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绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞） （2）复数212i i-=+（A ）i（B ）-i（C ）（D ）4355i--4355i -+（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是(A)(B) (C) (1,0)(1,)2π(1,2π-(D)(1，)π（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D ）2（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。
给出下列三个结论：AD+AE=AB+BC+CA ；○1回归往日精品，再现今日辉煌AF·AG=AD·AE○2③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③（6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）。
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是（A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16 (7)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) (C)10 (D) （8）设,，,.记为平行四边形()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为()N t（A ） （B ） {}9,10,11{}9,10,12（C ） （D ） {}9,11,12{}10,11,12第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
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第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
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作答无效。
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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =½£，那么U P =ð(A)(,1-¥-) (B)(1,+¥) (C)（-1，1) (D)()()11-¥,-,+¥【解析】：2111x x £Þ-££，U P =ð()()11-¥,-,+¥ ，故选D （2）复数212ii-=+(A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i i i i ---------+====++----，选A 。
（3）如果1122log log 0x y <<，那么，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【解析】：1122log log x y x y <Þ>，12log 01y y <Þ>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则是假命题，则（A ）p q Ù是真命题是真命题 (B)p q Ú是假命题是假命题 (C)p Ø是真命题是真命题 (D)q Ø是真命题是真命题 【解析】：或（Ú）一真必真，且（Ù）一假必假，非（Ø）真假相反，故选D（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622´´´+=+故选B 。
2011年北大保送数学考试一道题目的别解
宁夏固原市五原中学 马占山 田晨光 756000
文[1]证明了下面题目。
已知ABC ∆内有一点，且,ACO CBO CAO BAO ∠=∠=∠=∠求证： ABC ∆的三边成等比数列。
本文用角元素塞瓦定理（见文[2]）给出一个
简证。
证明：由文[2]给出的角元素塞瓦定理得
1sin sin sin sin sin sin =∠∠∠∠∠∠BCO
ABO CAO ACO CBO BAO 1)2
sin()2sin 2sin 21sin 3=-⇔A C A B A A －（）（ )2sin()2sin(2sin 2A C A B A --=⇔ )cos()cos(cos 1A C B C B A -+--=-
)cos(1A C B -++A C B cos )cos(+-=
由于A A C B 2-=-+π,因此有
C B A sin sin sin 22=,即bc a =2
可见用角元素塞瓦定理证明这道题目十分简单。
参考文献
1. 范端喜.2011年北大保送生考试数学试题赏析。
数学通讯，2011,4 （下半月）。
2.李成章.《角元素塞瓦定理及其应用》《中等数学》2006,1
B。
北京大学保送生数学真题及答案2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1． 已知数列{}na 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56aa +的最小值．解：设数列{}na 的公比为()0q q >，则231115a qa q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由1a>知1q >．()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+--222211515122011qq q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111qq -=-即q =56aa +有最小值20．2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq f f a f aq aq f f f a f aq aq =====，2ma na t aq∴++=①22()m aq naq t aq ++=②2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2222111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =； 若1q ≠，则()21ma q na aq++=与()21ma q q na aq++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a af a f f a ==，()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a C f a f a 满足ABBCkk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B+． 解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=，sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为D Q EPNMCB A,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+． 4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B两点，且OABSc∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 示的直角坐标系．设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OABS ab c α∆==，2sin 2c ab α=．()()cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩(1)cos 2(2)sin 2xa b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得22222cos sin sin 2x y cab ααα-==，∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,,10ia i =满足1210121030,21a aa a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1ia <．X证明：用反证法，假设()1,2,,10ia i ∀=， 1ia ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a aa b b b ∴=+++121012231b b b b b b b =+++++++12232121b bb b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10ia i ∴∃=，使1ia <．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
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考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞） （C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+ （3）如果,0log log 2121<<y x 那么（A ）y< x<1 （B ）x< y<1（C ）1< x<y （D ）1<y<x（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p ∧q 是真命题 （B ）p ∨q 是假命题（C ）﹁p 是真命题 （D ）﹁q 是真命题（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（A ）32 （B ）16+162（C ）48（D ）16+322(6)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输入的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且没见产品每天的仓储费用为1元。
为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 （B ）80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点A(0,2)，B(2,0). 若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
保送生考试回顾去年12月，我参加了北大的保送生考试，差不多一年过去了，很多东西都记不清了，整理了一下残存的记忆，记录如下。
关于考试内容考试分6部分，语文，数学，英语，物理，化学，面试。
每门100分，总分600分。
语文：试卷大概分了4个部分第一部分：10分单选一共十道。
都是一些文学常识的题目。
记忆中有一题是考错别字；有一个是关于形声字，象形字什么的；还有一个是对联，给出上联选最佳的下联；其余记不得了。
第二部分：25分文言文翻译文章忘了，但是我读过去感觉还可以，大致能翻译出来。
个人认为这是一个蛮重要的部分，因为我语文学习中花在文言文上的时间还是很多的，所以这25分中的大部分还是应该要拿下的，并且难度也不高。
第三部分：25分阅读理解时间仓促，貌似是一篇散文，然后后面有几道小题。
第四部分：40分作文给铁道部长的一封信。
应该网上都能找到，我就不赘述了。
数学：试卷共5道题，每题20分。
做过去感觉还是蛮基本的，就有一个卡住了，并且最后也没做出来，是一个解析几何题，后来问了一下，貌似要用到一个不知道什么定理，但是学过数学竞赛的孩纸应该都知道。
但是试卷难度每年都有变化，所以我也给不出什么建议，但是好好学习还是最重要的。
英语：单选1*20阅读2*20 5篇文章完型0.5*20改错1*10翻译20关于英语，我也说不出什么来，关键就是生词量很大，就全靠平时积累了，临考背单词不知道有没有用。
反正我是英语做到吐血，很多都是靠rp来瞎选了，但是大体上还是认真地把题目读过去并做题的（虽然有时候读了等于没读）。
当然，我英语分数必然很低了。
物理：总共7道大题，算是简单的竞赛题吧。
题目什么的不记得了，网上找找或许能找到题目。
其实物理考得我不是很舒服。
化学：总共10道大题。
我以一个没有搞过化学竞赛的学生的角度看，有些题目比较难，用到了我不知道的知识，但也有题目还是属于高考范围的，甚至有些题是平常练得比较多的。
在最后的总复习中多做做题，把基本的概念理清了，还是能把题意理解了并做出来的。
