][]{}T T x X G X y X G E e =110{}[][][]{}0x Tx m xm G y X G E e G ηη⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 1{}{}x x xm y γγγ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭[]{}[]{}x x X E e γ=211{}[][][]{}{}[][][]{}[]{}T T xT x x x x mx xm x xj jj G e E G E e e E G X G γηηγγ=====∑因而有：22111nnxjjxjjj j xn mxTxij G G k G Gγγ=====∑∑∑。
